#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 544 \begin_document \begin_header \save_transient_properties true \origin unavailable \textclass book \begin_preamble \usepackage{circuitikz} \usepackage{tikz} \end_preamble \use_default_options true \maintain_unincluded_children false \language spanish \language_package default \inputencoding auto \fontencoding global \font_roman "default" "default" \font_sans "default" "default" \font_typewriter "default" "default" \font_math "auto" "auto" \font_default_family default \use_non_tex_fonts false \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 100 \font_tt_scale 100 100 \use_microtype false \use_dash_ligatures true \graphics default \default_output_format default \output_sync 0 \bibtex_command default \index_command default \paperfontsize default \spacing single \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_package amsmath 1 \use_package amssymb 1 \use_package cancel 1 \use_package esint 1 \use_package mathdots 1 \use_package mathtools 1 \use_package mhchem 1 \use_package stackrel 1 \use_package stmaryrd 1 \use_package undertilde 1 \cite_engine basic \cite_engine_type default \biblio_style plain \use_bibtopic false \use_indices false \paperorientation portrait \suppress_date false \justification true \use_refstyle 1 \use_minted 0 \index Index \shortcut idx \color #008000 \end_index \secnumdepth 3 \tocdepth 3 \paragraph_separation indent \paragraph_indentation default \is_math_indent 0 \math_numbering_side default \quotes_style swiss \dynamic_quotes 0 \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \tracking_changes false \output_changes false \html_math_output 0 \html_css_as_file 0 \html_be_strict false \end_header \begin_body \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash def \backslash represent#1{ \backslash begin{circuitikz} \backslash draw (0,0) to[#1] (2,0); \backslash end{circuitikz}} \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash def \backslash show#1{ \backslash begin{center} \backslash represent{#1} \backslash end{center}} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard La \series bold corriente alterna \series default es aquella que cambia de sentido periódicamente, en contraste con la \series bold corriente continua \series default , en la que la intensidad y el voltaje son constantes. La forma de oscilación más típica es la \series bold oscilación senoidal \series default , dada por \begin_inset Formula \[ v_{s}=V_{p}\cos(\omega t+\theta) \] \end_inset donde \begin_inset Formula $V_{p}$ \end_inset es la \series bold amplitud \series default , \begin_inset Formula $\omega$ \end_inset es la \series bold velocidad angular \series default en \begin_inset Formula $\unit{rad/s}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset es la \series bold fase \series default . Llamamos \series bold voltaje pico-pico \series default o \series bold pico-valle \series default a la máxima diferencia de voltaje en el tiempo, que para una oscilación senoidal es \begin_inset Formula $V_{pp}=2V_{p}$ \end_inset . La \series bold frecuencia \series default es \begin_inset Formula $f\coloneqq \frac{\omega}{2\pi}$ \end_inset y se mide en hercios ( \begin_inset Formula $\text{Hz}=\text{s}^{-1}$ \end_inset ), y el \series bold periodo \series default es \begin_inset Formula $T\coloneqq \frac{1}{f}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Un circuito con una fuente de voltaje senoidal tendrá en cualquier punto un voltaje con oscilación senoidal de igual velocidad angular, si bien la amplitud y la fase pueden variar. Dos oscilaciones senoidales que van una delante o detrás de la otra se dice que están \series bold desfasadas \series default , mientras que si la diferencia de fase es 0, están \series bold en fase \series default . Otras oscilaciones típicas son las ondas cuadradas y las triangulares. Una fuente de corriente alterna se representa con \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash show{sV} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Análisis fasorial \end_layout \begin_layout Standard Se trata de una forma práctica de analizar circuitos donde la fuente de voltaje es alterna senoidal. Un circuito de resistencias (R), inductores (L) y condensadores (C) se suele denominar circuito RLC. Tomemos el siguiente ejemplo sencillo: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{center} \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash begin{circuitikz} \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash newcommand*{ \backslash equal}{=} \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash draw (4.5,0) to[sV=$v \backslash equal V_p \backslash cos( \backslash omega t)$] (0,0) -- (0,2) to[R=$R$] (1.5,2) to[L=$L$] (3,2) to[C=$C$] (4.5,2) -- (4.5,0); \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash end{circuitikz} \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash end{center} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Aplicando mallas, \begin_inset Formula \[ v(t)=Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}\int i(t)\,dt \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Estamos ante una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Las soluciones naturales para este tipo de ecuaciones son exponenciales, pues la derivada de una exponencial es la misma exponencial. La identidad de Euler o de De Moivre nos dice que \begin_inset Formula $e^{jx}=\cos x\pm j\sin x$ \end_inset , donde \begin_inset Formula $j\coloneqq \sqrt{-1}$ \end_inset . Tenemos que \begin_inset Formula $V_{p}\cos(\omega t)=\text{Re}V_{p}e^{j\omega t}$ \end_inset , y como la ecuación es lineal, podemos representar la fuente con \begin_inset Formula $V_{p}e^{j\omega t}$ \end_inset , omitiendo el operador \begin_inset Formula $\text{Re}$ \end_inset de \begin_inset Quotes cld \end_inset parte real \begin_inset Quotes crd \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard La intensidad es \begin_inset Formula $i(t)=\text{Re}I_{p}e^{j\omega t+\theta}=\text{Re}I_{p}e^{\theta}e^{j\omega t}\coloneqq \text{Re}Ie^{j\omega t}$ \end_inset , por tanto basta encontrar el \series bold fasor \series default \begin_inset Formula $I$ \end_inset para resolver el problema. Sustituyendo \begin_inset Formula $v(t)$ \end_inset por \begin_inset Formula $V_{p}e^{j\omega t}$ \end_inset e \begin_inset Formula $i(t)$ \end_inset por \begin_inset Formula $Ie^{j\omega t}$ \end_inset y despejando, obtenemos \begin_inset Formula \begin{multline*} V_{p}e^{j\omega t}=RIe^{j\omega t}+L\frac{d}{dt}\left(Ie^{j\omega t}\right)+\frac{1}{C}\int Ie^{j\omega t}\,dt\implies\\ \implies V_{p}=RI+j\omega LI+\frac{I}{j\omega C}=\left(R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\right)I=:ZI \end{multline*} \end_inset donde \begin_inset Formula $Z$ \end_inset es la \series bold impedancia \series default , una cantidad compleja \begin_inset Formula $Z=R+jX$ \end_inset medida en ohmios, en la que \begin_inset Formula $R$ \end_inset es la resistencia y \begin_inset Formula $X$ \end_inset es la \series bold reactancia \series default . Todos los resultados obtenidos en el anterior capítulo para circuitos de corriente continua sirven igualmente para corriente alterna sinoidal sin más que reemplazar la resistencia por la impedancia. Nos quedamos con que \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} Z_{R}=R\text{, } & Z_{L}=j\omega L\text{, } & Z_{C}=-\frac{1}{\omega C}j \end{eqnarray*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard El inverso de la impedancia es la \series bold admitancia \series default , \begin_inset Formula $Y=G+jB\coloneqq \frac{1}{Z}$ \end_inset , medida en siemens, donde \begin_inset Formula $G$ \end_inset es la conductancia y \begin_inset Formula $S$ \end_inset es la \series bold susceptancia \series default . Ahora solo queda despejar \begin_inset Formula $I$ \end_inset y obtener \begin_inset Formula $i(t)=\text{Re}Ie^{j\omega t}$ \end_inset . Sea \begin_inset Formula $I=I_{p}e^{j\theta}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula \[ i(t)=\text{Re}I_{p}e^{j\theta}e^{j\omega t}=I_{p}\cos(\omega t+\theta) \] \end_inset \end_layout \begin_layout Section Potencia en circuitos de corriente alterna \end_layout \begin_layout Standard Si un voltaje senoidal \begin_inset Formula $v(t)=V_{p}\cos(\omega t)$ \end_inset resulta en una corriente \begin_inset Formula $i(t)=I_{p}\cos(\omega t+\theta)$ \end_inset , la potencia instantánea es \begin_inset Formula $p(t)=v(t)i(t)=V_{p}I_{p}\cos(\omega t)\cos(\omega t+\theta)=\frac{V_{p}I_{p}}{2}(\cos\theta+\cos(2\omega t+\theta))$ \end_inset . La potencia media \begin_inset Formula $P$ \end_inset la podemos obtener como \begin_inset Formula \[ P=\frac{1}{T}\int p\,dt \] \end_inset u observando que el primer término de la suma en \begin_inset Formula $p$ \end_inset es constante respecto al tiempo mientras que el segundo es un sinusoide cuya media es cero, luego \begin_inset Formula \[ P=\frac{V_{p}I_{p}}{2}\cos\theta \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si el circuito es sólo resistivo, la diferencia de fase entre \begin_inset Formula $v$ \end_inset e \begin_inset Formula $i$ \end_inset es 0 y \begin_inset Formula $P=\frac{V_{p}I_{p}}{2}=\frac{1}{2}RI_{p}^{2}$ \end_inset , mientras que si el circuito es sólo capacitivo o inductivo entonces \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset es respectivamente \begin_inset Formula $\unit[90]{\mathring{}}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\unit[-90]{\mathring{}}$ \end_inset y \begin_inset Formula $P=0$ \end_inset . En términos de fasores, \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} p(t) & = & \frac{1}{2}\text{Re}\left(V\overline{I}+VIe^{2j\omega t}\right)\\ P & = & \frac{1}{2}\text{Re}V\overline{I} \end{eqnarray*} \end_inset donde \begin_inset Formula $V=V_{p}$ \end_inset , \begin_inset Formula $I=I_{p}e^{j\theta}$ \end_inset e \begin_inset Formula $\overline{I}$ \end_inset es el conjugado de \begin_inset Formula $I$ \end_inset . Despejando \begin_inset Formula $V=IZ$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ P=\frac{1}{2}\text{Re}|I|^{2}Z=\frac{1}{2}|I|^{2}R=\frac{1}{2}|I_{p}|^{2}R \] \end_inset O bien, despejando \begin_inset Formula $I=\frac{V}{Z}$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ P=\frac{1}{2}\text{Re}V\frac{\overline{V}}{\overline{Z}}=\frac{1}{2}\text{Re}\frac{|V|^{2}}{\overline{Z}}=\frac{1}{2}\text{Re}\frac{|V|^{2}Z}{|Z|^{2}}=\frac{1}{2}\frac{|V|^{2}R}{R^{2}+X^{2}} \] \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Valores efectivos o RMS \end_layout \begin_layout Standard Vemos que definiendo \begin_inset Formula $I_{eff}=\frac{I_{p}}{\sqrt{2}}$ \end_inset , obtenemos \begin_inset Formula $P=I_{eff}^{2}R$ \end_inset , similar a la fórmula de la potencia en corriente continua. Así, podemos definir \begin_inset Formula $I_{eff}$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $P=I_{eff}^{2}R$ \end_inset para corrientes de forma arbitraria. Dado que \begin_inset Formula $P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^{2}R\,dt=\frac{R}{T}\int_{0}^{T}i^{2}\,dt$ \end_inset , se tiene que \begin_inset Formula \[ I_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^{2}\,dt} \] \end_inset lo que en inglés se conoce como \emph on root mean square \emph default , por lo que escribimos \begin_inset Formula $I_{rms}\coloneqq I_{eff}$ \end_inset . Así pues, \begin_inset Formula \[ P=\frac{V_{rms}^{2}}{R}=I_{rms}^{2}R \] \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Factor de potencia \end_layout \begin_layout Standard Dado que \begin_inset Formula $P=VI\cos\theta$ \end_inset , siendo \begin_inset Formula $V=V_{rms}$ \end_inset e \begin_inset Formula $I=I_{rms}$ \end_inset , podemos definir el factor de potencia como \begin_inset Formula \[ \text{pf}=\frac{P}{VI}=\cos\theta \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Este valor será 1 para cargas puramente resistivas y 0 para cargas puramente reactivas. \end_layout \begin_layout Section Transformadores \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{center} \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash begin{circuitikz} \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash draw (0,0) node[transformer core]{}; \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash end{circuitikz} \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash end{center} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Son dispositivos de una frecuencia (normalmente \begin_inset Formula $\unit[60]{Hz}$ \end_inset ) con eficiencia cercana al \begin_inset Formula $\unit[100]{\%}$ \end_inset ( \begin_inset Formula $W_{out}\cong W_{in}$ \end_inset ) formados por un núcleo de material ferromagnético, normalmente hierro blando (se magnetiza y desmagnetiza fácilmente), en el que se enrollan dos bobinas, como se muestra en la figura. \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset Graphics filename pegado1.png \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si conectamos la bobina primaria a una fuente de voltaje \begin_inset Formula $v_{s}=V_{p}\cos(\omega t)$ \end_inset y dejamos la segunda sin conectar, se producirá una pequeña corriente en la primaria que inducirá un flujo magnético en el núcleo de hierro produciendo a su vez un voltaje inducido en la misma bobina, lo que se conoce como \series bold autoinducción \series default . Este voltaje viene dado por la ley de Faraday como \begin_inset Formula $v_{1}=-N_{1}\frac{d\psi}{dt}$ \end_inset , siendo \begin_inset Formula $N$ \end_inset el número de vueltas de la bobina y \begin_inset Formula $\psi$ \end_inset el flujo magnético inducido. También se producirá una diferencia de potencial en la bobina secundaria, dada por \begin_inset Formula $v_{2}=-N_{2}\frac{d\psi}{dt}$ \end_inset . Despejando, \begin_inset Formula $\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si ahora conectamos la bobina secundaria a una carga \begin_inset Formula $R_{L}$ \end_inset , se produce \series bold inducción mutua \series default : la corriente producida por la diferencia de voltaje en el circuito secundario induce un flujo magnético en el núcleo de hierro, induciendo a su vez un voltaje en el circuito primario, y viceversa. Entonces, en un transformador ideal, \begin_inset Formula $V_{1}I_{1}=W_{1}=W_{2}=V_{2}I_{2}$ \end_inset , y en un transformador real esta es una buena aproximación. Así, \begin_inset Formula \[ \frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{N_{2}}{N_{1}} \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Por tanto \begin_inset Formula \[ \frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{\frac{V_{1}}{I_{1}}}{\frac{V_{2}}{I_{2}}}=\frac{V_{1}I_{2}}{V_{2}I_{1}}=\left(\frac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2} \] \end_inset luego si \begin_inset Formula $N_{1}>N_{2}$ \end_inset , una impedancia pequeña \begin_inset Formula $Z_{2}$ \end_inset aparece en el circuito primario como una impedancia más grande \begin_inset Formula $Z_{1}$ \end_inset . \end_layout \end_body \end_document