#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
Una función 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 un intervalo abierto, es 
\series bold
derivable
\series default
 en 
\begin_inset Formula $c\in I$
\end_inset

 si existe
\begin_inset Formula 
\[
f'(c):=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}
\]

\end_inset

y se dice derivable en 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 si es derivable en cada punto de 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

.
 Al valor 
\begin_inset Formula $f'(c)$
\end_inset

 lo llamamos 
\series bold
derivada
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

, y llamamos 
\series bold
cociente incremental
\series default
 a la expresión 
\begin_inset Formula $\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$
\end_inset

.
 Otra definición de derivada es
\begin_inset Formula 
\[
f'(c):=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}
\]

\end_inset

 Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es derivable en 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
derivada de la función
\series default
 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a la función 
\begin_inset Formula $f':I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 que a cada 
\begin_inset Formula $x\in I$
\end_inset

 le hace corresponder 
\begin_inset Formula $f'(x)$
\end_inset

.
 Podemos definir la 
\series bold
derivada por la izquierda
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $f'(c^{-})\coloneqq f'_{-}(c)\coloneqq \lim_{h\rightarrow0^{-}}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$
\end_inset

, y la 
\series bold
derivada por la derecha
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $f'(c^{+})\coloneqq f'_{+}(c)\coloneqq \lim_{h\rightarrow0^{+}}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es derivable en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
recta tangente
\series default
 a la curva 
\begin_inset Formula $y=f(x)$
\end_inset

 en el punto 
\begin_inset Formula $(c,f(c))$
\end_inset

 a la función dada por 
\begin_inset Formula $g(x)=f(c)+f'(c)(x-c)$
\end_inset

.
 Podemos formular que 
\begin_inset Formula $f'(c)=m$
\end_inset

 diciendo que
\begin_inset Formula 
\[
f(c+h)=f(c)+mh+h\phi(h)
\]

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $\phi:(-\delta,\delta)\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es una función tal que 
\begin_inset Formula $\lim_{h\rightarrow0}\phi(h)=0$
\end_inset

.
 Equivalentemente, podemos hacer uso de la 
\series bold

\begin_inset Quotes cld
\end_inset

o
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 pequeña de Landau
\series default
, que representa una función cualquiera definida en un entorno reducido
 o perforado del origen, 
\begin_inset Formula $(-\delta,\delta)\backslash\{0\}$
\end_inset

, y cumple que 
\begin_inset Formula $\lim_{h\rightarrow0}\frac{o(h)}{h}=0$
\end_inset

.
 Así,
\begin_inset Formula 
\[
f(c+h)=f(c)+mh+o(h)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es 
\series bold
diferenciable
\series default
 en 
\begin_inset Formula $c\in I$
\end_inset

 si existe una aplicación 
\emph on
lineal
\emph default
 
\begin_inset Formula $L:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 llamada 
\series bold
diferencial
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

, denotada 
\begin_inset Formula $df(c)$
\end_inset

, tal que
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)-f(c)-L(h)}{h}=0
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Se tiene que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es diferenciable en 
\begin_inset Formula $c\in I$
\end_inset

 si y sólo si es derivable en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $df(c)(x)=f'(c)x$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $\alpha(h)\coloneqq \frac{f(c+h)-f(c)-L(h)}{h}=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}-L\left(\frac{h}{h}\right)=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}-L(1)$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
f'(c)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\alpha(h)+L(1)=L(1)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es derivable en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}-f'(c)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)-f(c)-f'(c)h}{h}=0
\]

\end_inset

por lo que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es derivable en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f'(c)=L(1)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f:I\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es derivable en 
\begin_inset Formula $c\in I$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Se tiene que 
\begin_inset Formula $f(c+h)-f(c)=(f'(c)+\phi(h))h$
\end_inset

, luego dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\delta'>0$
\end_inset

 tal que todo 
\begin_inset Formula $|h|<\delta'$
\end_inset

 cumple que 
\begin_inset Formula $|\phi(h)|<1$
\end_inset

, y tomando 
\begin_inset Formula $\delta\coloneqq \min\{\delta',\frac{\varepsilon}{|f'(c)|+1}\}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $|h|<\delta$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $|f(c+h)-f(c)|=|f'(c)+\phi(h)||h|\leq(|f'(c)+|\phi(h)|)|h|<\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Cálculo de derivadas
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $f,g:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 un intervalo abierto, derivables en 
\begin_inset Formula $c\in I$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(f+g)'(c)=f'(c)+g'(c)$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{h\rightarrow0}\frac{(f+g)(c+h)-(f+g)(c)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)-f(c)+g(c+h)-g(c)}{h}=f'(c)+g'(c)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(fg)'(c)=f'(c)g(c)+f(c)g'(c)$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\begin{gather*}
(fg)'(c)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)g(c+h)-f(c)g(c)}{h}=\\
=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)g(c+h)-f(c)g(c+h)+f(c)g(c+h)-f(c)g(c)}{h}=\\
=\lim_{h\rightarrow0}g(c+h)\frac{f(c+h)-f(c)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}f(c)\frac{g(c+h)-g(c)}{h}=g(c)f'(c)+f(c)g'(c)
\end{gather*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $g(x)\neq0\forall x\in I\implies\left(\frac{f}{g}\right)'(c)=\frac{f'(c)g(c)-f(c)g'(c)}{g(c)^{2}}$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
\begin{gathered}\lim_{h\rightarrow0}\frac{\frac{f(c+h)}{g(c+h)}-\frac{f(c)}{g(c)}}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)g(c)-f(c)g(c+h)}{hg(c)g(c+h)}=\\
=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)g(c)-f(c)g(c)+f(c)g(c)-f(c)g(c+h)}{hg(c)g(c+h)}=\\
=\lim_{h\rightarrow0}g(c)\frac{f(c+h)-f(c)}{hg(c)g(c+h)}+f(c)\frac{g(c)-g(c+h)}{hg(c)g(c+h)}=\frac{f'(c)g(c)}{g(c)^{2}}-\frac{f(c)g'(c)}{g(c)^{2}}
\end{gathered}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(\alpha f)'(c)=\alpha f'(c)\forall\alpha\in\mathbb{R}$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $g(x)=\alpha$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x\in I$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
g'(c)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{g(c+h)-g(c)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\alpha-\alpha}{h}=0
\]

\end_inset

luego
\begin_inset Formula 
\[
(\alpha f)'(c)=(fg)'(c)=f'(c)g(c)+f(c)g'(c)=f'(c)g(c)=\alpha f'(c)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Regla de la cadena:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $I,J$
\end_inset

 intervalos abiertos de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g:J\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{Im}f\subseteq J$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es derivable en 
\begin_inset Formula $c\in I$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 lo es en 
\begin_inset Formula $f(c)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset

 es derivable en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
(g\circ f)'(c)=g'(f(c))f'(c)
\]

\end_inset

Para demostrarlo usamos que 
\begin_inset Formula $f(c+h)=f(c)+hf'(c)+h\phi(h)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g(f(c)+k)=g(f(c))+kg'(f(c))+k\psi(k)$
\end_inset

.
 Así,
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
g(f(c+h)) & = & g(f(c)+hf'(c)+h\phi(h))\\
 & = & g(f(c))+(hf'(c)+h\phi(h))g'(f(c))+(hf'(c)+h\phi(h))\psi(hf'(c)+h\phi(h))\\
 & = & g(f(c))+hf'(c)g'(f(c))+\\
 &  & +h(\phi(h)g'(f(c))+(f'(c)+\phi(h))\psi(hf'(c)+h\phi(h)))
\end{eqnarray*}

\end_inset

Si llamamos 
\begin_inset Formula $\gamma(h)$
\end_inset

 al último sumando, vemos que 
\begin_inset Formula $(g\circ f)(c+h)=(g\circ f)(c)+hf'(c)g'(f(c))+h\gamma(h)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\lim_{h\rightarrow0}\gamma(h)=0$
\end_inset

, lo que prueba el teorema.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow J$
\end_inset

 es una biyección derivable entre los intervalos 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f^{-1}$
\end_inset

 continua y 
\begin_inset Formula $f'(x)\neq0\forall x\in I$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f^{-1}$
\end_inset

 es derivable y
\begin_inset Formula 
\[
(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}
\]

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $y=f(x),y_{0}=f(x_{0})$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{y\rightarrow y_{0}}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})}{y-y_{0}}=\lim_{y\rightarrow y_{0}}\frac{1}{\frac{y-y_{0}}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})}}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{1}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_{0}))}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Veamos algunas derivadas importantes.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Sea 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $f(x)=\sin x$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f'(x)=\cos x$
\end_inset

.
 Si es 
\begin_inset Formula $g(x)=\cos x$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $g'(x)=-\sin x$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Se tiene que
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
\sin x=\sin\left(\frac{x+c}{2}+\frac{x-c}{2}\right)=\cos\frac{x+c}{2}\sin\frac{x-c}{2}+\sin\frac{x+c}{2}\cos\frac{x-c}{2}\\
\sin c=\sin\left(\frac{x+c}{2}-\frac{x-c}{2}\right)=-\cos\frac{x+c}{2}\sin\frac{x-c}{2}+\sin\frac{x+c}{2}\cos\frac{x-c}{2}
\end{array}
\]

\end_inset

Por tanto,
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{x\rightarrow c}\frac{\sin x-\sin c}{x-c}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{\cos\frac{x+c}{2}\sin\frac{x-c}{2}}{\frac{x-c}{2}}=\lim_{x\rightarrow c}\cos\frac{x+c}{2}\cdot1=\cos c
\]

\end_inset

La derivada del coseno se obtiene de forma análoga.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f(x)=\tan x$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f'(x)=1+\tan^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Como 
\begin_inset Formula $f(x)=\frac{\sin x}{\cos x}$
\end_inset

, partiendo de la derivada del seno y del coseno,
\begin_inset Formula 
\[
f'(x)=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x}=\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=1+\tan^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Sea 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $f(x)=e^{x}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f'(x)=e^{x}$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}=\lim_{h\rightarrow0}e^{x}\frac{e^{h}-1}{h}=e^{x}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Sea 
\begin_inset Formula $f:I\subseteq(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $f(x)=\log x$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f'(x)=\frac{1}{x}$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

El logaritmo es la inversa de 
\begin_inset Formula $g(x)=e^{x}$
\end_inset

, con 
\begin_inset Formula $g'(x)=e^{x}$
\end_inset

, luego
\begin_inset Formula 
\[
f'(x)=\frac{1}{e^{\log x}}=\frac{1}{x}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Sea 
\begin_inset Formula $f:I\subseteq(-1,1)\rightarrow(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $f(x)=\arcsin x$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $g:I\subseteq(-1,1)\rightarrow(0,\pi)$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $g(x)=\arccos x$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $g'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Al ser 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 la inversa del seno y 
\begin_inset Formula $\sin'(x)=\cos x$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
f'(x)=\frac{1}{\cos(\arcsin x)}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}(\arcsin x)}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
\]

\end_inset

La derivada del arcocoseno se hace de forma análoga.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Sea 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $f(x)=\arctan x$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Esta función es la inversa de la tangente, y como 
\begin_inset Formula $\tan'(x)=1+\tan^{2}x$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
f'(x)=\frac{1}{1+\tan^{2}(\arctan x)}=\frac{1}{1+x^{2}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dado 
\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{R}$
\end_inset

, la derivada de 
\begin_inset Formula $f(x)=x^{\alpha}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$
\end_inset

.
 Para demostrarlo usamos 
\series bold
derivación logarítmica
\series default
: Tomamos logaritmos en la definición de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y derivamos la expresión resultante.
\begin_inset Formula 
\[
\log(f(x))=\log(x^{\alpha})=\alpha\log x\implies\log(f(x))'=\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{\alpha}{x}\implies f'(x)=f(x)\frac{\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha-1}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Derivabilidad en un intervalo
\end_layout

\begin_layout Standard
Una función 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 definida en un intervalo 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 es 
\series bold
creciente
\series default
, 
\series bold
estrictamente creciente
\series default
, 
\series bold
decreciente
\series default
 o 
\series bold
estrictamente decreciente
\series default
 en 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 si para cualesquiera 
\begin_inset Formula $x,y\in I$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x<y$
\end_inset

 se tiene, respectivamente, que 
\begin_inset Formula $f(x)\leq f(y)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(x)<f(y)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(x)\geq f(y)$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $f(x)>f(y)$
\end_inset

.
 Es creciente, estrictamente creciente, decreciente o estrictamente decreciente
 en un punto 
\begin_inset Formula $c\in I$
\end_inset

 si existe un entorno perforado 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $x\in I\cap V$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $m\coloneqq \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$
\end_inset

 es, respectivamente, 
\begin_inset Formula $m\geq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $m>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $m\leq0$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $m<0$
\end_inset

.
 Se tiene que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es creciente o decreciente en 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 si y sólo si lo es en cada punto de 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Trivial.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 creciente en cada 
\begin_inset Formula $x\in I$
\end_inset

, es menester demostrar que, dados 
\begin_inset Formula $x<y$
\end_inset

, se tiene que 
\begin_inset Formula $f(x)\leq f(y)$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $A\coloneqq \{z\in(x,y]\mid f(x)\leq f(z)\}$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $A\neq\emptyset$
\end_inset

 porque 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es creciente en 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es acotado superiormente, podemos definir 
\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \sup A$
\end_inset

, y basta probar que 
\begin_inset Formula $\alpha=y$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(x)\leq f(\alpha)$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es creciente en 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(z)\leq f(\alpha)$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $z\in(\alpha-\delta,\alpha)$
\end_inset

.
 Pero por definición de 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 para alguno de esos valores es 
\begin_inset Formula $f(x)\leq f(z)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f(x)\leq f(\alpha)$
\end_inset

.
 Si fuera 
\begin_inset Formula $\alpha<y$
\end_inset

 existiría 
\begin_inset Formula $z\in(\alpha,y]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(\alpha)\leq f(z)$
\end_inset

 por el crecimiento de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

, pero entonces se tendría que 
\begin_inset Formula $f(x)\leq f(\alpha)\leq f(z)$
\end_inset

, contradiciendo la definición de 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene un 
\series bold
máximo relativo
\series default
 o 
\series bold
local
\series default
 en 
\begin_inset Formula $c\in I$
\end_inset

 si existe un entorno 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $f(x)\leq f(c)\forall x\in I\cap V$
\end_inset

, tiene un 
\series bold
mínimo relativo
\series default
 o 
\series bold
local
\series default
 en 
\begin_inset Formula $c\in I$
\end_inset

 si existe un entorno 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $f(x)\geq f(c)\forall x\in I\cap V$
\end_inset

, y tiene un 
\series bold
extremo relativo
\series default
 o 
\series bold
local
\series default
 en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 si tiene un máximo o mínimo relativo en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

.
 Propiedades:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f'(c)>0$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es estrictamente creciente en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
f'(c)=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0
\]

\end_inset

por lo que existe un entorno reducido 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall x\in I\cap V,\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f'(c)<0$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es estrictamente decreciente en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 es un punto interior del intervalo 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 (no es un extremo) y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es derivable y tiene un extremo relativo en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f'(c)=0$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Supongamos que el extremo es un máximo.
 Existe un entorno 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall x\in I\cap V,f(x)\leq f(c)$
\end_inset

, luego para 
\begin_inset Formula $x\in I\cap V$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{array}{ccccc}
x<c & \implies & \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq0 & \implies & f'(c^{-})=\lim_{x\rightarrow c^{-}}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq0\\
x>c & \implies & \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq0 & \implies & f(c^{+})=\lim_{x\rightarrow c^{+}}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq0
\end{array}\right.
\]

\end_inset

Pero como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es derivable en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0\leq f'(c^{-})=f'(c)=f'(c^{+})\leq0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f'(c)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 derivable, 
\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
\end_inset

 es un 
\series bold
punto crítico
\series default
 o 
\series bold
estacionario
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $f'(c)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Teoremas del valor medio
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Rolle:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 continua en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 y derivable en 
\begin_inset Formula $(a,b)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(a)=f(b)$
\end_inset

 entonces existe 
\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f'(c)=0$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es constante, tomamos 
\begin_inset Formula $c\coloneqq \frac{a+b}{2}$
\end_inset

.
 Si no, supongamos por ejemplo que existe 
\begin_inset Formula $x_{0}\in[a,b]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(x_{0})>f(a)=f(b)$
\end_inset

.
 Por el teorema de Weierstrass, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 alcanza su máximo absoluto en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

, y por lo anterior debe alcanzarse en un punto interior 
\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
\end_inset

.
 Pero por ser máximo absoluto es también máximo relativo y por tanto 
\begin_inset Formula $f'(c)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema del valor medio de Cauchy:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 continuas en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 y derivables en 
\begin_inset Formula $(a,b)$
\end_inset

, entonces existe 
\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)$
\end_inset

 (si 
\begin_inset Formula $g(b)\neq g(a)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g'(c)\neq0$
\end_inset

 podemos expresar esto como 
\begin_inset Formula $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$
\end_inset

).
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Aplicamos el teorema de Rolle a 
\begin_inset Formula $h(x)\coloneqq f(x)(g(b)-g(a))-g(x)(f(b)-f(a))$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $h(a)=h(b)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema del valor medio de Lagrange:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 continua en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 y derivable en 
\begin_inset Formula $(a,b)$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\theta\in(a,b)$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $f'(\theta)(b-a)=f(b)-f(a)$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Es un caso particular del teorema del valor medio de Cauchy tomando 
\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq x$
\end_inset

.
 El teorema de Rolle es un caso particular de este, por lo que estos tres
 teoremas son equivalentes.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de los incrementos finitos:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 continua en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 y derivable en 
\begin_inset Formula $(a,b)$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $|f'(x)|\leq M\forall x\in(a,b)$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$
\end_inset

 para cualesquiera 
\begin_inset Formula $x,y\in[a,b]$
\end_inset

.
 A efectos prácticos, esto significa que si 
\begin_inset Formula $f'$
\end_inset

 es acotada entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es uniformemente continua.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Basta aplicar el teorema del valor medio de Lagrange a 
\begin_inset Formula $f|_{[x,y]}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 continuas en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 y derivable en 
\begin_inset Formula $(a,b)$
\end_inset

 se cumplen las siguientes propiedades:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall x\in(a,b),f'(x)=0\implies\exists k\in\mathbb{R}:\forall x\in(a,b),f(x)=k$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Aplicando el teorema de Lagrange en 
\begin_inset Formula $[a,x]$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $c\in(a,x)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c)=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f(x)=f(a)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall x\in(a,b),f'(x)=g'(x)\implies\exists k\in\mathbb{R}:\forall x\in(a,b),f(x)=g(x)+k$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $h(x)\coloneqq f(x)-g(x)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $h'(x)=f'(x)-g'(x)=0$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $h(x)$
\end_inset

 es constante.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si para todo 
\begin_inset Formula $x\in(a,b)$
\end_inset

 se tiene que 
\begin_inset Formula $f'(x)\geq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f'(x)>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f'(x)\leq0$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $f'(x)<0$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es, respectivamente, creciente, estrictamente creciente, decreciente o
 estrictamente decreciente.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 derivable y 
\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f'(c)=0$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $\exists\delta>0:(\forall x\in(c-\delta,c)\subseteq(a,b),f'(x)\leq0\land\forall x\in(c,c+\delta)\subseteq(a,b),f'(x)\geq0)$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 posee un mínimo relativo en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

.
 Análogamente, si 
\begin_inset Formula $\exists\delta>0:(\forall x\in(c-\delta,c)\subseteq(a,b),f'(x)\geq0\land\forall x\in(c,c+\delta)\subseteq(a,b),f'(x)\leq0)$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 posee un máximo relativo en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Para el primer caso, si 
\begin_inset Formula $y\in(c-\delta,c)$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\eta\in(y,c)$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $f(c)-f(y)=f'(\eta)(c-y)\leq0$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $f(c)\leq f(y)$
\end_inset

, mientras que si 
\begin_inset Formula $y\in(c,c+\delta)$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\beta\in(c,y)$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $f(y)-f(c)=f'(\beta)(y-c)\geq0$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $f(c)\leq f(y)$
\end_inset

; luego si 
\begin_inset Formula $y\in(c-\delta,c+\delta)$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f(y)\geq f(c)$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene un mínimo relativo en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

.
 El segundo caso se prueba de forma análoga.
\end_layout

\begin_layout Standard
Con esto podemos probar la 
\series bold
desigualdad de Bernouilli
\series default
 de forma más general: dados 
\begin_inset Formula $x>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha>1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(1+x)^{\alpha}>1+\alpha x$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 definida por 
\begin_inset Formula $f(x)=(1+x)^{\alpha}-1-\alpha x$
\end_inset

 para un cierto 
\begin_inset Formula $\alpha>1$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $f(0)=0$
\end_inset

, basta probar que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es estrictamente creciente si 
\begin_inset Formula $\alpha>1$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $f'(x)=\alpha((1+x)^{\alpha-1}-1)>0$
\end_inset

, probando la desigualdad.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Teorema de la función inversa
\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
propiedad de los valores intermedios
\series default
 afirma que, sea 
\begin_inset Formula $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 derivable y 
\begin_inset Formula $x,y\in(a,b)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x<y$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f'(x)<\eta<f'(y)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\exists z\in(x,y):f'(z)=\eta$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $g:[x,y]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $g(t)=f(t)-\eta t$
\end_inset

 continua y derivable, que por el teorema de Weierstrass (que usamos en
 lugar del de Bolzano porque 
\begin_inset Formula $g'$
\end_inset

 no tiene por qué ser continua), tiene un mínimo absoluto en un 
\begin_inset Formula $z\in[x,y]$
\end_inset

.
 Pero como 
\begin_inset Formula $g'(x)<0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g'(y)>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 no puede ser 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 ni 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $z\in(x,y)$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $g'(z)=0$
\end_inset

, o dicho de otra forma, 
\begin_inset Formula $f'(z)=\eta$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
De aquí deducimos el 
\series bold
teorema de la función inversa:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 continua en el intervalo 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 y derivable en su interior con derivada no nula, entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es una biyección de 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 sobre un intervalo 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f^{-1}:J\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es continua y derivable en el interior de 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 con
\begin_inset Formula 
\[
(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Por la propiedad anterior, bien 
\begin_inset Formula $f'(x)>0$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $f'(x)<0$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es estrictamente monótona, de modo que es biyectiva de 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 sobre un intervalo 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 siendo 
\begin_inset Formula $f^{-1}$
\end_inset

 estrictamente monótona y continua.
 Sean entonces 
\begin_inset Formula $y,y_{0}\in J,x=f^{-1}(y),x_{0}=f^{-1}(y_{0})$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{y\rightarrow y_{0}}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})}{y-y_{0}}=\lim_{y\rightarrow y_{0}}\frac{1}{\frac{y-y_{0}}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})}}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{1}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_{0}))}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Regla de L'Hospital
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 derivables en 
\begin_inset Formula $I=(a,b)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $-\infty\leq a<b\leq+\infty$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g'$
\end_inset

 no tienen ceros en 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 y se cumple que o bien 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow b^{-}}g(x)=0$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow b^{-}}g(x)=\pm\infty$
\end_inset

, entonces, si existe 
\begin_inset Formula $L\coloneqq \lim_{x\rightarrow b^{-}}\frac{f'(x)}{g'(x)}\in\overline{\mathbb{R}}$
\end_inset

, es también 
\begin_inset Formula $L=\lim_{x\rightarrow b^{-}}\frac{f(x)}{g(x)}$
\end_inset

.
 Por supuesto, esto también se cumple para límites por la derecha y por
 tanto también para límites ordinarios.
\end_layout

\begin_layout Section
Desarrollos de Taylor
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es derivable en el intervalo abierto 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f'$
\end_inset

 también lo es, se dice que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es dos veces derivable en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 y la derivada de 
\begin_inset Formula $f'$
\end_inset

 se denota por 
\begin_inset Formula $f^{(2)}\coloneqq f''$
\end_inset

, y por inducción, si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

 veces derivable y 
\begin_inset Formula $f^{(n-1)}$
\end_inset

 es derivable, se dice que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 veces derivable y llamamos 
\begin_inset Formula $f^{(n)}\coloneqq (f^{(n-1)})'$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es de clase 
\begin_inset Formula ${\cal C}^{n}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 si existe 
\begin_inset Formula $f^{(n)}$
\end_inset

 y es continua, y es de clase 
\begin_inset Formula ${\cal C}^{\infty}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 si es de clase 
\begin_inset Formula ${\cal C}^{n}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
 Por ejemplo, los polinomios son funciones de clase 
\begin_inset Formula ${\cal C}^{\infty}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

, de modo que conociendo el valor de 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 y sus derivadas en un cierto punto es posible reconstruir el polinomio.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Dividiendo 
\begin_inset Formula $P(x)=a_{n}x^{n}+\dots+a_{0}$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $(x-x_{0})^{n}$
\end_inset

, se tiene que 
\begin_inset Formula $P(x)=b_{n}(x-x_{0})^{n}+Q_{n-1}(x)$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $Q_{n-1}(x)$
\end_inset

 es de grado 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

.
 Por inducción se obtiene 
\begin_inset Formula $P(x)=b_{n}(x-x_{0})^{n}+\dots+b_{0}$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $b_{0}=P(x_{0})$
\end_inset

, y derivando sucesivamente:
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{ccccc}
P(x)=b_{n}(x-x_{0})^{n}+\dots+b_{0} &  & P(x_{0})=b_{0}\\
P'(x)=nb_{n}(x-x_{0})^{n-1}+\dots+b_{1} &  & P'(x_{0})=b_{1} &  & b_{1}=\frac{P'(x_{0})}{1!}\\
P''(x)=n(n-1)(x-x_{0})^{n-2}+\dots+2b_{2} &  & P''(x_{0})=2b_{2} &  & b_{2}=\frac{P''(x_{0})}{2!}\\
P'''(x)=n(n-1)(n-2)(x-x_{0})^{n-3}+\dots+6b_{3} &  & P'''(x_{0})=6b_{3} &  & b_{3}=\frac{P'''(x_{0})}{3!}\\
\vdots &  & \vdots &  & \vdots\\
P^{(n)}(x)=n!b_{n} &  & P^{(n)}(x_{0})=n!b_{n} &  & b_{n}=\frac{P^{(n)}(x_{0})}{n!}
\end{array}
\]

\end_inset

Con lo que 
\begin_inset Formula $P(x)=P(x_{0})+\frac{P'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\dots+\frac{P^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
polinomio de Taylor
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 de grado 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 a la siguiente expresión:
\begin_inset Formula 
\[
P_{n}(f,x;x_{0})=f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\dots+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}
\]

\end_inset

El 
\series bold
resto del polinomio
\series default
 es la diferencia entre la función y su polinomio de Taylor: 
\begin_inset Formula $R_{n}(x;x_{0})\coloneqq f(x)-P_{n}(f,x;x_{0})$
\end_inset

.
 Una función 
\begin_inset Formula $g:(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 definida en un entorno reducido de 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 es una 
\series bold

\begin_inset Quotes cld
\end_inset

o
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 pequeña
\series default
 de 
\begin_inset Formula $|x-x_{0}|^{n}$
\end_inset

, escrito 
\begin_inset Formula $g(x)=o(|x-x_{0}|^{n})$
\end_inset

 o informalmente 
\begin_inset Formula $o(x-x_{0})^{n}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{|g(x)|}{|x-x_{0}|^{n}}=0$
\end_inset

.
 Así, si 
\begin_inset Formula $g(x)=o(|x-x_{0}|^{n})$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $g(x)=o(|x-x_{0}|^{k})$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $1\leq k\leq n$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{|g(x)|}{|x-x_{0}|^{k}}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{|g(x)|}{|x-x_{0}|^{n}}|x-x_{0}|^{n-k}=0\cdot0=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Resto de Landau y desarrollos limitados
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

 veces derivable en 
\begin_inset Formula $(a,b)$
\end_inset

 y existe la derivada 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-ésima en 
\begin_inset Formula $x_{0}\in(a,b)$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f(x)=P_{n}(f,x;x_{0})+o(|x-x_{0}|^{n})$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Aplicando la regla de L'Hospital 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

 veces y la definición de derivada 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-ésima de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-P_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}=\dots=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(n-1)}(x)-P_{n}^{(n-1)}(x)}{n(n-1)\cdots2(x-x_{0})}
\]

\end_inset

pero, al derivar 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

 veces 
\begin_inset Formula $P_{n}(x)$
\end_inset

, desaparecen todos los términos salvo los de grado 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $P_{n}^{(n-1)}(x)=(n-1)!\frac{f^{(n-1)}(x_{0})}{(n-1)!}+n!\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})=f^{(n-1)}(x_{0})+f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})$
\end_inset

.
 Por tanto
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-P_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}} & = & \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_{0})-f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})}{n!(x-x_{0})}\\
 & = & \frac{1}{n!}\left(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_{0})}{(x-x_{0})}-f^{(n)}(x_{0})\right)\\
 & = & 0
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
A una expresión como la de arriba la llamamos 
\series bold
desarrollo limitado
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 de grado 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

, y cuando existe es única.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Supongamos que una expresión admite dos desarrollos limitados de orden
 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $f(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+\dots+a_{n}(x-x_{0})^{n}+o(|x-x_{0}|^{n})=b_{0}+b_{1}(x-x_{0})+\dots+b_{n}(x-x_{0})^{n}+o(|x-x_{0}|^{n})$
\end_inset

.
 Igualando, 
\begin_inset Formula $(b_{0}-a_{0})+(b_{1}-a_{1})(x-x_{0})+\dots+(b_{n}-a_{n})(x-x_{0})^{n}=o(|x-x_{0}|^{n})$
\end_inset

.
 Tomando límites cuando 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 tiende a 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a_{0}=b_{0}$
\end_inset

.
 Eliminando este sumando, dividiendo por 
\begin_inset Formula $(x-x_{0})$
\end_inset

 y tomando límites de nuevo, queda 
\begin_inset Formula $a_{1}=b_{1}$
\end_inset

, y así sucesivamente.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para calcular desarrollos limitados, muy útiles en el cálculo de límites
 de cocientes sustituyendo a la regla de L'Hospital, sean 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 funciones de clase 
\begin_inset Formula ${\cal C}^{n}$
\end_inset

 definidas en entornos de 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y_{0}$
\end_inset

, respectivamente, y derivables 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 veces en dichos puntos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $x_{0}=y_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(f+g)(x)=P_{n}(f,x;x_{0})+P_{n}(g,x;x_{0})+o(|x-x_{0}|^{n})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $x_{0}=y_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(fg)(x)=P_{n}(f,x;x_{0})P_{n}(g,x;x_{0})+o(|x-x_{0}|^{n})$
\end_inset

.
 Aquí hay que agrupar los términos convenientemente teniendo en cuenta que
 los términos de grado mayor a 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 son 
\begin_inset Formula $o(|x-x_{0}|^{n})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $x_{0}=y_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{P_{n}(f,x;x_{0})}{P_{n}(g,x;x_{0})}+o(|x-x_{0}|^{n})$
\end_inset

.
 Aquí hay que considerar la 
\emph on
fracción continua
\emph default
 de polinomios, que es igual que la división normal de polinomios pero tomando
 los términos de menor grado del divisor y el dividendo en vez de los de
 mayor grado, y terminando cuando el grado del término resultante del cociente
 sea mayor que 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, pues a partir de ahí el resto de términos son 
\begin_inset Formula $o(|x-x_{0}|^{n})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f(x)=P_{n}(f,x;x_{0})+o(|x-x_{0}|^{n})$
\end_inset

, el desarrollo limitado de orden 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $f'$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $f'(x)=(P_{n}(f,x;x_{0}))'+o(|x-x_{0}|^{n-1})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f(x_{0})=y_{0}$
\end_inset

 y la función 
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset

 está definida en un entorno de 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 en el que admite un desarrollo limitado en 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

, este se obtiene sustituyendo el desarrollo de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en el de 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 y agrupando los términos convenientemente tanto en la parte polinómica
 de grado menor o igual a 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 como en la del resto de Landau.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 veces derivable en 
\begin_inset Formula $(a,b)$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $f'(x_{0})=\dots=f^{(n-1)}(x_{0})=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f^{(n)}(x_{0})\neq0$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 es par, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 presenta un máximo relativo en 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $f^{(n)}(x_{0})<0$
\end_inset

 o un mínimo relativo si 
\begin_inset Formula $f^{(n)}(x_{0})>0$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Como todas las derivadas en 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 hasta 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

 son 0,
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
f(x)=f(x_{0})+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}+o((x-x_{0})^{n})\implies\\
\implies\frac{f(x)-f(x_{0})}{(x-x_{0})^{n}}=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_{0})+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n}}
\end{array}
\]

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $f^{(n)}(x_{0})<0$
\end_inset

, existe un entorno de 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 en el que el segundo miembro de la igualdad es estrictamente negativo y
 por tanto también el primero, pero como 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 es par, esto significa que 
\begin_inset Formula $f(x)-f(x_{0})<0$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $f(x)<f(x_{0})$
\end_inset

 y hay un máximo relativo.
 El caso en que 
\begin_inset Formula $f^{(n)}(x_{0})>0$
\end_inset

 es análogo.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 es impar, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 no tiene extremo relativo en 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Llegamos a que existe un entorno de 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 en el que el primer miembro de la igualdad es estrictamente positivo o
 estrictamente negativo, pero cualquiera de las situaciones significa que
 la función es estrictamente creciente a ambos lados o estrictamente decreciente
 a ambos lados.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Fórmula de Taylor con resto de Lagrange
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 veces derivable en 
\begin_inset Formula $(a,b)$
\end_inset

 y sean 
\begin_inset Formula $x_{0},x\in(a,b)$
\end_inset

, entonces existe 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 estrictamente entre 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula 
\[
R_{n-1}(x;x_{0})=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-x_{0})^{n}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Aplicando el teorema del valor medio de Cauchy a 
\begin_inset Formula 
\[
F(t):=f(x)-\left(f(t)+\frac{1}{1!}f'(t)(x-t)+\dots+\frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(t)(x-t)^{n-1}\right)
\]

\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $G(t)\coloneqq (x-t)^{n}$
\end_inset

 entre 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 estrictamente entre 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $(F(x_{0})-F(x))G'(c)=(G(x_{0})-G(x))F'(c)$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $F(x)=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $F(x_{0})=R_{n-1}(x;x_{0})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $G(x)=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $G(x_{0})=(x-x_{0})^{n}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $R_{n-1}(x;x_{0})G'(c)=(x-x_{0})^{n}F'(c)$
\end_inset

.
 Ahora calculamos las derivadas de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

.
 Se tiene que 
\begin_inset Formula $G'(t)=-n(x-t)^{n-1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $G'(c)=-n(x-c)^{n-1}$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
F'(t)=-\left(f'(t)+\frac{1}{1!}f''(t)(x-t)+\dots+\frac{1}{(n-1)!}f^{(n)}(t)(x-t)^{n-1}\right)+\\
+\left(\frac{1}{1!}f'(t)+\dots+\frac{n-1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(t)(x-t)^{n-2}\right)=-\frac{1}{(n-1)!}f^{(n)}(t)(x-t)^{n-1}
\end{array}
\]

\end_inset

luego 
\begin_inset Formula $F'(c)=-\frac{f^{(n)}(c)}{(n-1)!}(x-c)^{n-1}$
\end_inset

, y sustituyendo, 
\begin_inset Formula 
\[
R_{n-1}(x;x_{0})=\frac{F'(c)}{G'(c)}(x-x_{0})^{n}=\frac{-\frac{f^{(n)}(c)}{(n-1)!}(x-c)^{n-1}}{-n(x-c)^{n-1}}(x-x_{0})^{n}=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-x_{0})^{n}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Esta forma de expresar el resto se llama 
\series bold
forma de Lagrange
\series default
, y a veces se escribe 
\begin_inset Formula $c=x_{0}+\theta(x-x_{0})$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $0<\theta<1$
\end_inset

, de modo que si 
\begin_inset Formula $x_{0}=0$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $c=\theta x$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Las funciones 
\series bold
analíticas
\series default
 son funciones de clase 
\begin_inset Formula ${\cal C}^{\infty}$
\end_inset

 en las que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 coincide con su polinomio de Taylor 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

infinito
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

.
 No todas las de clase 
\begin_inset Formula ${\cal C}^{\infty}$
\end_inset

 cumplen esta propiedad, pues, por ejemplo, la función 
\begin_inset Formula $g(x)=e^{-\frac{1}{x^{2}}}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $x\neq0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g(0)=0$
\end_inset

 cumple que 
\begin_inset Formula $g^{(n)}(0)=0$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 y por tanto su 
\series bold
polinomio de Mac-Laurin
\series default
 (polinomio de Taylor en 
\begin_inset Formula $x_{0}=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $P_{n}(g,x;0)$
\end_inset

) es nulo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Desarrollos de Taylor importantes:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\dots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{e^{\theta x}}{n!}=\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^{k}}{k!}\right)+\frac{e^{\theta x}}{n!}x^{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Para cualquier 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f^{(n)}(x)=e^{x}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f^{(n)}(0)=1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\dots+\frac{\sin(\theta x+n\pi/2)}{n!}x^{n}=\left(\sum_{k=0}^{\lfloor(n-2)/2\rfloor}\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)+\frac{\sin(\theta x+n\pi/2)}{n!}x^{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{rccclrcl}
f(x) & = & \sin x &  &  & f(0) & = & 0\\
f'(x) & = & \cos x & = & \sin(x+\pi/2) & f'(0) & = & 1\\
f''(x) & = & -\sin x & = & \sin(x+\pi) & f''(0) & = & 0\\
f'''(x) & = & -\cos x & = & \sin(x+3\pi/2) & f'''(0) & = & -1\\
f^{(4)}(x) & = & \sin x & = & \sin(x+2\pi) & f^{(4)}(0) & = & 0\\
\vdots\\
f^{(n)}(x) &  &  & = & \sin(x+n\pi/2) & f^{(n)}(0) & = & \sin(n\pi/2)
\end{array}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\dots+\frac{\cos(\theta x+n\pi/2)}{n!}x^{n}=\left(\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}\right)+\frac{\cos(\theta x+n\pi/2)}{n!}x^{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\log(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{n(1+\theta x)^{n}}x^{n}=\left(\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k-1}x^{k}}{k}\right)+\frac{(-1)^{n-1}}{n(1+\theta x)^{n}}x^{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{rclrcl}
f(x) & = & \log(1+x) & f(0) & = & 0\\
f'(x) & = & (1+x)^{-1} & f'(0) & = & 1\\
f''(x) & = & (-1)(1+x)^{-2} & f''(0) & = & -1=-1!\\
f'''(x) & = & (-1)(-2)(1+x)^{-3} & f'''(0) & = & (-1)(-2)=2!\\
\vdots\\
f^{(n)}(x) & = & (-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n} & f^{(n)} & = & (-1)^{n-1}(n-1)!
\end{array}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(1+x)^{\alpha}=1+\binom{\alpha}{1}x+\binom{\alpha}{2}x^{2}+\binom{\alpha}{3}x^{3}+\dots+\binom{\alpha}{n-1}x^{n-1}+\binom{\alpha}{n}\frac{(1+\theta x)^{\alpha}}{(1+\theta x)^{n}}x^{n}=1+\left(\sum_{k=1}^{n-1}\binom{\alpha}{k}x^{k}\right)+\binom{\alpha}{n}\frac{(1+\theta x)^{\alpha}}{(1+\theta x)^{n}}x^{n}$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $\binom{\alpha}{k}\coloneqq \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{rclrcl}
f(x) & = & (1+x)^{\alpha} & f(0) & = & 1\\
f'(x) & = & \alpha(1+x)^{\alpha-1} & f'(0) & = & \alpha\\
f''(x) & = & \alpha(\alpha-1)(1+x)^{\alpha-2} & f''(0) & = & \alpha(\alpha-1)\\
\vdots\\
f^{(n)}(x) & = & \alpha\cdots(\alpha-n+1)(1+x)^{\alpha-n} & f^{(n)}(0) & = & \alpha\cdots(\alpha-n+1)
\end{array}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Funciones convexas
\end_layout

\begin_layout Standard
Una función 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es 
\series bold
convexa
\series default
 en el intervalo 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall x,y\in I,t\in[0,1],f((1-t)x+ty)\leq(1-t)f(x)+tf(y)$
\end_inset

, y es 
\series bold
cóncava
\series default
 en 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall x,y\in I,t\in[0,1],f((1-t)x+ty)\geq(1-t)f(x)+tf(y)$
\end_inset

.
 Geométricamente, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es convexa en 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 si para cualesquiera 
\begin_inset Formula $x,y\in I$
\end_inset

, la secante que une los puntos 
\begin_inset Formula $(x,f(x))$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $(y,f(y))$
\end_inset

 está por encima de la gráfica de la función en el intervalo 
\begin_inset Formula $[x,y]$
\end_inset

, y cóncava si está por debajo.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float figure
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\align center
\begin_inset Graphics
	filename pegado1.png

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
Interpretación geométrica de la convexidad.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La pendiente de la recta secante que pasa por 
\begin_inset Formula $(x,f(x))$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $(y,f(y))$
\end_inset

 se denota 
\begin_inset Formula $p_{x}(y)\coloneqq \frac{f(y)-f(x)}{y-x}$
\end_inset

.
 Así, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es convexa en 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 si y sólo si para cualesquiera 
\begin_inset Formula $a,x,b\in I$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a<x<b$
\end_inset

 se verifica 
\begin_inset Formula $p_{a}(x)\leq p_{b}(x)$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $x=a+t(b-a)=(1-t)a+tb$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $t\in(0,1)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $x-a=t(b-a)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x-b=(1-t)(a-b)$
\end_inset

, y se tiene que
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
p_{a}(x)\leq p_{b}(x) & \iff & \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\leq\frac{f(x)-f(b)}{x-b}\\
 & \iff & (f(x)-f(a))(x-b)\geq(f(x)-f(b))(x-a)\\
 & \iff & f(x)(a-b)\geq f(a)(x-b)-f(b)(x-a)\\
 & \iff & f(x)(a-b)\geq f(a)(1-t)(a-b)-f(b)t(b-a)\\
 & \iff & f(x)\leq f(a)(1-t)+f(b)t
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es convexa en un intervalo 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

, entonces:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para cada 
\begin_inset Formula $a\in I$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p_{a}:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es creciente.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $a<x<y\in I$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
p_{a}(x)\leq p_{a}(y)\iff\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\leq\frac{f(y)-f(a)}{y-a}\iff\\
\iff f(x)-f(a)\leq\frac{f(y)-f(a)}{y-a}(x-a)\iff f(x)\leq f(a)+\frac{f(y)-f(a)}{y-a}(x-a)
\end{array}
\]

\end_inset

lo cual es cierto por ser 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 convexa.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Lema de las tres pendientes:
\series default
 
\begin_inset Formula $\forall a,x,b\in I,(a<x<b\implies p_{a}(x)\leq p_{a}(b)\leq p_{b}(x)$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Como 
\begin_inset Formula $p_{a}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p_{b}$
\end_inset

 son crecientes, 
\begin_inset Formula $p_{a}(x)\leq p_{a}(b)=p_{b}(a)\leq p_{b}(x)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en los puntos del interior del intervalo.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 un punto interior de 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x',x\in I$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x'<x_{0}<x$
\end_inset

.
 Por lo anterior, 
\begin_inset Formula $p_{x_{0}}(x')=p_{x'}(x_{0})\leq p_{x}(x_{0})=p_{x_{0}}(x)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $p_{x_{0}}$
\end_inset

 es creciente y por tanto existe 
\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}p_{x_{0}}(x)$
\end_inset

.
 Por otra parte, 
\begin_inset Formula $f(x)=f(x_{0})+\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}(x-x_{0})$
\end_inset

, y tomando límites, 
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})+\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}(x-x_{0})=f(x_{0})+\alpha\cdot0=f(x_{0})
\]

\end_inset

lo que prueba la continuidad por la derecha de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

.
 Podemos probar la continuidad por la izquierda de manera análoga.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, sea 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 derivable en el intervalo abierto 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
f\text{ es convexa en }I\iff f'\text{ es creciente en }I\iff\forall x_{0},x\in I,f(x)-f(x_{0})\geq f'(x_{0})(x-x_{0})
\]

\end_inset

La última condición significa que para cada punto de 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

, la gráfica de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 está por encima de la tangente en dicho punto.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $1\implies2]$
\end_inset

 Sean 
\begin_inset Formula $a,b\in I$
\end_inset

 arbitrarios con 
\begin_inset Formula $a<b$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
f'(a) & = & \lim_{x\rightarrow a^{+}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a^{+}}p_{a}(x)\\
f'(b) & = & \lim_{x'\rightarrow b^{-}}\frac{f(x')-f(b)}{x'-b}=\lim_{x'\rightarrow b^{-}}p_{b}(x')
\end{eqnarray*}

\end_inset

 Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es convexa, 
\begin_inset Formula $p_{a}(x)\leq p_{x'}(x)=p_{x}(x')\leq p_{b}(x')$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $a<x<x'<b$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $f'(a)\leq f'(b)$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $f'$
\end_inset

 es creciente.
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $2\implies3]$
\end_inset

 Sean 
\begin_inset Formula $x_{0},x\in I$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $x_{0}<x$
\end_inset

, por el teorema del valor medio de Lagrange, 
\begin_inset Formula $f(x)-f(x_{0})=f'(c)(x-x_{0})$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $f'$
\end_inset

 es creciente y 
\begin_inset Formula $c\in(x_{0},x)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f'(c)(x-x_{0})\geq f'(x_{0})(x-x_{0})$
\end_inset

.
 El caso en que 
\begin_inset Formula $x_{0}>x$
\end_inset

 se hace de forma análoga, y el caso en que 
\begin_inset Formula $x_{0}=x$
\end_inset

 es trivial.
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $3\implies1]$
\end_inset

 Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 no fuera convexa existirían 
\begin_inset Formula $a,x_{0},b\in I$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a<x_{0}<b$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $f(x_{0})$
\end_inset

 estaría por encima de la secante entre 
\begin_inset Formula $(a,f(a))$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(b,f(b))$
\end_inset

, es decir, 
\begin_inset Formula $p_{b}(x_{0})<p_{b}(a)=p_{a}(b)<p_{a}(x_{0})$
\end_inset

.
 Ahora bien, la tangente de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 viene dada por 
\begin_inset Formula $g(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$
\end_inset

, y si suponemos que 
\begin_inset Formula $(b,f(b))$
\end_inset

 está por encima de la recta, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
f(b)>g(b)=f(x_{0})+f'(x_{0})(b-x_{0})\iff f(b)-f(x_{0})>f'(x_{0})(b-x_{0})\iff\\
\iff f'(x_{0})<\frac{f(b)-f(x_{0})}{b-x_{0}}=p_{b}(x_{0})\overset{\text{hip.}}{<}p_{a}(x_{0})=\frac{f(x_{0})-f(a)}{x_{0}-a}\iff\\
\iff f'(x_{0})(x_{0}-a)<f(x_{0})-f(a)\iff f(a)<f(x_{0})+f'(x_{0})(x_{0}-a)
\end{array}
\]

\end_inset

por lo que 
\begin_inset Formula $(a,f(a))$
\end_inset

 queda por debajo de la tangente.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Convexidad local:
\series default
 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 y derivable en 
\begin_inset Formula $x_{0}\in I$
\end_inset

 es 
\series bold
convexa
\series default
 en 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\exists\delta>0:\forall x\in B(x_{0},\delta)\cap I,f(x)\geq f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$
\end_inset

, y es 
\series bold
cóncava
\series default
 en 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\exists\delta>0:\forall x\in B(x_{0},\delta)\cap I,f(x)\leq f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$
\end_inset

.
 Decimos que 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 es un 
\series bold
punto de inflexión
\series default
 si existe 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $x\in B(x_{0},\delta)\cap I$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $x<x_{0}$
\end_inset

 implica 
\begin_inset Formula $f(x)>f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$
\end_inset

 mientras que 
\begin_inset Formula $x>x_{0}$
\end_inset

 implica 
\begin_inset Formula $f(x)<f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$
\end_inset

 (o al revés).
 Puede no darse ninguna de las tres situaciones como en el punto 
\begin_inset Formula $x_{0}=0$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $f(x)=x^{2}\sin(1/x)$
\end_inset

.
 Una función 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 derivable en el intervalo abierto 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 es convexa en 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 si y sólo si es convexa para cada 
\begin_inset Formula $x\in I$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Ver teorema anterior.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Supongamos que existen 
\begin_inset Formula $a,b,c\in I$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a<c<b$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $f(c)>f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(c-a)$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $g(x)=f(x)-\left(f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right)$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $0=g(a)=g(b)<g(c)$
\end_inset

, existe un máximo absoluto de 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $(a,b)$
\end_inset

 y en este 
\begin_inset Formula $g'(\xi)=0$
\end_inset

, así que 
\begin_inset Formula $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g(z)<g(\xi)\forall z\in[a,b]$
\end_inset

, luego
\begin_inset Formula 
\[
g(b)=f(b)-\left(f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)\right)<f(\xi)-\left(f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(\xi-a)\right)
\]

\end_inset

es decir,
\begin_inset Formula 
\[
f(b)<f(\xi)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-\xi)=f(\xi)+f'(\xi)(b-\xi)
\]

\end_inset

lo que contradice la convexidad de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\xi$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\begin_inset Formula $f:I\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es cóncava si y sólo si 
\begin_inset Formula $-f$
\end_inset

 es convexa, todas las proposiciones sobre funciones convexas se pueden
 aplicar a funciones cóncavas adaptándolas convenientemente.
\end_layout

\begin_layout Section
Representación gráfica de funciones
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $y=f(x)$
\end_inset

.
 La recta 
\begin_inset Formula $x=a$
\end_inset

 es una 
\series bold
asíntota vertical
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f(x)$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\pm\infty$
\end_inset

, sea el límite por la izquierda o por la derecha.
 La recta 
\begin_inset Formula $y=b$
\end_inset

 es una 
\series bold
asíntota horizontal
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f(x)$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=b$
\end_inset

, sea cuando 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 tiende a 
\begin_inset Formula $-\infty$
\end_inset

 o a 
\begin_inset Formula $+\infty$
\end_inset

.
 Finalmente, la recta 
\begin_inset Formula $y=mx+b$
\end_inset

 es una 
\series bold
asíntota oblicua
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f(x)$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow\infty}(f(x)-(mx+b))=0$
\end_inset

, y entonces podemos calcular 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b=\lim_{x\rightarrow\infty}(f(x)-mx)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una función 
\begin_inset Formula $f:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es 
\series bold
par
\series default
 o 
\series bold
simétrica respecto del eje de coordenadas 
\series default
si 
\begin_inset Formula $f(-x)=f(x)\forall x\in D$
\end_inset

, y es 
\series bold
impar
\series default
 o 
\series bold
simétrica respecto del origen de coordenadas
\series default
 si 
\begin_inset Formula $f(-x)=-f(x)\forall x\in D$
\end_inset

.
\end_layout

\end_body
\end_document