#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_body

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
conjunto borroso
\series default
 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 sobre un 
\series bold
universo de discurso
\series default
 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 es una función 
\begin_inset Formula $\mu_{F}:U\to[0,1]$
\end_inset

 llamada 
\series bold
función de pertenencia
\series default
 de 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

, que representa el grado de pertenencia de cada elemento de 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

.
 Escribimos
\begin_inset Formula 
\[
F\eqqcolon\sum_{x\in U}\frac{\mu_{F}(x)}{x}\eqqcolon\int_{x\in U}\frac{\mu_{F}(x)}{x},
\]

\end_inset

donde la fracción y los símbolos sumatorio e integral son solo símbolos
 y no se pueden simplificar.
 Se suele usar la primera notación cuando 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 es 
\series bold
discreto
\series default
 (todos sus puntos son aislados) y la segunda cuando es 
\series bold
continuo
\series default
 (no tiene puntos aislados).
 Si 
\begin_inset Formula $U=\{x_{1},\dots,x_{n}\}$
\end_inset

, escribimos
\begin_inset Formula 
\[
F\eqqcolon\left\{ \frac{\mu_{F}(x_{1})}{x_{1}}+\dots+\frac{\mu_{F}(x_{n})}{x_{n}}\right\} .
\]

\end_inset

Llamamos 
\series bold
soporte
\series default
 de 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\text{Supp}_{F}\coloneqq\{x\in U\mid F(x)>0\}$
\end_inset

, 
\series bold
núcleo
\series default
 de 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\ker F\coloneqq\{x\in U\mid\mu_{F}(x)=\sup_{x\in U}F(x)\}$
\end_inset

, 
\series bold
altura
\series default
 de 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\text{Height}_{F}\coloneqq\sup_{x\in U}F(x)$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $\alpha\in[0,1)$
\end_inset

, 
\series bold

\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

-corte
\series default
 de 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $F_{\alpha}=\{x\in U\mid F(x)>\alpha\}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es 
\series bold
vacío
\series default
, 
\begin_inset Formula $F=\emptyset$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $\text{Supp}_{F}=\emptyset$
\end_inset

; 
\series bold
unitario
\series default
 o 
\series bold
\emph on
\lang english
singleton
\series default
\emph default
\lang spanish
 si 
\begin_inset Formula $|\text{Supp}_{F}|=1$
\end_inset

, y 
\series bold
normalizado
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\text{Height}_{F}=1$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 es un subconjunto de un espacio vectorial 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 y se considera 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 definido sobre 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $F(x)=0$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $x\in E\setminus U$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es 
\series bold
convexo
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall x,y\in E,\forall\alpha\in[0,1],A(\alpha x+(1-\alpha)y)\geq\min\{A(x),A(y)\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Funciones de pertenencia comunes sobre el universo 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Funciones trapezoidales:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $a<b\leq c<d$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\text{trapmf}(x;a,b,c,d)\coloneqq\begin{cases}
\frac{x-a}{b-a}, & x\in[a,b];\\
1, & x\in[b,c];\\
\frac{d-x}{d-c}, & x\in[c,d];\\
0, & \text{en otro caso.}
\end{cases}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Funciones triangulares:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $a<b<c$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{trimmf}(x;a,b,c)\coloneqq\text{trapmf}(x;a,b,b,c)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Funciones S:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $a<b$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\text{smf}(x;a,b)\coloneqq\begin{cases}
0, & x\leq a;\\
2\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^{2}, & x\in\left[a,\frac{a+b}{2}\right];\\
1-2\left(\frac{b-x}{b-a}\right)^{2}, & x\in\left[\frac{a+b}{2},b\right],\\
1, & x\geq b.
\end{cases}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Funciones 
\begin_inset Formula $\Pi$
\end_inset

:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $a<b\leq c<d$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\text{pimf}(x;a,b,c,d)\coloneqq\begin{cases}
2\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^{2}, & x\in\left[a,\frac{a+b}{2}\right];\\
1-2\left(\frac{b-x}{b-a}\right)^{2}, & x\in\left[\frac{a+b}{2},b\right];\\
1, & x\in[b,c];\\
1-2\left(\frac{x-c}{d-c}\right)^{2}, & x\in\left[c,\frac{c+d}{2}\right];\\
2\left(\frac{d-x}{d-c}\right)^{2}, & x\in\left[\frac{c+d}{2},d\right];\\
0, & \text{en otro caso}.
\end{cases}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dados dos conjuntos borrosos 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A\subseteq B$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall x\in U,A(x)\leq B(x)$
\end_inset

, y esto es un orden parcial.
\end_layout

\begin_layout Section
T-normas
\end_layout

\begin_layout Standard
Un operador 
\begin_inset Formula $\#:D\subseteq(\mathbb{R}\times\mathbb{R})\to\mathbb{R}$
\end_inset

 es 
\series bold
monótono
\series default
 si para 
\begin_inset Formula $(a,b),(a',b')\in D$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a\leq a'$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\leq b'$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $a\#b\leq a'\#b'$
\end_inset

.
 Una operador 
\begin_inset Formula $\#:[0,1]\times[0,1]\to[0,1]$
\end_inset

 asociativo, conmutativo y monótono es una 
\series bold
t-norma
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall a\in[0,1],(a\#0=0\land a\#1=a)$
\end_inset

, y es una 
\series bold
s-norma
\series default
 o 
\series bold
t-conorma
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall a\in[0,1],(a\#0=a\land a\#1=1)$
\end_inset

.
 Llamamos 
\begin_inset Formula $*$
\end_inset

 a una t-norma cualquiera y 
\begin_inset Formula $\oplus$
\end_inset

 a una s-norma cualquiera.
\end_layout

\begin_layout Standard
Algunas t-normas:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Mínimo:
\series default
 
\begin_inset Formula $a\wedge b\coloneqq\min\{a,b\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Producto algebraico:
\series default
 
\begin_inset Formula $a*b\coloneqq ab$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Producto acotado:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $p\in[-1,\infty)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a*b\coloneqq\max\{0,(1+p)(a+b-1)-pab\}$
\end_inset

.
 Se suele tomar 
\begin_inset Formula $p=0$
\end_inset

.
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Las diapositivas dicen 
\begin_inset Formula $p\in\mathbb{R}$
\end_inset

, pero la monotonía y otras propiedades sólo se cumplen cuando 
\begin_inset Formula $p\geq-1$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Claramente es conmutativa.
 Además, 
\begin_inset Formula $a*0=\max\{0,(1+p)(a-1)\}=0\iff(1+p)(a-1)\leq0$
\end_inset

, lo que se cumple porque 
\begin_inset Formula $1+p\geq0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a-1\leq0$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $a*1=\max\{0,(1+p)a-pa\}=\max\{0,a\}=a$
\end_inset

.
 Para ver que es monótona, sea 
\begin_inset Formula $f(a,b)\coloneqq(1+p)(a+b-1)-pab$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial a} & =1+p-pb, & \frac{\partial f}{\partial b} & =1+p-pa,
\end{align*}

\end_inset

pero 
\begin_inset Formula $p-pb=p(1-b),p-pa=p(1-a)\geq-1$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $p\geq-1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $1-a,1-b\in[0,1]$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\frac{\partial f}{\partial a},\frac{\partial f}{\partial b}\geq0$
\end_inset

 en todo punto.
 Para ver que 
\begin_inset Formula $\text{Im}(*)\subseteq[0,1]$
\end_inset

, es claro por las derivadas de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 que los extremos interiores se dan cuando 
\begin_inset Formula $a=b=\frac{1+p}{p}$
\end_inset

.
 Si esta valor está en 
\begin_inset Formula $[0,1]$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
f(a,b) & =(1+p)\left(2\frac{1+p}{p}-1\right)-p\left(\frac{1+p}{p}\right)^{2}=\\
 & =(1+p)\frac{2+p}{p}-\frac{(1+p)^{2}}{p}=\frac{1+p}{p}(2+p-1-p)=\frac{1+p}{p}\in[0,1].
\end{align*}

\end_inset

Respecto a las aristas del cuadrado, la función restringida a una de estas
 4 es afín ya que, por ejemplo, si 
\begin_inset Formula $a=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\frac{\partial f}{\partial b}=1+p$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $a=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\frac{\partial f}{\partial b}=1$
\end_inset

.
 Finalmente, para los vértices, 
\begin_inset Formula $f(0,0)=-(1+p)>1\iff p<-2$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(0,1)=f(1,0)=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(1,1)=1$
\end_inset

.
 Para ver que es asociativa, primero vemos que lo es 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $g(x,y,z)\coloneqq f(f(x,y),z)-f(x,f(y,z))$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\frac{\partial g}{\partial x} & =\frac{\partial f}{\partial a}(f(x,y),z)\frac{\partial f}{\partial a}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial a}(x,f(y,z))=\\
 & =(1+p-pz)(1+p-py)-(1+p-p((1+p)(y+z-1)-pyz))=\\
 & =1+2p+p^{2}-py-p^{2}y-pz-p^{2}z+p^{2}yz-\\
 & -1-2p+py+pz+p^{2}y+p^{2}z-p^{2}-p^{2}yz=0,\\
\frac{\partial g}{\partial y} & =\frac{\partial f}{\partial a}(f(x,y),z)\frac{\partial f}{\partial b}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial b}(x,f(y,z))\frac{\partial f}{\partial a}(y,z)=\\
 & =(1+p-pz)(1+p-px)-(1+p-px)(1+p-pz)=0;\\
\frac{\partial g}{\partial z} & =0,
\end{align*}

\end_inset

donde la última derivada es por simetría respecto a la primera usando la
 conmutatividad de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
 Entonces, como 
\begin_inset Formula $g(0,0,0)=f(f(0,0),0)-f(0,f(0,0))=0$
\end_inset

 por conmutatividad de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $g\equiv0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es asociativa.
 Una propiedad de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es que 
\begin_inset Formula $f(a,b)\leq\min\{a,b\}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $a,b\in[0,1]$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $f(a,b)\leq f(a,1)=a$
\end_inset

 y del mismo modo 
\begin_inset Formula $f(a,b)\leq b$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $f(a,b)\leq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a*b=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(a*b)*c=0$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $b*c\leq b$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $a*(b*c)\leq a*b=0$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $f(a,b)>0$
\end_inset

 pero 
\begin_inset Formula $f(f(a,b),c)\leq0$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $(a*b)*c=0$
\end_inset

, pero si 
\begin_inset Formula $f(b,c)>0$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $a*(b*c)=\max\{0,f(a,f(b,c))\}=\max\{0,f(f(a,b),c)\}=0$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $f(b,c)\leq0$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $a*(b*c)=a*0=0$
\end_inset

.
 Finalmente, si 
\begin_inset Formula $f(a,b)>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(f(a,b),c)>0$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f(a,f(b,c))>0$
\end_inset

 y por monotonía 
\begin_inset Formula $f(b,c)\geq f(f(a,b),c)>0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $a*(b*c)=f(a,f(b,c))=f(f(a,b),c)=(a*b)*c$
\end_inset

.
 Esto prueba la asociatividad.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Producto drástico:
\series default

\begin_inset Formula 
\[
x*y\coloneqq\begin{cases}
x, & y=1;\\
y, & x=1;\\
0, & \text{en otro caso}.
\end{cases}
\]

\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Claramente es conmutativa y monótona.
 Se tiene 
\begin_inset Formula $1*1=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $1*0=0$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $a\in[0,1)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a*1=a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a*0=0$
\end_inset

.
 Para la asociatividad, sean 
\begin_inset Formula $a,b,c\in[0,1]$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $b=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(a*b)*c=a*c=a*(b*c)$
\end_inset

.
 En otro caso, si 
\begin_inset Formula $a=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(a*b)*c=b*c=a*(b*c)$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $c=1$
\end_inset

 es análogo.
 Si ninguno es 1, 
\begin_inset Formula $(a*b)*c=0*c=0=a*0=a*(b*c)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Familia Dubois-Prade:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $p\in[0,1]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x*y=\frac{xy}{\max\{x,y,p\}}$
\end_inset

 (tomando límites cuando 
\begin_inset Formula $x,y=0$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $p=0$
\end_inset

).
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Claramente es conmutativa.
 Como 
\begin_inset Formula $0\leq xy\leq\max\{x,y,p\}$
\end_inset

, la función está en 
\begin_inset Formula $[0,1]$
\end_inset

 donde esté definida, y para 
\begin_inset Formula $p=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
0*0=\lim_{x,y\to0^{+}}\frac{xy}{\max\{x,y\}}=\lim_{x,y\to0^{+}}\min\{x,y\}=0.
\]

\end_inset

En general, 
\begin_inset Formula $a*0=\frac{0}{\max\{a,p\}}=0$
\end_inset

 (salvo en el caso 
\begin_inset Formula $\max\{a,p\}=0$
\end_inset

 que ya hemos tratado) y 
\begin_inset Formula $a*1=\frac{a}{\max\{a,1,p\}}=a$
\end_inset

.
 Se tiene
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\frac{\partial(x*y)}{\partial x} & =\begin{cases}
0, & x\geq y,p;\\
1, & y\geq x,p;\\
y, & p\geq x,y;
\end{cases} & \frac{\partial(x*y)}{\partial y} & =\begin{cases}
1, & x\geq y,p;\\
0, & y\geq x,p;\\
x, & p\geq x,y;
\end{cases}
\end{align*}

\end_inset

con lo que 
\begin_inset Formula $*$
\end_inset

 es monótona.
 Para la asociatividad, si 
\begin_inset Formula $a,b,c\in[0,1]$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
(a*b)*c & =\frac{(a*b)c}{\max\{a*b,c,p\}}=\frac{abc}{\max\{a,b,p\}\max\{a*b,c,p\}},\\
a*(b*c) & =\frac{a(b*c)}{\max\{a,b*c,p\}}=\frac{abc}{\max\{b,c,p\}\max\{a,b*c,p\}}.
\end{align*}

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $p\geq a,b,c$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(a*b)*c=\frac{abc}{p^{2}}=a*(b*c)$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $a\geq p,b,c$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a*b=\frac{ab}{\max\{a,b,p\}}=\frac{ab}{a}=b$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $(a*b)*c=\frac{abc}{a\max\{a*b,c,p\}}=\frac{abc}{a\max\{b,c,p\}}=a*(b*c)$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $c\geq p,b,a$
\end_inset

 es análogo.
 Si 
\begin_inset Formula $b\geq p,a,c$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a*b=a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b*c=c$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $(a*b)*c=\frac{abc}{b\max\{a,c,p\}}=a*(b*c)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Familia Yager:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $p\in\mathbb{R}^{+}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x*y\coloneqq1-\min\{1,\sqrt[p]{(1-x)^{p}+(1-y)^{p}}\}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Las propiedades se deducen de las de la familia correspondiente de s-normas.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Algunas s-normas:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Máximo:
\series default
 
\begin_inset Formula $x\vee y\coloneqq\max\{x,y\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Suma algebraica:
\series default
 
\begin_inset Formula $x\oplus y\coloneqq x+y-xy$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Claramente es conmutativa, y es monótona porque 
\begin_inset Formula $\frac{\partial(x\oplus y)}{\partial x}=1-y$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{\partial(x\oplus y)}{\partial y}=1-x$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $a\oplus0=a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\oplus1=a+1-a=1$
\end_inset

.
 Para ver que es asociativa, 
\begin_inset Formula $(a\oplus b)\oplus c=a\oplus b+c-(a\oplus b)c=a+b-ab+c-ac-bc+abc$
\end_inset

, que es simétrica respecto a las variables, por lo que 
\begin_inset Formula $(a\oplus b)\oplus c=(c\oplus b)\oplus a=a\oplus(b\oplus c)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Suma acotada:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $p\geq-1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x\oplus y\coloneqq\min(1,x+y+pxy)$
\end_inset

.
 Se suele usar 
\begin_inset Formula $p=0$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Claramente es conmutativa, 
\begin_inset Formula $a\oplus0=\min(1,a)=a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\oplus1=\min(1,a+1+pa)=1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Para la monotonía, sea 
\begin_inset Formula $f(a,b)\coloneqq a+b-pab$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial a} & =1+pb, & \frac{\partial f}{\partial b} & =1+pa.
\end{align*}

\end_inset

Para ver que es asociativa, primero vemos que lo es 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $g(x,y,z)\coloneqq f(f(x,y),z)-f(x,f(y,z))$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\frac{\partial g}{\partial x} & =\frac{\partial f}{\partial a}(f(x,y),z)\frac{\partial f}{\partial a}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial a}(x,f(y,z))=\\
 & =(1+pz)(1+py)-(1+p(y+z-pyz))=\\
 & =1+py+pz-p^{2}yz-1-py-pz-p^{2}yz=0,\\
\frac{\partial g}{\partial y} & =\frac{\partial f}{\partial a}(f(x,y),z)\frac{\partial f}{\partial b}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial b}(x,f(y,z))\frac{\partial f}{\partial a}(y,z)=\\
 & =(1+pz)(1+px)-(1+px)(1+pz)=0,\\
\frac{\partial g}{\partial z} & =0,
\end{align*}

\end_inset

donde la última es por simetría, y como 
\begin_inset Formula $g(0,0,0)=f(f(0,0),0)-f(0,f(0,0))=0$
\end_inset

 por conmutatividad, 
\begin_inset Formula $g\equiv0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es asociativa.
 Se tiene 
\begin_inset Formula $f(a,b)\geq\max\{a,b\}$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $f(a,b)\geq a\oplus b\geq a\oplus0=a$
\end_inset

 y análogamente para 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $f(a,b)\geq1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(a\oplus b)\oplus c=1\oplus c=1$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $a\oplus(b\oplus c)\geq a\oplus b=1$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $f(a,b)<1$
\end_inset

 pero 
\begin_inset Formula $f(f(a,b),c)\geq1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(a\oplus b)\oplus c=\min\{1,f(f(a,b),c)\}=1$
\end_inset

, pero si 
\begin_inset Formula $f(b,c)\geq1$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $a\oplus(b\oplus c)=a\oplus1=1$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $f(b,c)<1$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $a\oplus(b\oplus c)=\min\{1,f(a,f(b,c))\}=\min\{1,f(f(a,b),c)\}=1$
\end_inset

.
 Finalmente, si 
\begin_inset Formula $f(a,b)<1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(f(a,b),c)<1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(a,f(b,c))<1$
\end_inset

 y por monotonía 
\begin_inset Formula $f(b,c)\leq f(f(a,b),c)<1$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $a\oplus(b\oplus c)=f(a,f(b,c))=f(f(a,b),c)=(a\oplus b)\oplus c$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Suma drástica:
\series default

\begin_inset Formula 
\[
x\oplus y=\begin{cases}
x, & y=0;\\
y, & x=0;\\
1, & \text{en otro caso}.
\end{cases}
\]

\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Claramente es conmutativa y monótona, 
\begin_inset Formula $a\oplus0=a$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0\oplus1=1$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $a>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a\oplus1=1$
\end_inset

.
 Para la asociatividad, sean 
\begin_inset Formula $a,b,c\in[0,1]$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $b=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(a\oplus b)\oplus c=a\oplus c=a\oplus(b\oplus c)$
\end_inset

; en otro caso, si 
\begin_inset Formula $a=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(a\oplus b)\oplus c=b\oplus c=a\oplus(b\oplus c)$
\end_inset

; si 
\begin_inset Formula $c=0$
\end_inset

 es análogo, y si 
\begin_inset Formula $a,b,c>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(a\oplus b)\oplus c=1\oplus c=1=a\oplus1=a\oplus(b\oplus c)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Familia Dubois-Prade:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $p\in[0,1]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x\oplus y\coloneqq1-\frac{(1-x)(1-y)}{\max\{1-x,1-y,p\}}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Las propiedades se deducen de las de la familia correspondiente de t-normas.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Familia Yager:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $p\in\mathbb{R}^{+}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x\oplus y\coloneqq\min\{1,\sqrt[p]{x^{p}+y^{p}}\}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Claramente es conmutativa y monótona, 
\begin_inset Formula $a\oplus0=\min\{1,\sqrt[p]{a^{p}}\}=a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\oplus1=\min\{1,\sqrt[p]{a^{p}+1}\}=1$
\end_inset

 ya que 
\begin_inset Formula $\sqrt[p]{a^{p}+1}\geq\sqrt[p]{1}=1$
\end_inset

.
 Para la asociatividad, sea 
\begin_inset Formula $f(x,y)\coloneqq\sqrt[p]{x^{p}+y^{p}}$
\end_inset

, queremos ver que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es asociativa, pero para 
\begin_inset Formula $a,b,c\in[0,1]$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
f(f(a,b),c)=\sqrt[p]{\left(\sqrt[p]{a^{p}+b^{p}}\right)^{p}+c^{p}}=\sqrt[p]{a^{p}+b^{p}+c^{p}}=f(a,f(b,c)).
\]

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $f(a,b)\geq1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(a\oplus b)\oplus c=1\oplus c=1$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $1\geq a\oplus(b\oplus c)\geq a\oplus b=1$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $f(a,b)<1$
\end_inset

 pero 
\begin_inset Formula $f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))\geq1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(a\oplus b)\oplus c=\max\{1,f(f(a,b),c)\}=1$
\end_inset

, pero si 
\begin_inset Formula $f(b,c)\geq1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a\oplus(b\oplus c)=a\oplus1=1$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $f(b,c)<1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a\oplus(b\oplus c)=\max\{1,f(a,f(b,c))=1$
\end_inset

.
 Finalmente, si 
\begin_inset Formula $f(a,b)<1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(f(a,b),c)<1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(b,c)\leq f(f(a,b),c)<1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\oplus(b\oplus c)=\max\{1,f(a,f(b,c))\}=f(f(a,b),c)=(a\oplus b)\oplus c$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
complemento
\series default
 o 
\series bold
negación
\series default
 es una función 
\begin_inset Formula $N:[0,1]\to[0,1]$
\end_inset

 monótona decreciente con 
\begin_inset Formula $N(0)=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $N(1)=0$
\end_inset

, y es 
\series bold
fuerte
\series default
 si es estrictamente decreciente e involutivo (
\begin_inset Formula $N^{2}=1_{[0,1]}$
\end_inset

).
 También se puede requerir que sea continuo.
 Algunos complementos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Usual:
\series default
 
\begin_inset Formula $N(x)\coloneqq1-x$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Familia Sugeno:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $\lambda\in(-1,\infty)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N(x)\coloneqq\frac{1-x}{1+\lambda x}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $N(0)=\frac{1}{1}=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N(1)=\frac{0}{1+\lambda}=0$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 es continua y 
\begin_inset Formula $N'(x)=\frac{-(1+\lambda x)-\lambda(1-x)}{(1+\lambda x)^{2}}=0$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $1+\lambda x=-\lambda+\lambda x$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\lambda=-1\#$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 no tiene extremos internos y es monótona decreciente.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Familia Yager:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $w\in\mathbb{R}^{+}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N(x)\coloneqq\sqrt[w]{1-x}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una t-norma 
\begin_inset Formula $*$
\end_inset

 y una s-norma 
\begin_inset Formula $\oplus$
\end_inset

 son 
\series bold
duales
\series default
 o 
\series bold
conjugadas
\series default
 respecto a un complemento 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $N(x\oplus y)=N(x)*N(y)$
\end_inset

.
 Toda t-norma tiene una única s-norma dual bajo el complemento usual.
 La de la t-norma del mínimo es la s-norma del máximo, y la de la t-norma
 drástica es la s-norma drástica.
 Normalmente se usa la negación usual, la t-norma del mínimo y la s-norma
 del máximo.
\end_layout

\begin_layout Section
Unión, intersección y complemento
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados un complemento 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

, una t-norma 
\begin_inset Formula $*$
\end_inset

 y una s-norma 
\begin_inset Formula $\oplus$
\end_inset

 duales y conjuntos borrosos 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 sobre un universo 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
A\cup B & \coloneqq\int_{x\in U}\frac{A(x)\oplus B(x)}{x}, & A\cap B & \coloneqq\int_{x\in U}\frac{A(x)*B(x)}{x}, & \overline{A} & \coloneqq\int_{x\in U}\frac{N(A(x))}{x}.
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Propiedades:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
La unión e intersección son conmutativas y asociativas.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A\cup\emptyset=A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A\cap\emptyset=\emptyset$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A\cup U=A\cap U=A$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $U\coloneqq\int_{x\in U}\frac{1}{x}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Las siguientes se cumplen para las normas usuales pero no en general:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Para 
\begin_inset Formula $x\in U$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\max\{A,\min\{B,C\}\}=\min\{\max\{A,C\},\max\{B,C\}\}$
\end_inset

, pero si 
\begin_inset Formula $0<a,b,c<1$
\end_inset

, con las normas drásticas, 
\begin_inset Formula $a\oplus(b*c)=a\oplus0=a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(a\oplus b)*(a\oplus c)=1*1=1$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Para 
\begin_inset Formula $x\in U$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\min\{A,\max\{B,C\}\}=\max\{\min\{A,B\},\min\{A,C\}\}$
\end_inset

, pero si 
\begin_inset Formula $0<a,b,c<1$
\end_inset

, con las normas drásticas, 
\begin_inset Formula $a*(b\oplus c)=a*1=a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(a*b)\oplus(a*c)=0\oplus0=0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A\cup A=A\cap A=A$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Para 
\begin_inset Formula $x\in U$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\max\{A(x),A(x)\}=A(x)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\min\{A(x),A(x)\}=A(x)$
\end_inset

, pero si 
\begin_inset Formula $a\in(0,1)$
\end_inset

, con las normas drásticas, 
\begin_inset Formula $a\oplus a=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a*a=0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Las siguientes no se cumplen tampoco para las normas del máximo y el mínimo:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Ley de la contradicción:
\series default
 
\begin_inset Formula $A\cup\overline{A}=U$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $0.7\oplus N(0.7)=\max\{0.7,0.3\}=0.7\neq1$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Ley del medio excluido:
\series default
 
\begin_inset Formula $A\cap\overline{A}=\emptyset$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $0.7*N(0.7)=\min\{0.7,0.3\}=0.3\neq0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Relaciones
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados conjuntos borrosos 
\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$
\end_inset

 sobre universos 
\begin_inset Formula $U_{1},\dots,U_{n}$
\end_inset

, su 
\series bold
producto cartesiano borroso
\series default
 es
\begin_inset Formula 
\[
A_{1}\times\dots\times A_{n}\coloneqq\int_{x\in U_{1}\times\dots\times U_{n}}\frac{A_{1}(x_{1})*\dots*A_{n}(x_{n})}{x},
\]

\end_inset

y una 
\series bold
relación borrosa
\series default
 es un conjunto borroso sobre 
\begin_inset Formula $U_{1}\times\dots\times U_{n}$
\end_inset

.
 El 
\series bold
dominio
\series default
 y el 
\series bold
rango
\series default
 de una relación borrosa binaria 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $A\times B$
\end_inset

 son
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\text{Dom}R & \coloneqq\int_{x\in A}\frac{\max_{y\in Y}R(x,y)}{x}, & \text{Ran}R & \coloneqq\int_{x\in B}\frac{\max_{x\in X}R(x,y)}{x}.
\end{align*}

\end_inset

La 
\series bold
composición borrosa
\series default
 o
\series bold
 sup-star
\series default
 de dos relaciones borrosas 
\begin_inset Formula $R:A\times B\to[0,1]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S:B\times C\to[0,1]$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
R\circ S\coloneqq\int_{(x,z)\in A\times C}\frac{\sup_{y\in B}(R(x,y)*S(y,z))}{(x,z)}.
\]

\end_inset

Nótese que el orden es al contrario que en la composición convencional.
 Esta composición se llama 
\series bold
max-min
\series default
 si la t-norma es el mínimo y 
\series bold
max-producto
\series default
 si es el producto algebraico.
\end_layout

\begin_layout Standard
Propiedades:
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Las diapositivas incluyen también 
\begin_inset Formula $R\circ(S\cup T)=(R\cup S)\circ(R\cup T)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $R\circ(S\cap T)\subseteq(R\cap S)\circ(R\cap T)$
\end_inset

, pero estas no son correctas ni siquiera cuando tienen sentido, ni siquiera
 con las normas y negación usuales.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Asociativa.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $R:A\times B\to[0,1]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $S:B\times C\to[0,1]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $T:C\times D\to[0,1]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x\in A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $w\in D$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(R\circ(S\circ T))(x,w)=\sup_{y\in B}(R(x,y)*\sup_{z\in C}(S(y,z)*T(z,w)))$
\end_inset

, pero por monotonía de 
\begin_inset Formula $*$
\end_inset

 esto es igual a 
\begin_inset Formula $\sup_{y\in B}\sup_{z\in C}(R(x,y)*S(y,z)*T(z,w)$
\end_inset

, y por simetría y usando la asociatividad de 
\begin_inset Formula $*$
\end_inset

 esto es igual a 
\begin_inset Formula $((R\circ S)\circ T)(x,w)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $S\subseteq T\implies R\circ S\subseteq R\circ T$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $R:A\times B\to[0,1]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $S,T:B\times C\to[0,1]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x\in A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $z\in C$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S\subseteq T$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
(R\circ S)(x,z)=\sup_{y\in B}(R(x,y)*S(y,z))\leq\sup_{y\in B}(R(x,y)*T(y,z))=(R\circ T)(x,z).
\]

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document