#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es un cuerpo y 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un anillo, todo homomorfismo de anillos 
\begin_inset Formula $h:K\to A$
\end_inset

 es un isomorfismo 
\begin_inset Formula $K\to h(K)$
\end_inset

.
 En efecto, 
\begin_inset Formula $\ker h\subseteq K$
\end_inset

 es un ideal y los únicos ideales de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 son 0 y 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $1\notin\ker h$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\ker h=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 es inyectivo y 
\begin_inset Formula $h:K\to h(K)$
\end_inset

 es biyectivo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
extensión
\series default
 (
\series bold
de cuerpos
\series default
) es un par de cuerpos 
\begin_inset Formula $(K,L)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es subcuerpo de 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

, que representamos como 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $L/K$
\end_inset

 o, si 
\begin_inset Formula $K\neq L$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $K\subsetneq L$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Algunas extensiones son 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$
\end_inset

 y, para todo cuerpo 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K\subseteq K(X)$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $K(X)$
\end_inset

 es el cuerpo de fracciones de 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

.
 Otras son 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$
\end_inset

 no cuadrado, incluyendo 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[i]$
\end_inset

.
 En efecto, es claro que 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$
\end_inset

 es cerrado para restas y productos, y para inversos, sean 
\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{Q}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a+b\sqrt{m}\neq0$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $c\coloneqq (a+b\sqrt{m})(a-b\sqrt{m})=a^{2}-mb^{2}\in\mathbb{Q}\setminus0$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 no es racional, y entonces 
\begin_inset Formula $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}\sqrt{m}\in\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$
\end_inset

 es el inverso de 
\begin_inset Formula $a+b\sqrt{m}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset

Dados 
\begin_inset Formula $c,d\in\mathbb{Z}$
\end_inset

 no cuadrados, 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}(\sqrt{c})=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $cd$
\end_inset

 es un cuadrado en 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
sremember{GyA}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
subanillo primo
\series default
 de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1\coloneqq \{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$
\end_inset

, el menor subanillo de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
[...] Sea 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 un cuerpo no trivial, existe un subcuerpo 
\begin_inset Formula $K'$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 llamado 
\series bold
subcuerpo primo
\series default
 de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 contenido en cualquier subcuerpo de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, y este es isomorfo a 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$
\end_inset

 si la característica de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es un entero primo 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 o a 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

 en caso contrario.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Si la característica es un primo 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, el subanillo primo de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, isomorfo a 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$
\end_inset

, es un cuerpo y contiene a cualquier subanillo de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 [...].
 En otro caso [...] la característica es 0, por lo que 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{Z}\to K$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $f(n)\coloneqq n1$
\end_inset

 es un homomorfismo inyectivo y la propiedad universal nos da un homomorfismo
 
\begin_inset Formula $\tilde{f}:Q(\mathbb{Z})=\mathbb{Q}\to K$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $f(\frac{n}{m})=f(n)f(m)^{-1}$
\end_inset

.
 Es claro entonces que 
\begin_inset Formula $K'\coloneqq \tilde{f}(\mathbb{Q})$
\end_inset

 es isomorfo a 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

, y queda ver que está contenido en cualquier subcuerpo de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

.
 Dado un tal 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(m)=m1\in F$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(n)\neq0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(n)^{-1}\in F$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\tilde{f}(\frac{m}{n})=f(m)f(n)^{-1}\in F$
\end_inset

, y en resumen 
\begin_inset Formula $\tilde{f}(\mathbb{Q})\subseteq F$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
eremember
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Grado de una extensión
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 es una extensión de cuerpos, 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-espacio vectorial con la suma y el producto por escalares dados por la
 suma y el producto en 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es un subespacio de 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

.
 Llamamos 
\series bold
grado
\series default
 de 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $[L:K]\coloneqq \dim_{K}L$
\end_inset

, la dimensión de 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-espacio vectorial.
 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 es 
\series bold
finita
\series default
 o 
\series bold
infinita
\series default
 según lo sea 
\begin_inset Formula $[L:K]$
\end_inset

.
 Entonces:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $[L:K]=1\iff L=K$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si hubiera 
\begin_inset Formula $\alpha\in L\setminus K$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $\alpha\notin K=\text{span}\{1\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 y 1 son linealmente independientes y 
\begin_inset Formula $\text{span}\{1,\alpha\}\subseteq L$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $[L:K]\geq2\#$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Tomando la base 
\begin_inset Formula $(1,i)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$
\end_inset

 no cuadrado, 
\begin_inset Formula $[\mathbb{Q}[\sqrt{m}]:\mathbb{Q}]=2$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Tomando la base 
\begin_inset Formula $(1,\sqrt{m})$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}$
\end_inset

 es infinita.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si fuera 
\begin_inset Formula $[\mathbb{R}:\mathbb{Q}]=:n<+\infty$
\end_inset

, habría un isomorfismo de espacios vectoriales 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}\cong\mathbb{Q}^{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 sería numerable.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $K\subseteq K(X)$
\end_inset

 es infinita.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\{X^{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 es infinito y linealmente independiente sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Dadas dos extensiones 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $L\subseteq M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $[M:K]=[M:L][L:K]$
\end_inset

.
 En particular, si 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $L\subseteq M$
\end_inset

 son finitas, entonces 
\begin_inset Formula $[M:L],[L:K]\mid[M:K]$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $(u_{i})_{i\in I}$
\end_inset

 una base de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(v_{j})_{j\in J}$
\end_inset

 una de 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, todo 
\begin_inset Formula $\alpha\in M$
\end_inset

 se expresa de forma única como 
\begin_inset Formula $\alpha=:\sum_{i\in I}a_{i}u_{i}$
\end_inset

 con los 
\begin_inset Formula $a_{i}\in L$
\end_inset

, y cada 
\begin_inset Formula $a_{i}$
\end_inset

 se expresa de forma única como 
\begin_inset Formula $a_{i}=:\sum_{j\in J}c_{ij}v_{j}$
\end_inset

 con los 
\begin_inset Formula $c_{ij}\in K$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\alpha=\sum_{(i,j)\in I\times J}c_{ij}u_{i}v_{j}$
\end_inset

.
 Pero agrupando, esta descomposición es única, luego 
\begin_inset Formula $(u_{i}v_{j})_{(i,j)\in I\times J}$
\end_inset

 es base de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $[M:K]=|I\times J|=|I||J|=[M:L][L:K]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así, si 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 tiene grado finito y primo, no hay ningún cuerpo intermedio entre ellos.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
En efecto, sea 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 un cuerpo con 
\begin_inset Formula $K\subseteq E\subseteq L$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $[L:K]=[L:E][E:K]$
\end_inset

 es primo, bien 
\begin_inset Formula $[L:E]=1$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $[E:K]=1$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $E\in\{K,L\}$
\end_inset

.
 En particular no hay ningún cuerpo entre 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Extensiones generadas y admisibles
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un conjunto 
\begin_inset Formula ${\cal C}$
\end_inset

, la unión 
\begin_inset Formula $\bigcup{\cal C}$
\end_inset

 es una 
\series bold
unión dirigida
\series default
 si para 
\begin_inset Formula $A,B\in{\cal C}$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $C\in{\cal C}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $A,B\subseteq C$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados una extensión de cuerpos 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 y un 
\begin_inset Formula $S\subseteq L$
\end_inset

, llamamos 
\begin_inset Formula $K[S]$
\end_inset

 al conjunto de expresiones polinómicas de elementos de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 con coeficientes en 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, es decir, la unión dirigida 
\begin_inset Formula $\bigcup_{\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}\}\subseteq S}K[\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}]$
\end_inset

, que es el menor subanillo de 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 que contiene a 
\begin_inset Formula $K\cup S$
\end_inset

, es decir, la intersección de todos estos subanillos.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
En efecto, todo subanillo de 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 que contenga a 
\begin_inset Formula $K\cup S$
\end_inset

 contendrá a los 
\begin_inset Formula $K[\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}\}\in S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $1\in K[S]$
\end_inset

 y claramente 
\begin_inset Formula $K[S]$
\end_inset

 es cerrado por restas y productos.
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $a\coloneqq \sum_{i\in I}a_{i}\alpha_{1}^{i_{1}}\cdots\alpha_{p}^{i_{p}},b\coloneqq \sum_{j\in J}b_{i}\beta_{1}^{j_{1}}\cdots\beta_{q}^{i_{q}}\in K(S)$
\end_inset

, con 
\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{p},\beta_{1},\dots,\beta_{q}\in S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $I\subseteq\mathbb{N}^{p}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $J\subseteq\mathbb{N}^{q}$
\end_inset

 finitos y 
\begin_inset Formula $a_{i},b_{j}\in S$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $i\in I$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $j\in J$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $a-b=\sum_{i\in I}a_{i}\alpha_{1}^{i_{1}}\cdots\alpha_{p}^{i_{p}}-\sum_{j\in J}b_{i}\beta_{1}^{j_{1}}\cdots\beta_{q}^{j_{q}}\in K[\alpha_{1},\dots,\alpha_{p},\beta_{1},\dots,\beta_{q}]\subseteq S$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $ab=\sum_{(i,j)\in I\times J}a_{i}b_{j}\alpha_{1}^{i_{1}}\cdots\alpha_{p}^{i_{p}}\beta_{1}^{j_{1}}\cdots\beta_{q}^{j_{q}}\in K[\alpha_{1},\dots,\alpha_{p},\beta_{1},\dots,\beta_{q}]\subseteq S$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Formula $K[S]$
\end_inset

 es un dominio
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
, pues es un subanillo del cuerpo 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\begin_inset Formula $K(S)$
\end_inset

 al cuerpo de fracciones de 
\begin_inset Formula $K(S)$
\end_inset

, que es la unión dirigida 
\begin_inset Formula 
\[
\bigcup_{\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}\}\subseteq S}K(\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}),
\]

\end_inset

 donde 
\begin_inset Formula $K(\alpha_{1},\dots,\alpha_{k})$
\end_inset

 es el cuerpo de fracciones de 
\begin_inset Formula $K[\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}]$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $K(S)$
\end_inset

 es el menor subcuerpo de 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 que contiene a 
\begin_inset Formula $K\cup S$
\end_inset

, es decir, la intersección de todos ellos.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
En efecto, 
\begin_inset Formula $K(S)$
\end_inset

 es un cuerpo de fracciones y todo subcuerpo que contenga a 
\begin_inset Formula $K\cup S$
\end_inset

 contendrá a 
\begin_inset Formula $K[S]$
\end_inset

 y por tanto a 
\begin_inset Formula $K(S)$
\end_inset

, aplicando la propiedad universal del cuerpo de fracciones a la inclusión
 
\begin_inset Formula $K[S]\to L$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

 Claramente 
\begin_inset Formula $K(S)=K[S]$
\end_inset

 si y solo si 
\begin_inset Formula $K[S]$
\end_inset

 es un cuerpo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dos extensiones 
\begin_inset Formula $K\subseteq E_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K\subseteq E_{2}$
\end_inset

 son 
\series bold
admisibles
\series default
 si 
\begin_inset Formula $E_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $E_{2}$
\end_inset

 son subcuerpos de un mismo cuerpo 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $E_{1}\cap E_{2}$
\end_inset

 es un cuerpo.
 Llamamos 
\series bold
compuesto
\series default
 de 
\begin_inset Formula $E_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $E_{2}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $K(E_{1}\cup E_{2})=E_{1}(E_{2})=E_{2}(E_{1})$
\end_inset

, de modo que tenemos las extensiones 
\begin_inset Formula 
\[
K\subseteq E_{1}\cap E_{2}\subseteq E_{1},E_{2}\subseteq E_{1}E_{2}\subseteq L.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Grupos de Galois
\end_layout

\begin_layout Standard
Dadas 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K\subseteq L'$
\end_inset

, un 
\series bold

\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-encaje
\series default
 o 
\series bold

\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-homomorfismo
\series default
 es un homomorfismo de anillos 
\begin_inset Formula $\sigma:L\to L'$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\sigma|_{K}=1_{K}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-lineal e inyectivo.
 En efecto, sean 
\begin_inset Formula $r\in K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha,\beta\in L$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma(r\alpha)=\sigma(r)\sigma(\alpha)=r\sigma(\alpha)$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 es inyectivo como todo homomorfismo que parte de un cuerpo.
 Si además 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 es suprayectivo, es un 
\series bold

\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-isomorfismo
\series default
 y 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K\subseteq L'$
\end_inset

 son extensiones 
\series bold

\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-isomorfas
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset

Dado un homomorfismo de cuerpos 
\begin_inset Formula $f:K\to L$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 tienen un mismo subcuerpo primo 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$
\end_inset

) y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

-encaje.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K\subseteq L'$
\end_inset

 son extensiones finitas y 
\begin_inset Formula $\sigma:L\to L'$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-encaje, entonces 
\begin_inset Formula 
\[
[L:K]\mid[L':K],
\]

\end_inset

 con igualdad si y solo si 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-isomorfismo.
 En efecto, 
\begin_inset Formula $K=\sigma(K)\subseteq\sigma(L)\subseteq L'$
\end_inset

 y se tiene 
\begin_inset Formula $[\sigma(L):K]\mid[L':K]$
\end_inset

, con igualdad si y solo si 
\begin_inset Formula $[L':\sigma(L)]=1$
\end_inset

, si y solo si 
\begin_inset Formula $L'=\sigma(L)$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $[L:K]=[\sigma(L):K]$
\end_inset

 porque 
\begin_inset Formula $\sigma:L\to\sigma(L)$
\end_inset

 es un isomorfismo de espacios vectoriales.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así, dos extensiones finitas 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-isomorfas tienen el mismo grado.
 El recíproco no es cierto.
 Por ejemplo, 
\begin_inset Formula $[\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$
\end_inset

, pero si hubiese un 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

-isomorfismo 
\begin_inset Formula $\sigma:\mathbb{Q}(i)\to\mathbb{Q}(\sqrt{2})$
\end_inset

 sería 
\begin_inset Formula $\sigma(i)\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subseteq\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma(i)^{2}=\sigma(i^{2})=\sigma(-1)=-1\#$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Los 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-encajes llevan raíces de 
\begin_inset Formula $f\in K[X]$
\end_inset

 a raíces de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, pues dados un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-encaje 
\begin_inset Formula $\sigma:L\to L'$
\end_inset

 y una raíz 
\begin_inset Formula $\alpha\in L$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
f(\sigma(\alpha))={\textstyle \sum_{i}}f_{i}\sigma(\alpha)^{i}={\textstyle \sum_{i}}\sigma(f_{i})\sigma(\alpha)^{i}=\sigma\left({\textstyle \sum_{i}}f_{i}\alpha^{i}\right)=\sigma(f(\alpha))=\sigma(0)=0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold

\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-automorfismo
\series default
 de una extensión 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-isomorfismo 
\begin_inset Formula $L\to L$
\end_inset

.
 El conjunto de todos los 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-automorfismos en 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 es un grupo con la composición de aplicaciones y con elemento neutro 
\begin_inset Formula $1_{L}$
\end_inset

, llamado 
\series bold
grupo de Galois
\series default
 de 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 o de la extensión 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

, y denotado 
\begin_inset Formula $\text{Gal}(L/K)$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\text{Aut}_{K}(L)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ejemplos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{Gal}(K/K)=\{1_{L}\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{1_{L},(z\mapsto\overline{z})\}\cong C_{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $\sigma\in\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $(1,i)$
\end_inset

 es base de 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma(1)=1$
\end_inset

, basta ver cómo actúa 
\begin_inset Formula $\sigma(i)$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $\sigma(i)^{2}=\sigma(i^{2})=\sigma(-1)=-1$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\sigma(i)\in\{\pm i\}$
\end_inset

, de modo que o bien 
\begin_inset Formula $\sigma(i)=i$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma=1_{L}$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\sigma(i)=-i$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 es la conjugación.
 Finalmente, el único grupo de 2 elementos es 
\begin_inset Formula $C_{2}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})\cong C_{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Extensiones 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-isomorfas de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 tienen grupos de Galois isomorfos.
 En efecto, sea 
\begin_inset Formula $\sigma:L\to L'$
\end_inset

 un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-isomorfismo, 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}:\text{Gal}(L/K)\to\text{Gal}(L'/K)$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(\tau)\coloneqq \sigma\circ\tau\circ\sigma^{-1}$
\end_inset

 es un isomorfismo de grupos, dado que 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(1_{L})=\sigma\circ\sigma^{-1}=1_{L'}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(\tau)\hat{\sigma}(\rho)=\sigma\circ\tau\circ\sigma^{-1}\circ\sigma\circ\rho\circ\sigma^{-1}=\hat{\sigma}(\tau\rho)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
sremember{GyA}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un DIP y 
\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es irreducible si y solo si 
\begin_inset Formula $(a)$
\end_inset

 es un ideal maximal, si y solo si 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(a)}$
\end_inset

 es un cuerpo, si y solo si 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(a)}$
\end_inset

 es un dominio.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
eremember
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Kronecker:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 un cuerpo y 
\begin_inset Formula $f\in K[X]\setminus K$
\end_inset

, existe una extensión 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 en la que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene una raíz.
 Si 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es un factor irreducible de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, la extensión podría ser 
\begin_inset Formula $K[X]/(g)$
\end_inset

 y una raíz es 
\begin_inset Formula $X+(g)$
\end_inset

.
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Para esto se usa el transporte de estructuras.
 Sea 
\begin_inset Formula $\varphi:K\to(L_{0}\coloneqq K[X]/(g))$
\end_inset

 el homomorfismo 
\begin_inset Formula $\varphi(a)\coloneqq a+(g)$
\end_inset

, definimos 
\begin_inset Formula $L\coloneqq K\amalg(L_{0}\setminus\varphi(K))$
\end_inset

 y las operaciones en 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $a+b\coloneqq \psi^{-1}(\psi(a)+\psi(b))$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $ab\coloneqq (\psi(a)\psi(b))$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $\psi:L\to L_{0}$
\end_inset

 viene dado por 
\begin_inset Formula $\psi(a)\coloneqq \varphi(a)$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $a\in K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\psi(a)\coloneqq a$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $a\in L_{0}\setminus\varphi(K)$
\end_inset

.
 Esto nos da una 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

copia
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $L_{0}$
\end_inset

 que es una extensión de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

 
\series bold
Demostración:
\series default
 Como 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

 es un DFU y 
\begin_inset Formula $f\notin K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene un factor irreducible 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 y las raíces de 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 lo serán de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
 Al ser 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 irreducible en el DIP 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $L\coloneqq K[X]/(g)$
\end_inset

 es un cuerpo.
 Como la inclusión 
\begin_inset Formula $i:K\to K[X]$
\end_inset

 y la proyección 
\begin_inset Formula $[\cdot]:K[X]\to L$
\end_inset

 son homomorfismos y 
\begin_inset Formula $[\cdot]\circ i$
\end_inset

 es inyectivo por ser 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 un cuerpo, podemos identificar 
\begin_inset Formula $a\in K$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $[i(a)]\in L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

, de modo que, usando la evaluación 
\begin_inset Formula $S_{\alpha}:K[X]\to L$
\end_inset

 y que 
\begin_inset Formula $[\cdot]$
\end_inset

 es un homomorfismo, 
\begin_inset Formula 
\[
S_{\alpha}(g)=g(\alpha)=g([X])=\sum_{i}g_{i}[X]^{i}=\left[\sum_{i}g_{i}X^{i}\right]=[g]=[0].
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Por inducción, dados un cuerpo 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f\in K[X]\setminus K$
\end_inset

, existe una extensión 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 en la que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene todas sus raíces.
\end_layout

\begin_layout Section
Extensiones algebraicas
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 una extensión y 
\begin_inset Formula $\alpha\in L$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es algebraico sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, también lo es sobre cualquier cuerpo entre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Un 
\begin_inset Formula $f\in K[X]\setminus0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(\alpha)=0$
\end_inset

 sirve igual en el cuerpo intermedio.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es trascendente sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 si y solo si 
\begin_inset Formula $\{\alpha^{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 es linealmente independiente sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Entonces 
\begin_inset Formula $K[X]\cong K[\alpha]$
\end_inset

 por el isomorfismo de evaluación, que al ser un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-encaje es 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-lineal, y como 
\begin_inset Formula $\{X^{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 es linealmente independiente sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{\alpha^{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 también lo es.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 fuera algebraico, existe 
\begin_inset Formula $f\in K[X]\setminus0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(\alpha)=\sum_{i}f_{i}\alpha^{i}=0$
\end_inset

 y esta es una dependencia lineal.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\alpha\in K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es algebraico sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Es raíz de 
\begin_inset Formula $X-\alpha\in K[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Q}^{\geq0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\pm\sqrt{m}\in\mathbb{R}$
\end_inset

 son algebraicos sobre 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Son raíces de 
\begin_inset Formula $X^{2}-m\in\mathbb{Q}[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\omega\coloneqq e^{2\pi i/n}\in\mathbb{C}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\omega,\omega^{2},\dots,\omega^{n}$
\end_inset

 son algebraicos sobre 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Son raíces de 
\begin_inset Formula $X^{n}-1\in\mathbb{Q}[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $e,\pi\in\mathbb{R}$
\end_inset

 son trascendentes sobre 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una extensión 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 es 
\series bold
algebraica
\series default
 si todo elemento de 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 es algebraico sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, y es 
\series bold
trascendente
\series default
 en otro caso.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Toda extensión finita es algebraica.
 En particular 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$
\end_inset

 es algebraica.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 finita, si hubiera un 
\begin_inset Formula $\alpha\in L$
\end_inset

 trascendente, 
\begin_inset Formula $\{\alpha^{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 sería linealmente independiente y la extensión sería infinita.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $K\subseteq K(X)$
\end_inset

 es trascendente.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\{X^{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 es trascendente sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es trascendente.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}$
\end_inset

 es trascendente.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 es trascendente.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 es algebraica si y sólo si todo subanillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 intermedio entre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 es un cuerpo, si y sólo si para todo cuerpo intermedio 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

, todo 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-endomorfismo en 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 es un automorfismo.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Extensiones simples
\end_layout

\begin_layout Standard
Una extensión 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 es 
\series bold
simple
\series default
 si existe 
\begin_inset Formula $\alpha\in L$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $L=K(\alpha)$
\end_inset

.
 La extensión dada por el teorema de Kronecker es simple.
 En efecto, sean 
\begin_inset Formula $f\in K[X]\setminus K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $L=K[X]/I$
\end_inset

 el cuerpo dado por el teorema de Kronecker para 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq [X]=X+I\in L$
\end_inset

 la raíz, para 
\begin_inset Formula $[p]\in L$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $p(\alpha)=p([X])=\sum_{i}p_{i}[X]^{i}=\left[\sum_{i}p_{i}X^{i}\right]=[p]$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $L=K[\alpha]$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 es un cuerpo, 
\begin_inset Formula $K[\alpha]=K(\alpha)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados una extensión 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 y un 
\begin_inset Formula $\alpha\in L$
\end_inset

 trascendente, entonces 
\begin_inset Formula $K(\alpha)\cong K(X)$
\end_inset

, y en particular 
\begin_inset Formula $K\subseteq K(\alpha)$
\end_inset

 es infinita.
 En efecto, como 
\begin_inset Formula $K[X]\cong K[\alpha]$
\end_inset

, sus cuerpos de fracciones también son isomorfos.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 una extensión y 
\begin_inset Formula $\alpha\in L$
\end_inset

 algebraico:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es raíz de un único polinomio mónico e irreducible en 
\begin_inset Formula $f\in K[X]$
\end_inset

, el 
\series bold
polinomio irreducible de 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset


\series default
, 
\begin_inset Formula $\text{Irr}(\alpha,K)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $S_{\alpha}:K[X]\to K[\alpha]$
\end_inset

 tiene núcleo no nulo, y como 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

 es un DIP, existe 
\begin_inset Formula $f\in K[X]\setminus0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\ker(\varphi_{\alpha})=(f)$
\end_inset

, que podemos tomar mónico.
 Como 
\begin_inset Formula $K[X]/(f)\cong K[\alpha]$
\end_inset

 es un dominio siendo 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

 un DIP, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible.
 Si 
\begin_inset Formula $g\in K[X]$
\end_inset

 es un irreducible mónico con raíz 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $g\in\ker(S_{\alpha})=(f)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f\mid g$
\end_inset

.
 Como ambos son irreducibles, son asociados, pero al ser ambos mónicos deben
 ser iguales.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $K[\alpha]$
\end_inset

 es un cuerpo.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Como 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

 es DIP, 
\begin_inset Formula $K[X]/(f)$
\end_inset

 es un cuerpo si y solo si es un dominio, pero 
\begin_inset Formula $K[X]/(f)\cong K[\alpha]$
\end_inset

 que es un dominio.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall g\in K[X],(g(\alpha)=0\iff f\mid g)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $g(\alpha)=0\iff g\in\ker(S_{\alpha})=(f)\iff f\mid g$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Sea 
\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $[K(\alpha):K]=n$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(\alpha^{i})_{i=0}^{n-1}$
\end_inset

 es base de 
\begin_inset Formula $K(\alpha)$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $(\alpha^{i})_{i=0}^{n-1}$
\end_inset

 no fuera linealmente independiente, existiría 
\begin_inset Formula $(a_{0},\dots,a_{n-1})\neq0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{i=0}^{n-1}a_{i}\alpha^{i}=0,
\]

\end_inset

 pero entonces 
\begin_inset Formula $g\coloneqq \sum_{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}\in K[X]\setminus0$
\end_inset

 tendría a 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 como raíz y por tanto 
\begin_inset Formula $f\mid g$
\end_inset

, lo que contradice que 
\begin_inset Formula $\text{gr}g<\text{gr}f\#$
\end_inset

.
 Para ver que 
\begin_inset Formula $(\alpha^{i})_{i=0}^{n-1}$
\end_inset

 es un conjunto generador, los elementos de 
\begin_inset Formula $K[\alpha]$
\end_inset

 son de la forma 
\begin_inset Formula $h(\alpha)$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $h\in K[X]$
\end_inset

, y dividiendo 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 entre 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 con resto tenemos 
\begin_inset Formula $h=fq+r$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $q,r\in K[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{gr}r<\text{gr}f=n$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $h(\alpha)=f(\alpha)q(\alpha)+r(\alpha)=r(\alpha)=\sum_{i=0}^{n-1}r_{i}\alpha^{i}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Ejemplos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $z\in\mathbb{C}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
\text{Irr}(z,\mathbb{R})=\begin{cases}
X-z, & z\in\mathbb{R};\\
X^{2}-2\text{Re}zX+|z|^{2}, & z\notin\mathbb{R}.
\end{cases}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $z\in\mathbb{R}$
\end_inset

, esto es claro.
 En otro caso 
\begin_inset Formula $(X-z)(X-\overline{z})=X^{2}-2\text{Re}zX+|z|^{2}$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}[X]$
\end_inset

 (discriminante negativo), y es mónico, luego es 
\begin_inset Formula $\text{Irr}(z,\mathbb{R})$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Q}$
\end_inset

 no es un cuadrado de racional, 
\begin_inset Formula $\text{Irr}(\sqrt{m},\mathbb{Q})=X^{2}-m$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$
\end_inset

 es un cuerpo con 
\begin_inset Formula $[\mathbb{Q}[\sqrt{m}]:\mathbb{Q}]=2$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Las raíces de 
\begin_inset Formula $X^{2}-m$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

 son 
\begin_inset Formula $\pm\sqrt{m}\notin\mathbb{Q}$
\end_inset

, luego este el irreducible.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $p\in\mathbb{N}$
\end_inset

 es primo y 
\begin_inset Formula $\xi\coloneqq e^{2\pi i/p}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{Irr}(\xi,\mathbb{Q})=X^{p-1}+X^{p-2}+\dots+X+1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
4.
\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $f\in K[X]$
\end_inset

 es irreducible de grado al menos 2, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 no tiene raíces en ninguna extensión finita 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $[L:K]$
\end_inset

 coprimo con 
\begin_inset Formula $\text{gr}f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
5.
\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $X^{n}-a\in K[X]$
\end_inset

 es irreducible, 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 una raíz de 
\begin_inset Formula $X^{n}-a$
\end_inset

 en una extensión de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m\mid n$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $[K(\beta^{m}):K]=n/m$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 una extensión, un 
\begin_inset Formula $\alpha\in L$
\end_inset

 es algebraico sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 si y solo si 
\begin_inset Formula $K\subseteq K(\alpha)$
\end_inset

 es finita, si y solo si 
\begin_inset Formula $K[\alpha]$
\end_inset

 es un cuerpo.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies2]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $[K(\alpha):K]=\text{gr}\text{Irr}(\alpha,K)<\infty$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies1]$
\end_inset

 Entonces 
\begin_inset Formula $K\subseteq K(\alpha)$
\end_inset

 es algebraica, luego en particular 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es algebraico.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies3]$
\end_inset

 Visto.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies1]$
\end_inset

 Entonces 
\begin_inset Formula $\alpha^{-1}\in K[\alpha]$
\end_inset

 y existe 
\begin_inset Formula $h\in K[X]\setminus0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $h(\alpha)=\alpha^{-1}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es raíz de 
\begin_inset Formula $h(X)X-1\in K[X]\setminus0$
\end_inset

 y es pues algebraico.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{N}$
\end_inset

 primos, 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}[\sqrt{p}]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}[\sqrt{q}]$
\end_inset

 son admisibles y
\begin_inset Formula 
\[
\mathbb{Q}[\sqrt{p}]\mathbb{Q}[\sqrt{q}]=\{a+b\sqrt{p}+c\sqrt{q}+d\sqrt{pq}\}_{a,b,c,d\in\mathbb{Q}}=\mathbb{Q}(\sqrt{p}+\sqrt{q}).
\]

\end_inset


\series bold
Demostración:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $p=q$
\end_inset

 esto es obvio, por lo que supondremos 
\begin_inset Formula $p\neq q$
\end_inset

.
 Sean 
\begin_inset Formula $F_{p}\coloneqq \mathbb{Q}[\sqrt{p}]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F_{q}\coloneqq \mathbb{Q}[\sqrt{q}]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $F_{p}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F_{q}$
\end_inset

 son admisibles por ser ambos subcuerpos de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

.
 Claramente 
\begin_inset Formula $S\coloneqq \{a+b\sqrt{p}+c\sqrt{q}+d\sqrt{pq}\}_{a,b,c,d\in\mathbb{Q}}\subseteq F_{p}F_{q}$
\end_inset

.
 Sea ahora 
\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \sqrt{p}+\sqrt{q}\in S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\alpha^{2}=p+q+2\sqrt{pq}\implies\alpha^{2}-(p+q)=2\sqrt{pq}\implies\\
\implies\alpha^{4}-2(p+q)\alpha^{2}+2(p+q)^{2}=4pq\implies\alpha^{4}-2(p+q)\alpha^{2}+2(p-q)^{2}=0,
\end{multline*}

\end_inset

luego 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es raíz del polinomio 
\begin_inset Formula $X^{4}-2(p+q)X^{2}+2(p-q)^{2}\in\mathbb{Q}[X]$
\end_inset

 y por tanto es algebraico, con lo que 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\alpha]=\mathbb{Q}(\alpha)$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es un anillo, pues es cerrado para restas y productos y contiene al 1,
 y como además 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}\cup\{\alpha\}\subseteq S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\alpha]\subseteq S$
\end_inset

.
 Finalmente, como 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{p}+\sqrt{q}}\frac{\sqrt{p}-\sqrt{q}}{\sqrt{p}-\sqrt{q}}=\frac{\sqrt{p}-\sqrt{q}}{p-q}\in\mathbb{Q}(\alpha),
\]

\end_inset


\begin_inset Formula $\sqrt{p}-\sqrt{q}\in\mathbb{Q}(\alpha)$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\sqrt{p},\sqrt{q}\in\mathbb{Q}(\alpha)$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $F_{p},F_{q}\subseteq\mathbb{Q}(\alpha)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F_{p}F_{q}\subseteq\mathbb{Q}(\alpha)$
\end_inset

.
 Con esto 
\begin_inset Formula $S\subseteq F_{p}F_{q}\subseteq\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}[\alpha]\subseteq S$
\end_inset

, luego estos conjuntos son iguales.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 un cuerpo y 
\begin_inset Formula $f\in K[X]\setminus0$
\end_inset

 con raíz 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 en alguna extensión de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $[K(\alpha):K]\leq\text{gr}f$
\end_inset

, con igualdad si y solo si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
, pues como 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es raíz de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, es algebraico, y si 
\begin_inset Formula $d\coloneqq \text{Irr}(\alpha,K)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $d\mid f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $[K(\alpha):K]=\text{gr}d\leq\text{gr}f$
\end_inset

, con igualdad si y solo si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 un cuerpo, 
\begin_inset Formula $f\in K[X]$
\end_inset

 irreducible en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

 con una raíz 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma:K\to K'$
\end_inset

 un isomorfismo de cuerpos y 
\begin_inset Formula $f'\coloneqq \sigma(f)$
\end_inset

 con una raíz 
\begin_inset Formula $\alpha'$
\end_inset

, existe un isomorfismo 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}:K(\alpha)\to K'(\alpha')$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}|_{K}=\sigma$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(\alpha)=\alpha'$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 el coeficiente principal de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f=r\text{Irr}(\alpha,K)$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $f'=\sigma(r)\text{Irr}(\alpha',K')$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $K(\alpha)=K[\alpha]$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $K[\alpha]$
\end_inset

 un cuerpo, sus elementos son de la forma 
\begin_inset Formula $g(\alpha)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $g\in K[X]$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(g(\alpha))\coloneqq \sigma(g)(\alpha')$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}$
\end_inset

 está bien definido, pues si 
\begin_inset Formula $g(\alpha)=h(\alpha)$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $(g-h)(\alpha)=0$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $f\mid r^{-1}f=\text{Irr}(\alpha,k)\mid g-h$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f'=\sigma(f)\mid\sigma(g-h)$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $f'(\alpha')=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma(g)(\alpha')-\sigma(h)(\alpha')=\sigma(g-h)(\alpha')=0$
\end_inset

.
 Entonces para 
\begin_inset Formula $r\in K$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(r)=\sigma(r)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(\alpha)=\sigma(X)(\alpha')=\alpha'$
\end_inset

; para 
\begin_inset Formula $g(\alpha),h(\alpha)\in K[\alpha]$
\end_inset

 cualesquiera, 
\begin_inset Formula 
\[
\hat{\sigma}(g(\alpha))+\hat{\sigma}(h(\alpha))=\sigma(g)(\alpha')+\sigma(h)(\alpha')=\sigma(g+h)(\alpha')=\hat{\sigma}((g+h)(\alpha))=\hat{\sigma}(g(\alpha)+h(\alpha)),
\]

\end_inset

y análogamente 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(g(\alpha))=\hat{\sigma}(h(\alpha))$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}$
\end_inset

 es un homomorfismo, y es biyectivo porque 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}^{-1}$
\end_inset

 se construye de forma similar a partir de 
\begin_inset Formula $\sigma^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 una extensión, 
\begin_inset Formula $\alpha,\beta\in L$
\end_inset

 algebraicos sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 son 
\series bold

\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-conjugados
\series default
 si son raíces de un mismo irreducible sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, si y solo si 
\begin_inset Formula $\text{Irr}(\alpha,K)=\text{Irr}(\beta,K)$
\end_inset

, si y solo si existe un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-isomorfismo 
\begin_inset Formula $\sigma:K(\alpha)\to K(\beta)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\sigma(\alpha)=\beta$
\end_inset

, si y solo si existe un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-encaje 
\begin_inset Formula $\sigma:K(\alpha)\to K(\beta)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\sigma(\alpha)=\beta$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $\text{Gal}(K(\alpha)/K)\cong\text{Gal}(K(\beta)/K)$
\end_inset

 como grupos.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies2]$
\end_inset

 Sea 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 dicho irreducible con coeficiente principal 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

, por unicidad es 
\begin_inset Formula $r^{-1}f=\text{Irr}(\alpha,K)=\text{Irr}(\beta,K)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies1]$
\end_inset

 Obvio.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies3]$
\end_inset

 Aplicando lo anterior a dicho irreducible y al automorfismo identidad,
 existe un isomorfismo 
\begin_inset Formula $\sigma:K(\alpha)\to K(\beta)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\sigma|_{K}=1_{K}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma(\alpha)=\beta$
\end_inset

.
 Además sabemos que extensiones de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-isomorfas tienen grupos de Galois isomorfos.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies4]$
\end_inset

 Obvio.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $4\implies2]$
\end_inset

 Sea 
\begin_inset Formula $f\coloneqq \text{Irr}(\alpha,K)$
\end_inset

, sabemos que al ser 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 raíz de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, también lo es 
\begin_inset Formula $\sigma(\alpha)=\beta$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f\in K[X]$
\end_inset

 es irreducible de grado 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es raíz de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 raíces en 
\begin_inset Formula $K(\alpha)$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $|\text{Gal}(K(\alpha)/K)|=m$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-automorfismo 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $K(\alpha)$
\end_inset

 queda determinado por 
\begin_inset Formula $\sigma(\alpha)$
\end_inset

, y sabemos que 
\begin_inset Formula $\sigma(\alpha)$
\end_inset

 debe ser raíz de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
 Además, por lo anterior, si 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 es otra raíz de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $K(\alpha)$
\end_inset

, existe un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-isomorfismo 
\begin_inset Formula $\sigma:K(\alpha)\to K(\beta)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\sigma(\alpha)=\beta$
\end_inset

, pero el 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-isomorfismo implica que 
\begin_inset Formula $[K(\alpha):K]=[K(\beta):K]$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $K(\beta)\subseteq K(\alpha)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $[K(\alpha):K(\beta)]=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K(\beta)=K(\alpha)$
\end_inset

, luego este 
\begin_inset Formula $\sigma\in\text{Gal}(K(\alpha)/K)$
\end_inset

.
 Por tanto hay biyección entre 
\begin_inset Formula $\text{Gal}(K(\alpha)/K)$
\end_inset

 y las 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 raíces de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $K(\alpha)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Para toda raíz 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 raíces en 
\begin_inset Formula $K(\beta)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Al ser 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 raíces de un mismo irreducible, 
\begin_inset Formula $\text{Gal}(K(\alpha)/K)\cong\text{Gal}(K(\beta)/K)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $|\text{Gal}(K(\beta)/K)|=m$
\end_inset

, y el resultado se obtiene del punto anterior.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 no tiene raíces múltiples (por ejemplo, si 
\begin_inset Formula $\text{car}K=0$
\end_inset

), entonces 
\begin_inset Formula $m\mid n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Las 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 raíces se reparten en extensiones 
\begin_inset Formula $K(\alpha)$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 elementos, y si una raíz 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 estuviera en una extensión 
\begin_inset Formula $K(\beta)$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 otra raíz de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $K(\beta)\subseteq K(\alpha)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $[K(\beta):K]=[K(\alpha):K]$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $K(\alpha)=K(\beta)$
\end_inset

 y ninguna raíz está en dos extensiones distintas.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Section
Algunos grupos de Galois
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\text{Gal}(\mathbb{R}/\mathbb{Q})=1.
\]

\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $\sigma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 un 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

-automorfismo, y queremos ver que entonces 
\begin_inset Formula $\sigma=1_{\mathbb{R}}$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $r,s\in\mathbb{R}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $r<s$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}^{*}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $s-r=a^{2}$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $a\neq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma(a)\neq0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma(s)-\sigma(r)=\sigma(a^{2})=\sigma(a)^{2}>0$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\sigma(r)<\sigma(s)$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 conserva el orden, luego para 
\begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $\sigma(t)<t$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $q\in\mathbb{Q}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\sigma(t)<q<t$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\sigma(t)<q=\sigma(q)<\sigma(t)\#$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $\sigma(t)>t$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $q\in\mathbb{Q}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $t<q<\sigma(t)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\sigma(t)<\sigma(q)=q<\sigma(t)\#$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\sigma(t)=t$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
sremember{GyA}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
orden
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 al cardinal del conjunto.
 Algunos grupos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un anillo, [...] 
\begin_inset Formula $(A^{*},\cdot)$
\end_inset

 es su 
\series bold
grupo de unidades
\series default
 [...]
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
3.
\end_layout

\end_inset

Dada una familia 
\begin_inset Formula $(G_{i})_{i\in I}$
\end_inset

 de grupos, 
\begin_inset Formula $\prod_{i\in I}G_{i}$
\end_inset

 [...] con el producto componente a componente.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
4.
\end_layout

\end_inset

Llamamos 
\series bold
grupo cíclico
\series default
 de orden 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $C_{n}\coloneqq \{1,a,a^{2},\dots,a^{n-1}\}$
\end_inset

 con [...] 
\begin_inset Formula $a^{i}a^{j}\coloneqq a^{[i+j]_{n}}$
\end_inset

 [...].
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
5.
\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
grupo diédrico
\series default
 de orden 
\begin_inset Formula $2n$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula 
\[
D_{n}:=\{1,a,a^{2},\dots,a^{n-1},b,ab,a^{2}b,\dots,a^{n-1}b\}
\]

\end_inset

con la operación 
\begin_inset Formula $(a^{i_{1}}b^{j_{1}})(a^{i_{2}}b^{j_{2}})\coloneqq a^{[i_{1}+(-1)^{j_{1}}i_{2}]_{n}}b^{[j_{1}+j_{2}]_{2}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
[...] 
\series bold
Teorema de Lagrange:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es un grupo finito y 
\begin_inset Formula $H\leq G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|G|=|H|[G:H]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
[...] Permutaciones entre conjuntos finitos, 
\begin_inset Formula $S_{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

[, con la composición].
 [...] Llamamos 
\series bold
grupo alternado
\series default
 [...] a 
\begin_inset Formula $A_{n}\coloneqq \ker\text{sgn}$
\end_inset

, el subgrupo de 
\begin_inset Formula $S_{n}$
\end_inset

 de las permutaciones pares.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
eremember
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
grupo de Klein
\series default
 es 
\begin_inset Formula $C_{2}\times C_{2}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
sremember{GyA}
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Necesario para las demostraciones comentadas.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Dado un grupo 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
exponente
\series default
 o 
\series bold
periodo
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{Exp}(G)$
\end_inset

, al menor 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall g\in G,g^{n}=1$
\end_inset

, o a 
\begin_inset Formula $\infty$
\end_inset

 si este no existe.
 [...] Si un grupo es finito tiene periodo finito [...].
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
[...] Una 
\series bold
descomposición primaria
\series default
 o 
\series bold
indescomponible
\series default
 de un grupo abeliano finito 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es una expresión de la forma
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
A= & \langle a_{11}\rangle_{p_{1}^{\alpha_{11}}}\oplus\dots\oplus\langle a_{1m_{1}}\rangle_{p_{1}^{\alpha_{1m_{1}}}}\oplus\\
 & \dots\oplus\\
 & \langle a_{k1}\rangle_{p_{k}^{\alpha_{k1}}}\oplus\dots\oplus\langle a_{km_{k}}\rangle_{p_{k}^{\alpha_{km_{k}}}},
\end{align*}

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $p_{1}<\dots<p_{k}$
\end_inset

 son los primos que dividen a 
\begin_inset Formula $|A|$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha_{i1}\geq\dots\geq\alpha_{im_{i}}\geq1$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,k\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Como 
\series bold
teorema
\series default
, todo grupo abeliano tiene una descomposición primaria [...].
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
eremember
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset

 Para todo grupo finito 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{Exp}G\mid|G|$
\end_inset

, y en particular, para 
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $g^{|G|}=1$
\end_inset

.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
En efecto, 
\begin_inset Formula $\text{Exp}G=\text{mcm}_{g\in G}|g|$
\end_inset

, pero como para todo 
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\langle g\rangle$
\end_inset

 es un subgrupo de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|g|\mid|G|$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $|G|$
\end_inset

 es múltiplo de todo 
\begin_inset Formula $|g|$
\end_inset

 y por tanto lo es de 
\begin_inset Formula $\text{Exp}G$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

 Dado un cuerpo 
\begin_inset Formula $K\neq0$
\end_inset

, todo subgrupo finito de 
\begin_inset Formula $(K^{*},\cdot)$
\end_inset

 es cíclico.
 En particular, si 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es primo, 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}^{*}$
\end_inset

 es cíclico.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración: 
\series default
Llamando 
\begin_inset Formula $m\coloneqq \text{Exp}K^{*}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K^{*}$
\end_inset

 está formado por raíces de 
\begin_inset Formula $X^{m}-1$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $|K^{*}|\leq m$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $m\mid|K^{*}|>0$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $1\in K^{*}$
\end_inset

), 
\begin_inset Formula $m=|K^{*}|$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $K^{*}$
\end_inset

 tiene una descomposición primaria de la forma 
\begin_inset Formula $\langle a_{1}\rangle_{p_{1}^{\alpha_{1}}}\oplus\dots\oplus\langle a_{k}\rangle_{p_{k}^{\alpha_{k}}}$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $p_{i}$
\end_inset

 distinto, pues si su descomposición primaria es 
\begin_inset Formula $\bigoplus_{i=1}^{k}\bigoplus_{j=1}^{m_{i}}\langle a_{ij}\rangle_{p_{i}^{\alpha_{ij}}}$
\end_inset

, el orden es 
\begin_inset Formula $\prod_{i,j}p_{i}^{\alpha_{ij}}$
\end_inset

 y el exponente es 
\begin_inset Formula $\prod_{i}p_{i}^{\alpha_{i1}}$
\end_inset

, dado que 
\begin_inset Formula $p_{i}^{\alpha_{ij}}\mid p_{i}^{\alpha_{i1}}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

, y para que estos coincidan debe ser cada 
\begin_inset Formula $m_{i}=1$
\end_inset

.
 Entonces el orden de 
\begin_inset Formula $a\coloneqq a_{1}+\dots+a_{k}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\langle a\rangle=K^{*}$
\end_inset

 es cíclico.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}^{+}$
\end_inset

 primo y 
\begin_inset Formula $\xi\coloneqq e^{2\pi i/p}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{Gal}(\mathbb{Q}(\xi)/\mathbb{Q})\cong C_{p-1}$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Formula $\text{Irr}(\xi,\mathbb{Q})=X^{p-1}+\dots+X^{2}+X+1$
\end_inset

 tiene 
\begin_inset Formula $p-1$
\end_inset

 raíces, los 
\begin_inset Formula $\xi^{k}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,p-1\}$
\end_inset

, que están en 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}(\xi)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\text{Gal}(\mathbb{Q}(\xi)/\mathbb{Q})$
\end_inset

 tiene 
\begin_inset Formula $p-1$
\end_inset

 elementos 
\begin_inset Formula $\{\sigma_{k}\}_{k=1}^{p-1}$
\end_inset

 donde 
\begin_inset Formula $\sigma_{k}(\xi)\coloneqq \xi^{k}$
\end_inset

.
 Además, la biyección 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}^{*}=\{1,2,\dots,p-1\}\to\text{Gal}(\mathbb{Q}(\xi)/\mathbb{Q})$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $k\mapsto\sigma_{k}$
\end_inset

 es un isomorfismo, pues 
\begin_inset Formula $1\mapsto1_{\mathbb{Q}(\xi)}$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $j,k\in\mathbb{Z}_{p}^{*}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(\sigma_{j}\sigma_{k})(\xi)=\sigma_{j}(\xi^{k})=\sigma_{j}(\xi)^{k}=\xi^{jk}=\sigma_{jk}(\xi)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\text{Gal}(\mathbb{Q}(\xi)/\mathbb{Q})\cong\mathbb{Z}_{p}^{*}\cong C_{p-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Extensiones finitamente generadas
\end_layout

\begin_layout Standard
Una extensión 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 es 
\series bold
finitamente generada
\series default
 si existen 
\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in L$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $L=K(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 es finita si y solo si es finitamente generada y algebraica, si y solo
 si existen 
\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in L$
\end_inset

 algebraicos sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $L=K(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies2]$
\end_inset

 Toda extensión finita es algebraica, y dada una base 
\begin_inset Formula $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-espacio vectorial, 
\begin_inset Formula $L=K(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies3]$
\end_inset

 Obvio.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies1]$
\end_inset

 Para 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $[L:K]=\text{gr}\text{Irr}(\alpha_{1},K)<+\infty$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $n>1$
\end_inset

, supuesto esto probado para 
\begin_inset Formula $1,\dots,n-1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K\subseteq K(\alpha_{1})$
\end_inset

 es finita y, como 
\begin_inset Formula $\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}$
\end_inset

 son algebraicos sobre 
\begin_inset Formula $K(\alpha_{1})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K(\alpha_{1})\subseteq K(\alpha_{1})(\alpha_{2},\dots,\alpha_{n})=K(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})=L$
\end_inset

 es finita, y 
\begin_inset Formula $[L:K]=[L:K(\alpha_{1})][K(\alpha_{1}):K]$
\end_inset

 es finito.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset

Dada una extensión algebraica 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in L$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})=K[\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}]$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 una extensión y 
\begin_inset Formula $S\subseteq L$
\end_inset

 un subconjunto cuyos elementos son algebraicos sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $K\subseteq K(S)$
\end_inset

 es una extensión algebraica, pues para 
\begin_inset Formula $\alpha\in K(S)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha\in K(\alpha_{1},\dots,\alpha_{k})$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}\in S$
\end_inset

, que son algebraicos, luego por lo anterior 
\begin_inset Formula $K\subseteq K(\alpha_{1},\dots,\alpha_{k})$
\end_inset

 es algebraica y por tanto 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es algebraico.
\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
clausura algebraica
\series default
 de una extensión 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 o de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
\overline{K}_{L}:=\{\alpha\in L\mid \alpha\text{ es algebraico sobre }K\}.
\]

\end_inset

Es un cuerpo, pues para 
\begin_inset Formula $\alpha,\beta\in\overline{K}_{L}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K(\alpha,\beta)$
\end_inset

 es una extensión algebraica de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 que contiene a 1, 
\begin_inset Formula $\alpha-\beta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha\beta$
\end_inset

 y, si 
\begin_inset Formula $\beta\neq0$
\end_inset

, a 
\begin_inset Formula $\alpha\beta^{-1}$
\end_inset

, y que al ser algebraica está contenida en 
\begin_inset Formula $\overline{K}_{L}$
\end_inset

.
 Así, 
\begin_inset Formula $\overline{K}_{L}$
\end_inset

 es el mayor cuerpo intermedio de 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 algebraico sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset

Para todo cuerpo 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\overline{K}_{K(X)}=K$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
cuerpo de números algebraicos
\series default
 es un cuerpo 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 entre 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}\subseteq L$
\end_inset

 es finita.
 Llamamos 
\series bold
cuerpo de los números algebraicos
\series default
 a 
\begin_inset Formula ${\cal A}\coloneqq \overline{\mathbb{Q}}_{\mathbb{C}}$
\end_inset

, y 
\series bold
números algebraicos
\series default
 a los elementos de 
\begin_inset Formula ${\cal A}$
\end_inset

, de modo que para todo cuerpo de números algebraicos 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $L\subseteq{\cal A}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}\subseteq{\cal A}$
\end_inset

 es algebraica pero no finita, pues para un primo 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 arbitrariamente grande, 
\begin_inset Formula ${\cal A}$
\end_inset

 contiene a 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}(\xi_{p})$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $\xi_{p}\coloneqq e^{2\pi i/p}$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $[\mathbb{Q}(\xi_{p}):\mathbb{Q}]=p-1$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $[{\cal A}:\mathbb{Q}]\geq p-1$
\end_inset

 para todo primo 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $[{\cal A}:\mathbb{Q}]=\infty$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Propiedades de extensiones
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
torre de extensiones
\series default
 es una secuencia de extensiones de cuerpos de la forma 
\begin_inset Formula $(K_{i-1}\subseteq K_{i})_{i=1}^{n}$
\end_inset

, escrita como 
\begin_inset Formula $K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq\dots\subseteq K_{n}$
\end_inset

, y cada extensión de la secuencia es una 
\series bold
subextensión
\series default
 de 
\begin_inset Formula $K_{0}\subseteq K_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una propiedad de extensiones es 
\series bold
multiplicativa en torres
\series default
 si para cada torre de extensiones 
\begin_inset Formula $K\subseteq L\subseteq M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K\subseteq M$
\end_inset

 cumple la propiedad si y solo si la cumplen 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $L\subseteq M$
\end_inset

.
 Son multiplicativas en torres:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Ser finita.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Se debe a que 
\begin_inset Formula $[M:K]=[M:L][L:K]$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Ser algebraica.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 es algebraica porque, para 
\begin_inset Formula $\alpha\in L$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha\in M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es algebraico sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $L\subseteq M$
\end_inset

 lo es porque, para 
\begin_inset Formula $\alpha\in M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es algebraico sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 y por tanto sobre 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $\alpha\in M$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in L[X]$
\end_inset

 que tiene a 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 como raíz.
 Pero cada 
\begin_inset Formula $a_{i}\in L$
\end_inset

 es algebraico sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $K\subseteq L'=K(a_{0},\dots,a_{n-1})$
\end_inset

 es finita, y como 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es algebraico sobre 
\begin_inset Formula $L'$
\end_inset

 por ser raíz de 
\begin_inset Formula $f\in L'[X]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $L'\subseteq L'(\alpha)$
\end_inset

 es finita, de modo que 
\begin_inset Formula $K\subseteq L'(\alpha)$
\end_inset

 es algebraica y 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es algebraico sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Una propiedad relativa a extensiones es 
\series bold
estable por levantamientos
\series default
 si, dadas dos extensiones admisibles 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K\subseteq M$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $K\subseteq M$
\end_inset

 cumple la propiedad, 
\begin_inset Formula $L\subseteq LM$
\end_inset

 también.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Son estables por levantamientos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Ser algebraica.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $K\subseteq M$
\end_inset

 es algebraica, los 
\begin_inset Formula $\alpha\in M$
\end_inset

 son algebraicos sobre 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 al serlo sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $L\subseteq L(M)=LM$
\end_inset

 es algebraica.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Ser finitamente generada.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in M$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $M=K(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
LM=LK(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})=L(\alpha_{1},\dots,\alpha_{m}),
\]

\end_inset

pues 
\begin_inset Formula $LK(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$
\end_inset

 es el menor cuerpo que contiene a 
\begin_inset Formula $L\cup K\cup\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}=L\cup\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Ser finita.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Equivale a ser algebraica y finitamente generada.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Además, dada una extensión 
\begin_inset Formula $K\subseteq F$
\end_inset

 con cuerpos intermedios 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $[LM:K]$
\end_inset

 es finito si y sólo si lo son 
\begin_inset Formula $[L:K]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $[M:K]$
\end_inset

, en cuyo caso 
\begin_inset Formula $[L:K],[M:K]\mid[LM:K]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $[LM:K]\leq[L:K][M:K]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 son extensiones algebraicas de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, también lo es 
\begin_inset Formula $LM$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $[LM:K]=[L:K][M:K]$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $L\cap M=K$
\end_inset

.
 El recíproco no se cumple.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $[L:K]\leq2$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $L\cap M=K$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $[LM:K]=[L:K][M:K]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document