#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 544 \begin_document \begin_header \save_transient_properties true \origin unavailable \textclass book \use_default_options true \maintain_unincluded_children false \language spanish \language_package default \inputencoding auto \fontencoding global \font_roman "default" "default" \font_sans "default" "default" \font_typewriter "default" "default" \font_math "auto" "auto" \font_default_family default \use_non_tex_fonts false \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 100 \font_tt_scale 100 100 \use_microtype false \use_dash_ligatures true \graphics default \default_output_format default \output_sync 0 \bibtex_command default \index_command default \paperfontsize default \spacing single \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_package amsmath 1 \use_package amssymb 1 \use_package cancel 1 \use_package esint 1 \use_package mathdots 1 \use_package mathtools 1 \use_package mhchem 1 \use_package stackrel 1 \use_package stmaryrd 1 \use_package undertilde 1 \cite_engine basic \cite_engine_type default \biblio_style plain \use_bibtopic false \use_indices false \paperorientation portrait \suppress_date false \justification true \use_refstyle 1 \use_minted 0 \index Index \shortcut idx \color #008000 \end_index \secnumdepth 3 \tocdepth 3 \paragraph_separation indent \paragraph_indentation default \is_math_indent 0 \math_numbering_side default \quotes_style french \dynamic_quotes 0 \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \tracking_changes false \output_changes false \html_math_output 0 \html_css_as_file 0 \html_be_strict false \end_header \begin_body \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset un dominio, \begin_inset Formula $f\in{\cal H}(\Omega)$ \end_inset y \begin_inset Formula $Z(f)\coloneqq \{z\in\Omega\mid f(z)=0\}$ \end_inset , \begin_inset Formula $Z(f)$ \end_inset tiene un punto de acumulación en \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $\exists a\in\Omega:\forall k\in\mathbb{N},f^{(k)}(a)=0$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $f$ \end_inset es idénticamente nula. \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $1\implies2]$ \end_inset Sean \begin_inset Formula $a\in Z(f)'\cap\Omega$ \end_inset y \begin_inset Formula $D(a,\rho)\subseteq\Omega$ \end_inset , existe \begin_inset Formula $\{a_{n}\}_{n}\subseteq D(a,\rho)\setminus\{a\}$ \end_inset con \begin_inset Formula $a_{n}\to a$ \end_inset . Por el teorema de Taylor, \begin_inset Formula \[ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n} \] \end_inset para \begin_inset Formula $c_{n}\coloneqq \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ \end_inset , y queremos ver que todos los \begin_inset Formula $c_{n}$ \end_inset son nulos por inducción. Para \begin_inset Formula $n=0$ \end_inset , \begin_inset Formula $c_{0}=f(a)=\lim_{n}f(a_{n})=0$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $c_{0}=\dots=c_{k-1}=0$ \end_inset , tenemos \begin_inset Formula \[ \frac{f(z)}{(z-a)^{k}}=c_{k}+\sum_{n=k+1}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n-k}. \] \end_inset Sea \begin_inset Formula $g_{k}(z)\coloneqq \sum_{n=k+1}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n-k}$ \end_inset una función holomorfa en \begin_inset Formula $D(a,\rho)$ \end_inset con \begin_inset Formula $g_{k}(a)=0$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $\frac{f(z)}{(z-a)^{k}}=c_{k}+g_{k}(z)$ \end_inset , pero \begin_inset Formula $c_{k}+g_{k}(a_{n})=0$ \end_inset \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout ¿por qué? \end_layout \end_inset y, tomando límites, \begin_inset Formula $0=c_{k}+\lim_{n}g_{k}(a_{n})=c_{k}+g_{k}(a)=c_{k}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset Sea \begin_inset Formula $A\coloneqq \{z\in\Omega\mid \forall k\in\mathbb{N},f^{(k)}(z)=0\}\neq\emptyset$ \end_inset , pues \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset . Como \begin_inset Formula \[ A=\bigcap_{k=0}^{\infty}\{z\in\Omega\mid f^{(k)}(z)=0\}, \] \end_inset \begin_inset Formula $A$ \end_inset es intersección de cerrados y por tanto cerrado, ahora bien, sean \begin_inset Formula $z\in A$ \end_inset y \begin_inset Formula $D(z,\rho)\subseteq\Omega$ \end_inset , por el teorema de Taylor, para \begin_inset Formula $w\in D(z,\rho)$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ f(w)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(z)}{n!}(w-z)^{n}=0, \] \end_inset luego \begin_inset Formula $f^{(k)}(w)=0$ \end_inset y \begin_inset Formula $D(z,\rho)\subseteq A$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $A$ \end_inset es abierto. Por conexión, \begin_inset Formula $A=\Omega$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $3\implies1]$ \end_inset Trivial. \end_layout \begin_layout Standard El \series bold principio de identidad para funciones holomorfas \series default afirma que si dos funciones holomorfas en un dominio \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset coinciden en un subconjunto de \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset con algún punto de acumulación en \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset , entonces coinciden en todo \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset . En efecto, sean \begin_inset Formula $f,g\in{\cal H}(\Omega)$ \end_inset y \begin_inset Formula $h=f-g$ \end_inset , si \begin_inset Formula $f$ \end_inset y \begin_inset Formula $g$ \end_inset coinciden en un subconjunto de este tipo, entonces \begin_inset Formula $Z(h)'\cap\Omega\neq\emptyset$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $h$ \end_inset es idénticamente nula, luego \begin_inset Formula $f=g$ \end_inset . También, si \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset es un dominio y \begin_inset Formula $f\in{\cal H}(\Omega)$ \end_inset no es idénticamente nula, entonces todo punto de \begin_inset Formula $Z(f)\coloneqq \{z\in\Omega\mid f(z)=0\}$ \end_inset es aislado y \begin_inset Formula $Z(f)$ \end_inset es numerable. \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $f\in{\cal H}(\Omega)$ \end_inset y \begin_inset Formula $a\in\Omega$ \end_inset con \begin_inset Formula $f(a)=0$ \end_inset , decimos que \begin_inset Formula $f$ \end_inset tiene en \begin_inset Formula $a$ \end_inset un \series bold cero \series default de \series bold orden \series default \begin_inset Formula $\min\{n\in\mathbb{N}\mid f^{(n)}(a)\neq0\}$ \end_inset . Una función \begin_inset Formula $f$ \end_inset holomorfa no idénticamente nula en en un dominio \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset tiene un cero de orden \begin_inset Formula $k\geq1$ \end_inset en \begin_inset Formula $a\in\Omega$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $\exists g\in{\cal H}(\Omega):(g(a)\neq0\land\forall z\in\Omega,f(z)=(z-a)^{k}g(z))$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sea \begin_inset Formula $D(a,\rho)\subseteq\Omega$ \end_inset , existe \begin_inset Formula $(c_{n})_{n\geq k}$ \end_inset con \begin_inset Formula $c_{k}\neq0$ \end_inset y \begin_inset Formula $f(z)=\sum_{n=k}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n}$ \end_inset para cada \begin_inset Formula $z\in D(a,\rho)$ \end_inset . Entonces \begin_inset Formula \[ g(z):=\begin{cases} \frac{f(z)}{(z-a)^{k}} & \text{si }z\neq a,\\ c_{k} & \text{si }z=a \end{cases} \] \end_inset es holomorfa en \begin_inset Formula $\Omega\setminus\{a\}$ \end_inset y cumple \begin_inset Formula $g(z)=\sum_{n=k}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n-k}$ \end_inset para todo \begin_inset Formula $z\in D(a,\rho)$ \end_inset , luego es holomorfa en \begin_inset Formula $D(a,\rho)$ \end_inset y, por tanto en \begin_inset Formula $a$ \end_inset . Así, \begin_inset Formula $g\in{\cal H}(\Omega)$ \end_inset , \begin_inset Formula $g(a)\neq0$ \end_inset y \begin_inset Formula $f(z)=(z-a)^{k}g(z)$ \end_inset para \begin_inset Formula $z\in\Omega$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sea \begin_inset Formula $D(a,\rho)\subseteq\Omega$ \end_inset , por el teorema de Taylor existe \begin_inset Formula $(\alpha_{n})_{n}$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $g(z)=\sum_{n}\alpha_{n}(z-a)^{n}$ \end_inset para \begin_inset Formula $z\in D(a,\rho)$ \end_inset , con \begin_inset Formula $\alpha_{0}=g(a)\neq0$ \end_inset y entonces \begin_inset Formula $f(z)=\sum_{n}\alpha_{n}(z-a)^{n+k}$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $f^{(q)}(a)=0$ \end_inset para \begin_inset Formula $q\in\{0,\dots,k-1\}$ \end_inset y \begin_inset Formula $f^{(k)}(a)=k!\alpha_{0}\neq0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \series bold Regla de L'Hôpital: \series default Sean \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset un dominio, \begin_inset Formula $f,g\in{\cal H}(\Omega)$ \end_inset no idénticamente nulas y \begin_inset Formula $a\in\Omega$ \end_inset con \begin_inset Formula $f(a)=g(a)=0$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula \[ \lim_{z\to a}\frac{f(z)}{g(z)}=\lim_{z\to a}\frac{f'(z)}{g'(z)}. \] \end_inset \series bold Demostración: \series default Por lo anterior, existen \begin_inset Formula $m,n\in\mathbb{N}$ \end_inset y \begin_inset Formula $F,G\in{\cal H}(\Omega)$ \end_inset con \begin_inset Formula $f(z)=(z-a)^{m}F(z)$ \end_inset , \begin_inset Formula $g(z)=(z-a)^{n}G(z)$ \end_inset y \begin_inset Formula $F(a),G(a)\neq0$ \end_inset . Como el conjunto de puntos donde \begin_inset Formula $g$ \end_inset se anula está formado por puntos aislados y \begin_inset Formula $g(a)=0$ \end_inset , debe haber un disco perforado alrededor de \begin_inset Formula $a$ \end_inset donde \begin_inset Formula $g$ \end_inset no se anula. También hay un disco perforado alrededor de \begin_inset Formula $a$ \end_inset donde \begin_inset Formula $g'$ \end_inset no se anula, por el mismo motivo si \begin_inset Formula $g'(a)=0$ \end_inset o por continuidad si \begin_inset Formula $g'(a)\neq0$ \end_inset . Sea entonces \begin_inset Formula $D(a,\rho)\subseteq\Omega$ \end_inset con \begin_inset Formula $g(z)\neq0$ \end_inset y \begin_inset Formula $g'(z)\neq0$ \end_inset para \begin_inset Formula $z\in D(a,\rho)\setminus\{a\}$ \end_inset , para estos puntos, \begin_inset Formula \begin{align*} \frac{f(z)}{g(z)} & =\frac{(z-a)^{m}F(z)}{(z-a)^{n}G(z)}, & \frac{f'(z)}{g'(z)} & =(z-a)^{m-n}\frac{mF(z)+(z-a)F'(z)}{nG(z)+(z-a)G'(z)}. \end{align*} \end_inset Tomando límites cuando \begin_inset Formula $z\to a$ \end_inset , si \begin_inset Formula $m=n$ \end_inset , ambos límites valen \begin_inset Formula $\frac{F(a)}{G(a)}$ \end_inset ; si \begin_inset Formula $m>n$ \end_inset , ambos son nulos, y si \begin_inset Formula $m