#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Section
Límite de una función en un punto
\end_layout

\begin_layout Standard
Una función es una terna 
\begin_inset Formula $(D,F,f)$
\end_inset

, escrita como 
\begin_inset Formula $f:D\rightarrow F$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 asigna a cada 
\begin_inset Formula $x\in D$
\end_inset

 un único valor 
\begin_inset Formula $f(x)\in F$
\end_inset

.
 Llamamos 
\series bold
recta real ampliada
\series default
 al conjunto 
\begin_inset Formula $\overline{\mathbb{R}}\coloneqq \mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 es un 
\series bold
entorno
\series default
 de 
\begin_inset Formula $x\in K$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\exists r>0:B(x,r)\subseteq V$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es un 
\series bold
punto de acumulación
\series default
 de 
\begin_inset Formula $A\subseteq K$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall r>0,\exists x^{\prime}\neq x:x^{\prime}\in B(x,r)\cap A$
\end_inset

.
 Se tiene entonces que 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es un punto de acumulación de 
\begin_inset Formula $A\neq\emptyset$
\end_inset

 si y sólo si existe 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq A$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x_{n}\neq x\forall n$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x=\lim_{n}x_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $B(x,\frac{1}{n})\cap A$
\end_inset

 debe contener algún punto distinto de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $x_{n}$
\end_inset

 es uno de esos puntos, 
\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=x$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $|x_{n}-x|<\frac{1}{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $r>0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $n>n_{0}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $|x_{n}-x|<r$
\end_inset

, es decir, 
\begin_inset Formula $x_{n}\in B(x,r)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $x_{n}\in B(x,r)\cap A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x_{n}\neq x$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $f:D\subseteq K\rightarrow K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 un punto de acumulación de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 es el límite de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L
\]

\end_inset

si 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x\in D,(0<|x-c|<\delta\implies|f(x)-L|<\varepsilon)$
\end_inset

.
 Dicho de otro modo, si 
\begin_inset Formula $\forall B(L,\varepsilon),\exists B(c,\delta):f((B(c,\delta)\cap D)\backslash\{c\})\subseteq B(L,\varepsilon)$
\end_inset

.
 Se tiene entonces que 
\begin_inset Formula $L=\lim_{x\rightarrow c}f(x)\iff\forall(x_{n})_{n}\subseteq D,(\lim_{n}x_{n}=c\land\forall n\in\mathbb{N},x_{n}\neq c\implies L=\lim_{n}f(x_{n}))$
\end_inset

.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
La implicación directa se demuestra ayudándose de un esquema, y la inversa
 se realiza por reducción al absurdo.
\end_layout

\end_inset

 Si existe el límite de una función en un punto, este es único.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Condición de Cauchy:
\series default
 Dados 
\begin_inset Formula $f:D\subseteq K\rightarrow K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 un punto de acumulación de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\exists\lim_{x\rightarrow c}f(x)\in K\iff\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x,y\in B(c,\delta)\backslash\{c\},|f(x)-f(y)|<\varepsilon$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $L\coloneqq \lim_{x\rightarrow c}f(x)$
\end_inset

.
 Fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $0\leq|x-c|<\delta$
\end_inset

 (es decir, 
\begin_inset Formula $x\in B(c,\delta)\backslash\{c\}$
\end_inset

), 
\begin_inset Formula $|L-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

.
 Análogamente, para 
\begin_inset Formula $y\in B(c,\delta)\backslash\{c\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|L-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $|f(x)-f(y)|=|f(x)-L|+|L-f(y)|<\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, tomamos 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x,y\in B(c,\delta)\backslash\{c\}\implies|f(x)-f(y)|<\varepsilon$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq D$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=c$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x_{n}\neq c$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n,m>n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x_{n},x_{m}\in B(c,\delta)\backslash\{c\}$
\end_inset

.
 Pero entonces 
\begin_inset Formula $|f(x_{n})-f(x_{m})|<\varepsilon$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $(f(x_{n}))_{n}$
\end_inset

 es de Cauchy y por tanto convergente, por lo que existe 
\begin_inset Formula $L\coloneqq \lim_{n}f(x_{n})$
\end_inset

 y solo queda probar que 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 no depende de 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
\end_inset

.
 Dada 
\begin_inset Formula $(x_{n}^{\prime})_{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}^{\prime}=c$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x_{n}^{\prime}\neq c$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $L^{\prime}\coloneqq \lim_{n}f(x_{n}^{\prime})$
\end_inset

 se tendría 
\begin_inset Formula $|L-L^{\prime}|=|\lim_{n}f(x_{n})-\lim_{n}f(x_{n}^{\prime})|\leq\varepsilon$
\end_inset

 para cualquier 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, ya que al ser 
\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=c=\lim_{n}x_{n}^{\prime}$
\end_inset

, se cumple para 
\begin_inset Formula $n>n_{0}^{\prime}$
\end_inset

 que 
\begin_inset Formula $|x_{n}-x_{n}^{\prime}|<\delta$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Tomando límites de sucesiones, podemos concluir que:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall k\in\mathbb{N},\lim_{x\rightarrow c}x^{k}=c^{k}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall k\in\mathbb{N},\lim_{x\rightarrow c}\sqrt[k]{x}=\sqrt[k]{c}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}\sin x=\sin c$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Como 
\begin_inset Formula $\forall x\in[0,\frac{\pi}{2}],\sin x\leq x\leq\tan x$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|\sin x-\sin c|=2\left|\sin\frac{x-c}{2}\cos\frac{x+c}{2}\right|\leq2\left|\frac{x-c}{2}\right|=|x-c|$
\end_inset

.
 Por tanto para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, tomando 
\begin_inset Formula $\delta=\varepsilon$
\end_inset

, se tiene que para 
\begin_inset Formula $|x-c|<\delta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|\sin x-\sin c|<\varepsilon$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1\leq\frac{x}{\sin x}\leq\frac{1}{\cos x}$
\end_inset

, y aplicando el teorema del sandwich, 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x}=1$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}e^{x}=e^{c}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $c\in(0,+\infty)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}\log x=\log c$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $c\notin\mathbb{Z}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}[x]=[c]$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $c\in\mathbb{Z}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\nexists\lim_{x\rightarrow c}[x]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\nexists\lim_{x\rightarrow0}\sin\frac{1}{x}$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si fuera 
\begin_inset Formula $L\coloneqq \lim_{x\rightarrow0}\sin\frac{1}{x}$
\end_inset

, se tendría que para toda 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x_{n}\neq0$
\end_inset

 que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\sin\frac{1}{x_{n}}=L$
\end_inset

, pero las sucesiones 
\begin_inset Formula $x_{n}^{\prime}=\frac{1}{n\pi}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x_{n}^{\prime\prime}=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}$
\end_inset

 cumplen que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}^{\prime}=\lim_{n}x_{n}^{\prime\prime}=0$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\sin\frac{1}{x_{n}^{\prime}}=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\sin\frac{1}{x_{n}^{\prime\prime}}=1$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow0}x\sin\frac{1}{x}=0$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $|x\sin\frac{1}{x}-0|\leq|x|$
\end_inset

, por lo que tomando 
\begin_inset Formula $\delta=\varepsilon$
\end_inset

 se cumple la definición.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $f,g:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 un punto de acumulación de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $L_{1}=\lim_{x\rightarrow c}f(x)\in K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $L_{2}=\lim_{x\rightarrow c}g(x)\in K$
\end_inset

, entonces:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}f(x)+g(x)=L_{1}+L_{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}f(x)g(x)=L_{1}L_{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $L_{2}\neq0\implies\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_{1}}{L_{2}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f(x)\leq g(x)\implies L_{1}\leq L_{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Regla del sandwich:
\series default
 Dada 
\begin_inset Formula $h:D\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $L_{1}=L_{2}=L$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $L=\lim_{x\rightarrow c}h(x)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Equivalencias importantes:
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\log(1+x)}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\frac{x^{2}}{2}}=1
\]

\end_inset


\series bold

\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Las tres primeras se siguen de las propiedades y equivalencias de sucesiones.
 Para la cuarta,
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{\frac{x^{2}}{2}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2}{1+\cos x}\frac{1-\cos^{2}x}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2}{1+\cos x}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}=\frac{2}{1+1}\left(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}\right)^{2}=1
\]

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Límites laterales:
\series default
 Dados 
\begin_inset Formula $f:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 un punto de acumulación de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
límite por la derecha
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $f(c^{+})=\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)\coloneqq \lim_{x\rightarrow c}g(x)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $g:D\cap(c,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g(x)=f(x)$
\end_inset

, y 
\series bold
límite por la izquierda
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $f(c^{-})=\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)\coloneqq \lim_{x\rightarrow c}g(x)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $g:D\cap(-\infty,c)\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

.
 Así,
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)=L$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x\in D,(c<x<c+\delta\implies|f(x)-L|<\varepsilon)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=L$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x\in D,(c<x<c+\delta\implies|f(x)-L|<\varepsilon)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Por tanto, el límite de una función en un punto existe si y sólo si existen
 los dos límites laterales y coinciden, en cuyo caso coinciden también con
 el límite de la función en dicho punto.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Límites infinitos y en el infinito:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $f:(a,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=l\in\mathbb{R}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists M>0:\forall x\in(a,+\infty),(x>M\implies|f(x)-l|<\varepsilon)$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=+\infty$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall K>0,\exists M>0:\forall x\in(a,+\infty),(x>M\implies f(x)>K)$
\end_inset

.
 De igual modo, si 
\begin_inset Formula $f:D\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 es un punto de acumulación de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=+\infty$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall K>0,\exists\delta>0:\forall x\in D,(0<|x-c|<\delta\implies f(x)>K)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Funciones continuas
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f:D\subseteq K\rightarrow K$
\end_inset

 es 
\series bold
continua
\series default
 en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x\in D,(|x-c|<\delta\implies|f(x)-f(c)|<\varepsilon)$
\end_inset

.
 Así, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 si y sólo si para cada 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq D$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $c=\lim_{n}x_{n}$
\end_inset

 se tiene que 
\begin_inset Formula $f(c)=\lim_{n}f(x_{n})$
\end_inset

.
 En particular,
\begin_inset Formula 
\[
f(\lim_{n}x_{n})=\lim_{n}f(x_{n})
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dadas 
\begin_inset Formula $f,g:D\subseteq K\rightarrow K$
\end_inset

 continuas en 
\begin_inset Formula $c\in D$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f+g$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $fg$
\end_inset

 también son continuas en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $g(c)\neq0$
\end_inset

, también es continua 
\begin_inset Formula $\frac{f}{g}$
\end_inset

.
 Por otro lado, si 
\begin_inset Formula $f:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $c\in D$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(c)\neq0$
\end_inset

 entonces existe un 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $x\in B(c,\delta)\cap D$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(x)\neq0$
\end_inset

 y tiene el mismo signo que 
\begin_inset Formula $f(c)$
\end_inset

.
 
\series bold

\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 es un punto aislado de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, es obvio.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 un punto de acumulación de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(c)\neq0$
\end_inset

.
 Dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon=\frac{|f(c)|}{2}>0$
\end_inset

, por la continuidad de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

, existirá un 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $x\in B(c,\delta)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|f(x)-f(c)|<\varepsilon$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f(c)-\varepsilon<f(x)<f(c)+\varepsilon$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $f(c)>0$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f(x)>f(c)-\varepsilon=f(c)-\frac{|f(c)|}{2}=\frac{f(c)}{2}>0$
\end_inset

, mientras que si 
\begin_inset Formula $f(c)<0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(x)<f(c)+\varepsilon=f(c)+\frac{|f(c)|}{2}=f(c)-\frac{f(c)}{2}=\frac{f(c)}{2}<0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dadas 
\begin_inset Formula $f_{1}:D_{1}\subseteq K\rightarrow D_{2}\subseteq K$
\end_inset

 continua en 
\begin_inset Formula $c\in D_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f_{2}:D_{2}\rightarrow K$
\end_inset

 continua en 
\begin_inset Formula $f_{1}(c)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f_{2}\circ f_{1}:D_{1}\rightarrow K$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

.
\series bold

\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq D$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $c=\lim_{n}x_{n}$
\end_inset

, por la continuidad de 
\begin_inset Formula $f_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f_{1}(c)=\lim_{n}f_{1}(x_{n})$
\end_inset

, pero al ser 
\begin_inset Formula $f_{2}$
\end_inset

 continua en 
\begin_inset Formula $f_{1}(c)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f_{2}(f_{1}(c))=\lim_{n}f_{2}(f_{1}(x_{n}))$
\end_inset

, es decir, 
\begin_inset Formula $(f_{2}\circ f_{1})(c)=\lim_{n}(f_{2}\circ f_{1})(x_{n})$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $f_{2}\circ f_{1}$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f:D\subseteq K\rightarrow K$
\end_inset

 es 
\series bold
continua en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset


\series default
 si es continua en cada punto de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

.
 Así, las funciones polinómicas, la exponencial, el seno y el coseno son
 funciones continuas en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

, mientras que el logaritmo es continuo en 
\begin_inset Formula $(0,+\infty)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
¿Incluir las funciones de Dirichlet (3.2.7.8–9)? 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Funciones reales continuas en un intervalo
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
teorema de Weierstrass
\series default
 afirma que si 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es continua, entonces:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es acotada.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Si no lo fuera, para cada 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 existiría 
\begin_inset Formula $x_{n}\in[a,b]$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $|f(x_{n})|>n$
\end_inset

.
 Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión 
\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
\end_inset

 convergente a un 
\begin_inset Formula $c\in[a,b]$
\end_inset

.
 Pero entonces, como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lim_{n}f(x_{n_{k}})_{k}=f(c)$
\end_inset

, luego la sucesión es acotada.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Existen 
\begin_inset Formula $c,d\in[a,b]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(c)\leq f(x)\leq f(d)$
\end_inset

, es decir, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene máximo y mínimo.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \sup\{f(x)\mid x\in[a,b]\}$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq[a,b]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\alpha=\lim_{n}f(x_{n})$
\end_inset

, por lo que existe una subsucesión 
\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
\end_inset

 convergente a un 
\begin_inset Formula $d\in[a,b]$
\end_inset

.
 Pero por la continuidad de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(d)=\lim_{k}f(x_{n_{k}})=\alpha$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 alcanza su máximo absoluto en 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

.
 La demostración de que alcanza su mínimo absoluto es análoga.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
teorema de Bolzano
\series default
 afirma que si 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es continua con 
\begin_inset Formula $f(a)f(b)<0$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\exists c\in(a,b):f(c)=0$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Supongamos 
\begin_inset Formula $f(a)<0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(b)>0$
\end_inset

 y sean 
\begin_inset Formula $a_{0}\coloneqq a$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b_{0}\coloneqq b$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m\coloneqq \frac{a+b}{2}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $f(m)=0$
\end_inset

, hemos terminado.
 Si 
\begin_inset Formula $f(m)>0$
\end_inset

, llamamos 
\begin_inset Formula $a_{1}\coloneqq a_{0}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b_{1}\coloneqq m$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $f(m)<0$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $a_{1}\coloneqq m$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b_{1}\coloneqq b_{0}$
\end_inset

.
 Procediendo recursivamente, o bien se encuentra un cero de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, o se obtiene una sucesión 
\begin_inset Formula $[a_{n},b_{n}]$
\end_inset

 de intervalos en las condiciones del principio de encaje de Cantor, por
 lo que 
\begin_inset Formula $\exists!c\in\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_{n},b_{n}]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c=\lim_{n}a_{n}=\lim_{n}b_{n}$
\end_inset

.
 La continuidad de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 junto con que 
\begin_inset Formula $f(a_{n})<0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(b_{n})>0$
\end_inset

 implica que 
\begin_inset Formula $0\leq\lim_{n}f(b_{n})=f(c)=\lim_{n}f(a_{n})\leq0$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $f(c)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
método de bisección
\series default
 para resolución de ecuaciones es un algoritmo para aproximar raíces de
 una función continua, y consiste en localizar un intervalo 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(a)f(b)<0$
\end_inset

 y proceder según la demostración del teorema de Bolzano.
\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
propiedad de Darboux
\series default
 o 
\series bold
de los valores intermedios
\series default
 afirma que si 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(a)<z<f(b)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\exists c\in[a,b]:f(c)=z$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 es un intervalo de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es continua, entonces 
\begin_inset Formula $f(I)$
\end_inset

 es un intervalo, y si 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 es además cerrado y acotado, también lo es 
\begin_inset Formula $f(I)$
\end_inset

.
 
\series bold

\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Necesitamos demostrar que dados 
\begin_inset Formula $y_{1},y_{2}\in f(I)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $y_{1}<y_{2}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $y_{1}<z<y_{2}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $z\in f(I)$
\end_inset

, inmediato de la propiedad de los valores intermedios.
 Entonces, si 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 es cerrado y acotado, por el teorema de Weierstrass, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene máximo 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 y mínimo 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

, por lo que al ser un intervalo, 
\begin_inset Formula $f(I)=[\alpha,\beta]$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Decimos que 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es 
\series bold
monótona creciente
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall x_{1}<x_{2}\in I,f(x_{1})\leq f(x_{2})$
\end_inset

, 
\series bold
monótona decreciente
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall x_{1}<x_{2}\in I,f(x_{1})\geq f(x_{2})$
\end_inset

, 
\series bold
monótona
\series default
 si es monótona creciente o decreciente; 
\series bold
estrictamente creciente
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall x_{1}<x_{2}\in I,f(x_{1})<f(x_{2})$
\end_inset

, 
\series bold
estrictamente decreciente
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall x_{1}<x_{2}\in I,f(x_{1})>f(x_{2})$
\end_inset

, y 
\series bold
estrictamente monótona
\series default
 si es estrictamente creciente o decreciente.
 Además, 
\begin_inset Formula $f^{-1}:Y\rightarrow X$
\end_inset

 es la inversa de 
\begin_inset Formula $f:X\rightarrow Y$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $f^{-1}\circ f=Id_{X}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f\circ f^{-1}=Id_{Y}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de la función inversa:
\series default
 Dada 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 continua, entonces:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es inyectiva si y sólo si es estrictamente monótona.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Supongamos por reducción al absurdo que siendo 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 inyectiva no fuera estrictamente monótona.
 Entonces, para 
\begin_inset Formula $x_{1}<x_{2}<x_{3}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(x_{1})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(x_{2})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(x_{3})$
\end_inset

 son distintos dos a dos.
 Si fuera 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 estrictamente monótona se tendría que 
\begin_inset Formula $f(x_{1})<f(x_{2})<f(x_{3})$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $f(x_{1})>f(x_{2})>f(x_{3})$
\end_inset

, por lo que si no lo es, entonces 
\begin_inset Formula $f(x_{1})<f(x_{2})>f(x_{3})$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $f(x_{1})>f(x_{2})<f(x_{3})$
\end_inset

.
 En el caso en que 
\begin_inset Formula $f(x_{1})\leq f(x_{3})<f(x_{2})$
\end_inset

, por la propiedad de los valores intermedios, debe existir 
\begin_inset Formula $c\in(x_{1},x_{2})$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(c)=f(x_{3})$
\end_inset

.
 Los otros tres casos son análogos.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 no es inyectiva.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $x_{1}<x_{2}$
\end_inset

 no puede ser 
\begin_inset Formula $f(x_{1})=f(x_{2})$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es estrictamente monótona, también lo es 
\begin_inset Formula $f^{-1}$
\end_inset

 que, además, es continua.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Al ser 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 estrictamente monótona es inyectiva, y al ser 
\begin_inset Formula $J\coloneqq f(I)$
\end_inset

 un intervalo, existe la inversa 
\begin_inset Formula $f^{-1}:J\rightarrow I$
\end_inset

, que también es una biyección estrictamente monótona.
 Supongamos que es estrictamente creciente y sea 
\begin_inset Formula $d\in J$
\end_inset

 que no sea un extremo del intervalo.
 Sea 
\begin_inset Formula $c=f^{-1}(d)$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $f(c)=d$
\end_inset

), que por la monotonía no puede ser un extremo de 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

.
 Dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 no es un extremo, existe 
\begin_inset Formula $0<\varepsilon^{\prime}<\varepsilon$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $(c-\varepsilon^{\prime},c+\varepsilon^{\prime})\subseteq I$
\end_inset

, y por ser 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 estrictamente creciente, 
\begin_inset Formula $d\coloneqq f(c)\in(f(c-\varepsilon^{\prime}),f(c+\varepsilon^{\prime}))=f((c-\varepsilon^{\prime},c+\varepsilon^{\prime}))$
\end_inset

, por lo que existe 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $B(d,\delta)\subseteq f((c-\varepsilon^{\prime},c+\varepsilon^{\prime}))$
\end_inset

, y por el crecimiento escrito de 
\begin_inset Formula $f^{-1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f^{-1}(B(d,\delta))\subseteq(c-\varepsilon^{\prime},c+\varepsilon^{\prime})\subseteq(c-\varepsilon,c+\varepsilon)=B(c,\varepsilon)$
\end_inset

, lo que demuestra la continuidad de 
\begin_inset Formula $f^{-1}$
\end_inset

 salvo en los extremos.
 En estos casos, si 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 es un extremo de 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c\coloneqq f^{-1}(d)$
\end_inset

 lo es por tanto de 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

, es posible modificar ligeramente la prueba anterior para obtener el mismo
 resultado.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow J$
\end_inset

 es biyectiva, entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua si y sólo si es estrictamente monótona.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Contenido en el apartado anterior.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Por ser 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 estrictamente monótona, existen 
\begin_inset Formula $f(x_{0}^{-})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(x_{0}^{+})$
\end_inset

 en cada 
\begin_inset Formula $x_{0}\in I$
\end_inset

.
 Si para algún 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 fueran distintos (por ejemplo, 
\begin_inset Formula $f(x_{0}^{-})<f(x_{0}^{+})$
\end_inset

, entonces los puntos de 
\begin_inset Formula $(f(x_{0}^{-}),f(x_{0}^{+}))\subseteq J$
\end_inset

 deberían tener preimagen, pero por la monotonía no la tienen, con lo que
 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 no sería biyectiva.
 Por tanto debe ser 
\begin_inset Formula $f(x_{0}^{-})=f(x_{0}^{+})$
\end_inset

 y la función es continua.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Continuidad uniforme
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f:D\subseteq K\rightarrow K$
\end_inset

 es 
\series bold
uniformemente continua
\series default
 en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x,y\in D,(|x-y|<\delta\implies|f(x)-f(y)|<\varepsilon)$
\end_inset

.
 El 
\series bold
teorema de Heine
\series default
 afirma que toda 
\begin_inset Formula $f:B[a,r]\rightarrow K$
\end_inset

 continua es uniformemente continua.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Si no lo fuera, existiría 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall\delta>0,\exists x,y\in D:(|x-y|<\delta\land|f(x)-f(y)|>\varepsilon)$
\end_inset

, por lo que existirían 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n},(x_{n}^{\prime})_{n}\subseteq B[a,r]$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $|x_{n}-x_{n}^{\prime}|<\frac{1}{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $|f(x_{n})-f(x_{n}^{\prime})|\geq\varepsilon$
\end_inset

.
 Pero entonces existirían subsucesiones 
\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(x_{n_{k}}^{\prime})_{k}$
\end_inset

 de estas que convergen al mismo 
\begin_inset Formula $z\in B[a,r]$
\end_inset

.
 Por la continuidad de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lim_{k}f(x_{n_{k}})=f(z)=\lim_{k}f(x_{n_{k}}^{\prime})$
\end_inset

, pero por otra parte 
\begin_inset Formula $|f(x_{n_{k}})-f(x_{n_{k}}^{\prime})|\geq\varepsilon>0$
\end_inset

.
 Tomando límites, se tiene que 
\begin_inset Formula $0\geq\varepsilon>0\#$
\end_inset

.
\end_layout

\end_body
\end_document