#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
Resultados importantes:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Ecuación ciclotómica:
\series default
 
\begin_inset Formula $(x-y)^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\dots+xy^{n-2}+y^{n-1})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Desigualdad de Bernoulli:
\series default
 
\begin_inset Formula $\forall x>-1,x\neq0,n\in\mathbb{N},(1+x)^{n}>1+nx$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Convergencia
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
sucesión
\series default
 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

) es una aplicación 
\begin_inset Formula $\phi:\mathbb{N}\rightarrow K$
\end_inset

 que denotamos como 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

, con elementos 
\begin_inset Formula $a_{n}\coloneqq \phi(n)$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $a_{n}$
\end_inset

 es el 
\series bold
término general
\series default
 de la sucesión, y puede venir dado, por ejemplo, mediante una fórmula explícita
 o por recurrencia (
\series bold
sucesión recurrente
\series default
), como es el caso de la 
\series bold
sucesión de Fibonacci
\series default
 (
\begin_inset Formula $a_{1}=a_{2}=1$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}\forall n\geq3$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 tiene límite 
\begin_inset Formula $a\in K$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}:\forall n\in\mathbb{N}(n\geq n_{\varepsilon}\implies|a_{n}-a|<\varepsilon)$
\end_inset

.
 Escribimos
\begin_inset Formula 
\[
a=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n}a_{n}
\]

\end_inset

y decimos que 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 es convergente con límite 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
 Así:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\lim_{n}a=a$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\[
\forall\varepsilon>0,|a_{n}-a|=|a-a|=0<\varepsilon
\]

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{1}{n}=0$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, se trata de demostrar que 
\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a_{n}-0|=\frac{1}{n}<\varepsilon$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $\frac{1}{n}<\frac{1}{n_{0}}$
\end_inset

, entonces basta encontrar un 
\begin_inset Formula $n_{0}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\frac{1}{n_{0}}<\varepsilon$
\end_inset

, es decir, 
\begin_inset Formula $1<n_{0}\varepsilon$
\end_inset

, que existe por la propiedad arquimediana.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\lim_{n}|a_{n}|=|\lim_{n}a_{n}|$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$
\end_inset

, fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a-a_{n}|<\varepsilon$
\end_inset

, pero entonces
\begin_inset Formula 
\[
\left||a|-|a_{n}|\right|\leq|a-a_{n}|<\varepsilon
\]

\end_inset

por lo que 
\begin_inset Formula $|a|=\lim_{n}|a_{n}|$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\lim_{n}\sqrt{a_{n}}=\sqrt{\lim_{n}a_{n}}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$
\end_inset

, fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a-a_{n}|<\varepsilon$
\end_inset

, pero
\begin_inset Formula 
\[
\left|\sqrt{a}-\sqrt{a_{n}}\right|=\frac{|a-a_{n}|}{\sqrt{a}+\sqrt{a_{n}}}\leq\frac{|a-a_{n}|}{\sqrt{a}}<\frac{\sqrt{a}\varepsilon}{\sqrt{a}}=\varepsilon
\]

\end_inset

Nótese que el caso 
\begin_inset Formula $a=0$
\end_inset

 debe ser tratado de forma especial.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{R}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a\leq b$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
intervalo cerrado
\series default
 de extremos 
\begin_inset Formula $a,b$
\end_inset

 al conjunto 
\begin_inset Formula $[a,b]\coloneqq \{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\}$
\end_inset

, 
\series bold
intervalo abierto
\series default
 a 
\begin_inset Formula $(a,b)\coloneqq \{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\}$
\end_inset

 e 
\series bold
intervalos semiabiertos
\series default
 por la derecha e izquierda, respectivamente, a 
\begin_inset Formula $[a,b)\coloneqq \{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x<b\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(a,b]\coloneqq \{x\in\mathbb{R}\mid a<x\leq b\}$
\end_inset

.
 La 
\series bold
longitud
\series default
 del intervalo es 
\begin_inset Formula $b-a$
\end_inset

.
 Llamamos 
\series bold
bola cerrada
\series default
 de centro 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 y radio 
\begin_inset Formula $r>0$
\end_inset

 al conjunto 
\begin_inset Formula $B[x_{0},r]\coloneqq \{x\in K\mid |x-x_{0}|\leq r\}$
\end_inset

, y 
\series bold
bola abierta
\series default
 a 
\begin_inset Formula $B(x_{0},r)\coloneqq \{x\in K\mid |x-x_{0}|<r\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
El límite de una sucesión convergente es único.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Supongamos por reducción al absurdo que 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 tuviera límites 
\begin_inset Formula $a\neq b$
\end_inset

.
 Entonces, dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{|a-b|}{4}>0$
\end_inset

, existen 
\begin_inset Formula $n_{1},n_{2}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $|a_{n}-a|<\varepsilon$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $n>n_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $|a_{n}-b|<\varepsilon$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $n>n_{2}$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $n_{0}\coloneqq \max\{n_{1},n_{2}\}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $|a_{n}-a|,|a_{n}-b|<\varepsilon$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $n>n_{0},$
\end_inset

 por lo que
\begin_inset Formula 
\[
|a-b|=|a-a_{n}+a_{n}-b|\leq|a-a_{n}|+|a_{n}-b|<\varepsilon+\varepsilon=\frac{|a-b|}{2}\implies1<\frac{1}{2}\#
\]

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Toda sucesión convergente es acotada, es decir 
\begin_inset Formula $\{a_{n}\mid n\in\mathbb{N}\}$
\end_inset

 es un conjunto acotado.
 
\series bold

\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$
\end_inset

.
 Dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a_{n}-a|<1$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $|a_{n}|=|a_{n}-a+a|\leq|a_{n}-a|+|a|<1+|a|$
\end_inset

.
 Llamando 
\begin_inset Formula $M\coloneqq \max\{|a_{1}|,\dots,|a_{n_{0}}|,1+|a|\}$
\end_inset

, se tiene que 
\begin_inset Formula $\forall n\in\mathbb{N},|a_{n}|\leq M$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 es acotada.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$
\end_inset

 son convergentes:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}+b_{n}=\lim_{n}a_{n}+\lim_{n}b_{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b=\lim_{n}b_{n}$
\end_inset

.
 Dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, existen 
\begin_inset Formula $n_{1},n_{2}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $|a-a_{n}|<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $n>n_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $|b-b_{n}|<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $n>n_{2}$
\end_inset

.
 Así, dado 
\begin_inset Formula $n_{0}=\max\{n_{1},n_{2}\}$
\end_inset

, para todo 
\begin_inset Formula $n>n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq|a-a_{n}|+|b-b_{n}|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
\]

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\lim_{n}(a_{n}b_{n})=\lim_{n}a_{n}\cdot\lim_{n}b_{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Tenemos que 
\begin_inset Formula $\exists\alpha>0:\forall n\in\mathbb{N},|a_{n}|\leq\alpha$
\end_inset

, luego
\begin_inset Formula 
\[
|ab-a_{n}b_{n}|=|ab-a_{n}b+a_{n}b-a_{n}b_{n}|\leq|a-a_{n}||b|+|a_{n}||b-b_{n}|\leq|a-a_{n}||b|+\alpha|b-b_{n}|
\]

\end_inset

Pero entonces, fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, existen 
\begin_inset Formula $n_{1},n_{2}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $|a-a_{n}|<\frac{\varepsilon}{2(|b|+1)}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $n>n_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $|b-b_{n}|<\frac{\varepsilon}{2a}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $n>n_{2}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $n>n_{0}\coloneqq \max\{n_{1},n_{2}\}$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
|ab-a_{n}b_{n}|\leq|a-a_{n}||b|+\alpha|b-b_{n}|<\frac{\varepsilon}{2(|b|+1)}|b|+\alpha\frac{\varepsilon}{2\alpha}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
\]

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $b_{n}\neq0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lim_{n}b_{n}\neq0$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\lim_{n}a_{n}}{\lim_{n}b_{n}}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Enumerate
Si tomamos 
\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{|b|}{2}$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{1}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \frac{|b|}{2}<|b_{n}|$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $n>n_{1}$
\end_inset

.
 Pero entonces
\begin_inset Formula 
\[
\left|\frac{a}{b}-\frac{a_{n}}{b_{n}}\right|=\frac{|ab_{n}-a_{n}b|}{|b||b_{n}|}=\frac{|ab_{n}-ab+ab-a_{n}b|}{|b||b_{n}|}\leq\frac{|a||b_{n}-b|+|a-a_{n}||b|}{|b|\alpha}
\]

\end_inset

Ahora, fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, existen 
\begin_inset Formula $n_{2},n_{3}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $|b-b_{n}|<\frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}|b|\alpha$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $n>n_{2}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $|a-a_{n}|<\frac{\varepsilon}{2|b|}|b|\alpha$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $n>n_{3}$
\end_inset

.
 Ahora, si 
\begin_inset Formula $n>n_{0}\coloneqq \max\{n_{1},n_{2},n_{\text{3}}\}$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\left|\frac{a}{b}-\frac{a_{n}}{b_{n}}\right|\leq\frac{|a||b_{n}-b|+|a-a_{n}||b|}{|b|\alpha}<|a|\frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}+|b|\frac{\varepsilon}{2|b|}<\varepsilon
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Aunque aquí hemos usado la definición de límite con valores de 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

 complicados, esto es innecesario, pues si suponemos 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a_{n}-a|<M\varepsilon$
\end_inset

 para un 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 fijo (independiente de 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

), entonces podemos aplicar lo demostrado para 
\begin_inset Formula $\varepsilon^{\prime}=\frac{\varepsilon}{M}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\exists n_{0}^{\prime}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0}^{\prime},|a_{n}-a|<M\varepsilon^{\prime}=\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $a_{n}\leq b_{n}\forall n\implies\lim_{n}a_{n}\leq\lim_{n}b_{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $a\coloneqq \lim_{n}a_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\coloneqq \lim_{n}b_{n}$
\end_inset

, y supongamos por reducción al absurdo que 
\begin_inset Formula $a>b$
\end_inset

.
 Tomando 
\begin_inset Formula $\varepsilon\coloneqq \frac{a-b}{4}$
\end_inset

, debería existir 
\begin_inset Formula $n_{0}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $|a-a_{n}|<\varepsilon$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $|b-b_{n}|<\varepsilon$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $n>n_{0}$
\end_inset

.
 Por tanto, en tal caso,
\begin_inset Formula 
\[
b_{n}=b_{n}-b+b\leq|b_{n}-b|+b<\varepsilon+b<a-\varepsilon<a_{n}\#
\]

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}<\lim_{n}b_{n}\implies\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},a_{n}<b_{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Tomemos un 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $a+\varepsilon<b-\varepsilon$
\end_inset

.
 Entonces existe un 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $a_{n}\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b_{n}\in(b-\varepsilon,b+\varepsilon)$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $a_{n}<b_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Regla del sandwich: 
\series default

\begin_inset Formula $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}\land\lim_{n}a_{n}=\lim_{n}b_{n}=\alpha\implies\lim_{n}c_{n}=\alpha$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $n>n_{0}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $a_{n},b_{n}\in B(\alpha,\varepsilon)$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $c_{n}\in B(\alpha,\varepsilon)$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $|\alpha-c_{n}|<\varepsilon$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $n>n_{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Sucesiones monótonas acotadas
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 es 
\series bold
creciente
\series default
 o 
\series bold
monótona creciente
\series default
 si 
\begin_inset Formula $a_{n}\leq a_{n+1}\forall n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, y es 
\series bold
decreciente
\series default
 o 
\series bold
monótona decreciente
\series default
 si 
\begin_inset Formula $a_{n}\geq a_{n+1}\forall n\in\mathbb{N}$
\end_inset

.
 Decimos que es 
\series bold
monótona
\series default
 si es creciente o decreciente.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 es creciente y acotada superiormente entonces converge a 
\begin_inset Formula $\sup\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

, y si es decreciente y acotada inferiormente, converge a 
\begin_inset Formula $\inf\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 es creciente y acotada superiormente, existe 
\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \sup\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

.
 Entonces, fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\alpha-\varepsilon<a_{n_{0}}$
\end_inset

, y al ser creciente, 
\begin_inset Formula $\alpha-\varepsilon<a_{n}$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $n>n_{0}$
\end_inset

.
 El segundo caso es análogo.
\end_layout

\begin_layout Standard
A continuación definimos el número 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$
\end_inset

 es creciente y acotada.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $b_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$
\end_inset

 es decreciente y acotada.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $e\coloneqq \lim_{n}a_{n}=\lim_{n}b_{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
De la desigualdad de Bernoulli, para 
\begin_inset Formula $n>1$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\frac{a_{n}}{b_{n-1}}=\left(\frac{n^{2}-1}{n^{2}}\right)^{n}=\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}>1-n\frac{1}{n^{2}}=\frac{n-1}{n}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-1}
\]

\end_inset

luego 
\begin_inset Formula $a_{n}>b_{n-1}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-1}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}=a_{n-1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 es creciente.
 Análogamente,
\begin_inset Formula 
\[
\frac{b_{n-1}}{a_{n}}=\left(\frac{n^{2}}{n^{2}-1}\right)^{n}=\left(1+\frac{1}{n^{2}-1}\right)^{n}>\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}>1+n\frac{1}{n^{2}}=1+\frac{1}{n}
\]

\end_inset

luego 
\begin_inset Formula $b_{n-1}>a_{n}(1+\frac{1}{n})=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=b_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$
\end_inset

 es decreciente.
 Además, 
\begin_inset Formula $2=a_{1}<a_{n}<b_{n}<b_{1}=4$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, por lo que ambas son monótonas acotadas y por tanto convergen.
 Pero como 
\begin_inset Formula $b_{n}=(1+\frac{1}{n})a_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lim_{n}(1+\frac{1}{n})=1$
\end_inset

, se concluye que convergen al mismo límite, que llamamos 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $S_{n}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{n!}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\lim_{n}S_{n}=e$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Desarrollamos según el binomio de Newton:
\begin_inset Formula 
\[
a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\binom{n}{0}+\frac{1}{n}\binom{n}{1}+\frac{1}{n^{2}}\binom{n}{2}+\dots+\frac{1}{n^{n-1}}\binom{n}{n-1}+\frac{1}{n^{n}}\binom{n}{n}
\]

\end_inset

Ahora, para 
\begin_inset Formula $1\leq k\leq n$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
\frac{1}{n^{k}}\binom{n}{k}=\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^{k}}=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)
\]

\end_inset

Entonces
\begin_inset Formula 
\[
a_{n}=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)\leq
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\leq\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=S_{n}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\dots+\frac{1}{2^{n-1}}<3
\]

\end_inset


\begin_inset Formula $S_{n}$
\end_inset

 es creciente y acotada superiormente, luego converge.
 Además, para cada 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 fijo, si 
\begin_inset Formula $n>m$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
a_{n}=1+\dots+\frac{1}{m!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{m-1}{n}\right)+\dots+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)>
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
>1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\dots+\frac{1}{m!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{m-1}{n}\right)
\]

\end_inset

Tomando límites en 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, se obtiene que 
\begin_inset Formula $e=\lim_{n}a_{n}\geq S_{m}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $a_{n}\leq S_{n}\leq e$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\lim_{n}S_{n}=e$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 es irracional.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Observamos que
\begin_inset Formula 
\[
e-S_{n}=\lim_{p}\sum_{k=n+1}^{p}\frac{1}{k!}
\]

\end_inset

Ahora bien,
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{k=n+1}^{p}\frac{1}{k!}=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{q}\frac{1}{(n+1)\cdots(n+k)}<\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{q}\frac{1}{(n+1)^{k}}
\]

\end_inset

Y usando la fórmula de la suma de una progresión geométrica,
\begin_inset Formula 
\[
e-S_{n}=\lim_{q\rightarrow\infty}\sum_{k=n+1}^{n+q}\frac{1}{k!}\leq\frac{1}{n!}\lim_{q}\sum_{k=1}^{q}\frac{1}{(n+1)^{k}}=\frac{1}{n!}\frac{\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{n!}\frac{1}{n}
\]

\end_inset

Si fuese 
\begin_inset Formula $e=\frac{p}{q}$
\end_inset

, tomando 
\begin_inset Formula $n=q$
\end_inset

 se tendría que
\begin_inset Formula 
\[
0<\frac{p}{q}-S_{q}<\frac{1}{q!q}\implies0<q!\frac{p}{q}-q!S_{q}<\frac{1}{q}
\]

\end_inset

Pero como entonces 
\begin_inset Formula $q!\frac{p}{q},q!S_{q}\in\mathbb{N}$
\end_inset

, se tendría que 
\begin_inset Formula $\exists n\in\mathbb{N}:n<1$
\end_inset

.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Teorema de Bolzano-Weierstrass
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
principio de encaje de Cantor
\series default
 dice que si 
\begin_inset Formula $(I_{n})_{n}$
\end_inset

 es una sucesión de intervalos cerrados de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $I_{n+1}\subseteq I_{n}$
\end_inset

 y el límite de la longitud de 
\begin_inset Formula $I_{n}$
\end_inset

 es 0, entonces 
\begin_inset Formula $\exists!a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $I_{n}\coloneqq [a_{n},b_{n}]$
\end_inset

.
 Entonces para cualquier 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b_{k}$
\end_inset

 es cota superior de 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

, pues para todo 
\begin_inset Formula $n\geq k$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a_{1}\leq\dots\leq a_{n}\leq b_{n}\leq b_{k}$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 converge.
 Si 
\begin_inset Formula $a\coloneqq \lim_{n}a_{n}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $a\leq b_{k}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $a_{k}\leq a\leq b_{k}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}\neq\emptyset$
\end_inset

.
 Por otra parte, si suponemos que 
\begin_inset Formula $\exists\alpha<\beta:\alpha,\beta\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $[\alpha,\beta]\subseteq\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}$
\end_inset

.
 Pero entonces la longitud de todos los 
\begin_inset Formula $I_{n}$
\end_inset

 sería mayor o igual a 
\begin_inset Formula $\beta-\alpha>0\#$
\end_inset

, de donde se desprende la unicidad.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dadas las sucesiones 
\begin_inset Formula $\phi:\mathbb{N}\rightarrow K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tau:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 estrictamente creciente, la sucesión 
\begin_inset Formula $\phi\circ\tau:\mathbb{N}\rightarrow K$
\end_inset

 es una 
\series bold
subsucesión
\series default
 de 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}\coloneqq (\phi(n))_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $(a_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}\coloneqq (\phi\circ\tau(k))_{k\in\mathbb{N}}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 es convergente, cualquier subsucesión suya converge al mismo límite.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $a=\lim_{n}(a_{n})_{n}$
\end_inset

.
 Entonces, fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\exists p\in\mathbb{N}:\forall n>p,|a_{n}-a|<\varepsilon$
\end_inset

.
 Entonces, si 
\begin_inset Formula $(a_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 es una subsucesión de 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

, necesariamente 
\begin_inset Formula $k\leq n_{k}$
\end_inset

 para cualquier 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, por lo que si 
\begin_inset Formula $k>p$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $|a_{n_{k}}-a|<\varepsilon$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lim_{k}a_{n_{k}}=a$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
teorema de Bolzano-Weierstrass
\series default
 afirma que cualquier sucesión acotada en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 posee una subsucesión convergente.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 acotada y 
\begin_inset Formula $c_{0},d_{0}\in\mathbb{R}$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $c_{0}\leq a_{n}\leq d_{0}\forall n$
\end_inset

.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $I_{0}\coloneqq [c_{0},d_{0}]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m_{0}\coloneqq \frac{c_{0}+d_{0}}{2}$
\end_inset

.
 Entonces uno de los conjuntos 
\begin_inset Formula $\{n\in\mathbb{N}\mid a_{n}\in[c_{0},m_{0}]\}$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\{n\in\mathbb{N}\mid a_{n}\in[m_{0},d_{0}]\}$
\end_inset

 es infinito.
 Llamamos a este 
\begin_inset Formula $I_{1}\coloneqq [c_{1},d_{1}]$
\end_inset

 y tomamos 
\begin_inset Formula $n_{1}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $a_{n_{1}}\in I_{1}$
\end_inset

.
 Entonces dividimos 
\begin_inset Formula $I_{1}$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $m_{1}\coloneqq \frac{c_{1}+d_{1}}{2}$
\end_inset

 y obtenemos, del mismo modo que antes, 
\begin_inset Formula $I_{2}=[c_{2},d_{2}]$
\end_inset

.
 Como es infinito podemos elegir 
\begin_inset Formula $n_{2}>n_{1}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $a_{n_{2}}\in I_{2}$
\end_inset

.
 Por inducción obtenemos una serie de intervalos 
\begin_inset Formula $(I_{k})_{k}$
\end_inset

 y una subsucesión 
\begin_inset Formula $(a_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $I_{k+1}\subsetneq I_{k}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $L(I_{k})=\frac{1}{2^{k-1}}L(I_{0})=0$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $a_{n_{k}}\in I_{k}$
\end_inset

.
 Por el principio de encaje de Cantor, se tiene que 
\begin_inset Formula $\exists!z\in\bigcap_{k}I_{k}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $z=\lim_{k}a_{n_{k}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
De aquí obtenemos que si 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 es una sucesión acotada y todas sus subsucesiones convergen a 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$
\end_inset

.
 
\series bold

\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 no fuera el límite de la sucesión, existiría 
\begin_inset Formula $\varepsilon_{0}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\left|B(a,\varepsilon_{0})^{\complement}\cap\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\right|=\infty$
\end_inset

.
 Por tanto existiría una subsucesión 
\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $B(a,\varepsilon_{0})^{\complement}$
\end_inset

.
 Como esta es acotada, entonces por el teorema de Bolzano-Weierstrass, poseería
 una subsucesión 
\begin_inset Formula $(b_{n_{k}})_{k}$
\end_inset

—que también lo sería de 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

—convergente a 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

.
 Pero entonces 
\begin_inset Formula $|b_{n}-a|\geq\varepsilon_{0}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 contradiciendo la hipótesis de que cualquier subsucesión que converja tenga
 límite 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Sucesiones de Cauchy: completitud
\end_layout

\begin_layout Standard
Una sucesión 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 es 
\series bold
de Cauchy
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n,m\in\mathbb{N}(n,m\geq n_{0}\implies|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de completitud de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

:
\series default
 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 es convergente si y sólo si es de Cauchy.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $a\coloneqq \lim_{n}a_{n}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a_{n}-a|<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

.
 Por tanto, si 
\begin_inset Formula $n,m>n_{0}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $|a_{m}-a_{n}|=|a_{m}-a+a-a_{n}|\leq|a_{m}-a|+|a-a_{n}|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Primero probamos que una sucesión de Cauchy es acotada: Dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a_{n}-a_{n_{0}}|<\varepsilon=1$
\end_inset

, de donde
\begin_inset Formula 
\[
|a_{n}|=|a_{n}-a_{n_{0}}+a_{n_{0}}|\leq|a_{n}-a_{n_{0}}|+|a_{n_{0}}|<1+|a_{n_{0}}|
\]

\end_inset

y si llamamos 
\begin_inset Formula $M\coloneqq \max\{|a_{1}|,\dots,|a_{n_{0}}|,1+|a_{n_{0}}|\}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $a_{1}\leq|a_{n}|\leq M\forall n$
\end_inset

.
 Ahora, aplicando el teorema de Bolzano-Weierstrass, sabemos que existe
 una subsucesión 
\begin_inset Formula $(a_{n_{k}})_{k}$
\end_inset

 convergente, digamos, a 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 es de Cauchy, fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $n,m>n_{0}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $|a_{n}-a_{m}|<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

.
 Por otra parte, como 
\begin_inset Formula $\lim_{k}a_{n_{k}}=b$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $k_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $k>k_{0}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $|a_{n_{k}}-b|<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

.
 Ahora, si 
\begin_inset Formula $p>\max\{n_{0},k_{0}\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n>p$
\end_inset

, entonces
\lang english

\begin_inset Formula 
\[
|a_{n}-b|=|a_{n}-a_{n_{p}}+a_{n_{p}}-b|\leq|a_{n}-a_{n_{p}}|+|a_{n_{p}}-b|\overset{(n_{p}>p)}{<}\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Funciones elementales
\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, definimos 
\begin_inset Formula $a^{n}\coloneqq a\cdots a$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 veces).
 Esta definición puede extenderse a 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

 definiendo 
\begin_inset Formula $a^{0}\coloneqq 1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a^{n}=\frac{1}{a^{-n}}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{-}$
\end_inset

.
 Con exponentes racionales, se define 
\begin_inset Formula $a^{\frac{m}{n}}\coloneqq \sqrt[n]{a^{m}}$
\end_inset

, y podemos probar fácilmente que si 
\begin_inset Formula $\frac{p}{q}=\frac{m}{n}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}}$
\end_inset

, para lo cual necesitamos las propiedades de la exponencial:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $a^{r+s}=a^{r}a^{s}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(ab)^{r}=a^{r}b^{r}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(a^{r})^{s}=a^{rs}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $r<s\implies(a>1\implies a^{r}<a^{s})\land(0<a<1\implies a^{r}>a^{s})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $0<a<b\implies(r>0\implies a^{r}<b^{r})\land(r<0\implies a^{r}>b^{r})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Podemos demostrar estas propiedades de forma sencilla demostrándolas primero
 para exponentes naturales y luego generalizando en 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

.
 Para exponentes reales, definimos
\begin_inset Formula 
\[
a^{x}=\lim_{n}a^{r_{n}}
\]

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $(r_{n})_{n}$
\end_inset

 es una sucesión de racionales que converge a 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

.
 Este límite existe y es independiente de la sucesión 
\begin_inset Formula $(r_{n})_{n}$
\end_inset

 escogida.
 
\series bold

\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Primero demostraremos que 
\begin_inset Formula $\forall a>0,\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall r\in\mathbb{Q},0<r<\frac{1}{n_{0}},|a^{r}-1|<\varepsilon$
\end_inset

.
 Fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $\lim_{n}a^{\frac{1}{n}}=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},|a^{\frac{1}{n}}-1|<\varepsilon$
\end_inset

.
 Entonces, si 
\begin_inset Formula $a>1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0<a^{r}-1<a^{\frac{1}{n_{0}}}-1<\varepsilon$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $0<a<1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a^{r}>a^{\frac{1}{n_{0}}}$
\end_inset

 luego 
\begin_inset Formula $0<1-a^{r}<1-a^{\frac{1}{n_{0}}}<\varepsilon$
\end_inset

.
 Pasemos a demostrar la existencia de 
\begin_inset Formula $\lim_{n}a^{r_{n}}$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $x>0$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $(r_{n})_{n}$
\end_inset

 es convergente entonces es acotada, por lo que 
\begin_inset Formula $\exists K\in\mathbb{Q}:0\leq r_{n}\leq K$
\end_inset

 a partir de cierto elemento, y entonces 
\begin_inset Formula $a^{r_{n}}\leq a^{K}\coloneqq M$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $a>1$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $a^{r_{n}}<a^{0}=1\coloneqq M$
\end_inset

.
 Así, si 
\begin_inset Formula $r_{m}\geq r_{n}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $|a^{r_{n}}-a^{r_{m}}|=a^{r_{n}}(a^{r_{m}-r_{n}}-1)\leq M(a^{r_{m}-r_{n}}-1)$
\end_inset

, y en general, 
\begin_inset Formula $|a^{r_{n}}-a^{r_{m}}|\leq M(a^{|r_{m}-r_{n}|}-1)$
\end_inset

, y aplicando lo anteriormente demostrado sobre el lado derecho, se tiene
 que 
\begin_inset Formula $(a^{r_{n}})_{n}$
\end_inset

 es de Cauchy.
 El caso para 
\begin_inset Formula $x<0$
\end_inset

 es análogo.
 Así, fijado 
\begin_inset Formula $\frac{1}{m_{1}}>0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $k_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n,m\geq k_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|r_{n}-r_{m}|<\frac{1}{m_{1}}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $|a^{r_{n}}-a^{r_{m}}|\leq M(a^{|r_{m}-r_{n}|}-1)\leq M\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon$
\end_inset

.
 Sea ahora 
\begin_inset Formula $y\coloneqq \lim_{n}a^{r_{n}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(p_{n})_{n}$
\end_inset

 otra sucesión de racionales con 
\begin_inset Formula $x=\lim_{n}p_{n}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $|a^{r_{n}}-a^{p_{n}}|\leq M(a^{|p_{n}-r_{n}|}-1)$
\end_inset

, y fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $n>n_{0}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $|p_{n}-r_{n}|\leq|p_{n}-x|+|x-r_{n}|<\frac{1}{2m_{1}}+\frac{1}{2m_{1}}=\frac{1}{m_{1}}$
\end_inset

, y finalmente 
\begin_inset Formula $|a^{p_{n}}-y|\leq|a^{p_{n}}-a^{r_{n}}|+|a^{r_{n}}-y|\leq\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
A continuación vemos las propiedades de la exponencial para exponentes reales:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $a^{x+y}=a^{x}a^{y}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Como 
\begin_inset Formula $\lim_{n}(q_{n}+r_{n})=\lim_{n}q_{n}+\lim_{n}r_{n}=x+y$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula 
\[
a^{x+y}=\lim_{n}a^{q_{n}+r_{n}}=\lim_{n}(a^{q_{n}}a^{r_{n}})=\lim_{n}a^{q_{n}}+\lim_{n}a^{r_{n}}=a^{x}+a^{y}
\]

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\[
(ab)^{x}=\lim_{n}(ab)^{q_{n}}=\lim_{n}a^{q_{n}}b^{q_{n}}=\lim_{n}a^{q_{n}}\lim_{n}b^{q_{n}}=a^{x}b^{x}
\]

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(a^{x})^{y}=a^{xy}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Primero probamos que si 
\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q\in\mathbb{Q}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}^{q}=a^{q}$
\end_inset

, es decir, que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}^{q}=(\lim_{n}a_{n})^{q}$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $q=\frac{r}{k}>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a>0$
\end_inset

.
 Comenzamos probando que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}^{\frac{1}{k}}=a^{\frac{1}{k}}$
\end_inset

, para lo que usaremos la ecuación ciclotómica:
\begin_inset Formula 
\[
|a_{n}^{\frac{1}{k}}-a^{\frac{1}{k}}|=\frac{|a_{n}-a|}{a_{n}^{\frac{k-1}{k}}+a_{n}^{\frac{k-2}{k}}a+\dots+a_{n}a^{\frac{k-2}{k}}+a^{\frac{k-1}{k}}}\leq\frac{|a_{n}-a|}{a^{\frac{k-1}{k}}}\leq\frac{a^{\frac{k-1}{k}}\varepsilon}{a^{\frac{k-1}{k}}}=\varepsilon
\]

\end_inset

De aquí deducimos que
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{n}a_{n}^{q}=\lim_{n}a_{n}^{\frac{r}{k}}=\lim_{n}(a^{\frac{1}{k}})^{r}=\left(\lim_{n}a_{n}^{\frac{1}{k}}\right)^{r}=(a^{\frac{1}{k}})^{r}=a^{\frac{r}{k}}=a^{q}
\]

\end_inset

El caso en que 
\begin_inset Formula $a<0$
\end_inset

 es análogo.
 Ahora, si 
\begin_inset Formula $a=\lim_{n}a_{n}=0$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{1}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{1},a_{n}<\varepsilon^{\frac{1}{q}}$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $|a_{n}^{q}-0|=a_{n}^{q}<(\varepsilon^{\frac{1}{q}})^{q}=\varepsilon$
\end_inset

.
 Pasemos a demostrar que 
\begin_inset Formula $(a^{x})^{y}=a^{xy}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $a>1$
\end_inset

 y tomamos 
\begin_inset Formula $\lim_{n}r_{n}=x$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lim_{n}q_{n}=y$
\end_inset

 sucesiones crecientes de racionales, usando las propiedades de monotonía
 y límites,
\begin_inset Formula 
\[
(a^{x})^{y}=\sup\{(a^{x})^{q_{m}}\}_{m\in\mathbb{N}}=\sup\{\sup\{(a^{r_{n}})^{q_{m}}\}_{n\in\mathbb{N}}\}_{m\in\mathbb{N}}=
\]

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
=\sup\{\sup\{a^{r_{n}q_{m}}\}_{n\in\mathbb{N}}\}_{m\in\mathbb{N}}=\sup\{a^{xq_{m}}\}_{m\in\mathbb{N}}=a^{xy}
\]

\end_inset

El caso 
\begin_inset Formula $a<1$
\end_inset

 se reduce a este tomando inversos, y el caso 
\begin_inset Formula $a=1$
\end_inset

 es trivial.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $x<y\implies(a>1\implies a^{x}<a^{y})\land(0<a<1\implies a^{x}>a^{y})$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Para 
\begin_inset Formula $a>1$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{y-x}{3}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s,t\in\mathbb{Q}$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $x+\varepsilon<s<t<y-\varepsilon$
\end_inset

.
 Existe entonces 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $q_{n}<s$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $t<r_{n}$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $a^{q_{n}}<a^{s}<a^{t}<a^{r_{n}}$
\end_inset

, y tomando límites, 
\begin_inset Formula $a^{x}\leq a^{s}<a^{t}\leq a^{y}$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $0<a<1$
\end_inset

, la demostración es análoga.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $0<a<b\implies(x>0\implies a^{x}<b^{x})\land(x<0\implies a^{x}>b^{x})$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Para 
\begin_inset Formula $x>0$
\end_inset

, se trata de demostrar que 
\begin_inset Formula $\left(\frac{b}{a}\right)^{x}=\frac{b^{x}}{a^{x}}>1$
\end_inset

 dado 
\begin_inset Formula $\frac{b}{a}>1$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $(p_{n})_{n}$
\end_inset

 una sucesión creciente con límite 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $p_{n}>0$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\left(\frac{b}{a}\right)^{r_{n}}\geq\left(\frac{b}{a}\right)^{r_{1}}>\left(\frac{b}{a}\right)^{0}=1$
\end_inset

, y tomando límites, 
\begin_inset Formula $\left(\frac{b}{a}\right)^{x}\geq\left(\frac{b}{a}\right)^{r_{1}}>1$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $x<0$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $a^{y}>0\forall y\in\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a^{-x}<b^{-x}\implies\frac{1}{a^{x}}<\frac{1}{b^{x}}\implies b^{x}<a^{x}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\lim_{n}a^{x_{n}}=a^{\lim_{n}x_{n}}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sea 
\begin_inset Formula $x\coloneqq \lim_{n}x_{n}$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $|a^{x}-a^{x_{n}}|=|a^{x}||1-a^{x_{n}-x}|$
\end_inset

, basta probar que para 
\begin_inset Formula $(y_{m})_{m}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\lim_{m}y_{m}=0$
\end_inset

, se cumple que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}a^{y_{m}}=a^{0}=1$
\end_inset

.
 Ahora, dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $a^{\frac{1}{n_{0}}}-1<\varepsilon$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $y_{m}>0\forall m$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $m_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $m>m_{0}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $0<y_{m}<\frac{1}{n_{0}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a^{y_{m}}-1<a^{\frac{1}{n_{0}}}-1<\varepsilon$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $y_{m}<0\forall m$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $m_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $m>m_{0}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $0<|y_{m}|<\frac{1}{n_{0}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $1-a^{y_{m}}=1-\frac{1}{a^{-y_{m}}}=\frac{a^{-y_{m}}-1}{a^{-y_{m}}}<\frac{\varepsilon}{1}=\varepsilon$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $a^{-y_{m}}>1$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $y_{m}$
\end_inset

 puede cambiar de signo, combinamos ambas pruebas y obtenemos que 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists m_{0}\in\mathbb{N}:\forall m>m_{0},|a^{y_{m}}-1|<\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $a^{x}$
\end_inset

 no está acotada superiormente para 
\begin_inset Formula $a>1$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $a>1\implies\forall k\in\mathbb{R},\exists t\in\mathbb{R}:(x>t\implies a^{x}>k)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Supongamos por reducción al absurdo que 
\begin_inset Formula $\exists K\in\mathbb{R}:\forall x\in\mathbb{R},a^{x}\leq K$
\end_inset

.
 En particular, existe 
\begin_inset Formula $K\in\mathbb{R}$
\end_inset

 tal que para todo 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 se tiene 
\begin_inset Formula $a^{n}\leq K$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $a\leq K^{\frac{1}{n}}$
\end_inset

.
 Por otro lado, como 
\begin_inset Formula $\lim_{n}K^{\frac{1}{n}}=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a>1$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K^{\frac{1}{n}}<a$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $a^{n_{0}}>K\#$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\inf\{a^{x}\}_{x\in\mathbb{R}}=0$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $a<1$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $a<1\implies\forall\varepsilon>0,\exists t\in\mathbb{R}:(x>t\implies a^{x}<\varepsilon)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Tomamos 
\begin_inset Formula $b\coloneqq \frac{1}{a}>1$
\end_inset

 y aplicamos el apartado anterior.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $0<a\neq1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\exists!y\in\mathbb{R}:a^{y}=x$
\end_inset

.
 
\series bold

\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Supongamos 
\begin_inset Formula $a>1$
\end_inset

 y sea 
\begin_inset Formula $A\coloneqq \{z\in\mathbb{R}\mid a^{z}\leq x\}$
\end_inset

, que sabemos acotado superiormente.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $y\coloneqq \sup A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 una sucesión de elementos de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 que converge a 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $a^{x_{n}}\leq x$
\end_inset

.
 Si fuera 
\begin_inset Formula $a^{y}<x$
\end_inset

, dado que 
\begin_inset Formula $\frac{x}{a^{y}}>1$
\end_inset

, existe un 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a^{\frac{1}{n}}<\frac{x}{a^{y}}$
\end_inset

, y si tomamos 
\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{1}{n}$
\end_inset

, se tiene que 
\begin_inset Formula $a^{\varepsilon}<\frac{x}{a^{y}}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $a^{y+\varepsilon}<x$
\end_inset

.
 Pero esto contradice la definición de 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 como supremo de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Ahora supongamos 
\begin_inset Formula $0<a<1$
\end_inset

 y sea 
\begin_inset Formula $a^{\prime}\coloneqq \frac{1}{a}>1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x^{\prime}\coloneqq \frac{1}{x}$
\end_inset

.
 Aplicando lo anterior, existe un único 
\begin_inset Formula $y\in\mathbb{R}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $(a^{\prime})^{y}=x^{\prime}$
\end_inset

, es decir, 
\begin_inset Formula $\left(\frac{1}{a}\right)^{y}=\frac{1}{a^{y}}=\frac{1}{x}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $a^{y}=x$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
logaritmo
\series default
 en 
\series bold
base
\series default
 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $\log_{a}x$
\end_inset

) al único 
\begin_inset Formula $y\in\mathbb{R}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $a^{y}=x$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $a=e$
\end_inset

, lo llamamos 
\series bold
logaritmo neperiano
\series default
, escrito 
\begin_inset Formula $\log x$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\ln x$
\end_inset

.
 Propiedades:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\log_{a}a^{x}=x$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sea 
\begin_inset Formula $z=\log_{a}a^{x}$
\end_inset

, este es el único real con 
\begin_inset Formula $a^{z}=a^{x}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $z=x$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $a^{\log_{a}x}=x$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sea 
\begin_inset Formula $z=\log_{a}x$
\end_inset

, este es el único real con 
\begin_inset Formula $a^{z}=x$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $\alpha=\log_{a}x$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\beta=\log_{a}y$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $a^{\alpha+\beta}=a^{\alpha}a^{\beta}=xy$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\log_{a}xy=\alpha+\beta=\log_{a}x+\log_{a}y$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $a^{\alpha-\beta}=\frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}}=\frac{x}{y}$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\log_{a}\frac{x}{y}=\alpha-\beta=\log_{a}x-\log_{a}y$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\log_{a}x^{y}=y\log_{a}x$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\[
a^{y\log_{a}x}=(a^{\log_{a}x})^{y}=x^{y}\implies\log_{a}x^{y}=y\log_{a}x
\]

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $a>1\land0<x<y\implies\log_{a}x<\log_{a}y$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si fuera 
\begin_inset Formula $\alpha\geq\beta$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $a>1$
\end_inset

, se tendría que 
\begin_inset Formula $x=a^{\alpha}\geq a^{\beta}=y\#$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $0<a<1\land0<x<y\implies\log_{a}x>\log_{a}y$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Si fuera 
\begin_inset Formula $\beta\geq\alpha$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $0<a<1$
\end_inset

, se tendría que 
\begin_inset Formula $y=a^{\beta}\leq a^{\alpha}=x\#$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}>0\land\forall n,x_{n}>0\implies\lim_{n}\log_{a}x_{n}=\log_{a}\lim_{n}x_{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sea 
\begin_inset Formula $x\coloneqq \lim_{n}x_{n}>0$
\end_inset

 y queremos demostrar que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\log_{a}x_{n}=\log_{a}x$
\end_inset

, lo que equivale a que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}(\log_{a}x_{n}-\log_{a}x)=0$
\end_inset

 y por tanto a que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\log_{a}\frac{x_{n}}{x}=0$
\end_inset

.
 Para esto basta probar que si 
\begin_inset Formula $(c_{n})_{n}$
\end_inset

 es una sucesión con 
\begin_inset Formula $c_{n}>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lim_{n}c_{n}=1$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\log_{a}c_{n}=0$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $\beta_{n}\coloneqq \log_{a}c_{n}$
\end_inset

 y supongamos que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\beta_{n}\neq0$
\end_inset

.
 Debe existir por tanto un 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 tal que para todo 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 exista un 
\begin_inset Formula $m>n$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $|\beta_{m}|>\varepsilon$
\end_inset

.
 Así, para 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $n_{1}>1$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $|\beta_{n_{1}}|>\varepsilon$
\end_inset

, y podemos encontrar 
\begin_inset Formula $n_{2}>n_{1}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $|\beta_{n_{2}}|>\varepsilon$
\end_inset

.
 Definimos por recurrencia una subsucesión 
\begin_inset Formula $(\beta_{n_{k}})_{k}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $|\beta_{n_{k}}|>\varepsilon$
\end_inset

.
 Podemos suponer que todos son positivos o negativos.
 Pero entonces, para el primer caso, 
\begin_inset Formula $c_{n_{k}}=a^{\beta_{n_{k}}}>a^{\varepsilon}\coloneqq M>a^{0}=1$
\end_inset

.
 En el segundo caso, 
\begin_inset Formula $\beta_{n_{k}}<-\varepsilon$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $c_{n_{k}}=a^{\beta_{n_{k}}}<a^{-\varepsilon}\coloneqq M<a^{0}=1$
\end_inset

.
 Para ambos casos se tiene que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}c_{n_{k}}\neq1\#$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\lim_{n}\sin x_{n}=\sin\lim_{n}x_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\cos x_{n}=\cos\lim_{n}x_{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $c=\lim_{n}x_{n}$
\end_inset

, y se tiene que 
\begin_inset Formula $\sin x\leq x\leq\tan x$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$
\end_inset

.
 Así,
\begin_inset Formula 
\[
|\sin x-\sin c|=2\left|\sin\frac{x-c}{2}\cos\frac{x+c}{2}\right|\leq2\left|\sin\frac{x-c}{2}\right|\leq2\frac{|x-c|}{2}=|x-c|
\]

\end_inset

Por tanto, fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|x_{n}-c|<\varepsilon$
\end_inset

.
 Entonces, para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|\sin x_{n}-\sin c|\leq|x-c|<\varepsilon$
\end_inset

.
 Para el coseno,
\begin_inset Formula 
\[
|\cos x-\cos c|=\left|-2\sin\frac{x+c}{2}\sin\frac{x-c}{2}\right|\leq2\left|\sin\frac{x-c}{2}\right|\leq|x-c|
\]

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Límites infinitos
\end_layout

\begin_layout Standard
La sucesión 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 de números reales tiene límite 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

más infinito
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=+\infty$
\end_inset

) si 
\begin_inset Formula $\forall M>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},a_{n}>M$
\end_inset

, y tiene límite 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

menos infinito
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=-\infty$
\end_inset

) si 
\begin_inset Formula $\forall M<0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n>n_{0},a_{n}<M$
\end_inset

.
 Podemos generalizar el álgebra de límites con:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{ccc}
a+(-\infty)=-\infty & a-(+\infty)=-\infty & a-(-\infty)=+\infty\\
\frac{a}{\pm\infty}=0 & a>0\implies a(+\infty)=+\infty & a>0\implies a(-\infty)=-\infty\\
a<0\implies a(+\infty)=-\infty & a<0\implies a(-\infty)=+\infty & (+\infty)+(+\infty)=+\infty\\
(-\infty)+(-\infty)=-\infty & (+\infty)(+\infty)=+\infty & (-\infty)(-\infty)=+\infty\\
(+\infty)(-\infty)=-\infty & (+\infty)^{+\infty}=+\infty & (+\infty)^{-\infty}=0
\end{array}
\]

\end_inset

Además, si 
\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a_{n}>0\forall n$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lim_{n}b_{n}=+\infty$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}^{b_{n}}=0$
\end_inset

.
 Sin embargo, nada puede decirse en general de:
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{llll}
(+\infty)+(-\infty) & (\pm\infty)\cdot0 & \frac{\pm\infty}{\pm\infty} & \frac{0}{0}\\
\frac{a}{0} & 1^{\pm\infty} & (\pm\infty)^{0} & 0^{0}
\end{array}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos a estas situaciones 
\series bold
indeterminaciones
\series default
\SpecialChar endofsentence

\end_layout

\begin_layout Section
Algunas sucesiones notables.
 Jerarquía de sucesiones divergentes
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=\pm\infty$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\left(1+\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}}=e$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\left(1-\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}}=e^{-1}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Para 
\begin_inset Formula $x_{n}=n$
\end_inset

 es cierto.
 Como 
\begin_inset Formula $[x_{n}]\leq x_{n}<[x_{n}]+1$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\frac{1}{1+[x_{n}]}<\frac{1}{x_{n}}\leq\frac{1}{[x_{n}]}$
\end_inset

, se tiene que 
\begin_inset Formula $\left(1+\frac{1}{[x_{n}]+1}\right)^{[x_{n}]}\leq\left(1+\frac{1}{x_{n}}\right)^{[x_{n}]}\leq\left(1+\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}}\leq\left(1+\frac{1}{[x_{n}]}\right)^{x_{n}}\leq\left(1+\frac{1}{[x_{n}]}\right)^{[x_{n}]+1}$
\end_inset

.
 Sabemos además que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}=\lim_{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=e$
\end_inset

.
 Fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n>n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\left|\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}-e\right|<\varepsilon$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $e-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}<e+\varepsilon$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $\left|\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}-e\right|<\varepsilon$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $e-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}<e+\varepsilon$
\end_inset

.
 Ahora, como 
\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=+\infty$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{1}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n>n_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $n_{0}<[x_{n}]\in\mathbb{N}$
\end_inset

, luego lo anterior se cumple, por lo que 
\begin_inset Formula $\left|\left(1+\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}}-e\right|<\varepsilon$
\end_inset

.
 La segunda parte se obtiene de que 
\begin_inset Formula $\left(1-\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}}=\left(\frac{x_{n}}{x_{n}-1}\right)^{-x_{n}}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x_{n}-1}\right)^{x_{n}}}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si existe 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{z_{n+1}}{z_{n}}=w\in\mathbb{R}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $|w|<1$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\lim_{n}z_{n}=0$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Se tendría que existe 
\begin_inset Formula $0<a<1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\left|\frac{z_{n+1}}{z_{n}}\right|<a<1$
\end_inset

.
 En particular, 
\begin_inset Formula $|z_{n_{0}+1}|<|z_{n_{0}}|a$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|z_{n_{0}+2}|<|z_{n_{0}+1}|a<|z_{n_{0}}|a^{2}$
\end_inset

, y en general, 
\begin_inset Formula $|z_{n_{0}+k}|<|z_{n_{0}}|a^{k}$
\end_inset

.
 Pero 
\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\lim_{n}|z_{n}|=0$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\lim_{n}z_{n}=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{k}n^{k}+\dots+a_{0}}{b_{r}n^{r}+\dots+b_{0}}=\begin{cases}
\frac{a_{k}}{b_{r}} & \text{si }k=r\\
0 & \text{si }k<r\\
\pm\infty & \text{si }k>r\text{, dependiendo del signo de \ensuremath{\frac{a_{k}}{b_{r}}}.}
\end{cases}$
\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Para demostrarlo, en cada caso, dividimos numerador y denominador por 
\begin_inset Formula $\min\{k,r\}$
\end_inset

 y aplicamos propiedades de los límites para 
\begin_inset Formula $k=r$
\end_inset

 (pues ambos existen y son no nulos) y de los límites infinitos para 
\begin_inset Formula $k\neq r$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=\infty$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lim_{n}b_{n}=\infty$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 es un infinito 
\series bold
de orden superior
\series default
 a 
\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$
\end_inset

 y escribimos 
\begin_inset Formula $b_{n}\ll a_{n}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\infty$
\end_inset

.
 Si existen 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $0<\alpha\leq\frac{a_{n}}{b_{n}}\leq\beta$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $n>n_{0}$
\end_inset

, se dice que ambas tienen el 
\series bold
mismo orden de infinitud
\series default
.
 Y si además 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=1$
\end_inset

, se dice que son 
\series bold
equivalentes
\series default
.
 Así, si 
\begin_inset Formula $b>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c>1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d>0$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\log n\ll n^{b}\ll c^{n}\ll n^{dn}
\]

\end_inset

Si además 
\begin_inset Formula $d\geq1$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $c^{n}\ll n!\ll n^{dn}$
\end_inset

.
 
\series bold

\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Todas, salvo la primera, son consecuencia del apartado (2) anterior.
 Así, para demostrar 
\begin_inset Formula $n^{b}\ll c^{n}$
\end_inset

, tomamos 
\begin_inset Formula $z_{n}\coloneqq \frac{n^{b}}{c^{n}}$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{z_{n+1}}{z_{n}}=\lim_{n}\frac{(n+1)^{b}c^{n}}{n^{b}c^{n+1}}=\lim_{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{b}\frac{1}{c}=\frac{1}{c}<1$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}z_{n}=0$
\end_inset

.
 Para demostrar que 
\begin_inset Formula $\log n\ll n^{b}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $b>0$
\end_inset

, tomamos 
\begin_inset Formula $b=1$
\end_inset

 y tenemos en cuenta que 
\begin_inset Formula $\log n=M\log_{10}n$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $10^{k-1}\leq n<10^{k}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $0\leq\frac{log_{10}n}{n}\leq\frac{k}{10^{k-1}}=10\frac{k}{10^{k}}$
\end_inset

.
 Aplicando el apartado (2) anterior y la regla del sándwich se obtiene el
 resultado.
 Para 
\begin_inset Formula $b>1$
\end_inset

 el resultado es consecuencia de esto y de que 
\begin_inset Formula $n<n^{b}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $b<1$
\end_inset

, tomamos 
\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\frac{1}{m}<b$
\end_inset

.
 Para cada 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $(k-1)^{m}\leq n<k^{m}$
\end_inset

, y además 
\begin_inset Formula $\lim_{n}k=+\infty$
\end_inset

.
 Ahora, puesto que 
\begin_inset Formula $0<\frac{\log_{10}n}{n^{b}}\leq\frac{\log_{10}n}{\sqrt[m]{n}}\leq\frac{m\log_{10}k}{k-1}$
\end_inset

 y hemos probado que 
\begin_inset Formula $\lim_{k}\frac{\log_{10}k}{k}=0$
\end_inset

, se obtiene que, también en este caso, 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\log\frac{n}{n^{b}}=0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Equivalencias
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $0<|x_{n}|<1$
\end_inset

, entonces:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\log(1+x_{n})\sim x_{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Supongamos 
\begin_inset Formula $0<x_{n}<1\forall n$
\end_inset

.
 Entonces, si 
\begin_inset Formula $y_{n}\coloneqq \frac{1}{x_{n}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{\log(1+x_{n})}{x_{n}}=\lim_{n}\log(1+x_{n})^{\frac{1}{x_{n}}}=\lim_{n}\log\left(1+\frac{1}{y_{n}}\right)^{y_{n}}=\log\lim_{n}\left(1+\frac{1}{y_{n}}\right)^{y_{n}}=\log e=1$
\end_inset

.
 Cuando 
\begin_inset Formula $0>x_{n}>-1$
\end_inset

, la prueba es idéntica, pues 
\begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}=-\infty$
\end_inset

.
 Para el caso general, los términos de 
\begin_inset Formula $x_{n}$
\end_inset

 se dividen en dos subsucesiones distintas: 
\begin_inset Formula $(x_{n}^{\prime})_{n}$
\end_inset

 de términos positivos y 
\begin_inset Formula $(x_{n}^{\prime\prime})_{n}$
\end_inset

 de negativos.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{\log(1+x_{n}^{\prime})}{x_{n}^{\prime}}=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{\log(1+x_{n}^{\prime\prime})}{x_{n}^{\prime\prime}}=1$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{\log(1+x_{n})}{x_{n}}=1$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $e^{x_{n}}-1\sim x_{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sea 
\begin_inset Formula $y_{n}\coloneqq e^{x_{n}}-1$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $y_{n}+1=e^{x_{n}}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $x_{n}=\log(1+y_{n})$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}=0$
\end_inset

, por el apartado anterior, 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{e^{x_{n}}-1}{x_{n}}=\lim_{n}\frac{y_{n}}{\log(1+y_{n})}=1$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=1$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x_{n}\neq1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}=\pm\infty$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{n}x_{n}^{y_{n}}=e^{\lim_{n}y_{n}(x_{n}-1)}
\]

\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(x_{n})^{y_{n}}=e^{y_{n}\log x_{n}}=e^{y_{n}\log(1+(x_{n}-1))}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\lim_{n}(x_{n})^{y_{n}}=e^{\lim_{n}y_{n}\log(1+(x_{n}-1))}$
\end_inset

.
 Así, como 
\begin_inset Formula $\lim_{n}(x_{n}-1)=0$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}\log(1+(x_{n}-1))=\lim_{n}y_{n}(x_{n}-1)\frac{\log(1+(x_{n}-1))}{x_{n-1}}=\lim_{n}y_{n}(x_{n}-1)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x_{n}\neq0$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\sin x_{n}\sim x_{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $x\in(0,\frac{\pi}{2})$
\end_inset

, se tiene que 
\begin_inset Formula $\sin x\leq x\leq\tan x$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $1\leq\frac{x}{\sin x}\leq\frac{1}{\cos x}$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $x_{n}>0\forall n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $1\leq\frac{x_{n}}{\sin x_{n}}\leq\frac{1}{\cos x_{n}}$
\end_inset

.
 Dado que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\cos x_{n}=\cos0=1$
\end_inset

, por la regla del sandwich, 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{x_{n}}{\sin x_{n}}=1$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $x\in(-\frac{\pi}{2},0)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\tan x\leq x\leq\sin x$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\frac{1}{\cos x}\geq\frac{x}{\sin x}\geq1$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $\sin x>0$
\end_inset

 y llegamos a la misma conclusión.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Criterios de Stolz:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$
\end_inset

 son sucesiones de reales tales que 
\begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$
\end_inset

 es estrictamente creciente o decreciente y bien 
\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=\lim_{n}b_{n}=0$
\end_inset

, bien 
\begin_inset Formula $\lim_{n}b_{n}=\infty$
\end_inset

, si existe 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}=L\in\overline{\mathbb{R}}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L$
\end_inset

.
 
\series bold

\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $L\coloneqq \lim_{n}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}$
\end_inset

.
 Primero vemos que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}c_{n}=L\in\overline{\mathbb{R}}$
\end_inset

 puede caracterizarse como que dados 
\begin_inset Formula $\alpha<L<\beta$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha<c_{n}<\beta$
\end_inset

, donde si 
\begin_inset Formula $L=+\infty$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 está ausente y si 
\begin_inset Formula $L=-\infty$
\end_inset

 lo está 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

.
 Por otro lado, si 
\begin_inset Formula $\alpha<\frac{a}{b},\frac{c}{d}<\beta$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\alpha<\frac{a+c}{b+d}<\beta$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\alpha<L<\beta$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

 se tiene que 
\begin_inset Formula $\alpha<\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}<\beta$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha<\frac{a_{n+m}-a_{n+m-1}}{b_{n+m}-b_{n+m-1}}<\beta$
\end_inset

, luego sumando, 
\begin_inset Formula $\alpha<\frac{a_{n+m}-a_{n}}{b_{n+m}-b_{n}}<\beta$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $\lim_{m}a_{n+m}=\lim_{m}b_{n+m}=0$
\end_inset

, entonces para todo 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha\leq\frac{a_{n}}{b_{n}}\leq\beta$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dados 
\begin_inset Formula $\alpha<L<\beta$
\end_inset

, tomamos 
\begin_inset Formula $\alpha<\alpha^{\prime}<L<\beta^{\prime}<\beta$
\end_inset

.
 Procediendo como antes con 
\begin_inset Formula $n=n_{0}$
\end_inset

, se tiene que 
\begin_inset Formula $\alpha^{\prime}<\frac{\frac{a_{n_{0}+m}}{b_{n_{0}+m}}-\frac{a_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}}{1-\frac{b_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}}<\beta^{\prime}$
\end_inset

, de donde 
\begin_inset Formula $\left(1-\frac{b_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}\right)\alpha^{\prime}+\frac{a_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}<\frac{a_{n_{0}+m}}{b_{n_{0}+m}}<\left(1-\frac{b_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}\right)\beta^{\prime}+\frac{a_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}$
\end_inset

, pero existe 
\begin_inset Formula $m_{0}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $m\geq m_{0}$
\end_inset

 se tiene que 
\begin_inset Formula $\alpha<\left(1-\frac{b_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}\right)\alpha^{\prime}+\frac{a_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\left(1-\frac{b_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}\right)\beta^{\prime}+\frac{a_{n_{0}}}{b_{n_{0}+m}}<\beta$
\end_inset

 lo que, finalmente, establece que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como consecuencia:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 converge, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{n}\frac{a_{1}+\dots+a_{n}}{n}=\lim_{n}a_{n}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 converge y 
\begin_inset Formula $a_{n}>0$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{n}\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}=\lim_{n}a_{n}
\]

\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sea 
\begin_inset Formula $a=\lim_{n}(a_{n})_{n}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $a\neq0$
\end_inset

, tomando logaritmos, 
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{n}\log(\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}})=\lim_{n}\frac{\log a_{1}+\dots+\log a_{n}}{n}=\lim_{n}\log a_{n}=\log a
\]

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $a=0$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $0<\varepsilon<1$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n>n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a_{n}<\varepsilon$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula 
\[
\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n_{0}}a_{n_{0}+1}\cdots a_{n}}=\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n_{0}}}\sqrt[n]{a_{n_{0}+1}\cdots a_{n}}\leq\sqrt[n]{M}\sqrt[n]{\varepsilon^{n-n_{0}}}
\]

\end_inset

con 
\begin_inset Formula $M\coloneqq a_{1}\cdots a_{n_{0}}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $\alpha_{n}\coloneqq \varepsilon\frac{n-n_{0}}{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\alpha_{n}=\varepsilon$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\sqrt[n]{M}=1$
\end_inset

.
 Existe 
\begin_inset Formula $n_{1}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $n_{1}>n_{0}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n>n_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|M^{\frac{1}{n}}-1|<\varepsilon$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $M^{\frac{1}{n}}<1+\varepsilon$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\alpha_{n}=\varepsilon$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{2}>n_{1}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n>n_{2}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|\alpha_{n}-\varepsilon|<\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\alpha_{n}<\varepsilon+\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}=\frac{\varepsilon^{2}+2\varepsilon}{1+\varepsilon}\leq\frac{3\varepsilon}{1+\varepsilon}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}\leq\sqrt[n]{M}\sqrt[n]{\varepsilon^{n-n_{0}}}\leq(1+\varepsilon)\frac{3\varepsilon}{1+\varepsilon}=3\varepsilon$
\end_inset

, lo que prueba que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}=0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $a_{n}>0$
\end_inset

 y existe 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n}\frac{a_{n}}{a_{n-1}}
\]

\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Se tiene que 
\begin_inset Formula $\sqrt[n]{a_{n}}=\sqrt[n]{\frac{a_{1}}{1}\frac{a_{2}}{a_{1}}\cdots\frac{a_{n}}{a_{n-1}}}$
\end_inset

.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $A_{n}\coloneqq \frac{a_{n}}{a_{n-1}}$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $n\geq2$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A_{1}=a_{1}$
\end_inset

, se obtiene que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n}\sqrt[n]{A_{1}\cdots A_{n}}=\lim_{n}A_{n}=\lim_{n}\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Series numéricas
\end_layout

\begin_layout Standard
Dada una sucesión 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 de números reales, podemos formar una sucesión 
\begin_inset Formula $(S_{n})_{n}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $S_{n}=\sum_{1\leq i\leq n}a_{i}$
\end_inset

, que llamamos 
\series bold
serie
\series default
 asociada de 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

.
 Sus términos se denominan 
\series bold
sumas parciales
\series default
 de la serie (
\begin_inset Formula $S_{n}$
\end_inset

 es la suma parcial 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-ésima), y los de 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

, términos de la serie (el término genérico 
\begin_inset Formula $a_{n}$
\end_inset

 se denomina 
\series bold
término general
\series default
).
 A 
\begin_inset Formula $(S_{n})_{n}$
\end_inset

 la denotamos como 
\begin_inset Formula $a_{1}+\dots+a_{n}+\dots$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $\lim_{n}S_{n}=S\in\mathbb{R}$
\end_inset

, la serie es 
\series bold
convergente
\series default
 y escribimos 
\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=S$
\end_inset

.
 De lo contrario es 
\series bold
divergente
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
condición de Cauchy
\series default
 nos dice que 
\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
\end_inset

 es convergente si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall p,q\in\mathbb{N},(n_{0}\leq p\leq q\implies|a_{p+1}+\dots+a_{q}|<\varepsilon)$
\end_inset

.
 
\series bold

\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 A partir de la condición de Cauchy para la existencia de límite y que 
\begin_inset Formula $|S_{q}-S_{p}|=\left|\sum_{n=1}^{q}a_{n}-\sum_{n=1}^{p}a_{n}\right|=|a_{p+1}+\dots+a_{q}|$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
De aquí, tomando 
\begin_inset Formula $q=p+1$
\end_inset

, se tiene que si 
\begin_inset Formula $S_{n}$
\end_inset

 converge, entonces 
\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=0$
\end_inset

.
 También se tiene que la convergencia de una serie no se altera modificando
 un número finito de términos de esta.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Linealidad de la suma:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=B$
\end_inset

, entonces para 
\begin_inset Formula $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$
\end_inset

, se tiene que 
\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}(\lambda a_{n}+\mu b_{n})=\lambda A+\mu B$
\end_inset

.
 
\series bold

\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Para cada 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $S_{n}\coloneqq \lambda A_{n}+\mu B_{n}=\sum_{k=1}^{n}\lambda a_{n}+\sum_{k=1}^{n}\mu b_{n}=\sum_{k=1}^{n}(\lambda a_{n}+\mu b_{n})$
\end_inset

.
 Aplicando las propiedades de límites, 
\begin_inset Formula $\lim_{n}S_{n}=\lim_{n}(\lambda A_{n}+\mu B_{n})=\lambda A+\mu B$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dada una serie 
\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$
\end_inset

 de términos 
\begin_inset Formula $a_{n}\geq0$
\end_inset

, esta es convergente si y sólo si la sucesión de sumas parciales es acotada,
 pues esta es monótona creciente.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Criterios de comparación:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dadas 
\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a_{n},b_{n}\geq0$
\end_inset

, si existe 
\begin_inset Formula $M>0$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $a_{n}\leq Mb_{n}\forall n$
\end_inset

, entonces la convergencia de 
\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$
\end_inset

 implica la de 
\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$
\end_inset

, pues significa que esta última es acotada.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dadas 
\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a_{n},b_{n}>0$
\end_inset

 y existe 
\begin_inset Formula $l\coloneqq \lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $0<l<\infty$
\end_inset

, ambas series tienen el mismo carácter.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{l}{2}>0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}-l\right|\leq\frac{l}{2}$
\end_inset

, lo que equivale a que 
\begin_inset Formula $\frac{l}{2}\leq\frac{a_{n}}{b_{n}}\leq\frac{3}{2}l$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{l}{2}b_{n}\leq a_{n}\leq\frac{3l}{2}b_{n}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
\end_inset

 es convergente, tenemos que 
\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$
\end_inset

 también, y si 
\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$
\end_inset

 es convergente, también lo es 
\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $l=0$
\end_inset

 entonces la convergencia de 
\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$
\end_inset

 implica la de 
\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $\varepsilon=1$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\frac{a_{n}}{b_{n}}\leq1$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $a_{n}\leq b_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $l=+\infty$
\end_inset

 entonces la convergencia de 
\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
\end_inset

 implica la de 
\begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $k=1>0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\frac{a_{n}}{b_{n}}\geq1$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $a_{n}\geq b_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard

\series bold
Criterio de la raíz:
\series default
 Dada 
\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a_{n}>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\coloneqq \lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}\in\mathbb{R}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $a<1$
\end_inset

, la serie converge.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $r\in\mathbb{R}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a<r<1$
\end_inset

.
 Existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sqrt[n]{a_{n}}<r$
\end_inset

, es decir, 
\begin_inset Formula $a_{n}<r^{n}$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $r<1$
\end_inset

, la serie geométrica 
\begin_inset Formula $\sum_{n}r^{n}$
\end_inset

 es convergente, y el criterio de comparación nos da la convergencia de
 
\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $a>1$
\end_inset

, la serie diverge.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a_{n}>1$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}\neq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $a=1$
\end_inset

 no se puede afirmar nada.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Criterio del cociente:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a_{n}>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\coloneqq \lim_{n}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\in\mathbb{R}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $a=\lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}$
\end_inset

.
 Por tanto:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $a<1$
\end_inset

, la serie converge.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $a>1$
\end_inset

, la serie diverge.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Criterio de condensación:
\series default
 Dada una sucesión 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$
\end_inset

 monótona decreciente con 
\begin_inset Formula $a_{n}>0$
\end_inset

.
 Entonces
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\in\mathbb{R}\iff\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}a_{2^{n}}\in\mathbb{R}
\]

\end_inset


\series bold

\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $A_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B_{n}=\sum_{k=1}^{n}2^{k}a_{2^{k}}$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\begin{gather*}
\begin{array}{c}
B_{n}=2a_{2}+4a_{4}+\dots+2^{n}a_{2^{n}}=2(a_{2}+2a_{4}+\dots+2^{n-1}a_{2^{n}})\leq\\
\leq2(a_{1}+a_{2}+(a_{3}+a_{4})+\dots+(a_{2^{n-1}+1}+\dots+a_{2^{n}}))=2(a_{1}+\dots+a_{2^{n}})=\\
=2A_{2^{n}}=2(a_{1}+(a_{2}+a_{3})+(a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7})+\dots+a_{2^{n}})\leq\\
\leq2(a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+\dots+2^{n-1}a_{2^{n-1}}+a_{2^{n}})=2B_{n-1}+a_{2^{n}}
\end{array}
\end{gather*}

\end_inset

Luego para todo 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $B_{n}\leq2A_{2^{n}}\leq2B_{n-1}+a_{1}$
\end_inset

, luego si una de las dos está acotada la otra también.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Una serie 
\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a_{n}\in\mathbb{R}$
\end_inset

 es 
\series bold
absolutamente convergente
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\sum_{n}|a_{n}|$
\end_inset

 es convergente.
 Toda serie absolutamente convergente es convergente.
 
\series bold

\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, por ser 
\begin_inset Formula $\sum_{n}|a_{n}|$
\end_inset

 convergente, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $p\geq q>n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|a_{q+1}|+\dots+|a_{p}|<\varepsilon$
\end_inset

.
 Pero 
\begin_inset Formula $|a_{q+1}+\dots+a_{p}|\leq|a_{q+1}|+\dots+|a_{p}|<\varepsilon$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$
\end_inset

 cumple la condición de Cauchy y es pues convergente.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Una serie es 
\series bold
incondicionalmente convergente
\series default
 si todas sus reordenadas son convergentes y tienen la misma suma.
 
\series bold
Teorema:
\series default
 Esta condición equivale a ser absolutamente convergente.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
La 
\series bold
serie alternada
\series default
 
\begin_inset Formula $\sum_{n}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$
\end_inset

 es convergente.
 Además, si 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es la suma total y 
\begin_inset Formula $S_{n}$
\end_inset

 la suma parcial 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-ésima, 
\begin_inset Formula $S_{2n}\leq S\leq S_{2n+1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $|S_{n}-S|<\frac{1}{n+1}$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $S_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\leq\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}+\frac{1}{2n+1}=S_{2n+1}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $S_{2n}\leq S_{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}=S_{2n+2}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $(S_{2n})_{n}$
\end_inset

 es creciente.
 De forma análoga tenemos que 
\begin_inset Formula $(S_{2n+1})_{n}$
\end_inset

 es decreciente.
 Definimos la sucesión de intervalos cerrados acotados y encajados 
\begin_inset Formula $I_{n}\coloneqq [S_{2n},S_{2n+1}]$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $L(I_{n})=|S_{2n+1}-S_{2n}|=\frac{1}{2n+1}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\lim_{n}L(I_{n})=0$
\end_inset

, y por Cantor se tiene que existe un único 
\begin_inset Formula $S=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}$
\end_inset

, que es 
\begin_inset Formula $S=\lim_{n}S_{2n}=\lim_{n}S_{2n+1}=\lim_{n}S_{n}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $n=2k$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $S_{2k}\leq S\leq S_{2k+1}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $|S-S_{2k}|<\frac{1}{2k+1}$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $n=2k+1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $S_{2k+2}\leq S\leq S_{2k+1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $|S-S_{2k+1}|\leq|S_{2k+1}-S_{2k+2}|\leq\frac{1}{2k+2}$
\end_inset

.
 Esto prueba la segunda afirmación.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
serie geométrica
\series default
 
\begin_inset Formula $\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}$
\end_inset

 es convergente si 
\begin_inset Formula $|r|<1$
\end_inset

 con suma 
\begin_inset Formula $\frac{1}{1-r}$
\end_inset

 y divergente si 
\begin_inset Formula $|r|\geq1$
\end_inset

.
 La 
\series bold
serie armónica
\series default
 
\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{k}}$
\end_inset

 es convergente si 
\begin_inset Formula $k>1$
\end_inset

 y divergente si 
\begin_inset Formula $k\leq1$
\end_inset

.
\end_layout

\end_body
\end_document