#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\text{Gal}(K(X)/K)=\bigg\{\sigma\,\Big\vert\,\exists a,b,c,d\in K\mid \bigg(ad-bc\neq0\land\sigma(X)=\frac{aX+b}{cX+d}\bigg)\bigg\}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Conexión de Galois
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 una extensión de cuerpos, 
\begin_inset Formula $G:=\text{Gal}(L/K)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula ${\cal F}$
\end_inset

 el conjunto de cuerpos intermedios de 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal H}$
\end_inset

 el conjunto de subgrupos de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
correspondencia
\series default
 o 
\series bold
conexión de Galois
\series default
 asociada a 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 al par 
\begin_inset Formula $(f:{\cal F}\to{\cal H},g:{\cal H}\to{\cal F})$
\end_inset

 dado por
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
f(F):=F' & :=\{\sigma\in G\mid \forall\alpha\in F,\sigma(\alpha)=\alpha\}=\text{Gal}(L/F),\\
g(H):=H' & :=\{\alpha\in L\mid \forall\sigma\in H,\sigma(\alpha)=\alpha\}=\bigcap_{\sigma\in H}\text{Fix}\sigma.
\end{align*}

\end_inset

En particular, para 
\begin_inset Formula $\beta\in L$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K(\beta)'=\{\sigma\in G\mid \sigma(\beta)=\beta\}$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $\tau\in G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\langle\tau\rangle'=\text{Fix}\tau$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Propiedades: Sean 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $G:=\text{Gal}(L/K)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $F,F_{1},F_{2}$
\end_inset

 cuerpos intermedios de 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $H,H_{1},H_{2}$
\end_inset

 subcuerpos de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $L'=\{1_{G}\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{1_{G}\}'=L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K'=G$
\end_inset

, pero en general no es 
\begin_inset Formula $G'=K$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $L'=\text{Gal}(L/L)=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $1'=\text{Fix}1_{G}=L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K'=\text{Gal}(L/K)=G$
\end_inset

, pero si la extensión es 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $\sqrt[3]{2}$
\end_inset

 es la única raíz de 
\begin_inset Formula $X^{3}-2$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$
\end_inset

, debe ser 
\begin_inset Formula $\sigma(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $\sigma\in G$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $G=1$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $G'=1'=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\neq\mathbb{Q}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $F_{1}\subseteq F_{2}\implies F_{2}'\subseteq F_{1}'$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $\sigma\in F_{2}'$
\end_inset

, todo 
\begin_inset Formula $\alpha\in F_{1}\subseteq F_{2}$
\end_inset

 cumple 
\begin_inset Formula $\sigma(\alpha)=\alpha$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\sigma\in F_{1}'$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $H_{1}\subseteq H_{2}\implies H_{2}'\subseteq H_{1}'$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $\alpha\in H_{2}'$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $\sigma\in H_{1}\subseteq H_{2}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\sigma(\alpha)=\alpha$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\alpha\in H_{1}'$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $F\subseteq F''$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $F''=\bigcap_{\sigma\in\text{Gal}(L/F)}\text{Fix}\sigma$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $\alpha\in F\implies\forall\sigma\in\text{Gal}(L/F),\alpha\in\text{Fix}\sigma\iff\alpha\in F''$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $H\subseteq H''$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $H''=\text{Gal}(L/\bigcap_{\sigma\in H}\text{Fix}\sigma)$
\end_inset

, pero para 
\begin_inset Formula $\tau\in H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\bigcap_{\sigma\in H}\text{Fix}\sigma\subseteq\text{Fix}\tau\implies\text{Gal}(L/\text{Fix}\tau)\subseteq H''$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tau\in\text{Gal}(L/\text{Fix}\tau)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\tau\in H''$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $F'=F'''$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $F'\subseteq(F')''$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $F\subseteq F''$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(F'')'\subseteq F'$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $H'=H'''$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $H'\subseteq(H')''$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $H\subseteq H''$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(H'')'\subseteq H'$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 una extensión con retículo de cuerpos intermedios 
\begin_inset Formula ${\cal F}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $G:=\text{Gal}(L/K)$
\end_inset

 con retículo de subgrupos 
\begin_inset Formula ${\cal H}$
\end_inset

, un 
\begin_inset Formula $F\in{\cal F}$
\end_inset

 es 
\series bold
cerrado
\series default
 si 
\begin_inset Formula $F=F''$
\end_inset

, si y sólo si existe 
\begin_inset Formula $H\in{\cal H}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $F=H'$
\end_inset

, y un 
\begin_inset Formula $H\in{\cal H}$
\end_inset

 es 
\series bold
cerrado
\series default
 si 
\begin_inset Formula $H=H''$
\end_inset

, si y sólo si existe 
\begin_inset Formula $F\in{\cal F}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $H=F'$
\end_inset

.
 Así, la conexión de Galois induce biyecciones inversas una de la otra,
 que invierten las inclusiones, entre el conjunto de cuerpos cerrados en
 
\begin_inset Formula ${\cal F}$
\end_inset

 y el de subgrupos cerrados en 
\begin_inset Formula ${\cal H}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
sremember{GyA}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $H\leq G$
\end_inset

, definimos la relación de equivalencia en 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
a\equiv_{i}b\bmod H:\iff a^{-1}b\in H;
\]

\end_inset

la clase de equivalencia de 
\begin_inset Formula $a\in G$
\end_inset

, llamada 
\series bold
clase lateral módulo 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 por la izquierda
\series default
, es 
\begin_inset Formula $aH=\{ah\}_{h\in H}$
\end_inset

, y llamamos 
\begin_inset Formula $G/H:=G/(\equiv_{i}\bmod\ H)$
\end_inset

.
 [...] Llamamos 
\series bold
índice
\series default
 de 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $[G:H]:=|G/H|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
[...] Si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es un grupo finito y 
\begin_inset Formula $H\leq G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|G|=|H|[G:H]$
\end_inset

.
 [...]
\end_layout

\begin_layout Standard
Un subgrupo 
\begin_inset Formula $N\leq G$
\end_inset

 es 
\series bold
normal
\series default
 si [...] 
\begin_inset Formula $\forall x\in G,Nx=xN$
\end_inset

, [...] escribimos 
\begin_inset Formula $N\unlhd G$
\end_inset

, y si además es propio, escribimos 
\begin_inset Formula $N\lhd G$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
eremember
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $H\leq J\leq G$
\end_inset

 son grupos, 
\begin_inset Formula $G/H$
\end_inset

 es un grupo si y sólo si 
\begin_inset Formula $H\unlhd G$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $[G:J][J:H]=[G:H]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 una extensión con grupo de Galois 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dada una torre 
\begin_inset Formula $K\subseteq E\subseteq F\subseteq L$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $[F:E]$
\end_inset

 es finito, 
\begin_inset Formula $[E':F']\leq[F:E]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Hacemos inducción sobre 
\begin_inset Formula $n:=[F:E]$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $E=F$
\end_inset

 y es trivial.
 Si 
\begin_inset Formula $n>1$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $\alpha\in F\setminus E$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $1<s:=[E(\alpha):E]\leq[F:E]=n$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $[F:E(\alpha)]=n/s<n$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $s<n$
\end_inset

, por la hipótesis de inducción, 
\begin_inset Formula $[E':F']=[E':E(\alpha)'][E(\alpha)':F']\leq s\cdot\frac{n}{s}=n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
En otro caso, 
\begin_inset Formula $[F:E(\alpha)]=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F=E(\alpha)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f:=\text{Irr}(\alpha,E)$
\end_inset

 tiene grado 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 el conjunto de raíces de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

, como cada 
\begin_inset Formula $\sigma\in E'$
\end_inset

 fija los elementos de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 y lleva 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 a un elemento de 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

, podemos definir 
\begin_inset Formula $f:E'/F'\to R$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $f(\sigma F'):=\sigma(\alpha)$
\end_inset

, y esto está bien definido y es inyectivo ya que
\begin_inset Formula 
\[
\sigma F'=\tau F'\iff\tau^{-1}\sigma\in F'=E(\alpha)'\iff(\tau^{-1}\sigma)(\alpha)=\alpha\iff\sigma(\alpha)=\tau(\alpha),
\]

\end_inset

por ser 
\begin_inset Formula $\tau$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 biyectivos, luego 
\begin_inset Formula $[E':F']\leq|R|\leq n=[F:E]$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $H\subseteq J$
\end_inset

 son subgrupos de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $[J:H]$
\end_inset

 es finito, 
\begin_inset Formula $[H':J']\leq[J:H]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, sean 
\begin_inset Formula $K\subseteq E\subseteq F\subseteq L$
\end_inset

 una torre de extensiones, 
\begin_inset Formula $G:=\text{Gal}(L/K)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $H\subseteq J$
\end_inset

 subgrupos de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 es cerrado y 
\begin_inset Formula $[F:E]$
\end_inset

 es finito, entonces 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es cerrado y 
\begin_inset Formula $[E':F']=[F:E]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $[F:E]\geq[E':F']\geq[F'':E'']=[F'':E]=[F'':F][F:E]\geq[F:E]$
\end_inset

, lo que da la igualdad, y como entonces 
\begin_inset Formula $[F'':F]=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $F=F''$
\end_inset

 es cerrado.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es cerrado y 
\begin_inset Formula $[J:H]$
\end_inset

 es finito, 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 es cerrado y 
\begin_inset Formula $[H':J']=[J:H]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Análogo.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Todo subgrupo finito de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es cerrado.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 tal subgrupo, como 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

 es cerrado 
\begin_inset Formula $[J:1]$
\end_inset

 es finito, 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 es cerrado.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Section
Extensiones de Galois
\end_layout

\begin_layout Standard
Una extensión 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 con grupo de Galois 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es 
\series bold
de Galois
\series default
 si 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es cerrado, es decir, si 
\begin_inset Formula $K=G'$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $G'\subseteq K$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall\alpha\in L,(\forall\sigma\in G,\sigma(\alpha)=\alpha\implies\alpha\in K)$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall\alpha\in L\setminus K,\exists\sigma\in G:\sigma(\alpha)\neq\alpha$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $G=\langle\tau\rangle$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 es de Galois si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall\alpha\in L,(\tau(\alpha)=\alpha\implies\alpha\in K)$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall\alpha\in L\setminus K,\tau(\alpha)\neq\alpha$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ejemplos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Las extensiones propias 
\begin_inset Formula $K\subsetneq L$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{Gal}(L/K)$
\end_inset

 trivial no son de Galois.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\text{Gal}(L/K)'=1'=L\neq K$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$
\end_inset

 es de Galois.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 es la conjugación, 
\begin_inset Formula $\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\langle\sigma\rangle$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $\sigma(\alpha)=\alpha\implies\alpha\in\mathbb{R}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 una extensión y 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 un cuerpo intermedio cerrado, 
\begin_inset Formula $F\subseteq L$
\end_inset

 es de Galois, pues 
\begin_inset Formula $F=F''=\text{Gal}(L/F)'$
\end_inset

.
 En particular 
\begin_inset Formula $\text{Gal}(L/K)'\subseteq L$
\end_inset

 es de Galois, pues 
\begin_inset Formula $\text{Gal}(L/K)'=\text{Gal}(L/K)'''$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, una extensión es algebraica y de Galois si y sólo si es normal y separable.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 la extensión, queremos ver que si un irreducible mónico 
\begin_inset Formula $f\in K[X]$
\end_inset

 tiene una raíz 
\begin_inset Formula $\alpha\in L$
\end_inset

 entonces tiene 
\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f$
\end_inset

 raíces distintas en 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

.
 Sean entonces 
\begin_inset Formula $\alpha=\alpha_{1},\dots,\alpha_{r}$
\end_inset

 las raíces distintas de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $r\leq n$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g:=(X-\alpha_{1})\cdots(X-\alpha_{r})\in L[X]$
\end_inset

, cada 
\begin_inset Formula $\sigma\in G:=\text{Gal}(L/K)$
\end_inset

 permuta las raíces de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\sigma(g)=g$
\end_inset

, luego los coeficientes de 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 quedan fijos y están en 
\begin_inset Formula $G'=K$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $g\in K[X]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f\mid g$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n=\text{gr}f\leq\text{gr}g=r$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Como es normal es algebraica, y hay que ver que, para 
\begin_inset Formula $\alpha\in L\setminus K$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\sigma\in\text{Gal}(L/K)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\sigma(\alpha)\neq\alpha$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $f:=\text{Irr}(\alpha,K)$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $\alpha\notin K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f>1$
\end_inset

, pero por la hipótesis, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 raíces distintas en 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 y en particular tiene una raíz 
\begin_inset Formula $\beta\neq\alpha$
\end_inset

, luego hay un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-isomorfismo 
\begin_inset Formula $\sigma:K(\alpha)\to K(\beta)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\sigma(\alpha)=\beta$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 es normal, 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 es el cuerpo de descomposición de cierto 
\begin_inset Formula ${\cal P}\subseteq K[X]\setminus0$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 y por tanto sobre 
\begin_inset Formula $K(\alpha)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K(\beta)$
\end_inset

, por lo que se extiende a un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-automorfismo 
\begin_inset Formula $\overline{\sigma}:L\to L$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\sigma(\alpha)=\beta\neq\alpha$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

Ser una extensión algebraica de Galois
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 es estable por levantamientos.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es perfecto, 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 es algebraica y de Galois si y sólo si es normal, y es finita y de Galois
 si y sólo si 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 es el cuerpo de descomposición sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 de un polinomio de 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Toda extensión ciclotómica 
\begin_inset Formula $K\subseteq F$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{car}K\nmid[F:K]$
\end_inset

 es finita y de Galois.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 es separable con clausura normal 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K\subseteq N$
\end_inset

 es de Galois.
\end_layout

\begin_layout Section
Teoremas fundamentales
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Primer Teorema Fundamental de la Teoría de Galois:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 es finita y de Galois con grupo de Galois 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $|G|=[L:K]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Como 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 es finita y 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es cerrado, 
\begin_inset Formula $[L:K]=[K':L']=[G:1]=|G|$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Todos los cuerpos intermedios entre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 y todos los subgrupos de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 son cerrados.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 un cuerpo intermedio, 
\begin_inset Formula $K\subseteq F$
\end_inset

 es finita por serlo 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es cerrado, luego 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es cerrado.
 Si 
\begin_inset Formula $H\leq G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $[H:1]$
\end_inset

 es finito por serlo 
\begin_inset Formula $[G:1]$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es cerrado.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $X\subseteq Y$
\end_inset

 son cuerpos intermedios o subgrupos, 
\begin_inset Formula $[X':Y']=[Y:X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Por lo anterior, 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es cerrado e 
\begin_inset Formula $[Y:X]$
\end_inset

 es finito.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
La correspondencia de Galois establece biyecciones inversas una de la otra,
 que invierten las inclusiones, entre el conjunto de cuerpos intermedios
 de 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 y el de subgrupos de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Estas se dan entre los cerrados, pero ahora todos son cerrados.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Una extensión finita 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 es de Galois si y sólo si 
\begin_inset Formula $|\text{Gal}(L/K)|=[L:K]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Por el teorema.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $G:=\text{Gal}(L/K)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K_{0}:=G'$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K_{0}\subseteq L$
\end_inset

 es finita por serlo 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

, y es de Galois con 
\begin_inset Formula $\text{Gal}(L/K_{0})=K_{0}'=G$
\end_inset

, luego por el teorema es 
\begin_inset Formula $|G|=[L:K_{0}]$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $|G|=[L:K]=[L:K_{0}][K_{0}:K]$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $[K_{0}:K]=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K=K_{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $K\subseteq L_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K\subseteq L_{2}$
\end_inset

 extensiones finitas y de Galois admisibles, 
\begin_inset Formula $K\subseteq L_{1}L_{2}$
\end_inset

 es finita y de Galois y 
\begin_inset Formula $\varphi:\text{Gal}(L_{1}L_{2}/K)\to\text{Gal}(L_{1}/K)\times\text{Gal}(L_{2}/K)$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\varphi(\sigma):=(\sigma|_{L_{1}},\sigma|_{L_{2}})$
\end_inset

 es un homomorfismo inyectivo de grupos, que es biyectivo si 
\begin_inset Formula $L_{1}\cap L_{2}=K$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $K\subseteq L$
\end_inset

 tiene grado 2 y 
\begin_inset Formula $\text{car}K\neq2$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{Gal}(L/K)\cong C_{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document