#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 544
\begin_document
\begin_header
\save_transient_properties true
\origin unavailable
\textclass book
\use_default_options true
\maintain_unincluded_children false
\language spanish
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman "default" "default"
\font_sans "default" "default"
\font_typewriter "default" "default"
\font_math "auto" "auto"
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100 100
\font_tt_scale 100 100
\use_microtype false
\use_dash_ligatures true
\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_package amsmath 1
\use_package amssymb 1
\use_package cancel 1
\use_package esint 1
\use_package mathdots 1
\use_package mathtools 1
\use_package mhchem 1
\use_package stackrel 1
\use_package stmaryrd 1
\use_package undertilde 1
\cite_engine basic
\cite_engine_type default
\biblio_style plain
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\justification true
\use_refstyle 1
\use_minted 0
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\is_math_indent 0
\math_numbering_side default
\quotes_style french
\dynamic_quotes 0
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Section
Teorema de Cauchy en dominios estrellados
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Cauchy-Goursat:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $f\in{\cal H}(\Omega)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Delta(a,b,c)\coloneqq \{\mu a+\lambda b+\gamma c\mid \mu+\lambda+\gamma=1;\mu,\lambda,\gamma\geq0\}\subseteq\Omega$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\int_{[a,b,c,a]}f=0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $\gamma\coloneqq [a,b,c,a]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Delta\coloneqq \Delta(a,b,c)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a'\coloneqq \frac{b+c}{2}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b'\coloneqq \frac{a+c}{2}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c'\coloneqq \frac{a+b}{2}$
\end_inset

 e
\begin_inset Formula 
\[
I:=\int_{\gamma}f=\int_{[a,c',b',a]}f+\int_{[c',b,a',c']}f+\int_{[a',c,b',a']}f+\int_{[b',c',a',b']}f.
\]

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $J_{1},\dots,J_{4}$
\end_inset

 las cuatro integrales a la derecha, 
\begin_inset Formula $\sigma_{1},\dots,\sigma_{4}$
\end_inset

 las correspondientes curvas y 
\begin_inset Formula $T_{1},\dots,T_{4}$
\end_inset

 los triángulos definidos por estas curvas.
 Entonces:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $|J_{k}|\coloneqq \max_{i}|J_{i}|$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|I|\leq4|J_{k}|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\ell(\sigma_{1})=\dots=\ell(\sigma_{4})=\frac{1}{2}\ell(\gamma)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\ell(\sigma_{1})=|a-c'|+|c'-b'|+|b'-a|=\left|a-\frac{a+b}{2}\right|+\left|\frac{a+b}{2}-\frac{a+c}{2}\right|+\left|\frac{a+c}{2}-a\right|=\left|\frac{a-b}{2}\right|+\left|\frac{b-c}{2}\right|+\left|\frac{c-a}{2}\right|=\frac{1}{2}(|a-b|+|b-c|+|c-a|)=\frac{1}{2}\ell(\gamma)$
\end_inset

.
 Para el resto de curvas se hace algo análogo.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
Sea 
\begin_inset Formula $d.(S)$
\end_inset

 el diámetro de 
\begin_inset Formula $S\subseteq\Omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $D(T_{1})=\dots=D(T_{4})=\frac{1}{2}D(\Delta)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $T_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \frac{x+a}{2}$
\end_inset

 es una biyección de 
\begin_inset Formula $\Delta$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $T_{1}$
\end_inset

, pues si 
\begin_inset Formula $x\coloneqq ra+sb+tc$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \frac{ra+sb+tc+a}{2}=\frac{ra+sb+tc+(r+s+t)a}{2}=ra+s\frac{a+b}{2}+t\frac{a+c}{2}=ra+sc'+tb'$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $D(T_{1})=\sup_{x,y\in T_{1}}|x-y|=\sup_{x,y\in\Delta}|F(x)-F(y)|=\sup_{x,y\in\Delta}\left|\frac{x+a}{2}-\frac{y+a}{2}\right|=\sup_{x,y\in\Delta}\frac{|x+y|}{2}=\frac{1}{2}D(\Delta)$
\end_inset

.
 Para los otros triángulos se hace de forma análoga, usando para 
\begin_inset Formula $T_{4}$
\end_inset

 la biyección 
\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \frac{a+b+c-x}{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Sean entonces 
\begin_inset Formula $I_{1}\coloneqq \max_{i}|J_{i}|$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\gamma_{1}\coloneqq [a_{1},b_{1},c_{1},a_{1}]$
\end_inset

 la curva correspondiente a 
\begin_inset Formula $I_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Delta_{1}\coloneqq \Delta(a_{1},b_{1},c_{1})$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $|I|\leq4|I_{1}|$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\ell(\gamma_{1})=\frac{1}{2}\ell(\gamma)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $D(\Delta_{1})=\frac{1}{2}\Delta$
\end_inset

.
 Repitiendo este proceso se obtienen sucesiones donde 
\begin_inset Formula $|I|\leq4^{n}|I_{n}|$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\ell(\gamma_{n})=\frac{1}{2^{n}}\ell(\gamma)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $D(\Delta_{n})=\frac{1}{2^{n}}D(\Delta)$
\end_inset

.
 Al ser 
\begin_inset Formula $(\Delta_{n})_{n}$
\end_inset

 una sucesión decreciente de cerrados no vacíos donde el diámetro tiende
 a 0, existe un único 
\begin_inset Formula $\alpha\in\bigcap_{n}\Delta_{n}$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $p(z)\coloneqq f(\alpha)+f'(\alpha)(z-\alpha)$
\end_inset

 una función polinómica y por tanto con primitiva, entonces
\begin_inset Formula 
\[
I_{n}=\int_{\gamma_{n}}f=\int_{\gamma_{n}}f-\int_{\gamma_{n}}p=\int_{\gamma_{n}}(f(z)-f(\alpha)-f'(\alpha)(z-\alpha))dz.
\]

\end_inset

Dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es derivable en 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $D(\alpha,\delta)\subseteq\Omega$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\forall z\in D(\alpha,\delta),|f(z)-f(\alpha)-f'(\alpha)(z-\alpha)|\leq\varepsilon|z-\alpha|$
\end_inset

.
 Dado 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $D(\Delta_{n})<\delta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Delta_{n}\subseteq D(\alpha,\delta)$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
|I|\leq4^{n}|I_{n}|\leq4^{n}\ell(\gamma_{n})\max_{z\in\gamma_{n}^{*}}|f(z)-f(\alpha)+f'(\alpha)(z-\alpha)|\leq4^{n}\ell(\gamma_{n})\varepsilon\max_{z\in\gamma_{n}^{*}}|z-\alpha|\leq\\
\leq4^{n}\ell(\gamma_{n})\varepsilon D(\Delta_{n})=4^{n}\varepsilon\frac{1}{2^{n}}\ell(\gamma)\frac{1}{2^{n}}D(\Delta)=\varepsilon\ell(\gamma)D(\Delta),
\end{multline*}

\end_inset

y haciendo tender 
\begin_inset Formula $\varepsilon\to0$
\end_inset

 se obtiene el resultado.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Cauchy para dominios estrellados:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 un dominio estrellado en 
\begin_inset Formula $z_{0}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f\in{\cal H}(\Omega)$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
F(z):=\int_{[z_{0},z]}f
\]

\end_inset

es una primitiva de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $a\in\Omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\rho>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $z\in D(a,\rho)$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $[a,z]\subseteq\Omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $[z_{0},b]\subseteq\Omega$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $b\in[a,z]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Delta(z_{0},a,z)\subseteq\Omega$
\end_inset

.
 Por el teorema de Cauchy-Goursat,
\begin_inset Formula 
\[
0=\int_{[z_{0},z,a,z_{0}]}f=\int_{[z_{0},z]}f+\int_{[z,a]}f+\int_{[a,z_{0}]}f=F(z)-F(a)-\int_{[z,a]}f,
\]

\end_inset

luego si 
\begin_inset Formula $z\neq a$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\frac{F(z)-F(a)-f(a)(z-a)}{z-a}=\frac{\int_{[z,a]}f-f(a)(z-a)}{z-a}=\frac{\int_{[z,a]}(f(w)-f(a))dw}{z-a},
\]

\end_inset

con lo que
\begin_inset Formula 
\[
\left|\frac{F(z)-F(a)}{z-a}-f(a)\right|=\left|\frac{\int_{[z,a]}(f(w)-f(a))dw}{z-a}\right|\leq\max_{w\in[a,z]^{*}}|f(w)-f(a)|.
\]

\end_inset

Como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, haciendo 
\begin_inset Formula $z\to a$
\end_inset

 este máximo tiende a 0 y se obtiene 
\begin_inset Formula $F'(a)=f(a)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Cauchy-Goursat 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

light
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 un abierto, 
\begin_inset Formula $\alpha\in\Omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f\in{\cal C}(\Omega),{\cal H}(\Omega\setminus\{\alpha\})$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $\Delta(a,b,c)\subseteq\Omega$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\int_{[a,b,c,a]}f=0.
\]

\end_inset


\series bold
Demostración:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\alpha\notin\Delta(a,b,c)$
\end_inset

, podemos tomar como abierto 
\begin_inset Formula $\Omega\setminus\{\alpha\}$
\end_inset

 y aplicar Cauchy-Goursat.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es un vértice, por ejemplo, 
\begin_inset Formula $\alpha=a$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $c_{\rho}\coloneqq (1-\rho)a+\rho b$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b_{\rho}\coloneqq (1-\rho)a+\rho c$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $\rho\in[0,1]$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\int_{[a,b,c,a]}f=\int_{[a,c_{\rho},b_{\rho},a]}f+\int_{[c_{\rho},b,c,c_{\rho}]}+\int_{[c,b_{\rho},c_{\rho},c]}f=\int_{[a,c_{\rho},b_{\rho},a]}f,
\]

\end_inset

dado que los otros dos sumandos se anulan por el caso anterior.
 Entonces
\begin_inset Formula 
\[
\left|\int_{[a,b,c,a]}f\right|=\left|\int_{[a,c_{\rho},b_{\rho},a]}f\right|\leq\max_{z\in\Delta(a,b,c)}|f(z)|\rho(|a-b|+|b-c|+|c-a|),
\]

\end_inset

y haciendo tender 
\begin_inset Formula $\rho\to0$
\end_inset

 se obtiene el resultado.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 está en un lado del triángulo, por ejemplo 
\begin_inset Formula $\alpha\subseteq[a,b]$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\int_{[a,b,c,a]}f=\int_{[a,\alpha,c,a]}f+\int_{[c,\alpha,b,c]}f,
\]

\end_inset

y cada sumando se anula por el caso anterior.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 está en el interior del triángulo, sea 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 el punto en la intersección de la recta 
\begin_inset Formula $a\alpha$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $[b,c]$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\int_{[a,b,c,a]}f=\int_{[a,b,p,a]}f+\int_{[a,p,c,a]}f
\]

\end_inset

y cada sumando se anula por el caso anterior.
\end_layout

\begin_layout Standard
De aquí se obtiene el 
\series bold
teorema de Cauchy para dominios estrellados 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

light
\begin_inset Quotes crd
\end_inset


\series default
, que afirma que si 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 es un dominio estrellado en 
\begin_inset Formula $z_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha\in\Omega$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f\in{\cal C}(\Omega),{\cal H}(\Omega\setminus\{\alpha\})$
\end_inset

 entonces
\begin_inset Formula 
\[
F(z):=\int_{[z_{0},z]}f
\]

\end_inset

es una primitiva de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Funciones holomorfas y analíticas
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Fórmula de Cauchy para una circunferencia:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $f\in{\cal H}(\Omega)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\overline{D}(a,R)\subseteq\Omega$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $z\in D(a,R)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C(a,R)}\frac{f(w)}{w-z}dw.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $\rho>R$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $D(a,\rho)\subseteq\Omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $z\in D(a,R)$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
g(w):=\begin{cases}
\frac{f(w)-f(z)}{w-z} & \text{si }w\neq z,\\
f'(z) & \text{si }w=z.
\end{cases}
\]

\end_inset

Como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es derivable en 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $D(a,\rho)$
\end_inset

, y es derivable en 
\begin_inset Formula $D(a,\rho)\setminus\{z\}$
\end_inset

, luego por el teorema de Cauchy para dominios estrellados 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

light
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
0=\int_{C(a,R)}g=\int_{C(a,R)}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}dw=\int_{C(a,R)}\frac{f(w)}{w-z}dw-f(z)\int_{C(a,R)}\frac{1}{w-z}dw.
\]

\end_inset

Ahora bien, para 
\begin_inset Formula $w\in C(a,R)^{*}$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $|z-a|<R$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\frac{|z-a|}{|w-a|}<1$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
\frac{1}{w-z}=\frac{1}{w-a-(z-a)}=\frac{1}{w-a}\frac{1}{1-\frac{z-a}{w-a}}=\frac{1}{w-a}\sum_{n}\left(\frac{z-a}{w-a}\right)^{n}=\sum_{n}\frac{|z-a|^{n}}{|w-a|^{n+1}}.
\]

\end_inset

Pero tomando 
\begin_inset Formula 
\[
\alpha_{n}:=\frac{|z-a|^{n}}{|w-a|^{n+1}}=\frac{1}{R}\left(\frac{|z-a|}{R}\right)^{n},
\]

\end_inset

como 
\begin_inset Formula $\frac{|z-a|}{R}<1$
\end_inset

, la serie 
\begin_inset Formula $\sum_{n}\alpha_{n}$
\end_inset

 converge y, por el criterio de Weierstrass, la serie anterior converge
 uniformemente con 
\begin_inset Formula $w\in C(a,R)^{*}$
\end_inset

.
 Por tanto
\begin_inset Formula 
\[
\int_{C(a,R)}\frac{1}{w-z}dw=\int_{C(a,R)}\sum_{n}\frac{(z-a)^{n}}{(w-a)^{n+1}}dw=\sum_{n}(z-a)^{n}\int_{C(a,R)}\frac{1}{(w-a)^{n+1}}dw,
\]

\end_inset

pero 
\begin_inset Formula $w\mapsto\frac{1}{(w-a)^{n+1}}$
\end_inset

 tiene primitiva 
\begin_inset Formula $\frac{1}{-n}(w-a)^{-n}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $n\neq0$
\end_inset

, luego se anula en 
\begin_inset Formula $n>0$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
\int_{C(a,R)}\frac{1}{w-z}dw=\int_{C(a,R)}\frac{1}{w-a}dw=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{a+Re^{it}-a}Rie^{it}dt=\int_{-\pi}^{\pi}idt=2\pi i.
\]

\end_inset

Sustituyendo,
\begin_inset Formula 
\[
\int_{C(a,R)}\frac{f(w)}{w-z}dw-2\pi if(z)=0,
\]

\end_inset

y despejando se obtiene el resultado.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Taylor:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $f\in{\cal H}(\Omega)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\overline{D}(a,R)\subseteq\Omega$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
c_{n}:=\frac{1}{2\pi i}\int_{C(a,R)}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw
\]

\end_inset

para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
f(z):=\sum_{n}c_{n}(z-a)^{n}
\]

\end_inset

para todo 
\begin_inset Formula $z\in D(a,R)$
\end_inset

.
 En particular, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es analítica en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f^{(n)}(a)=n!c_{n}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 y los 
\begin_inset Formula $c_{n}$
\end_inset

 no dependen del radio escogido.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $z\in D(a,R)$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\frac{f(w)}{w-z}=\frac{f(w)}{w-a-(z-a)}=\frac{f(w)}{w-a}\frac{1}{1-\frac{z-a}{w-a}}=\frac{f(w)}{w-a}\sum_{n}\left(\frac{z-a}{w-a}\right)^{n}=\sum_{n}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}(z-a)^{n}.
\]

\end_inset

Como
\begin_inset Formula 
\[
\frac{|f(w)|}{|w-a|^{n+1}}|z-a|^{n}\leq\alpha_{n}:=\frac{\max_{w\in C(a,R)^{*}}|f(w)|}{R}\left(\frac{|z-a|}{R}\right)^{n}
\]

\end_inset

y 
\begin_inset Formula $\sum_{n}\alpha_{n}$
\end_inset

 es convergente por ser una serie geométrica de razón menor que 1, por el
 criterio de Weierstrass, la serie converge uniformemente en 
\begin_inset Formula $C(a,R)^{*}$
\end_inset

 y, por la fórmula de Cauchy,
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C(a,R)}\frac{f(w)}{w-z}dw=\frac{1}{2\pi i}\int_{C(a,R)}\sum_{n}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}(z-a)^{n}dw=\\
=\sum_{n}\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{C(a,R)}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\right)(z-a)^{n}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Morera:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $f\in{\cal C}(\Omega)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f\in{\cal H}(\Omega)$
\end_inset

 si y sólo si
\begin_inset Formula 
\[
\int_{[a,b,c,a]}f=0
\]

\end_inset

para todo 
\begin_inset Formula $\Delta(a,b,c)\subseteq\Omega$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Teorema de Cauchy-Goursat.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $D(z_{0},R)\subseteq\Omega$
\end_inset

 un dominio estrellado, como la integral de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 sobre cualquier triángulo contenido en el disco es 0, por la demostración
 del teorema de Cauchy para dominios estrellados,
\begin_inset Formula 
\[
F(z)=\int_{[z_{0},z]}f
\]

\end_inset

es una primitiva de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D(z_{0},R)$
\end_inset

, esto es, 
\begin_inset Formula $\forall z\in D(z_{0},R),F'(z)=f(z)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es la derivada de una función holomorfa en 
\begin_inset Formula $D(z_{0},R)$
\end_inset

 y en particular 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es derivable en 
\begin_inset Formula $z_{0}$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $z_{0}\in\Omega$
\end_inset

 es arbitrario, 
\begin_inset Formula $f\in{\cal H}(\Omega)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Propiedades de funciones holomorfas
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Desigualdad de Cauchy:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $f\in{\cal H}(\Omega)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\overline{D}(a,R)\subseteq\Omega$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\frac{|f^{(k)}(a)|}{k!}\leq\frac{\max_{w\in C(a,R)^{*}}|f(w)|}{R^{k}}.
\]

\end_inset

En efecto, tomando módulos sobre la fórmula de la derivada del teorema de
 Taylor,
\begin_inset Formula 
\[
\frac{|f^{(k)}(a)|}{k!}=\frac{1}{2\pi}\int_{C(a,R)}\frac{f(w)}{(w-a)^{k+1}}dw\leq\frac{1}{2\pi}\max_{w\in C(a,R)^{*}}\left|\frac{f(w)}{(w-a)^{k+1}}\right|2\pi R=\frac{1}{R^{k}}\max_{w\in C(a,R)^{*}}|f(w)|.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Liouville:
\series default
 Toda función entera acotada es constante.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $f\in{\cal H}(\mathbb{C})$
\end_inset

 para la que existe 
\begin_inset Formula $M>0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $|f(z)|<M$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $z\in\mathbb{C}$
\end_inset

.
 Por el teorema de Taylor, para 
\begin_inset Formula $z\in\mathbb{C}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
f(z)=\sum_{n}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^{n},
\]

\end_inset

pero por la desigualdad de Cauchy, para todo 
\begin_inset Formula $R>0$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\frac{|f^{(n)}(0)|}{n!}\leq\frac{\max_{w\in C(a,R)^{*}}|f(w)|}{R^{n}}\leq\frac{M}{R^{n}},
\]

\end_inset

y tomando límites cuando 
\begin_inset Formula $R\to+\infty$
\end_inset

 tenemos que 
\begin_inset Formula $f^{(n)}(0)=0$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $n\geq1$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $f(z)=f(0)$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema fundamental del álgebra:
\series default
 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

 es algebraicamente cerrado, esto es, todo polinomio complejo de grado 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 es la forma 
\begin_inset Formula $p(x)=\alpha\prod_{k=1}^{n}(x-a_{k})$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\alpha,a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb{C}$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Basta ver que todo polinomio complejo no constante tiene alguna raíz, pues
 el resto se obtiene por inducción.
 Sea 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 un polinomio de este tipo y supongamos que 
\begin_inset Formula $\forall z\in\mathbb{C},p(z)\neq0$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $f(z)\coloneqq \frac{1}{p(z)}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es entera por serlo 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $\lim_{z\to+\infty}f(z)=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es acotada y, por el teorema de Liouville, constante, y por tanto 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es constante.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La imagen de una función entera no constante es densa en el plano.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Supongamos que existe 
\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{C}\setminus\overline{f(\mathbb{C})}$
\end_inset

, con lo que existe 
\begin_inset Formula $\rho>0$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\overline{D}(\alpha,\rho)\cap f(\mathbb{C})=\emptyset$
\end_inset

, esto es, 
\begin_inset Formula $|f(z)-\alpha|>\rho$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $z\in\mathbb{C}$
\end_inset

.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $g(z)\coloneqq \frac{1}{f(z)-\alpha}$
\end_inset

 una función entera, como 
\begin_inset Formula $|g(z)|=\frac{1}{|f(z)-\alpha|}<\frac{1}{\rho}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es acotada, luego 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es constante y por tanto 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 también.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de extensión de Riemann:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 un abierto, 
\begin_inset Formula $\alpha\in\Omega$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f\in{\cal H}(\Omega\setminus\{\alpha\})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene una extensión holomorfa a 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 si y sólo si tiene una extensión continua a 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

, si y sólo si está acotada en un entorno reducido de 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\lim_{z\to\alpha}(z-\alpha)f(z)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies2\implies3\implies4]$
\end_inset

 Obvio.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $4\implies1]$
\end_inset

 Sea 
\begin_inset Formula 
\[
F(z):=\begin{cases}
(z-\alpha)^{2}f(z) & \text{si }z\neq\alpha,\\
0 & \text{si }z=\alpha.
\end{cases}
\]

\end_inset


\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es holomorfa en 
\begin_inset Formula $\Omega\setminus\{\alpha\}$
\end_inset

, pero
\begin_inset Formula 
\[
F'(\alpha)=\lim_{z\to\alpha}\frac{F(z)-F(\alpha)}{z-\alpha}=\lim_{z\to\alpha}(z-\alpha)f(z)=0,
\]

\end_inset

luego 
\begin_inset Formula $F\in{\cal H}(\Omega)$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $D(\alpha,\rho)\subseteq\Omega$
\end_inset

, por el teorema de Taylor, sea 
\begin_inset Formula $c_{n}\coloneqq \frac{F^{(n)}(\alpha)}{n!}$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $c_{0}=c_{1}=0$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $z\in D(\alpha,\rho)$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
F(z)=\sum_{n=2}^{\infty}c_{n}(z-\alpha)^{n}=(z-\alpha)^{2}\sum_{n=2}^{\infty}c_{n}(z-\alpha)^{n-2}=(z-\alpha)^{2}\sum_{n=0}^{\infty}c_{n+2}(z-\alpha)^{n},
\]

\end_inset

luego si 
\begin_inset Formula $z\in D(\alpha,\rho)\setminus\{\alpha\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(z)=\sum_{n}c_{n+2}(z-\alpha)^{n}$
\end_inset

.
 Entonces
\begin_inset Formula 
\[
g(z):=\begin{cases}
f(z) & \text{si }z\neq\alpha,\\
c_{2} & \text{si }z=\alpha
\end{cases}
\]

\end_inset

es una extensión de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 expresable como suma de potencias, y por tanto derivable, en 
\begin_inset Formula $D(\alpha,\rho)$
\end_inset

, por lo que es derivable en 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 y por tanto una extensión holomorfa de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de convergencia de Weierstrass:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $\{f_{n}\}_{n}\subseteq{\cal H}(\Omega)$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $(f_{n})_{n}$
\end_inset

 converge uniformemente en subconjuntos compactos de 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(z)\coloneqq \lim_{n}f_{n}(z)$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $z\in\Omega$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es holomorfa en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 si y sólo si para cada 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(f_{n}^{(k)})_{n}$
\end_inset

 converge uniformemente a 
\begin_inset Formula $f^{(k)}$
\end_inset

 en subconjuntos compactos de 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Como el límite uniforme de funciones continuas es continuo, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $\Delta(a,b,c)\subseteq\Omega$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $[a,b,c,a]^{*}$
\end_inset

 es compacto y la integral respeta la convergencia uniforme,
\begin_inset Formula 
\[
\int_{[a,b,c,a]}f=\lim_{n}\int_{[a,b,c,a]}f_{n}=0
\]

\end_inset

por el teorema de Cauchy-Goursat, pues las 
\begin_inset Formula $f_{n}$
\end_inset

 son holomorfas.
 Como el triángulo es arbitrario, por el teorema de Morera, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es holomorfa en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $K\subseteq\Omega$
\end_inset

 compacto, 
\begin_inset Formula $0<\rho<d(K,\partial\Omega)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $H\coloneqq \{z\in\mathbb{C}\mid d(z,K)\leq\rho\}$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es compacto y 
\begin_inset Formula $K\subseteq H\subseteq\Omega$
\end_inset

.
 Sean 
\begin_inset Formula $a\in K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
\end_inset

, aplicando la desigualdad de Cauchy a 
\begin_inset Formula $f_{n}-f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\overline{D}(a,\rho)\subseteq H$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
|f_{n}^{(k)}(a)-f^{(k)}(a)|\leq\frac{k!}{\rho^{k}}\max_{w\in C(a,\rho)^{*}}|f_{n}(w)-f(w)|\leq\frac{k!}{\rho^{k}}\max_{w\in H}|f_{n}(w)-f(w)|.
\]

\end_inset

Por la convergencia uniforme de 
\begin_inset Formula $(f_{n})_{n}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

, dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n\geq0$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\max_{w\in H}|f_{n}(w)-f(w)|\leq\varepsilon$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $|f_{n}^{(k)}(a)-f^{(k)}(a)|\leq\frac{k!}{\rho^{k}}\varepsilon$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in K$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\max_{a\in K}|f_{n}^{(k)}(a)-f^{(k)}(a)|\leq\frac{k!}{\rho^{k}}\varepsilon$
\end_inset

, de donde 
\begin_inset Formula $(f_{n}^{(k)})_{n}\to f^{(k)}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_body
\end_document