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\begin_body

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
partición
\series default
 de 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 es una colección de puntos 
\begin_inset Formula $a=t_{0}<t_{1}<\dots<t_{n}=b$
\end_inset

, y llamamos 
\begin_inset Formula ${\cal P}([a,b])$
\end_inset

 al conjunto de todas las particiones de 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

.
 Dada 
\begin_inset Formula $\pi\equiv(t_{0}<\dots<t_{n})\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

, escribimos 
\begin_inset Formula $M_{i}\coloneqq \sup\{f(t)\}_{t\in[t_{i-1},t_{i}]}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m_{i}\coloneqq \inf\{f(t)\}_{t\in[t_{i-1},t_{i}]}$
\end_inset

, y llamamos 
\series bold
suma superior
\series default
 y 
\series bold
suma inferior
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 correspondiente a 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

, respectivamente, a
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
S(f,\pi):=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(t_{i}-t_{i-1}) & \text{ y } & s(f,\pi):=\sum_{i=1}^{n}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})
\end{eqnarray*}

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard
Obviamente 
\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq S(f,\pi)$
\end_inset

 para cualquier 
\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

.
 Dadas 
\begin_inset Formula $\pi,\pi'\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

, decimos que 
\begin_inset Formula $\pi'$
\end_inset

 es 
\series bold
más fina
\series default
 que 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $\pi'\succ\pi$
\end_inset

) si 
\begin_inset Formula $\pi'\supseteq\pi$
\end_inset

, y denotamos 
\begin_inset Formula $\pi\lor\pi'\coloneqq \pi\cup\pi'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\pi\preceq\pi'$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq s(f,\pi')$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S(f,\pi)\geq S(f,\pi')$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Supongamos que 
\begin_inset Formula $\pi'$
\end_inset

 tiene un punto más que 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

, con 
\begin_inset Formula $\pi\equiv t_{0}<\dots<t_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\pi'\equiv t_{0}<\dots<t_{k-1}<p<t_{k}<\dots<t_{n}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $s(f,\pi)=\sum_{i\neq k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})+m_{k}(t_{k}-t_{k-1})=\sum_{i\neq k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})+m_{k}((t_{k}-p)+(p-t_{k-1}))\leq\sum_{i\neq k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})+\inf\{f(t)\}_{t\in[t_{k-1},p]}(p-t_{k-1})+\inf\{f(t)\}_{t\in[p,t_{k}]}(t_{k}-p)=s(f,\pi')$
\end_inset

.
 La segunda afirmación se hace de forma análoga.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dadas 
\begin_inset Formula $\pi,\pi'\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq S(f,\pi')$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Como 
\begin_inset Formula $\pi,\pi'\prec\pi\lor\pi'$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq s(f,\pi\lor\pi')\leq S(f,\pi\lor\pi')\leq S(f,\pi')$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos pues 
\series bold
integral inferior
\series default
 e 
\series bold
integral superior
\series default
 (
\series bold
de Darboux
\series default
), respectivamente, a
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\underline{\int_{a}^{b}}f:=\sup\{s(f,\pi)\}_{\pi\in{\cal P}([a,b])} & \text{ y } & \overline{\int_{a}^{b}}f:=\inf\{S(f,\pi)\}_{\pi\in{\cal P}([a,b])}
\end{eqnarray*}

\end_inset

Decimos que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es 
\series bold
integrable Riemann
\series default
 en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

, escrito 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

, si las integrales superior e inferior coinciden y llamamos 
\series bold
integral Riemann
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

, escrito 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f$
\end_inset

, a este valor.
 Definimos, para 
\begin_inset Formula $a<b$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\int_{b}^{a}f\coloneqq -\int_{a}^{b}f$
\end_inset

, e 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{a}f=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Caracterización
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, dada 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 acotada, 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]\iff\forall\varepsilon>0,\exists\pi\in{\cal P}([a,b]):S(f,\pi)-s(f,\pi)<\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f=\inf\{S(f,\pi)\}_{\pi\in{\cal P}([a,b])}$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\pi_{1}\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $0\leq S(f,\pi_{1})-\int_{a}^{b}f<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

, y análogamente existe 
\begin_inset Formula $\pi_{2}\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $0\leq\int_{a}^{b}f-s(f,\pi_{2})<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\pi\coloneqq \pi_{1}\lor\pi_{2}$
\end_inset

 cumple ambas desigualdades, pues 
\begin_inset Formula $S(f,\pi)\leq S(f,\pi_{1})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s(f,\pi)\geq s(f,\pi_{2})$
\end_inset

, y sumándolas obtenemos 
\begin_inset Formula $S(f,\pi)-s(f,\pi)<\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\pi_{\varepsilon}\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $S(f,\pi_{\varepsilon})-s(f,\pi_{\varepsilon})<\varepsilon$
\end_inset

, por la definición de integral superior e inferior, 
\begin_inset Formula $0\leq\overline{\int_{a}^{b}}f-\underline{\int_{a}^{b}}f\leq S(f,\pi_{\varepsilon})-s(f,\pi_{\varepsilon})\leq\varepsilon$
\end_inset

, lo que para 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

 arbitrario implica que las integrales superior e inferior coinciden.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]\iff\exists!\alpha\in\mathbb{R}:\forall\pi\in{\cal P}([a,b]),s(f,\pi)\leq\alpha\leq S(f,\pi)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \int_{a}^{b}f$
\end_inset

, para toda 
\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq\alpha\leq S(f,\pi)$
\end_inset

.
 Si existiera 
\begin_inset Formula $\beta\neq\alpha$
\end_inset

 que cumpliera la condición, como 
\begin_inset Formula $\alpha=\sup\{s(f,\pi)\}_{\pi\in{\cal P}([a,b])}$
\end_inset

 se tendría 
\begin_inset Formula $\beta>\alpha$
\end_inset

, pero análogamente que 
\begin_inset Formula $\beta<\alpha$
\end_inset

.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Supongamos que existe un 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 que verifica la condición pero 
\begin_inset Formula $f\notin{\cal R}[a,b]$
\end_inset

.
 Entonces para cualquier 
\begin_inset Formula $\pi\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

 se tiene 
\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq\underline{\int_{a}^{b}}f<\overline{\int_{a}^{b}}f\leq S(f,\pi)$
\end_inset

, por lo que existen infinitos números reales que verifican la condición
 y por tanto 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 no es único.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Otro 
\series bold
teorema 
\series default
importante es que las funciones 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 continuas son integrables en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

, y además, dados 
\begin_inset Formula $z_{k,n}\in[a+\frac{b-a}{n}(k-1),a+\frac{b-a}{n}k]$
\end_inset

 cualesquiera,
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f(z_{k,n})=\int_{a}^{b}f
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Dado 
\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $S(f,\pi)-s(f,\pi)=\sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(t_{i}-t_{i-1})$
\end_inset

.
 Ahora bien, dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 también es uniformemente continua, luego existe 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $|x-y|<\delta$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\frac{b-a}{n_{0}}<\delta$
\end_inset

.
 Para todo 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 definimos 
\begin_inset Formula $\pi_{n}=(a<a+\frac{b-a}{n}<\dots<a+n\frac{b-a}{n}=b)\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $t_{k,n}=a+k\frac{b-a}{n}$
\end_inset

, y tenemos que para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $t_{k,n}-t_{k-1,n}<\delta$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $M_{k,n}-m_{k,n}\leq\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$
\end_inset

.
 Entonces
\begin_inset Formula 
\[
S(f,\pi_{n_{0}})-s(f,\pi_{n_{0}})\leq\sum_{i=1}^{n_{0}}\frac{\varepsilon}{2(b-a)}(t_{i,n_{0}}-t_{i-1,n_{0}})=\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon
\]

\end_inset

De aquí que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es integrable.
 Pero entonces existe un único 
\begin_inset Formula $\alpha=\int_{a}^{b}f$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq\alpha\leq S(f,\pi)$
\end_inset

, y en particular, 
\begin_inset Formula $s(f,\pi_{n})\leq\alpha\leq S(f,\pi_{n})$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

.
 Sea ahora 
\begin_inset Formula $z_{k,n}\in[a+\frac{b-a}{n}(k-1),a+\frac{b-a}{n}k]$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $1\leq k\leq n$
\end_inset

 arbitrario y 
\begin_inset Formula $a_{n}=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f(z_{k,n})$
\end_inset

.
 Por definición, 
\begin_inset Formula $s(f,\pi_{n})\leq a_{n}\leq S(f,\pi_{n})$
\end_inset

, y dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $S(f,\pi_{n})-s(f,\pi_{n})<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $S(f,\pi_{n})-\alpha\leq\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S(f,\pi_{n})-a_{n}<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $|a_{n}-\alpha|\leq|a_{n}-S(f,\pi_{n})|+|S(f,\pi_{n})-\alpha|<\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dada 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 monótona y acotada entonces 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Dada 
\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $S(f,\pi)-s(f,\pi)=\sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(t_{i}-t_{i-1})$
\end_inset

, y dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, si por ejemplo 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es monótona creciente y 
\begin_inset Formula $f(a)<f(b)$
\end_inset

, dada 
\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $t_{i}-t_{i-1}<\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)}$
\end_inset

, se tiene que 
\begin_inset Formula $M_{i}=f(t_{i})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $m_{i}=f(t_{i-1})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S(f,\pi)-s(f,\pi)=\sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(t_{i}-t_{i-1})\leq\sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)}=\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es acotada y 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[c,b]\forall c>a$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $A>0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $|f(x)|\leq A\forall x\in[a,b]$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $-A\leq\inf\{f(x)\}_{x\in[a,b]}\leq\sup\{f(x)\}_{x\in[a,b]}\leq A$
\end_inset

.
 Dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $c\in(a,b]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $c-a<\frac{\varepsilon}{4A}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([c,b])$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $S(f,\pi)-s(f,\pi)<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

, si tomamos 
\begin_inset Formula $\pi'\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

 resultado de añadir a 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 el intervalo 
\begin_inset Formula $[a,c]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $M_{1}=\sup\{f(x)\}_{x\in[a,c]}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m_{1}=\inf\{f(x)\}_{x\in[a,c]}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $S(f,\pi')-s(f,\pi')=M_{1}(c-a)+S(f,\pi)-m_{1}(c-a)-s(f,\pi)\leq2A(c-a)+S(f,\pi)-s(f,\pi)\leq2A(c-a)+\frac{\varepsilon}{2}<2A\frac{\varepsilon}{4A}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Sumas de Riemann
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\pi\equiv(t_{0}<\dots<t_{n})\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
suma de Riemann
\series default
 asociada a la partición 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 y los puntos 
\begin_inset Formula $z_{i}\in[t_{i-1},t_{i}]$
\end_inset

 a
\begin_inset Formula 
\[
S(f,\pi,z_{i}):=\sum_{i=1}^{n}f(z_{i})(t_{i}-t_{i-1})
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es integrable Riemann en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 si y sólo si existe 
\begin_inset Formula $A\in\mathbb{R}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $\pi_{0}\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $\pi_{0}\prec\pi$
\end_inset

, para cualesquiera 
\begin_inset Formula $z_{i}\in[t_{i-1},t_{i}]$
\end_inset

 se cumple 
\begin_inset Formula $|A-S(f,\pi,z_{i})|<\varepsilon$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $A=\int_{a}^{b}f$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $A=\int_{a}^{b}f$
\end_inset

, fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $\pi_{0}\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $S(f,\pi_{0})-s(f,\pi_{0})<\varepsilon$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $\pi_{0}\prec\pi$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $S(f,\pi)-s(f,\pi)\leq S(f,\pi_{0})-s(f,\pi_{0})<\varepsilon$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq S(f,\pi,z_{i})\leq S(f,\pi)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq A\leq S(f,\pi)$
\end_inset

.
 Pero esto implica que 
\begin_inset Formula $0\leq A-s(f,\pi)\leq S(f,\pi)-s(f,\pi)\leq\varepsilon$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A-S(f,\pi,z_{i})\leq S(f,\pi)-s(f,\pi)\leq\varepsilon$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S(f,\pi,z_{i})-A\geq s(f,\pi)-S(f,\pi)\geq-\varepsilon$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $|A-S(f,\pi,z_{i})|<\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $|A-S(f,\pi,z_{i})|<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

 para puntos 
\begin_inset Formula $z_{i}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $M_{i}-f(z_{i})<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $S(f,\pi)-S(f,\pi,z_{i})=\sum_{i=1}^{n}(M_{i}-f(z_{i}))(t_{i}-t_{i-1})\leq\sum_{i=1}^{n}\frac{\varepsilon}{2(b-a)}(t_{i}-t_{i-1})=\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $|A-S(f,\pi,z_{i})|<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $|A-S(f,\pi)|<\varepsilon$
\end_inset

.
 Análogamente se tiene que 
\begin_inset Formula $|A-s(f,\pi)|<\varepsilon$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $|S(f,\pi)-s(f,\pi)|<2\varepsilon$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Queda ver que 
\begin_inset Formula $A=\int_{a}^{b}f$
\end_inset

.
 Supongamos que existe 
\begin_inset Formula $\pi_{0}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $s(f,\pi_{0})\leq S(f,\pi_{0})<A$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $\varepsilon=A-S(f,\pi_{0})$
\end_inset

, existe por hipótesis 
\begin_inset Formula $\pi_{1}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $\pi\succ\pi_{1}$
\end_inset

 y elección de 
\begin_inset Formula $z_{i}$
\end_inset

 se tiene 
\begin_inset Formula $|A-S(f,\pi,z_{i})|<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $\pi'=\pi_{0}\lor\pi_{1}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $S(f,\pi',z_{i})>A-\frac{\varepsilon}{2}=\frac{A+S(f,\pi_{0})}{2}>S(f,\pi_{0})$
\end_inset

, pero al mismo tiempo 
\begin_inset Formula $S(f,\pi',z_{i})<S(f,\pi')\leq S(f,\pi_{0})$
\end_inset

.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un conjunto 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{R}$
\end_inset

 tiene 
\series bold
medida cero
\series default
 si para cada 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe una sucesión 
\begin_inset Formula $I_{n}$
\end_inset

 de intervalos cerrados y acotados con 
\begin_inset Formula $A\subseteq\bigcup_{n}I_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}\text{long}(I_{n})\leq\varepsilon$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $\text{long}([a,b])\coloneqq b-a$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 tiene medida cero y 
\begin_inset Formula $B\subseteq A$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 tiene medida cero, y si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es numerable tiene medida cero tomando, para cada 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, la sucesión con 
\begin_inset Formula $I_{n}=\{x_{n}-\frac{\varepsilon}{2^{n+1}},x_{n}+\frac{\varepsilon}{2^{n+1}}\}$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $\sum_{n}\text{long}(I_{n})=\sum_{n}\frac{\varepsilon}{2^{n}}=\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
teorema de Lebesgue
\series default
 afirma que dada una función acotada 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $D(f)\subseteq[a,b]$
\end_inset

 es el conjunto de puntos en los que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 no es continua, entonces 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $D(f)$
\end_inset

 tiene medida cero.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $\pi=(t_{0}<\dots<t_{n})\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
norma
\series default
 de 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\Vert\pi\Vert\coloneqq \max\{t_{i}-t_{i-1}\}_{1\leq i\leq n}$
\end_inset

.
 Como 
\series bold
teorema
\series default
,
\series bold
 
\series default
si 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es acotada, son equivalentes:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A=\int_{a}^{b}f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\exists A\in\mathbb{R}:\forall\varepsilon>0,\exists\pi_{0}\in{\cal P}([a,b]):\forall\pi\succ\pi_{0},|A-S(f,\pi,z_{i})|<\varepsilon$
\end_inset

 para cualquier suma de Riemann correspondiente a 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\exists A\in\mathbb{R}:\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall\pi:\Vert\pi\Vert<\delta,|A-S(f,\pi,z_{i})|<\varepsilon$
\end_inset

 para cualquier suma de Riemann correspondiente a 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Propiedades
\end_layout

\begin_layout Description
Linealidad 
\begin_inset Formula ${\cal R}[a,b]$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

-espacio vectorial y el operador 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}$
\end_inset

 es lineal.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $f,g\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

, dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $\pi_{0}\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $\pi_{0}\prec\pi$
\end_inset

 se tienen 
\begin_inset Formula $\left|\int_{a}^{b}f-S(f,\pi,z_{i})\right|,\left|\int_{a}^{b}g-S(g,\pi,z_{i})\right|<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula 
\[
\left|\int_{a}^{b}f+\int_{a}^{b}g-S(f+g,\pi,z_{i})\right|<\varepsilon
\]

\end_inset

con lo que 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}(f+g)=\int_{a}^{b}f+\int_{a}^{b}g$
\end_inset

.
 Sea ahora 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{R}$
\end_inset

, dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\pi_{0}\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $\pi_{0}\prec\pi$
\end_inset

 se cumple 
\begin_inset Formula $\left|\int_{a}^{b}f-S(f,\pi,z_{i})\right|<\frac{\varepsilon}{1+|k|}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula 
\[
\left|k\int_{a}^{b}f-S(kf,\pi,z_{i})\right|=|k|\left|\int_{a}^{b}f-S(f,\pi,z_{i})\right|<|k|\frac{\varepsilon}{1+|k|}<\varepsilon
\]

\end_inset

luego 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}kf=k\int_{a}^{b}f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
Producto Si 
\begin_inset Formula $f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 son integrables Riemann, también lo es 
\begin_inset Formula $fg$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Por el teorema de Lebesgue, si 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

, tendrá medida cero, pero 
\begin_inset Formula $D(f^{2})\subseteq D(f)$
\end_inset

, pues si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en un punto también lo es 
\begin_inset Formula $f^{2}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $D(f^{2})$
\end_inset

 tiene medida cero, lo que nos da la integrabilidad de 
\begin_inset Formula $f^{2}$
\end_inset

.
 El caso general se sigue de que 
\begin_inset Formula $fg=\frac{1}{2}\left((f+g)^{2}-f^{2}-g^{2}\right)$
\end_inset

 por la linealidad.
\end_layout

\begin_layout Description
Monotonía Si 
\begin_inset Formula $f(x)\leq g(x)$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f\leq\int_{a}^{b}g$
\end_inset

, y en particular si 
\begin_inset Formula $m\leq f(x)\leq M$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f\leq M(b-a)$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

 se tiene 
\begin_inset Formula $s(f,\pi)\leq s(g,\pi)$
\end_inset

, y tomando supremos, 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f\leq\int_{a}^{b}g$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
Valor
\begin_inset space ~
\end_inset

medio Sea 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 continua, existe 
\begin_inset Formula $c\in[a,b]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Por el teorema de Weierstrass, existen 
\begin_inset Formula $c_{1},c_{2}\in[a,b]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(c_{1})\leq f(x)\leq f(c_{2})$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
\end_inset

, y por la monotonía de la integral, 
\begin_inset Formula $f(c_{1})\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\leq f(c_{2})$
\end_inset

.
 Entonces, aplicando la propiedad de los valores intermedios, existe 
\begin_inset Formula $c\in[a,b]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
Valor
\begin_inset space ~
\end_inset

absoluto Si 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $|f|\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\left|\int_{a}^{b}f\right|\leq\int_{a}^{b}|f|$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $S(f,\pi)-s(f,\pi)<\varepsilon$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $M'_{i}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m'_{i}$
\end_inset

 son el supremo y el ínfimo, respectivamente, de 
\begin_inset Formula $|f|$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $[t_{i-1},t_{i}]$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $M_{i}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m_{i}$
\end_inset

 son los de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, entonces para 
\begin_inset Formula $z,w\in[t_{i-1},t_{i}]$
\end_inset

 se tiene que 
\begin_inset Formula $||f(z)|-|f(w)||\leq|f(z)-f(w)|\leq M_{i}-m_{i}$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\sup\{|f(z)|-|f(w)|\}_{z,w\in[t_{i-1},t_{i}]}=M'_{i}-m'_{i}\leq M_{i}-m_{i}$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $S(|f|,\pi)-s(|f|,\pi)\leq S(f,\pi)-s(f,\pi)<\varepsilon$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $|f|\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

.
 Ahora bien, 
\begin_inset Formula $-|f(x)|\leq f(x)\leq|f(x)|$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}-|f|=-\int_{a}^{b}|f|\leq\int_{a}^{b}f\leq\int_{a}^{b}|f|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
Aditividad
\begin_inset space ~
\end_inset

respecto
\begin_inset space ~
\end_inset

de
\begin_inset space ~
\end_inset

intervalo Dada 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 acotada y 
\begin_inset Formula $c\in[a,b]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]\iff f\in{\cal R}[a,c],{\cal R}[c,b]$
\end_inset

, y además 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f=\int_{a}^{c}f+\int_{c}^{b}f$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Basta refinar una partición 
\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

 añadiéndole el punto 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
Discontinuidades Si 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 coincide con 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 salvo en un número finito de puntos, entonces 
\begin_inset Formula $g\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f=\int_{a}^{b}g$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Supongamos que cambian en un punto 
\begin_inset Formula $c\in[a,b]$
\end_inset

, y basta probar que 
\begin_inset Formula $h\coloneqq g-f$
\end_inset

 es integrable.
 Ahora bien, 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 es nula en todos los puntos salvo en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

, por lo que dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 podemos tomar 
\begin_inset Formula $\pi\in{\cal P}[a,b]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $t_{i}-t_{i-1}\leq\frac{\varepsilon}{h(c)}$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $S(f,\pi,z_{i})\leq\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
El Teorema Fundamental del Cálculo
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
integral indefinida
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a la función 
\begin_inset Formula $F:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \int_{a}^{x}f$
\end_inset

.
 El 
\series bold
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
\series default
 afirma que, si 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es su integral indefinida, entonces 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 y si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es derivable en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F'(c)=f(c)$
\end_inset

, y esto también ocurre con los extremos del intervalo y las correspondientes
 derivadas laterales.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $M\coloneqq \sup\{|f(x)|\}_{x\in[a,b]}$
\end_inset

, por las propiedades de la integral, 
\begin_inset Formula $|F(x)-F(y)|=\left|\int_{x}^{y}f\right|\leq M|x-y|$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es uniformemente continua en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

, pues dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\delta=\frac{\varepsilon}{M}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $|x-y|\leq\delta$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $|F(x)-F(y)|\leq\varepsilon$
\end_inset

.
 Supongamos ahora que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $h>0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $c+h\in[a,b]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\left|\frac{F(c+h)-F(c)}{h}-f(c)\right|=\left|\frac{\int_{a}^{c+h}f-\int_{a}^{c}f}{h}-\frac{1}{h}\int_{c}^{c+h}f(c)\right|=\left|\frac{1}{h}\int_{c}^{c+h}(f-f(c))\right|\leq\\
\leq\frac{1}{h}\sup\{|f(t)-f(c)|\}_{t\in[c,c+h]}|h|=\sup\{|f(t)-f(c)|\}_{t\in[c,c+h]}
\end{multline*}

\end_inset

y como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

, el último miembro de la desigualdad tiende a 0 cuando 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 tiende a 0, y lo mismo ocurre para 
\begin_inset Formula $h<0$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $F'(c)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{F(c+h)-F(c)}{h}=f(c)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dada 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

, decimos que 
\begin_inset Formula $g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es una 
\series bold
primitiva
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es derivable en 
\begin_inset Formula $(a,b)$
\end_inset

 y para todo 
\begin_inset Formula $x\in(a,b)$
\end_inset

 se tiene 
\begin_inset Formula $g'(x)=f(x)$
\end_inset

.
 Por el teorema fundamental del cálculo, toda 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 continua en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 tiene primitivas en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

, donde la integral indefinida es una de ellas y el resto se obtienen sumando
 a esta una constante.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es la integral indefinida de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es otra primitiva de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $(F-g)'(x)=F'(x)-g'(x)=f(x)-f(x)=0$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $x\in(a,b)$
\end_inset

, y por el teorema del valor medio, 
\begin_inset Formula $F-g$
\end_inset

 es constante.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, la 
\series bold
fórmula de Barrow
\series default
 afirma que si 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

 admite una primitiva 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f=g(b)-g(a)$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración: 
\series default
Dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $\pi\equiv(t_{0}<\dots<t_{n})\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

 tal que para cualesquiera 
\begin_inset Formula $z_{i}\in[t_{i-1},t_{i}]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\left|\int_{a}^{b}f-S(f,\pi,z_{i})\right|<\varepsilon$
\end_inset

.
 Por el teorema del valor medio aplicado a 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $[t_{i-1},t_{i}]$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $z_{i}\in[t_{i-1},t_{i}]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $g(t_{i})-g(t_{i-1})=g'(z_{i})(t_{i}-t_{i-1})=f(z_{i})(t_{i}-t_{i-1})$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $g(b)-g(a)=\sum_{i=1}^{n}(g(t_{i})-g(t_{i-1}))=\sum_{i=1}^{n}g'(z_{i})(t_{i}-t_{i-1})=S(f,\pi,z_{i})$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $\left|\int_{a}^{b}f-(g(b)-g(a))\right|<\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Cálculo de primitivas
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int u^{n}u'\,dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\forall n\neq-1$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{u}dx=\ln|u|+C\forall u\neq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int e^{u}u'\,dx=e^{u}+C$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\int a^{u}u'\,dx=\frac{a^{u}}{\ln a}+C\forall a>0,a\neq1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\cos u\,u'\,dx=\sin u+C$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\int\sin u\,u'\,dx=-\cos u+C$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\cosh u\,u'\,dx=\sinh u+C$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\int\sinh u\,u'\,dx=\cosh u+C$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{\sin^{2}u}dx=\int\frac{u'}{\sinh^{2}u}dx=-\cot u+C$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{\cos^{2}u}dx=\int\frac{u'}{\cosh^{2}u}dx=\tan u+C$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{1+u^{2}}dx=\arctan u+C$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{1-u^{2}}dx=\arg\tanh u+C$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}dx=\arcsin u+C=-\arccos u+C'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{\sqrt{u^{2}+1}}dx=\arg\sinh u+C$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{\sqrt{u^{2}-1}}dx=\arg\cosh u+C$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} & \sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} & \cosh^{2}(x)-\sinh^{2}(x)=1\\
\arg\cosh(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}-1}) & \arg\sinh(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1}) & \arg\tanh(x)=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Integración por partes
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $f,g\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

 con primitivas respectivas 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{b}Fg=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{a}^{b}fG
\]

\end_inset

lo que suele escribirse como 
\begin_inset Formula $\int u\,dv=uv-\int v\,du$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Formula $(FG)'(x)=F'(x)G(x)+F(x)G'(x)=f(x)G(x)+F(x)g(x)$
\end_inset

, y por la fórmula de Barrow, 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}Fg+\int_{a}^{b}fG=\int_{a}^{b}(Fg+fG)=F(b)G(b)-F(a)G(a)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}Fg=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{a}^{b}fG$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Cambio de variable
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, sea 
\begin_inset Formula $\varphi:[c,d]\rightarrow[a,b]\in{\cal C}^{1}[c,d]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\varphi(c)=a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\varphi(d)=b$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 continua, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{b}f=\int_{c}^{d}(f\circ\varphi)\varphi'
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es una primitiva de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $F\circ\varphi$
\end_inset

 lo es de 
\begin_inset Formula $(f\circ\varphi)\varphi'$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $[c,d]$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f=F(b)-F(a)=F(\varphi(d))-F(\varphi(c))=(F\circ\varphi)(d)-(F\circ\varphi)(c)=\int_{c}^{d}(f\circ\varphi)\varphi'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Esto da sentido a la notación de 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(x)dx\coloneqq \int_{a}^{b}f$
\end_inset

, porque entonces si 
\begin_inset Formula $x=\varphi(t)$
\end_inset

 es fácil recordar 
\begin_inset Formula $dx=\varphi'(t)dt$
\end_inset

 y entonces
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}f(\varphi(t))\varphi'(t)dt
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Funciones racionales
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $P(x)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q(x)$
\end_inset

 polinomios y queremos resolver 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}\frac{P(x)}{Q(x)}dx$
\end_inset

.
 Si el grado de 
\begin_inset Formula $P(x)$
\end_inset

 es mayor o igual que el de 
\begin_inset Formula $Q(x)$
\end_inset

 hacemos 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}\frac{P(x)}{Q(x)}dx=\int C(x)dx+\int\frac{R(x)}{Q(x)}dx$
\end_inset

 para que el grado del numerador sea menor que el del denominador.
 Entonces descomponemos en fracciones simples.
\end_layout

\begin_layout Standard
Descomponemos 
\begin_inset Formula $Q(x)$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $Q(x)=\prod_{i=1}^{r}(x-a_{i})^{m_{i}}\prod_{i=1}^{s}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{n_{i}}$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $q_{i}>\frac{p_{i}^{2}}{4}$
\end_inset

 para que los factores sean irreducibles.
 Entonces (si el grado de 
\begin_inset Formula $P(x)$
\end_inset

 es menor que el de 
\begin_inset Formula $Q(x)$
\end_inset

) podemos expresar la fracción como
\begin_inset Formula 
\[
\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{m_{i}}\frac{A_{ij}}{(x-a_{i})^{j}}+\sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{n_{i}}\frac{M_{ij}x+N_{ij}}{(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{j}}
\]

\end_inset

Resolvemos los 
\begin_inset Formula $A_{k,i}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M_{k,i}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N_{k,i}$
\end_inset

 y nos queda hallar la integral de cada sumando como sigue:
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\frac{A}{x-a}dx=A\ln|x-a|+C$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\frac{A}{(x-a)^{n}}dx=-\frac{A}{(n-1)(x-a)^{n-1}}+C$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $n\in2,3,\dots$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\frac{Mx+N}{x^{2}+px+q}dx=\frac{M}{2}\ln\left(\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}+c^{2}\right)+\frac{N-\frac{Mp}{2}}{c}\arctan\left(\frac{x+\frac{p}{2}}{c}\right)+C$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $c=\frac{\sqrt{4q-p^{2}}}{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Funciones que contienen 
\begin_inset Formula $\cos x$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sin x$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
En general, haremos 
\begin_inset Formula $t=\tan\frac{x}{2}$
\end_inset

 y entonces
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\cos x=\frac{\cos(2\frac{x}{2})}{\sin^{2}\frac{x}{2}+\cos^{2}\frac{x}{2}}=\frac{\cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2}}{\sin^{2}\frac{x}{2}+\cos^{2}\frac{x}{2}} & \overset{\text{div. }\cos^{2}\frac{x}{2}}{=} & \frac{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}{\tan^{2}\frac{x}{2}+1}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\\
\sin x=\frac{\sin(2\frac{x}{2})}{\sin^{2}\frac{x}{2}+\cos^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\sin^{2}\frac{x}{2}+\cos^{2}\frac{x}{2}} & \overset{\text{div. }\cos^{2}\frac{x}{2}}{=} & \frac{2\tan\frac{x}{2}}{\tan^{2}\frac{x}{2}+1}=\frac{2t}{1+t^{2}}\\
x=2\arctan t & \text{ y } & dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si la función es de la forma 
\begin_inset Formula $f(x)=g(\sin x)\cos x$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 una función racional, hacemos 
\begin_inset Formula $t=\sin x$
\end_inset

, y si es 
\begin_inset Formula $f(x)=g(\cos x)\sin x$
\end_inset

 hacemos 
\begin_inset Formula $t=\cos x$
\end_inset

.
 Si es 
\begin_inset Formula $f(x)=g(\tan x)$
\end_inset

 hacemos 
\begin_inset Formula $\tan x=t$
\end_inset

, y podemos llegar a esta situación cuando al sustituir 
\begin_inset Formula $\sin x$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $\cos x\tan x$
\end_inset

 quedan solo potencias pares de 
\begin_inset Formula $\cos x$
\end_inset

, y hacemos 
\begin_inset Formula $\cos^{2}x=\frac{1}{1+\tan^{2}x}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
En el caso 
\begin_inset Formula $f(x)=\cos^{n}x\sin^{m}x$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 es impar hacemos 
\begin_inset Formula $t=\sin x$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 es impar, 
\begin_inset Formula $t=\cos x$
\end_inset

, y si ambos son pares, usamos 
\begin_inset Formula $\cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

reducir el grado
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Funciones de la forma 
\begin_inset Formula $f(e^{x})$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hacemos el cambio 
\begin_inset Formula $t=e^{x}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $dt=e^{x}dx$
\end_inset

, y esto también sirve para el coseno y seno hiperbólicos (
\begin_inset Formula $\cosh$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sinh$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Subsection
Funciones que contienen 
\begin_inset Formula $\sqrt{ax^{2}+2bx+c}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\begin_inset Formula $d\coloneqq \frac{ac-b^{2}}{a}$
\end_inset

 y se tiene 
\begin_inset Formula $ax^{2}+2bx+c=a\left(x+\frac{b}{a}\right)^{2}+d$
\end_inset

.
 Hacemos entonces el cambio de variable 
\begin_inset Formula $t=x+\frac{b}{a}$
\end_inset

 y a continuación:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $a>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d>0$
\end_inset

 hacemos 
\begin_inset Formula $at^{2}=d\tan^{2}u$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $\sqrt{at^{2}+d}=\sqrt{d\tan^{2}u+d}=\sqrt{d}\sqrt{1+\tan^{2}u}=\sqrt{d}\sqrt{\sec^{2}u}=\sqrt{d}\sec u$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $dt=\sqrt{\frac{d}{a}}\sec^{2}u\,du$
\end_inset

.
 También podemos hacer 
\begin_inset Formula $at^{2}=d\sinh^{2}u$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $\sqrt{at^{2}+d}=\sqrt{d\sinh^{2}u+d}=\sqrt{d}\sqrt{\sinh^{2}u+1}=\sqrt{d}\cosh u$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $dt=\sqrt{\frac{d}{a}}\cosh u\,du$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{sloppypar}
\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $a>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d<0$
\end_inset

 hacemos 
\begin_inset Formula $at^{2}=-d\sec^{2}u$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $\sqrt{-d\sec^{2}u+d}=\sqrt{-d}\sqrt{\sec^{2}u+1}=\sqrt{-d}\tan u$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $dt=\sqrt{-\frac{d}{a}}\sec u\tan u\,du$
\end_inset

.
 También podemos hacer 
\begin_inset Formula $at^{2}=-d\cosh^{2}u$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $\sqrt{at^{2}+d}=\sqrt{-d\cosh^{2}u+d}=\sqrt{-d}\sqrt{\cosh^{2}u-1}=\sqrt{-d}\sinh u$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $dt=\sqrt{-\frac{d}{a}}\sinh u\,du$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{sloppypar}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $a<0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d>0$
\end_inset

 hacemos 
\begin_inset Formula $at^{2}=-d\sin^{2}u$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $\sqrt{at^{2}+d}=\sqrt{-d\sin^{2}u+d}=\sqrt{d}\sqrt{1-\sin^{2}u}=\sqrt{d}\cos u$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $dt=\sqrt{-\frac{d}{a}}\cos u\,du$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Aplicaciones
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 continuas, si 
\begin_inset Formula $f(a)=g(a)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(b)=g(b)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(x)\geq g(x)$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
\end_inset

, se define el 
\series bold
área encerrada
\series default
 por las gráficas de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\in{\cal C}^{1}[a,b]$
\end_inset

, la 
\series bold
longitud de la curva
\series default
 
\begin_inset Formula $C=\{(x,f(x))\}_{x\in[a,b]}$
\end_inset

 viene dada por 
\begin_inset Formula $L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^{2}}\,dx$
\end_inset

.
 
\series bold
Interpretación:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $\pi\equiv(a=x_{0}<\dots<x_{n}=b)\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $P_{i}=(x_{i},f(x_{i}))$
\end_inset

, una aproximación a la curva es
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\sum_{i=1}^{n}d(P_{i-1},P_{i})=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{(f(x_{i})-f(x_{i-1}))^{2}+(x_{i}-x_{i-1})^{2}}=\\
=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\left(\frac{f(x_{i})-f(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}}\right)^{2}+1}(x_{i}-x_{i-1})=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+f'(\xi_{i})^{2}}(x_{i}-x_{i-1})
\end{multline*}

\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\xi_{i}\in(x_{i-1},x_{i})$
\end_inset

, que converge a 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^{2}}dx$
\end_inset

 cuando 
\begin_inset Formula $\Vert\pi\Vert$
\end_inset

 tiende a 0.
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
sólido de revolución
\series default
 al cuerpo obtenido al girar una función 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 alrededor del eje horizontal.
 Su 
\series bold
volumen
\series default
 viene dado por 
\begin_inset Formula $V=\pi\int_{a}^{b}f(x)^{2}\,dx$
\end_inset

, y su 
\series bold
área
\series default
 (lateral) por 
\begin_inset Formula $A=2\pi\int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f'(x)^{2}}\,dx$
\end_inset

.
 
\series bold
Interpretación:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 continua y positiva.
 Para hallar el volumen tomamos 
\begin_inset Formula $\pi\equiv(x_{0}<\dots<x_{n})\in{\cal P}([a,b])$
\end_inset

 y aproximamos el volumen por secciones cilíndricas con radio 
\begin_inset Formula $f(x_{i})$
\end_inset

 y altura 
\begin_inset Formula $x_{i}-x_{i-1}$
\end_inset

, con lo que su radio viene dado por 
\begin_inset Formula $\pi f(x_{i})^{2}(x_{i}-x_{i-1})$
\end_inset

.
 Sumando obtenemos 
\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{n}\pi f(x_{i})^{2}(x_{i}-x_{i-1})$
\end_inset

, que converge a 
\begin_inset Formula $\pi\int_{a}^{b}f(x)^{2}\,dx$
\end_inset

.
 El área se obtiene con un razonamiento similar al usado para la longitud
 de la curva.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
volumen
\series default
 del sólido resultante de girar alrededor del eje vertical la superficie
 encerrada por las rectas 
\begin_inset Formula $x=a$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x=b$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y=f(x)$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $2\pi\int_{a}^{b}xf(x)\,dx$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Integrales impropias
\end_layout

\begin_layout Standard
Una función 
\begin_inset Formula $f:[a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $b\leq+\infty$
\end_inset

) es 
\series bold
localmente integrable
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall u\in[a,b),f|_{[a,u]}\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

.
 Si además existe 
\begin_inset Formula $\lim_{u\rightarrow b^{-}}\int_{a}^{u}f(x)\,dx$
\end_inset

 diremos que la 
\series bold
integral impropia
\series default
 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
\end_inset

 es convergente y su valor es este límite.
 Análogamente, 
\begin_inset Formula $f:(a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $a\geq-\infty$
\end_inset

) es localmente integrable si 
\begin_inset Formula $\forall u\in(a,b],f|_{[u,b]}\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

, y si además existe 
\begin_inset Formula $\lim_{u\rightarrow a^{+}}\int_{u}^{b}f(x)\,dx$
\end_inset

 diremos que la integral impropia 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
\end_inset

 es convergente y su valor es este límite.
 En ambos casos, si el límite es 
\begin_inset Formula $+\infty$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $-\infty$
\end_inset

, diremos que la integral 
\series bold
diverge
\series default
, y si no existe el límite diremos que no existe la integral impropia.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, sea 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 localmente integrable en 
\begin_inset Formula $[a,b)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es integrable en sentido impropio en 
\begin_inset Formula $[a,b)$
\end_inset

 si y sólo si lo es en 
\begin_inset Formula $[c,b)$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $a<c<t<b$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{t}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{t}f(x)\,dx$
\end_inset

, por lo que existe 
\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow b^{-}}\int_{a}^{t}f(x)\,dx$
\end_inset

 si y sólo si existe 
\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow b^{-}}\int_{c}^{t}f(x)\,dx$
\end_inset

, lo que demuestra el teorema.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $a\geq-\infty,b\leq+\infty$
\end_inset

) es integrable Riemann en cada subintervalo cerrado de 
\begin_inset Formula $(a,b)$
\end_inset

, diremos que la integral impropia 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
\end_inset

 es convergente si para un 
\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
\end_inset

 son convergentes 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{c}f(x)\,dx$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\int_{c}^{b}f(x)\,dx$
\end_inset

, y definimos
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{b}f(x)\,dx:=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
El valor de esta integral no depende de 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

.
 La 
\series bold
condición de Cauchy
\series default
 afirma que, dada 
\begin_inset Formula $f:[a,b)\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x)$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists b_{0}\in(a,b):\forall x_{1},x_{2}\in(b_{0},b):x_{1}<x_{2},|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
 y consecuencia de lo anterior, si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es localmente integrable en 
\begin_inset Formula $[a,b)$
\end_inset

, la integral impropia 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
\end_inset

 es convergente si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists b_{0}\in(a,b):\forall x_{1},x_{2}\in(b_{0},b):x_{1}<x_{2},\left|\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\,dt\right|<\varepsilon$
\end_inset

.
 Más 
\series bold
teoremas
\series default
:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 son integrables en sentido impropio en 
\begin_inset Formula $[a,b)$
\end_inset

, dados 
\begin_inset Formula $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lambda f+\mu g$
\end_inset

 es integrable en sentido impropio con
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{b}(\lambda f+\mu g)(t)\,dt=\lambda\int_{a}^{b}f(t)\,dt+\mu\int_{a}^{b}g(t)\,dt
\]

\end_inset

Basta tomar límites cuando 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 tiende a 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 por la izquierda en la linealidad de integrales propias.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 son continuas en 
\begin_inset Formula $[a,b)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es derivable con derivada continua, sea 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 una primitiva de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, la siguiente igualdad se cumple si existen dos de los tres límites e integrale
s impropias en ella:
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{b}f(t)g(t)\,dt=\lim_{x\rightarrow b^{-}}F(x)g(x)-F(a)g(a)-\int_{a}^{b}F(t)g'(t)\,dt
\]

\end_inset

Basta tomar límites en la identidad dada por la regla de integración por
 partes.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Integrales no negativas
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es localmente integrable en 
\begin_inset Formula $[a,b)$
\end_inset

 y no negativa, 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(t)\,dt$
\end_inset

 converge si y sólo si 
\begin_inset Formula $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$
\end_inset

 está acotada.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es no negativa, 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es creciente, y si no estuviese acotada sería 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow b^{-}}F(x)=+\infty$
\end_inset

 y la integral impropia divergería.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 está acotada existe 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow b^{-}}F(x)=\sup\{F(x)\}_{x\in[a,b)}$
\end_inset

, luego la integral impropia converge.
\end_layout

\begin_layout Standard
Otro 
\series bold
teorema
\series default
 es que si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 son localmente integrables en 
\begin_inset Formula $[a,b)$
\end_inset

 y no negativas y existe 
\begin_inset Formula $K\in\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 entorno de 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $x\in V\implies f(x)\leq Kg(x)$
\end_inset

, entonces si 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}g(t)\,dt$
\end_inset

 converge, también lo hace 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(t)\,dt$
\end_inset

, por lo que si 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(t)\,dt$
\end_inset

 diverge también lo hace 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}g(t)\,dt$
\end_inset

 (y divergir también).
 
\series bold
Demostración:
\series default
 La convergencia depende sólo del comportamiento de las funciones en un
 entorno, y en este 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{x}f(t)\,dt\leq K\int_{a}^{x}g(t)\,dt$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
De aquí que si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 son localmente integrables en 
\begin_inset Formula $[a,b)$
\end_inset

 y no negativas con 
\begin_inset Formula $A\coloneqq \lim_{x\rightarrow b^{-}}\frac{f(t)}{g(t)}$
\end_inset

, entonces:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $A\neq0,\infty$
\end_inset

, ambas integrales tienen el mismo carácter.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\varepsilon<A$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $a_{\varepsilon}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $a_{\varepsilon}\leq x\leq b$
\end_inset

 se tiene 
\begin_inset Formula $\left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|\leq\varepsilon$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $A-\varepsilon\leq\frac{f(x)}{g(x)}\leq A+\varepsilon$
\end_inset

, luego para 
\begin_inset Formula $x\in[a_{\varepsilon},b)$
\end_inset

 tenemos 
\begin_inset Formula $(A-\varepsilon)g(x)\leq f(x)\leq(A+\varepsilon)g(x)$
\end_inset

, y no hay más que aplicar el teorema anterior.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $A=0$
\end_inset

, la convergencia de 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}g(t)\,dt$
\end_inset

 implica la de 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(t)\,dt$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Como antes, obtenemos 
\begin_inset Formula $f(x)\leq\varepsilon g(x)$
\end_inset

 y aplicamos el teorema anterior.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $A=\infty$
\end_inset

, la convergencia de 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(t)\,dt$
\end_inset

 implica la de 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}g(t)\,dt$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Otro 
\series bold
teorema
\series default
 es que si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es no negativa y localmente integrable en 
\begin_inset Formula $(0,1]$
\end_inset

 y existe 
\begin_inset Formula $\alpha<1$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow0^{+}}f(t)t^{\alpha}$
\end_inset

 finito, 
\begin_inset Formula $\int_{0}^{1}f(t)\,dt$
\end_inset

 es convergente, mientras que si existe 
\begin_inset Formula $\alpha\geq1$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow0^{+}}f(t)t^{\alpha}$
\end_inset

 no nulo, la integral diverge.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow0^{+}}f(t)t^{\alpha}=\lim_{t\rightarrow0^{+}}\frac{f(t)}{\left(\frac{1}{t^{\alpha}}\right)}$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $\alpha<1$
\end_inset

, la integral 
\begin_inset Formula $\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^{\alpha}}$
\end_inset

 es convergente y, por lo anterior, 
\begin_inset Formula $\int_{0}^{1}f(t)\,dt$
\end_inset

 también.
 De que 
\begin_inset Formula $\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^{\alpha}}$
\end_inset

 diverge si 
\begin_inset Formula $t\geq1$
\end_inset

 se desprende la última afirmación.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es no negativa y localmente integrable en 
\begin_inset Formula $[a,+\infty)$
\end_inset

, si existe 
\begin_inset Formula $\alpha>1$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)t^{\alpha}$
\end_inset

 finito, 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{\infty}f(t)\,dt$
\end_inset

 converge, mientras que si existe 
\begin_inset Formula $\alpha\leq1$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)t^{\alpha}$
\end_inset

 no nulo, la integral diverge.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Convergencia absoluta
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 localmente integrable en 
\begin_inset Formula $[a,b)$
\end_inset

, decimos que la integral impropia de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $[a,b)$
\end_inset

 es 
\series bold
absolutamente convergente
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}|f(t)|\,dt$
\end_inset

 es convergente.
 La convergencia absoluta implica la convergencia.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Por el criterio de convergencia de Cauchy aplicado a 
\begin_inset Formula $|f(t)|$
\end_inset

, dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $b_{0}\in(a,b)$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $b_{0}<x_{1}<x_{2}<b$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\int_{x_{1}}^{x_{2}}|f(t)|\,dt<\varepsilon$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\left|\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\,dt\right|<\varepsilon$
\end_inset

, lo que implica que 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(t)\,dt$
\end_inset

 es convergente.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 son funciones continuas en 
\begin_inset Formula $[a,b)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 tiene derivada continua, si 
\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \int_{a}^{x}f(t)\,dt$
\end_inset

 está acotada superiormente por 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{x}|g'(t)|\,dt$
\end_inset

 está acotada superiormente por 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow b^{-}}g(t)=0$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(t)g(t)\,dt$
\end_inset

 es convergente.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Basta probar la existencia de 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow b^{-}}F(x)g(x)$
\end_inset

 y de 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow b^{-}}\int_{a}^{x}F(t)g'(t)\,dt$
\end_inset

.
 Las condiciones 
\begin_inset Formula $F(x)\leq K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow b^{-}}g(t)=0$
\end_inset

 aseguran que el primer límite es 0, y las dos primeras (
\begin_inset Formula $F(x)\leq K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{x}|g'(t)|dt\leq k$
\end_inset

) implican que 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{x}F(t)g'(t)\,dt$
\end_inset

 es absolutamente convergente, pues 
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{x}|F(t)||g'(t)|\,dt\leq Kk
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
criterio de Dirichlet
\series default
 afirma que si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 son continuas en 
\begin_inset Formula $[a,b)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 tiene derivada continua, si existe 
\begin_inset Formula $K\in\mathbb{R}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\left|\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right|\leq K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es monótona decreciente con 
\begin_inset Formula $\lim_{t\rightarrow b^{-}}g(t)=0$
\end_inset

, la integral impropia 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f(t)g(t)\,dt$
\end_inset

 es convergente.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Como 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es decreciente, 
\begin_inset Formula $g'(t)\leq0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{x}|g'(t)|\,dt=-\int_{a}^{x}g'(t)\,dt=g(a)-g(x)\overset{g(x)\geq0}{\leq}g(a)$
\end_inset

, y se tienen entonces todas las condiciones del teorema anterior.
\end_layout

\end_body
\end_document