#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Section
Relaciones de orden
\end_layout

\begin_layout Standard
Una relación 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 en un conjunto 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 se dice que es:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Reflexiva
\series default
 si 
\begin_inset Formula $(a,a)\in R$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Transitiva
\series default
 si 
\begin_inset Formula $(a,b),(b,c)\in R\implies(a,c)\in R$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Simétrica
\series default
 si 
\begin_inset Formula $(a,b)\in R\implies(b,a)\in R$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Antisimétrica
\series default
 si 
\begin_inset Formula $(a,b),(b,a)\in R\implies a=b$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una relación 
\begin_inset Formula $\leq$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es 
\series bold
de orden parcial
\series default
 (o un orden parcial) si es reflexiva, transitiva y antisimétrica.
 Un ejemplo es el 
\series bold
orden lexicográfico
\series default
 en 
\begin_inset Formula $K^{n}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{n})\leq(y_{1},\dots,y_{n})$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $x_{1}<y_{1}$
\end_inset

, o 
\begin_inset Formula $x_{1}=y_{1}$
\end_inset

 y bien los vectores son de un elemento o bien 
\begin_inset Formula $(x_{2},\dots,x_{n})\leq(y_{2},\dots,y_{n})$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $K^{n-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
conjunto parcialmente ordenado
\series default
 (
\series bold
CPO
\series default
 o 
\series bold
COPO
\series default
) es un par 
\begin_inset Formula $(A,\leq)$
\end_inset

 donde 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un conjunto y 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $\leq$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 una relación de orden en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Si el contexto no deja dudas, diremos que 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un COPO.
 
\series bold
Notación:
\series default
 
\begin_inset Formula $a<b:\iff a\leq b\land a\neq b$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un 
\series bold
conjunto totalmente
\series default
 o 
\series bold
linealmente ordenado
\series default
, y 
\begin_inset Formula $\leq$
\end_inset

 un 
\series bold
orden total
\series default
 o 
\series bold
lineal
\series default
, si se satisface la 
\series bold
ley de la tricotomía
\series default
, es decir, si dados 
\begin_inset Formula $a,b\in A$
\end_inset

, ocurre que 
\begin_inset Formula $a=b$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a<b$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $b<a$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Podemos representar conjuntos ordenados mediante 
\series bold
diagramas de Hasse
\series default
, también llamados 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\lang english
upward drawing
\lang spanish

\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 o diagramas de grafo de un orden parcial.
 Se representan los elementos de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y se unen con una línea las que tienen relación de equivalencia entre sí,
 sin contar las que se puedan deducir de la reflexividad o transitividad,
 y con el elemento mayor situado más arriba.
 También se pueden representar mediante 
\series bold

\begin_inset Formula $\zeta$
\end_inset

-matrices
\series default
, matrices 
\begin_inset Formula $\zeta_{A}$
\end_inset

 con índices en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, de forma que
\begin_inset Formula 
\[
\zeta_{a,b}=\begin{cases}
1 & \text{si }a<b\\
0 & \text{en otro caso}
\end{cases}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Elementos notables en un COPO
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $(A,\leq)$
\end_inset

 un conjunto parcialmente ordenado y 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es 
\series bold
máximo
\series default
 de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 cuando 
\begin_inset Formula $a\geq b\forall b\in A$
\end_inset

.
 Si existe, es único, pues si fueran 
\begin_inset Formula $a,a'\in A$
\end_inset

 máximos de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, se tendría que 
\begin_inset Formula $a\leq a'$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a'\leq a$
\end_inset

, y por tanto 
\begin_inset Formula $a=a'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es 
\series bold
mínimo
\series default
 o 
\series bold
primer elemento
\series default
 de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 cuando 
\begin_inset Formula $a\leq b\forall b\in A$
\end_inset

.
 Si existe, es único, y la demostración es análoga.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es un 
\series bold
elemento maximal
\series default
 de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 cuando 
\begin_inset Formula $b\geq a\implies b=a$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es un 
\series bold
elemento minimal
\series default
 de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 cuando 
\begin_inset Formula $b\leq a\implies b=a$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Además, si 
\begin_inset Formula $B\subseteq A$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es 
\series bold
cota superior
\series default
 de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $a\geq b\forall b\in B$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es 
\series bold
cota inferior
\series default
 de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $a\leq b\forall b\in B$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es 
\series bold
supremo
\series default
 o 
\series bold
extremo superior
\series default
 de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 si es el mínimo de las cotas superiores de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Si existe es único, pues el mínimo de las cuotas superiores, al ser un
 mínimo, es único.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es 
\series bold
ínfimo
\series default
 o 
\series bold
extremo inferior
\series default
 de 
\series bold

\begin_inset Formula $B$
\end_inset


\series default
 en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 si es el máximo de las cotas inferiores de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Si existe es único, por razonamiento análogo al anterior.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado 
\begin_inset Formula $b\in B$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 es máximo de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 si y sólo si es el supremo de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Al ser máximo se tiene que 
\begin_inset Formula $b'\geq b\forall b\in B$
\end_inset

 y por tanto también es cota superior, pero si hubiera una cota superior
 menor, a la que llamaremos 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $c<b\in B$
\end_inset

 y por tanto no es cota superior
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Al ser supremo, es cota superior, por lo que 
\begin_inset Formula $a\geq b\forall b\in B$
\end_inset

.
 Si a esto le unimos que 
\begin_inset Formula $a\in B$
\end_inset

, tenemos la definición de máximo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Esta propiedad se cumple de forma análoga si en vez del máximo y el supremo
 tomamos el mínimo y el ínfimo.
\end_layout

\begin_layout Section
Conjuntos bien ordenados
\end_layout

\begin_layout Standard
Un CPO es 
\series bold
bien ordenado
\series default
 si todo subconjunto suyo no vacío tiene primer elemento.
 Todo conjunto bien ordenado es totalmente ordenado.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 bien ordenado y 
\begin_inset Formula $B=\{a,b\}\subseteq A$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $\{a,b\}\neq\emptyset$
\end_inset

, tiene primer elemento, de lo que se desprende la tricotomía.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Principio de la Buena Ordenación:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $A\neq\emptyset$
\end_inset

, existe un orden 
\begin_inset Formula $\leq$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $(A,\leq)$
\end_inset

 es un conjunto bien ordenado.
 Esto es equivalente al Axioma de Elección.
\end_layout

\end_body
\end_document