#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_body

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
aplicación
\series default
 entre dos conjuntos 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 es una relación 
\begin_inset Formula $f\subseteq A\times B$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall a\in A,\exists!b\in B:(a,b)\in f$
\end_inset

.
 Escribimos 
\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $A\overset{f}{\longrightarrow}B$
\end_inset

, y llamamos 
\begin_inset Formula $b=f(a)\iff(a,b)\in f$
\end_inset

.
 Por ejemplo, podemos definir 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $f(n)=n^{2}$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $f=\{(n,n^{2})\mid n\in\mathbb{N}\}$
\end_inset

.
 Si partimos de una igualdad y queremos interpretarla como la regla de una
 aplicación, la llamamos 
\series bold
función
\series default
.
 Podemos representar una aplicación:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Como dos conjuntos representados de forma similar a un diagrama de Euler-Venn,
 en el que de cada elemento de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 parte una flecha hacia uno de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Como una gráfica, en la que los elementos de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 se representan en el eje horizontal y los de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 en el eje vertical, y las relaciones se representan con puntos.
\end_layout

\begin_layout Standard
Definimos:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Dominio
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $\text{Dom}f=A$
\end_inset

, por lo que el término 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

conjunto inicial
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 no se usa.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Codominio
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

: 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

Conjunto final
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Imagen
\series default
 o 
\series bold
imagen directa
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $\text{Im}f=f(A)=\{b\in B\mid\exists a\mid f(a)=b\}\subseteq B$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Regla de correspondencia
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

: Igualdad 
\begin_inset Formula $b=f(a)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $b=f(a)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es 
\emph on
una
\emph default
 
\series bold
preimagen
\series default
 de 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 es la 
\series bold
imagen
\series default
 de 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
ley de composición externa
\series default
 es una aplicación 
\begin_inset Formula $B\times A\overset{\circ}{\longrightarrow}A$
\end_inset

.
 Una 
\series bold
operación binaria
\series default
 en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es una aplicación 
\begin_inset Formula $A\times A\overset{\circ}{\longrightarrow}A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Aplicaciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas
\end_layout

\begin_layout Standard
La aplicación 
\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
\end_inset

 es:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Inyectiva
\series default
 o 
\series bold
uno a uno
\series default
 si 
\begin_inset Formula $f(a)=f(b)\implies a=b$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Suprayectiva
\series default
, 
\series bold
sobreyectiva
\series default
 o 
\series bold
exhaustiva
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall b\in B,\exists a\in A:f(a)=b$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Biyectiva
\series default
 si es inyectiva y suprayectiva.
\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
restricción de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a su imagen
\series default
 es una aplicación 
\begin_inset Formula $\hat{f}:A\rightarrow\text{Im}f$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\hat{f}(a)=f(a)$
\end_inset

.
 Se dice que 
\begin_inset Formula $\hat{f}$
\end_inset

 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

actúa igual
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
 Siempre es suprayectiva.
\end_layout

\begin_layout Section
Imágenes directas e inversas
\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $X\subseteq A$
\end_inset

, definimos la 
\series bold
imagen directa
\series default
 de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $f(X)=\{f(x)|x\in X\}$
\end_inset

.
 Propiedades:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f(\emptyset)=\emptyset$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Se deriva de que 
\begin_inset Formula $\emptyset\times B=\emptyset$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X\subseteq Y\implies f(X)\subseteq f(Y)$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
y\in f(X)\implies\exists x\in X,y\in Y:f(x)=y\implies f(x)\in f(Y)\implies y\in f(Y)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X,Y\subseteq A\implies f(X\cup Y)=f(X)\cup f(Y)$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $f\left(\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}\right)=\bigcup_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\subseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $y\in f(\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha})$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\exists x\in\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha}:f(x)=y$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $x\in\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\exists\alpha\in I:x\in X_{\alpha}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $y\in f(X_{\alpha})\subseteq\cup_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\supseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Considérese 
\begin_inset Formula $y\in\cup_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\exists\alpha\in I:y\in f(X_{\alpha})$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\exists x\in X_{\alpha}:f(x)=y$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $x\in\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$
\end_inset

, así que 
\begin_inset Formula $y=f(x)\in f(\cup_{\alpha\in I}X_{\alpha})$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X,Y\subseteq A\implies f(X\cap Y)\subseteq f(X)\cap f(Y)$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $f\left(\bigcap_{\alpha\in I}X_{\alpha}\right)\subseteq\bigcap_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $y\in f(\cap_{\alpha\in I}X_{\alpha})$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\exists x\in\cap_{\alpha\in I}X_{\alpha}:f(x)=y$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $x\in\cap_{\alpha\in I}X_{\alpha}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\forall\alpha\in I,x\in X_{\alpha}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\forall\alpha\in I,\exists x\in X_{\alpha}:f(x)=y$
\end_inset

.
 De aquí deducimos que 
\begin_inset Formula $\forall\alpha\in I,y\in f(X_{\alpha})$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $y\in\cap_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $Y\subseteq B$
\end_inset

, definimos la 
\series bold
imagen inversa
\series default
 de 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $f(Y)^{-1}\coloneqq f^{-1}(Y)\coloneqq \{a\in A|f(a)\in Y\}$
\end_inset

.
 Propiedades:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f(\emptyset)^{-1}=\emptyset$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Se deriva de que 
\begin_inset Formula $A\times\emptyset=\emptyset$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f(B)^{-1}=A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X\subseteq B\implies\left(f(X)^{-1}\right)^{\complement}=f\left(X^{\complement}\right)^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X\subseteq Y\subseteq B\implies f(X)^{-1}\subseteq f(Y)^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X,Y\subseteq B\implies f(X\cup Y)^{-1}=f(X)^{-1}\cup f(Y)^{-1}$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $f\left(\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}\right)^{-1}=\bigcup_{\alpha\in I}f(X_{\alpha})^{-1}$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $x\in f(\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha})^{-1}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $f(x)\in\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\exists\alpha\in I:f(x)\in X_{\alpha}$
\end_inset

, de donde 
\begin_inset Formula $x\in f(X_{\alpha})^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X,Y\subseteq B\implies f(X\cap Y)^{-1}=f(X)^{-1}\cap f(Y)^{-1}$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $f\left(\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha}\right)^{-1}=\bigcap_{\alpha\in I}f(Y_{\alpha})^{-1}$
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\subseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $x\in f(\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha})^{-1}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $f(x)\in\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha}$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $f(x)\in Y_{\alpha}$
\end_inset

, y por tanto 
\begin_inset Formula $x\in f(Y_{\alpha})^{-1}$
\end_inset

, para todo 
\begin_inset Formula $\alpha\in I$
\end_inset

.
 De aquí se tiene que 
\begin_inset Formula $x\in\bigcap_{\alpha\in I}f(Y_{\alpha})^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\supseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $x\in\bigcap_{\alpha\in I}f(Y_{\alpha})^{-1}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $x\in f(Y_{\alpha})^{-1}$
\end_inset

, y por tanto 
\begin_inset Formula $f(x)\in Y_{\alpha}$
\end_inset

, para todo 
\begin_inset Formula $\alpha\in I$
\end_inset

.
 Esto significa que 
\begin_inset Formula $f(x)\in\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha}$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $x\in f(\bigcap_{\alpha\in I}Y_{\alpha})^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
\end_inset

 es una aplicación, para todo 
\begin_inset Formula $X\subseteq A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X\subseteq f(f(X))^{-1}$
\end_inset

, y para todo 
\begin_inset Formula $Y\subseteq B$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(f(Y)^{-1})\subseteq Y$
\end_inset

, y ambos contenidos pueden ser estrictos.
\end_layout

\begin_layout Section
Composición
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g:B\rightarrow C$
\end_inset

, definimos la 
\series bold
composición de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 seguida de 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset


\series default
 como la aplicación 
\begin_inset Formula $g\circ f:A\rightarrow C$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $(g\circ f)(x)=g(f(x))$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\text{Dom}(g\circ f)=\text{Dom}f$
\end_inset

 y el codominio de 
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset

 es igual al de 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

.
 Además, si 
\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $g:B\rightarrow C$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $h:C\rightarrow D$
\end_inset

 son aplicaciones, entonces 
\begin_inset Formula $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
\end_inset

.
 La demostración parte de la coincidencia entre dominios y codominios que
 permite considerar las distintas composiciones:
\begin_inset Formula 
\[
(h\circ(g\circ f))(a)=h((g\circ f)(a))=h(g(f(a)))=(h\circ g)(f(a))=((h\circ g)\circ f)(a)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
La composición de aplicaciones inyectivas es inyectiva.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 aplicaciones inyectivas y 
\begin_inset Formula $a,a'\in A$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $(g\circ f)(a)=(g\circ f)(a')$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $g(f(a))=g(f(a'))$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es inyectiva, 
\begin_inset Formula $f(a)=f(a')$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $a=a'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
La composición de aplicaciones suprayectivas es suprayectiva.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 suprayectivas y 
\begin_inset Formula $c\in C$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\exists b\in B:g(b)=c$
\end_inset

 y a su vez 
\begin_inset Formula $\exists a\in A:f(a)=b$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $(g\circ f)(a)=c$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
La composición de aplicaciones biyectivas es biyectiva.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset

 es inyectiva, entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es inyectiva.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $a,a'\in A$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $f(a)=f(a')$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $g(f(a))=g(f(a'))$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $(g\circ f)(a)=(g\circ f)(a')$
\end_inset

, y por ello 
\begin_inset Formula $a=a'$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset

 es suprayectiva, 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 también lo es.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Para cualquier 
\begin_inset Formula $c\in C$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\exists a\in A:(g\circ f)(a)=g(f(a))=c$
\end_inset

, y por tanto 
\begin_inset Formula $\exists f(a)=b\in B:g(b)=c$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $X\subseteq A$
\end_inset

, la 
\series bold
restricción
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es la aplicación 
\begin_inset Formula $f|_{X}:X\rightarrow B$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $f|_{X}(x)=f(x)$
\end_inset

.
 También se puede interpretar como que 
\begin_inset Formula $f|_{X}=f\circ u$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $u:X\rightarrow A$
\end_inset

 como la 
\series bold
aplicación inclusión
\series default
, dada por 
\begin_inset Formula $u(x)=x$
\end_inset

.
 Al restringir una aplicación pueden variar sus propiedades.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Inversa de una aplicación biyectiva
\end_layout

\begin_layout Standard
Definimos la 
\series bold
aplicación identidad
\series default
 en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $1_{A}:A\rightarrow A$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $1_{A}(a)=a$
\end_inset

.
 Entonces decimos que 
\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
\end_inset

 es una 
\series bold
aplicación invertible
\series default
 o que tiene 
\series bold
inversa
\series default
 si existe 
\begin_inset Formula $g:B\rightarrow A$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $g\circ f=1_{A}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f\circ g=1_{B}$
\end_inset

.
 Ahora supongamos que 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 son inversas de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
 Entonces,
\begin_inset Formula 
\[
g=g\circ1_{B}=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h=1_{A}\circ h=h
\]

\end_inset

Por tanto la inversa de una aplicación es única, y la llamamos 
\begin_inset Formula $f^{-1}$
\end_inset

.
 Además 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es invertible si y sólo si es biyectiva.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $a,a'\in A$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $f(a)=f(a')$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f^{-1}(f(a))=f^{-1}(f(a'))$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $a=a'$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es inyectiva.
 Ahora, 
\begin_inset Formula $\forall b\in B,\exists a=f^{-1}(b)\in A:f(a)=b$
\end_inset

, por lo que es suprayectiva.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para cada 
\begin_inset Formula $b\in B$
\end_inset

 consideremos la imagen inversa 
\begin_inset Formula $f(\{b\})^{-1}$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es suprayectiva, 
\begin_inset Formula $f(\{b\})^{-1}\neq\emptyset$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $a,a'\in f(\{b\})^{-1}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $b=f(a)=f(a')$
\end_inset

, y como es inyectiva, 
\begin_inset Formula $a=a'$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $f(\{b\})^{-1}$
\end_inset

 tiene un solo elemento.
 Ahora definimos 
\begin_inset Formula $g:B\rightarrow A$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $g(b)\in f(b)^{-1}$
\end_inset

.
 Es inmediato comprobar que 
\begin_inset Formula $g=f^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así, si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 son invertibles, 
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset

 también lo es y su inversa es 
\begin_inset Formula $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$
\end_inset

.
 Un ejemplo de aplicaciones invertibles son las 
\series bold
permutaciones
\series default
.
 Sea 
\begin_inset Formula $0\neq n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A=\{a_{1},\dots,a_{n}\}$
\end_inset

.
 Entonces una permutación de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es una biyección 
\begin_inset Formula $\sigma:A\rightarrow A$
\end_inset

.
 Se suelen denotar como
\begin_inset Formula 
\[
\sigma:\left(\begin{array}{ccc}
a_{1} & \dots & a_{n}\\
\sigma(a_{1}) & \dots & \sigma(a_{n})
\end{array}\right)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\begin_inset Formula $S(A)$
\end_inset

 al conjunto de las permutaciones de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $A=\{1,\dots,n\}$
\end_inset

, se escribe como 
\begin_inset Formula $S_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Producto directo
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 un conjunto y 
\begin_inset Formula $F=\{A_{i}\}_{i\in I}$
\end_inset

 una familia de conjuntos, se define el 
\series bold
producto directo
\series default
 de 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 como el conjunto
\begin_inset Formula 
\[
\prod_{i\in I}A_{i}=\left\{ f\mid I\rightarrow\bigcup_{i\in I}\;\middle|\;f(i)\in A_{i}\forall i\in I\right\} 
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f\in\prod_{i\in I}A_{i}$
\end_inset

, escribimos 
\begin_inset Formula $f=(x_{i})_{i\in I}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 es finito y se escribe como una lista, podemos escribir el conjunto como
 
\begin_inset Formula $A_{1}\times\cdots\times A_{n}=\{(x_{1},\dots,x_{n})\mid x_{i}\in A_{i},i=1,\dots,n\}$
\end_inset

.
 Si no se quiere escribir el conjunto de índices, este se presupone.
\end_layout

\begin_layout Standard
Debemos tener en cuenta que el producto cartesiano se usa en la definición
 de relación y aplicación, por lo que el producto directo requiere de la
 definición del cartesiano y no puede sustituirlo, aunque exista una biyección
 cuando el número de factores es finito y usemos la misma escritura.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 conjuntos y 
\begin_inset Formula $F=\{A_{i}\}_{i\in I}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $G=\{B_{j}\}_{j\in J}$
\end_inset

 familias de conjuntos.
 Si existe una biyección 
\begin_inset Formula $\sigma:I\rightarrow J$
\end_inset

 y un conjunto de biyecciones 
\begin_inset Formula $\{f_{i}\mid A_{i}\rightarrow B_{\sigma(i)}\}_{i\in I}$
\end_inset

, entonces existe una biyección 
\begin_inset Formula $f:\prod_{i\in I}A_{i}\rightarrow\prod_{j\in J}B_{j}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $f(x)_{j}=f_{\sigma^{-1}(j)}\left(x_{\sigma^{-1}(j)}\right)$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $x\in\prod_{i\in I}A_{i}$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 para cada 
\begin_inset Formula $x\in\prod_{i\in I}A_{i}$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $j\in J$
\end_inset

 existe un único 
\begin_inset Formula $f_{\sigma^{-1}(j)}\left(x_{\sigma^{-1}(j)}\right)$
\end_inset

, de modo que la relación es de aplicación, y debemos ver que es biyectiva.
 Sea 
\begin_inset Formula $g:\prod_{j\in J}B_{j}\rightarrow\prod_{i\in I}A_{i}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $g(y)_{i}=f_{i}^{-1}\left(y_{\sigma(i)}\right)$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $f_{i}^{-1}:B_{\sigma(i)}\rightarrow A_{i}$
\end_inset

).
 Como también es aplicación, debemos probar que sean inversas.
 Entonces:
\begin_inset Formula 
\[
g(f(x))_{i}=f_{i}^{-1}(f(x)_{\sigma(i)})=f_{i}^{-1}\left(f_{\sigma^{-1}(\sigma(i))}\left(x_{\sigma^{-1}(\sigma(i))}\right)\right)=f_{i}^{-1}(f_{i}(x_{i}))=x_{i}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
De forma análoga, 
\begin_inset Formula $f(g(y))=y$
\end_inset

, y como tiene inversa, la aplicación es biyectiva.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Axioma de Elección:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 es un conjunto no vacío y 
\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
\end_inset

 una familia de conjuntos no vacíos, entonces 
\begin_inset Formula $\prod_{i\in I}A_{i}$
\end_inset

 es no vacío.
\end_layout

\end_body
\end_document