#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
Una 
\series bold
variable lingüística
\series default
 es una tupla 
\begin_inset Formula $V=(N,U,T,G,M)$
\end_inset

 donde 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 es el 
\series bold
nombre
\series default
 de la variable, 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 es el 
\series bold
dominio
\series default
 de valores de la variable, 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es un alfabeto cuyos símbolos se llaman 
\series bold
etiquetas lingüísticas
\series default
, 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es una gramática con alfabeto 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M:L(G)\to(U\to[0,1])$
\end_inset

 es una 
\series bold
regla semántica
\series default
.
 Llamamos 
\series bold
término lingüístico
\series default
 de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 a un elemento de 
\begin_inset Formula $L(G)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Estas variables permiten describir términos del lenguaje natural en términos
 matemáticos precisos.
 En general 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es de la forma
\begin_inset Formula 
\[
S\to P\mid H\,S\mid(S\,\text{and}\,S)\mid(S\,\text{or}\,S)\mid(\text{not}\,S),
\]

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 es un conjunto finito de 
\series bold
términos primarios
\series default
 o 
\series bold
etiquetas lingüísticas
\series default
 (bajo, alto, medio, etc.), 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 uno de 
\series bold
modificadores lingüísticos
\series default
 o 
\series bold
\emph on
\lang english
hedges
\series default
\emph default
\lang spanish
, y llamamos 
\series bold
conectores lógicos
\series default
 a 
\begin_inset Formula $\text{and}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{or}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{not}$
\end_inset

.
 Un 
\series bold
término atómico
\series default
 es un término primario, un 
\emph on
\lang english
hedge
\emph default
\lang spanish
 o un conector lógico.
 Cada término primario 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 lleva asociado un 
\begin_inset Formula $C_{p}:U\to[0,1]$
\end_inset

 y cada modificador 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 una transformación 
\begin_inset Formula $T_{h}:(U\to[0,1])\to(U\to[0,1])$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $p\in P$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $h\in H$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $r,s\in L(G)$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
M(p) & \coloneqq C_{p}, & M(h\,r) & \coloneqq T_{h}(M(r)), & M(\text{not}\,r) & \coloneqq N(M(r)),\\
M(r\,\text{and}\,s) & \coloneqq M(r)*M(s), & M(r\text{ or }s) & \coloneqq M(r)\oplus M(s),
\end{align*}

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 es la negación, 
\begin_inset Formula $*$
\end_inset

 la t-norma y 
\begin_inset Formula $\oplus$
\end_inset

 la s-norma.
\end_layout

\begin_layout Standard
Tipos de 
\emph on
\lang english
hedges
\emph default
\lang spanish
:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
De concentración:
\series default
 
\begin_inset Formula $T_{h}(S)(x)\coloneqq S(x)^{p}$
\end_inset

 para cierto 
\begin_inset Formula $p>1$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
T_{\text{muy}}(S)(x) & \coloneqq S(x)^{2}, & T_{\text{más}}(S)(x) & \coloneqq S(x)^{\frac{5}{4}}.
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
De dilatación:
\series default
 
\begin_inset Formula $T_{h}(S)(x)\coloneqq S(x)^{p}$
\end_inset

 para cierto 
\begin_inset Formula $p\in[0,1]$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
T_{\text{más o menos}}(S)(x) & \coloneqq\sqrt{S(x)}, & T_{\text{poco}}(S)(x) & \coloneqq S(x)^{\frac{3}{4}}.
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
De intensificación:
\series default
 Para cada 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $S(x)$
\end_inset

 está entre 
\begin_inset Formula $T_{h}(S)(x)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
T_{\text{especialmente}}(S)(x)\coloneqq T_{\text{bastante}}(S)(x)\coloneqq\begin{cases}
2S(x)^{2}, & x\in[0,\frac{1}{2}];\\
1-2(1-S(x))^{2}, & x\in[\frac{1}{2},1].
\end{cases}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
De difuminación:
\series default
 Para cada 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $T_{h}(S)(x)$
\end_inset

 está entre 
\begin_inset Formula $S(x)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
T_{\text{cerca de}}(S)(x)\coloneqq T_{\text{casi}}(S)(x)\coloneqq\begin{cases}
\sqrt{\frac{1}{2}S(x)}, & x\in[0,\frac{1}{2}];\\
1-\sqrt{\frac{1}{2}(1-S(x))}, & x\in[\frac{1}{2},1].
\end{cases}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Lo que en lógica clásica son paradojas, en lógica difusa es una 
\series bold
media verdad
\series default
 o 
\series bold
media falsedad
\series default
 (grado de pertenencia 
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
proposición borrosa atómica
\series default
 es una expresión de la forma 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 o 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es una variable libre, 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 un conjunto borroso que representa la propiedad y 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 un 
\series bold
cualificador de certeza
\series default
, una función 
\begin_inset Formula $[0,1]\to[0,1]$
\end_inset

 de entre las siguientes:
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\text{cierto}(x) & \coloneqq x, & \text{falso}(x) & \coloneqq1-x,\\
\text{muy cierto}(x) & \coloneqq x^{2}, & \text{muy falso}(x) & \coloneqq(1-x)^{2},\\
\text{bastante cierto}(x) & \coloneqq\sqrt{x}, & \text{bastante falso}(x) & \coloneqq\sqrt{1-x}.
\end{align*}

\end_inset

Una 
\series bold
proposición borrosa compuesta
\series default
 es una expresión de la forma 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 and 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

, 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 or 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 o 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

not 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 son proposiciones borrosas (simples o compuestas).
\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
función de pertenencia
\series default
 de una proposición borrosa es
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\mu_{x\text{ es }P} & \coloneqq P, & \mu_{x\text{ es }P\text{ es }C} & \coloneqq C\circ P, & \mu_{\text{not }p} & \coloneqq N\circ P,\\
\mu_{p\text{ and }q}(x,y) & \coloneqq p(x)*q(y), & \mu_{p\text{ or q}}(x,y) & \coloneqq p(x)\oplus q(y),
\end{align*}

\end_inset

tomando 
\begin_inset Formula $*$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\oplus$
\end_inset

 conjugadas respecto a 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

.
 Las proposiciones borrosas son sentencias sobre un concepto sin definición
 precisa, permitiendo expresar ideas subjetivas con distintas interpretaciones.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
razonamiento aproximado
\series default
 permite razonar sobre proposiciones imprecisas.
 Una 
\series bold
regla IF-THEN borrosa
\series default
 es una expresión 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $\text{IF }u\text{ es }A\text{ THEN }v\text{ es }B$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 se define sobre el universo 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, esta regla se entiende como una relación entre 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, la 
\series bold
implicación borrosa
\series default
 
\begin_inset Formula $R_{A\to B}:U\times V\to[0,1]$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $R_{A\to B}(u,v)\coloneqq I(A(u),B(v))$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $I:[0,1]\times[0,1]\to[0,1]$
\end_inset

 es una 
\series bold
función de implicación
\series default
.
 Algunas funciones de implicación:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Interpretación clásica:
\series default
 
\begin_inset Formula $I(x,y)\coloneqq N(x)\oplus y$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Dienes-Rescher:
\series default
 
\begin_inset Formula $I_{D}(x,y)\coloneqq\max\{1-x,y\}$
\end_inset

 (interpretación clásica con las normas usuales).
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Lukasiewicz:
\series default
 
\begin_inset Formula $I_{Lu}(x,y)\coloneqq\min\{1,1-x+y\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Zadeh:
\series default
 
\begin_inset Formula $I_{Z}(x,y)\coloneqq\max\{\min\{x,y\},1-x\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Gödel:
\series default
 
\begin_inset Formula $I_{G}(x,y)\coloneqq\begin{cases}
1, & x\leq y;\\
y, & \text{en otro caso}.
\end{cases}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Se tiene 
\begin_inset Formula $I_{Z}\leq I_{D}\leq I_{Lu}$
\end_inset

.
 Definiendo 
\begin_inset Formula $I(x,y)\coloneqq x*y$
\end_inset

 obtenemos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Mandami:
\series default
 
\begin_inset Formula $I_{M}(x,y)\coloneqq\min\{x,y\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Larsen:
\series default
 
\begin_inset Formula $I_{L}(x,y)\coloneqq xy$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Estas funciones se basan en una interpretación 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

local
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 de la implicación, en la que 
\begin_inset Formula $P\to Q$
\end_inset

 equivale a 
\begin_inset Formula $P\land Q$
\end_inset

 si se cumple 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 y se ignora en otro caso.
 Si hace falta una interpretación global como en la lógica clásica, hay
 que usar una como las de la primera lista.
\end_layout

\begin_layout Standard
Reglas lógicas:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Modus ponens generalizado:
\series default
 Dados los conjuntos borrosos 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A'$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, si 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $A'$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 e 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $\text{IF }x\text{ es }A\text{ THEN }y\text{ es }B$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $A'\circ R_{A\to B}$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Modus tollens generalizado:
\series default
 Dados los conjuntos borrosos 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B'$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, si 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $y\text{ es }B'$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 e 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $\text{IF }x\text{ es }A\text{ THEN }y\text{ es }B$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $x\text{ es }R_{A\to B}\circ B'$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si la función de implicación es la t-norma, al aplicar modus ponens sobre
 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $x\text{ es }A'$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 e 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

IF 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 THEN 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

, se obtiene 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $y\text{ es }B'$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 con
\begin_inset Formula 
\[
B'(y)=\sup_{x\in U}(A'(x)*I(A(x),B(y)))=\sup_{x\in U}(A'(x)*A(x))*B(y),
\]

\end_inset

y llamamos 
\series bold
\emph on
\lang english
degree of fulfillment
\series default
\emph default
\lang spanish
 a
\begin_inset Formula 
\[
\text{DOF}(A',A)\coloneqq\sup_{x\in U}(A'(x)*A(x))=\sup_{x\in U}(A'\cap A)(x),
\]

\end_inset

con lo que 
\begin_inset Formula $B'(y)=\text{DOF}(A',A)*B(y)$
\end_inset

.
 Por ello las implicaciones de Mandami y Larsen son muy eficientes y son
 las más usadas.
 Además hay una interpretación gráfica intuitiva: para calcular la implicación
 de Mandami, se toma el supremo del mínimo de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A'$
\end_inset

, que será el DOF, y se corta 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 por este punto (tomando el mínimo) para obtener 
\begin_inset Formula $B'$
\end_inset

, y para la de Larsen se toma el supremo del producto de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A'$
\end_inset

 y se 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

achata
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 multiplicando por este número.
\end_layout

\end_body
\end_document