#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
Una 
\series bold
variable lingüística
\series default
 es una tupla 
\begin_inset Formula $V=(N,U,T,G,M)$
\end_inset

 donde 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 es el 
\series bold
nombre
\series default
 de la variable, 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 es el 
\series bold
dominio
\series default
 de valores de la variable, 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es un alfabeto cuyos símbolos se llaman 
\series bold
etiquetas lingüísticas
\series default
, 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es una gramática con alfabeto 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M:L(G)\to(U\to[0,1])$
\end_inset

 es una 
\series bold
regla semántica
\series default
.
 Llamamos 
\series bold
término lingüístico
\series default
 de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 a un elemento de 
\begin_inset Formula $L(G)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Estas variables permiten describir términos del lenguaje natural en términos
 matemáticos precisos.
 En general 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es de la forma
\begin_inset Formula 
\[
S\to P\mid H\,S\mid(S\,\text{and}\,S)\mid(S\,\text{or}\,S)\mid(\text{not}\,S),
\]

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 es un conjunto finito de 
\series bold
términos primarios
\series default
 o 
\series bold
etiquetas lingüísticas
\series default
 (bajo, alto, medio, etc.), 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 uno de 
\series bold
modificadores lingüísticos
\series default
 o 
\series bold
\emph on
\lang english
hedges
\series default
\emph default
\lang spanish
, y llamamos 
\series bold
conectores lógicos
\series default
 a 
\begin_inset Formula $\text{and}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{or}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{not}$
\end_inset

.
 Un 
\series bold
término atómico
\series default
 es un término primario, un 
\emph on
\lang english
hedge
\emph default
\lang spanish
 o un conector lógico.
 Cada término primario 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 lleva asociado un 
\begin_inset Formula $C_{p}:U\to[0,1]$
\end_inset

 y cada modificador 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 una transformación 
\begin_inset Formula $T_{h}:(U\to[0,1])\to(U\to[0,1])$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $p\in P$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $h\in H$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $r,s\in L(G)$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
M(p) & \coloneqq C_{p}, & M(h\,r) & \coloneqq T_{h}(M(r)), & M(\text{not}\,r) & \coloneqq N(M(r)),\\
M(r\,\text{and}\,s) & \coloneqq M(r)*M(s), & M(r\text{ or }s) & \coloneqq M(r)\oplus M(s),
\end{align*}

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 es la negación, 
\begin_inset Formula $*$
\end_inset

 la t-norma y 
\begin_inset Formula $\oplus$
\end_inset

 la s-norma.
\end_layout

\begin_layout Standard
Tipos de 
\emph on
\lang english
hedges
\emph default
\lang spanish
:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
De concentración:
\series default
 
\begin_inset Formula $T_{h}(S)(x)\coloneqq S(x)^{p}$
\end_inset

 para cierto 
\begin_inset Formula $p>1$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
T_{\text{muy}}(S)(x) & \coloneqq S(x)^{2}, & T_{\text{más}}(S)(x) & \coloneqq S(x)^{\frac{5}{4}}.
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
De dilatación:
\series default
 
\begin_inset Formula $T_{h}(S)(x)\coloneqq S(x)^{p}$
\end_inset

 para cierto 
\begin_inset Formula $p\in[0,1]$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
T_{\text{más o menos}}(S)(x) & \coloneqq\sqrt{S(x)}, & T_{\text{poco}}(S)(x) & \coloneqq S(x)^{\frac{3}{4}}.
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
De intensificación:
\series default
 Para cada 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $S(x)$
\end_inset

 está entre 
\begin_inset Formula $T_{h}(S)(x)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
T_{\text{especialmente}}(S)(x)\coloneqq T_{\text{bastante}}(S)(x)\coloneqq\begin{cases}
2S(x)^{2}, & x\in[0,\frac{1}{2}];\\
1-2(1-S(x))^{2}, & x\in[\frac{1}{2},1].
\end{cases}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
De difuminación:
\series default
 Para cada 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $T_{h}(S)(x)$
\end_inset

 está entre 
\begin_inset Formula $S(x)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
T_{\text{cerca de}}(S)(x)\coloneqq T_{\text{casi}}(S)(x)\coloneqq\begin{cases}
\sqrt{\frac{1}{2}S(x)}, & x\in[0,\frac{1}{2}];\\
1-\sqrt{\frac{1}{2}(1-S(x))}, & x\in[\frac{1}{2},1].
\end{cases}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Criterios para definir variables lingüísticas:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Distinguibilidad:
\series default
 El significado de los términos es más claro cuanto más se puedan distinguir
 las funciones de pertenencia, por lo que en general no debería haber 
\begin_inset Formula $p,q,r\in P$
\end_inset

 distintos con 
\begin_inset Formula $\text{Supp}_{C_{p}}\cap\text{Supp}_{C_{q}}\cap\text{Supp}_{C_{r}}\neq\emptyset$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Normalidad:
\series default
 Todos los 
\begin_inset Formula $C_{p}$
\end_inset

 deberían ser normalizados.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Número de etiquetas lingüísticas moderado, entre 3 y 7, pudiéndose llegar
 hasta 9.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Cubrimiento:
\series default
 
\begin_inset Formula $\bigcup_{p}\text{Supp}_{C_{p}}=U$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $x\in U$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sum_{p}C_{p}(x)$
\end_inset

 debería ser 1 o cercano a 1.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
proposición borrosa atómica
\series default
 es una expresión de la forma 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 o 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es una variable libre, 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 un conjunto borroso que representa la propiedad y 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 un 
\series bold
cualificador de certeza
\series default
, una función 
\begin_inset Formula $[0,1]\to[0,1]$
\end_inset

 de entre las siguientes:
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\text{cierto}(x) & \coloneqq x, & \text{falso}(x) & \coloneqq1-x,\\
\text{muy cierto}(x) & \coloneqq x^{2}, & \text{muy falso}(x) & \coloneqq(1-x)^{2},\\
\text{bastante cierto}(x) & \coloneqq\sqrt{x}, & \text{bastante falso}(x) & \coloneqq\sqrt{1-x}.
\end{align*}

\end_inset

Una 
\series bold
proposición borrosa compuesta
\series default
 es una expresión de la forma 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 and 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

, 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 or 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 o 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

not 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 son proposiciones borrosas (simples o compuestas).
\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
función de pertenencia
\series default
 de una proposición borrosa es
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\mu_{x\text{ es }P} & \coloneqq P, & \mu_{x\text{ es }P\text{ es }C} & \coloneqq C\circ P, & \mu_{\text{not }p} & \coloneqq N\circ P,\\
\mu_{p\text{ and }q}(x,y) & \coloneqq p(x)*q(y), & \mu_{p\text{ or q}}(x,y) & \coloneqq p(x)\oplus q(y),
\end{align*}

\end_inset

tomando 
\begin_inset Formula $*$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\oplus$
\end_inset

 conjugadas respecto a 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

.
 Las proposiciones borrosas son sentencias sobre un concepto sin definición
 precisa, permitiendo expresar ideas subjetivas con distintas interpretaciones.
 Lo que en lógica clásica son paradojas, en lógica difusa es una 
\series bold
media verdad
\series default
 o 
\series bold
media falsedad
\series default
 (grado de pertenencia 
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
razonamiento aproximado
\series default
 permite razonar sobre proposiciones imprecisas.
 Una 
\series bold
regla IF-THEN borrosa
\series default
 es una expresión 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $\text{IF }u\text{ es }A\text{ THEN }v\text{ es }B$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 se define sobre el universo 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, esta regla se entiende como una relación entre 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, la 
\series bold
implicación borrosa
\series default
 
\begin_inset Formula $R_{A\to B}:U\times V\to[0,1]$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $R_{A\to B}(u,v)\coloneqq I(A(u),B(v))$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $I:[0,1]\times[0,1]\to[0,1]$
\end_inset

 es una 
\series bold
función de implicación
\series default
.
 Algunas funciones de implicación:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Interpretación clásica:
\series default
 
\begin_inset Formula $I(x,y)\coloneqq N(x)\oplus y$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Dienes-Rescher:
\series default
 
\begin_inset Formula $I_{D}(x,y)\coloneqq\max\{1-x,y\}$
\end_inset

 (interpretación clásica con las normas usuales).
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Lukasiewicz:
\series default
 
\begin_inset Formula $I_{Lu}(x,y)\coloneqq\min\{1,1-x+y\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Zadeh:
\series default
 
\begin_inset Formula $I_{Z}(x,y)\coloneqq\max\{\min\{x,y\},1-x\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Gödel:
\series default
 
\begin_inset Formula $I_{G}(x,y)\coloneqq\begin{cases}
1, & x\leq y;\\
y, & \text{en otro caso}.
\end{cases}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Se tiene 
\begin_inset Formula $I_{Z}\leq I_{D}\leq I_{Lu}$
\end_inset

.
 Definiendo 
\begin_inset Formula $I(x,y)\coloneqq x*y$
\end_inset

 obtenemos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Mandami:
\series default
 
\begin_inset Formula $I_{M}(x,y)\coloneqq\min\{x,y\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Larsen:
\series default
 
\begin_inset Formula $I_{L}(x,y)\coloneqq xy$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Estas funciones se basan en una interpretación 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

local
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 de la implicación, en la que 
\begin_inset Formula $P\to Q$
\end_inset

 equivale a 
\begin_inset Formula $P\land Q$
\end_inset

 si se cumple 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 y se ignora en otro caso.
 Si hace falta una interpretación global como en la lógica clásica, hay
 que usar una como las de la primera lista.
\end_layout

\begin_layout Standard
Reglas lógicas:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Modus ponens generalizado:
\series default
 Dados los conjuntos borrosos 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A'$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, si 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $A'$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 e 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $\text{IF }x\text{ es }A\text{ THEN }y\text{ es }B$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $A'\circ R_{A\to B}$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Modus tollens generalizado:
\series default
 Dados los conjuntos borrosos 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B'$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, si 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $y\text{ es }B'$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 e 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $\text{IF }x\text{ es }A\text{ THEN }y\text{ es }B$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $x\text{ es }R_{A\to B}\circ B'$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si la función de implicación es la t-norma, al aplicar modus ponens sobre
 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $x\text{ es }A'$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 e 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

IF 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 THEN 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

, se obtiene 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $y\text{ es }B'$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 con
\begin_inset Formula 
\[
B'(y)=\sup_{x\in U}(A'(x)*I(A(x),B(y)))=\sup_{x\in U}(A'(x)*A(x))*B(y),
\]

\end_inset

y llamamos 
\series bold
\emph on
\lang english
degree of fulfillment
\series default
\emph default
\lang spanish
 a
\begin_inset Formula 
\[
\text{DOF}(A',A)\coloneqq\sup_{x\in U}(A'(x)*A(x))=\sup_{x\in U}(A'\cap A)(x),
\]

\end_inset

con lo que 
\begin_inset Formula $B'(y)=\text{DOF}(A',A)*B(y)$
\end_inset

.
 Por ello las implicaciones de Mandami y Larsen son muy eficientes y son
 las más usadas.
 Además hay una interpretación gráfica intuitiva: para calcular la implicación
 de Mandami, se toma el supremo del mínimo de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A'$
\end_inset

, que será el DOF, y se corta 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 por este punto (tomando el mínimo) para obtener 
\begin_inset Formula $B'$
\end_inset

, y para la de Larsen se toma el supremo del producto de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A'$
\end_inset

 y se 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

achata
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 multiplicando por este número.
\end_layout

\end_body
\end_document