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\begin_layout Section
Índice de un punto respecto a una curva
\end_layout

\begin_layout Standard
Toda curva 
\begin_inset Formula $\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}^{*}$
\end_inset

 tiene argumentos continuos, y si 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\theta'$
\end_inset

 son argumentos continuos de 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\theta(b)-\theta(a)=\theta'(b)-\theta'(a)$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $\rho\coloneqq \min_{t\in[a,b]}|\gamma(t)|>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $|s-t|<\delta$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $|\gamma(s)-\gamma(t)|<\rho$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a=t_{0}<\dots<t_{n}=b$
\end_inset

 una partición de 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $t_{k}-t_{k-1}<\delta$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $D_{k}\coloneqq D(\gamma(t_{k}),\rho)$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $0\notin D_{k}$
\end_inset

 para ningún 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\gamma(t)\in D_{k}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $t\in[t_{k-1},t_{k}]$
\end_inset

, luego los discos consecutivos se cortan.
 Como cada 
\begin_inset Formula $D_{k}$
\end_inset

 es un dominio estrellado que no contiene al 0, existe un logaritmo holomorfo,
 y por tanto un argumento continuo, de la identidad, una función 
\begin_inset Formula $A_{k}:D_{k}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $A_{k}(z)\in\text{Arg}z$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $z\in D_{k}$
\end_inset

.
 Sean ahora 
\begin_inset Formula $\theta_{k}(t)\coloneqq A_{k}(\gamma(t))\in\text{Arg}(\gamma(t))$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m_{k}\coloneqq \theta_{k}(t_{k})-\theta_{k+1}(t_{k})$
\end_inset

, y definimos 
\begin_inset Formula $\theta:[a,b]\to\mathbb{R}$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $\theta(t)\coloneqq \theta_{k}(t)+\sum_{i=0}^{k-1}m_{k}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $t\in[t_{k-1},t_{k}]$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 está bien definido, pues 
\begin_inset Formula $\theta_{k+1}(t_{k})+\sum_{i=0}^{k}m_{k}=\theta_{k+1}(t_{k})+\sum_{i=0}^{k-1}m_{k}+\theta_{k}(t_{k})-\theta_{k+1}(t_{k})=\theta_{k}t_{k}+\sum_{i=0}^{k-1}m_{k}$
\end_inset

, y es un argumento continuo de 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

.
 Ahora bien, si 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\theta'$
\end_inset

 son argumentos continuos de 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\theta-\theta'$
\end_inset

 es una función continua en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 que toma valores múltiplos de 
\begin_inset Formula $2\pi$
\end_inset

 y por tanto debe ser constate, existiendo 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{Z}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\theta(t)-\theta'(t)=2k\pi$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}$
\end_inset

 una curva, 
\begin_inset Formula $z\notin\gamma^{*}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 un argumento de 
\begin_inset Formula $\gamma-z$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
variación del argumento
\series default
 de 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 a lo largo de 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\theta(b)-\theta(a)$
\end_inset

, e 
\series bold
índice
\series default
 de 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 respecto de 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 a
\begin_inset Formula 
\[
\text{Ind}_{\gamma}(z):=\frac{\theta(b)-\theta(a)}{2\pi}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 es una curva cerrada:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\gamma}:\mathbb{C}\setminus\gamma^{*}\to\mathbb{Z}$
\end_inset

 es continua, y por tanto constante en cada componente conexa del dominio.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $z_{0}\notin\gamma^{*}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\rho\coloneqq \min_{t\in[a,b]}|\gamma(t)-z_{0}|>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $z\in D(z_{0},\rho)\subseteq\mathbb{C}\setminus\gamma^{*}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\gamma(t)-z=(\gamma(t)-z_{0})\frac{\gamma(t)-z}{\gamma(t)-z_{0}}$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula 
\[
\left|1-\frac{\gamma(t)-z}{\gamma(t)-z_{0}}\right|=\left|\frac{z-z_{0}}{\gamma(t)-z_{0}}\right|<1,
\]

\end_inset

 luego para 
\begin_inset Formula $t\in[a,b]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\frac{\gamma(t)-z}{\gamma(t)-z_{0}}\in D(1,1)$
\end_inset

, donde el argumento principal es continuo.
 Sea 
\begin_inset Formula $\theta_{0}$
\end_inset

 un argumento de 
\begin_inset Formula $\gamma-z_{0}$
\end_inset

, tenemos que 
\begin_inset Formula $\theta(t)\coloneqq \theta_{0}(t)+\arg\frac{\gamma(t)-z}{\gamma(t)-z_{0}}$
\end_inset

 es un argumento continuo de 
\begin_inset Formula $\gamma(t)-z$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $\theta(b)-\theta(a)=\theta_{0}(b)-\theta_{0}(a)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\gamma}(z)=\text{Ind}_{\gamma}(z_{0})$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $z\in D(z_{0},\rho)$
\end_inset

.
 Así, 
\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\gamma}$
\end_inset

 es localmente constante y por tanto continua.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\gamma}$
\end_inset

 se anula en la única componente no acotada de 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}\setminus\gamma^{*}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
La componente existe y es única porque 
\begin_inset Formula $\gamma^{*}$
\end_inset

, al ser la imagen de un compacto por una función continua, es un compacto
 y existe 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\gamma^{*}\subseteq D(0,R)$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}\setminus D(0,R)\subseteq\mathbb{C}\setminus\gamma^{*}$
\end_inset

, y al ser conexo, está en una componente conexa del conjunto.
 Sea ahora 
\begin_inset Formula $z_{0}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{Re}z_{0}<-R$
\end_inset

, es claro que 
\begin_inset Formula $z_{0}\notin\gamma^{*}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\text{Re}(\gamma(t)-z_{0})>0$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $(\gamma-z_{0})^{*}$
\end_inset

 está en el semiplano de la derecha, el argumento principal es continuo.
 Como 
\begin_inset Formula $z_{0}$
\end_inset

 está en la componente conexa no acotada y el índice es constante en cada
 componente, para 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 en la componente no acotada, 
\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\gamma}z=\text{Ind}_{\gamma}z_{0}=\frac{\arg(\gamma(b)-z_{0})-\arg(\gamma(a)-z_{0})}{2\pi}=0$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 un camino cerrado y 
\begin_inset Formula $z\notin\gamma^{*}$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\text{Ind}_{\gamma}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{w-z}dw.
\]

\end_inset


\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 un argumento continuo de 
\begin_inset Formula $\gamma-z$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\varphi(t)\coloneqq \log|\gamma(t)-z|+i\theta(t)$
\end_inset

 es un logaritmo continuo de 
\begin_inset Formula $\gamma(t)-z$
\end_inset

 .
 Sea 
\begin_inset Formula $a=t_{0}<\dots<t_{n}=b$
\end_inset

 una partición del dominio 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\gamma|_{[t_{k-1},t_{k}]}$
\end_inset

 es derivable.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\varphi_{k}\coloneqq \varphi|_{[t_{k-1},t_{k}]}$
\end_inset

 también lo es y 
\begin_inset Formula $\varphi'_{k}(t)=\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $t\in(t_{k-1},t_{k})$
\end_inset

.
 Integrando,
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\int_{\gamma}\frac{1}{w-z}dw=\int_{a}^{b}\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}dt=\sum_{k=1}^{n}\int_{t_{k-1}}^{t_{k}}\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}dt=\sum_{k=1}^{n}(\varphi_{k}(t_{k})-\varphi_{k}(t_{k-1}))=\\
=\sum_{k=1}^{n}(\varphi(t_{k})-\varphi(t_{k-1}))=\varphi(b)-\varphi(a)=\log|\gamma(b)-z|+i\theta(b)-\log|\gamma(a)-z|-i\theta(a)=\\
=i(\theta(b)-\theta(a))=2\pi i\text{Ind}_{\gamma}(z).
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Cadenas
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
cadena
\series default
 es una expresión de la forma 
\begin_inset Formula $\Gamma\coloneqq m_{1}\gamma_{1}+\dots+m_{q}\gamma_{q}$
\end_inset

 donde los 
\begin_inset Formula $m_{i}$
\end_inset

 son enteros y los 
\begin_inset Formula $\gamma_{i}$
\end_inset

 son caminos.
 Llamamos 
\series bold
soporte
\series default
 de 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\Gamma^{*}\coloneqq \bigcup_{k}\gamma_{k}^{*}$
\end_inset

 y 
\series bold
longitud
\series default
 de 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\ell(\Gamma)\coloneqq \sum_{k}|m_{k}|\ell(\gamma_{k})$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $\Sigma\coloneqq n_{1}\sigma_{1}+\dots+n_{p}\sigma_{p}$
\end_inset

 es otra cadena, llamamos 
\begin_inset Formula $\Gamma+\Sigma\coloneqq m_{1}\gamma_{1}+\dots+m_{q}\gamma_{q}+k_{1}\sigma_{1}+\dots+k_{p}\sigma_{p}$
\end_inset

.
 Dada 
\begin_inset Formula $f:\Gamma^{*}\to\mathbb{C}$
\end_inset

, llamamos
\begin_inset Formula 
\[
\int_{\Gamma}f:=\sum_{k}m_{k}\int_{\gamma_{k}}f,
\]

\end_inset

y claramente se cumplen la aditividad de la integral y la acotación básica
\begin_inset Formula 
\[
\left|\int_{\Gamma}f\right|\leq\ell(\Gamma)\max_{z\in\Gamma^{*}}|f(z)|.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
ciclo
\series default
 es una cadena formada por caminos cerrados, y llamamos 
\series bold
índice
\series default
 de 
\begin_inset Formula $z\notin\Gamma^{*}$
\end_inset

 respecto al ciclo 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\Gamma}(z)\coloneqq \sum_{k}m_{k}\text{Ind}_{\gamma_{k}}(z)$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\Gamma}:\mathbb{C}\setminus\Gamma^{*}\to\mathbb{Z}$
\end_inset

 es continua y constante en cada componente conexa del dominio, y se anula
 en la componente conexa no acotada.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dos cadenas 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Sigma$
\end_inset

 son 
\series bold
equivalentes
\series default
 si para toda 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 continua en 
\begin_inset Formula $\Gamma^{*}\cup\Sigma^{*}$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
\int_{\Gamma}f=\int_{\Sigma}f.
\]

\end_inset

Dado un abierto 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

, un ciclo 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 es 
\series bold
nulhomólogo
\series default
 respecto de 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall z\in\mathbb{C}\setminus\Omega,\text{Ind}_{\Gamma}(z)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Forma general del teorema de Cauchy
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Fórmula integral de Cauchy:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 un ciclo en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 nulhomólogo respecto de 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f\in{\cal H}(\Omega)$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $z\in\Omega\setminus\Gamma^{*}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
f(z)\text{Ind}_{\Gamma}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{f(w)}{w-z}dw.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Primero vemos que si 
\begin_inset Formula $F:\Omega\times\Gamma^{*}\to\mathbb{C}$
\end_inset

 es continua, entonces 
\begin_inset Formula $h:\Omega\to\mathbb{C}$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
h(z):=\int_{\Gamma}F(z,w)dw
\]

\end_inset

es continua en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

.
 En efecto, sean 
\begin_inset Formula $a\in\Omega$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(z_{n})_{n}$
\end_inset

 una sucesión de puntos de 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 convergente a 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
|h(z_{n})-h(a)|=\left|\int_{\Gamma}(F(z_{n},w)-F(a,w))dw\right|\leq\ell(\Gamma)\max_{w\in\Gamma^{*}}|F(z_{n},w)-F(a,w)|.
\]

\end_inset

Como 
\begin_inset Formula $K\coloneqq \{\{z_{n}\}_{n}\cup\{a\}\}\times\Gamma^{*}$
\end_inset

 es compacto por ser producto de compactos, 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es uniformemente continua en 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

.
 Dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $|z-z'|,|w-w'|<\delta$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $|F(z,w)-F(z',w')|<\varepsilon$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $n_{0}$
\end_inset

 tal que, para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|z_{n}-z_{0}|<\delta$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $|F(z_{n},w)-F(a,w)|<\varepsilon$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $|h(z_{n})-h(a)|\leq\ell(\Gamma)\varepsilon$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $h(z_{n})\to h(a)$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es arbitrario, 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Si además, para 
\begin_inset Formula $w\in\Gamma^{*}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $F_{w}:\Omega\to\mathbb{C}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $F_{w}(z)\coloneqq F(z,w)$
\end_inset

 es holomorfa en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $h\in{\cal H}(\Omega)$
\end_inset

.
 Primero vemos que, dados 
\begin_inset Formula $\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma:[c,d]\to\mathbb{C}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\int_{\sigma}\int_{\gamma}F(z,w)dw\,dz=\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}F(\sigma(s),\gamma(t))\gamma'(t)dt\,\sigma'(s)ds=\\
=\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}F(\sigma(s),\gamma(t))\sigma'(s)ds\,\gamma'(t)dt=\int_{\gamma}\int_{\sigma}F(z,w)dz\,dw,
\end{multline*}

\end_inset

y por linealidad esto también sirve cuando en vez de curvas tenemos cadenas.
 Entonces, para 
\begin_inset Formula $\Delta(a,b,c)\subseteq\Omega$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\int_{[a,b,c,a]}h=\int_{[a,b,c,a]}\int_{\Gamma}F(z,w)dw\,dz=\int_{\Gamma}\int_{[a,b,c,a]}F(z,w)dz\,dw=\int_{\Gamma}0\,dw=0,
\]

\end_inset

pues 
\begin_inset Formula $F_{w}(z)=F(z,w)$
\end_inset

 es holomorfa en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

.
 Como el triángulo era arbitrario, el teorema de Morera nos dice que 
\begin_inset Formula $h\in{\cal H}(\Omega)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea ahora 
\begin_inset Formula 
\[
F(z,w):=\begin{cases}
\frac{f(w)-f(z)}{w-z} & \text{si }z\neq w,\\
f'(z) & \text{si }z=w.
\end{cases}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $\{(z,w)\in\Omega\times\Omega\mid z\neq w\}$
\end_inset

.
 Para ver que también lo es en los puntos de la forma 
\begin_inset Formula $(a,a)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a\in\Omega$
\end_inset

, dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $D(a,\delta)\subseteq\Omega$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $|f'(z)-f'(a)|<\varepsilon$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $z\in D(a,\delta)$
\end_inset

, y queremos ver que, si 
\begin_inset Formula $|z-a|,|w-a|<\delta$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $|F(z,w)-F(a,a)|=|F(z,w)-f'(a)|<\varepsilon$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $z=w$
\end_inset

, esto equivale a que 
\begin_inset Formula $|f'(z)-f'(a)|<\varepsilon$
\end_inset

, que se cumple por hipótesis.
 Para 
\begin_inset Formula $z\neq w$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
f(z)-f(w)=\int_{[w,z]}f'(u)du=\int_{0}^{1}f'((1-t)w+tz)(z-w)dt,
\]

\end_inset

luego 
\begin_inset Formula 
\[
F(z,w)=\int_{0}^{1}f'((1-t)w+tz)dt.
\]

\end_inset

Entonces
\begin_inset Formula 
\[
|F(z,w)-f'(a)|=\left|\int_{0}^{1}(f'((1-t)w+tz)-f'(a))dt\right|\leq\int_{0}^{1}|f'((1-t)w+tz)-f'(a)|dt<\varepsilon,
\]

\end_inset

pues 
\begin_inset Formula $(1-t)w+tz\in[w,z]^{*}\subseteq D(a,\delta)$
\end_inset

 y podemos usar esta acotación.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ahora bien, fijado 
\begin_inset Formula $w\in\Omega$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $F_{w}(z)\coloneqq F(w,z)$
\end_inset

, es claro que 
\begin_inset Formula $F_{w}\in{\cal H}(\Omega\setminus\{w\})$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $F_{w}\in{\cal C}(\Omega)$
\end_inset

, por el teorema de extensión de Riemann, 
\begin_inset Formula $F_{w}\in{\cal H}(\Omega)$
\end_inset

, de donde 
\begin_inset Formula $h\in{\cal H}(\Omega)$
\end_inset

 por el resultado de antes.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $\Omega_{0}\coloneqq \{z\in\mathbb{C}\setminus\Gamma^{*}\mid \text{Ind}_{\Gamma}(z)=0\}$
\end_inset

, que es abierto por ser unión de componentes conexas de 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}\setminus\Gamma^{*}$
\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
¿por qué las componentes son abiertas?
\end_layout

\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 es nulhomólogo respecto a 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}\setminus\Omega\subseteq\Omega_{0}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\Omega\cup\Omega_{0}=\mathbb{C}$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $F_{0}:\Omega_{0}\times\Gamma^{*}\to\mathbb{C}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $F_{0}(z,w)\coloneqq \frac{f(w)}{w-z}$
\end_inset

.
 Esta está bien definida por ser 
\begin_inset Formula $\Omega_{0}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Gamma^{*}$
\end_inset

 disjuntos y por tanto 
\begin_inset Formula $z\neq w$
\end_inset

, y es continua.
 Fijado 
\begin_inset Formula $w\in\Omega^{*}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $F_{0w}\in{\cal H}(\Omega_{0})$
\end_inset

 por ser una función racional, con lo que por el resultado del principio,
\begin_inset Formula 
\[
h_{0}(z):=\int_{\Gamma}F_{0}(z,w)dw=\int_{\Gamma}\frac{f(w)}{w-z}dw
\]

\end_inset

es holomorfa en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

.
 Sea ahora
\begin_inset Formula 
\[
\varphi(z):=\begin{cases}
h(z) & \text{si }z\in\Omega,\\
h_{0}(z) & \text{si }z\in\Omega_{0},
\end{cases}
\]

\end_inset

para ver que 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 está bien definida debemos ver que para 
\begin_inset Formula $z\in\Omega\cap\Omega_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $h(z)=h_{0}(z)$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $z\in\Omega_{0}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $z\notin\Gamma^{*}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
h(z)=\int_{\Gamma}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}dw=\int_{\Gamma}\frac{f(w)}{w-z}dw-f(z)\int_{\Gamma}\frac{1}{w-z}dw=\\
=\int_{\Gamma}\frac{f(w)}{w-z}dw-f(z)\text{Ind}_{\Gamma}(z)2\pi i\overset{\text{Ind}_{\gamma}(z)=0}{=}h_{0}(z).
\end{multline*}

\end_inset

Como 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 es holomorfa en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Omega_{0}$
\end_inset

, es entera.
 Sea 
\begin_inset Formula $R>0$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\Gamma^{*}\subseteq D(0,R)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $|z|>R$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 está en la componente no acotada de 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}\setminus\Gamma^{*}$
\end_inset

 y por tanto en 
\begin_inset Formula $\Omega_{0}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\varphi(z)=h_{0}(z)$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $\forall w\in\Gamma^{*},|w-z|\geq|z|-R$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
|\varphi(z)|=\left|\int_{\Gamma}\frac{f(w)}{w-z}dw\right|\leq\ell(\Gamma)\max_{w\in\Gamma^{*}}\left|\frac{f(w)}{w-z}\right|\leq\ell(\Gamma)\frac{\max_{w\in\Gamma^{*}}|f(w)|}{|z|-R}.
\]

\end_inset

Tomando límites cuando 
\begin_inset Formula $z\to\infty$
\end_inset

 queda 
\begin_inset Formula $\lim_{z\to\infty}\varphi(z)=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 está acotada y, por el teorema de Liouville, es constante, y como el límite
 vale 0, es idénticamente nula.
 Entonces, para 
\begin_inset Formula $z\in\Omega\setminus\Gamma^{*}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
0=\varphi(z)=h(z)=\int_{\Gamma}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}dw=\int_{\Gamma}\frac{f(w)}{w-z}dw-f(z)\int_{\Gamma}\frac{1}{w-z}dw=\\
=\int_{\Gamma}\frac{f(w)}{w-z}dw-f(z)\text{Ind}_{\Gamma}(z)2\pi i,
\end{multline*}

\end_inset

y despejando se obtiene la fórmula.
\end_layout

\begin_layout Standard
En estas condiciones, la 
\series bold
forma general del teorema de Cauchy
\series default
 afirma que
\begin_inset Formula 
\[
\int_{\Gamma}f=0.
\]

\end_inset

 En efecto, para 
\begin_inset Formula $a\in\Omega\setminus\Gamma^{*}$
\end_inset

, aplicando la fórmula integral de Cauchy a 
\begin_inset Formula $g(z)\coloneqq (z-a)f(z)$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $g(a)=0$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
0=g(a)\text{Ind}_{\Gamma}(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{(w-a)f(w)}{w-a}dw=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}f.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dos ciclos 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Sigma$
\end_inset

 en un abierto 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 son 
\series bold
homológicamente equivalentes
\series default
 respecto de 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall z\in\mathbb{C}\setminus\Omega,\text{Ind}_{\Gamma}(z)=\text{Ind}_{\Sigma}(z)$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 es 
\series bold
homológicamente conexo
\series default
 si todo ciclo en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 es nulhomólogo respecto de 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

, si y sólo si es un abierto cuyo complemento no tiene componentes conexas
 acotadas.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 un abierto de este tipo, 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 un camino cerrado en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $R>0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\gamma^{*}\subseteq D(0,R)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $z\notin\Omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 la componente conexa de 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}\setminus\Omega$
\end_inset

 que contiene a 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 la componente conexa no acotada de 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}\setminus\gamma^{*}$
\end_inset

.
 Claramente 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}\setminus D(0,R)\subseteq U$
\end_inset

, y como por hipótesis, 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 no está acotada, debe ser 
\begin_inset Formula $C\cap U\neq\emptyset$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $C\subseteq\mathbb{C}\setminus\Omega\subseteq\mathbb{C}\setminus\gamma^{*}$
\end_inset

, debe ser 
\begin_inset Formula $C\subseteq U$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $z\in U$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\gamma}(z)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Singularidades aisladas
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 un abierto, 
\begin_inset Formula $a\in\Omega$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f\in{\cal H}(\Omega\setminus\{a\})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es 
\series bold
regular
\series default
 en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es un 
\series bold
punto regular
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 si podemos definir 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 de forma que sea derivable en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, si y solo si 
\begin_inset Formula $\lim_{z\to a}f(z)\in\mathbb{C}$
\end_inset

 (suponiendo que dicho límite exista) por el teorema de extensión de Riemann,
 y de lo contrario decimos que 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es un 
\series bold
punto singular
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene una 
\series bold
singularidad aislada
\series default
 en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un punto singular 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es un 
\series bold
polo
\series default
 de orden 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 es el mínimo natural tal que 
\begin_inset Formula $z\mapsto(z-a)^{k}f(z)$
\end_inset

 es regular, y si no existe tal 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es una 
\series bold
singularidad esencial
\series default
.
 La función 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene un polo en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 de orden 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\lim_{z\to a}(z-a)^{k}f(z)\in\mathbb{C}^{*}$
\end_inset

 (suponiendo que el límite exista), si y sólo si 
\begin_inset Formula $\exists\varphi\in{\cal H}(\Omega):(\varphi(a)\neq0\land\forall z\in\Omega\setminus\{a\},f(z)=\frac{\varphi(z)}{(z-a)^{k}})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados un abierto 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a\in\Omega$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f\in{\cal H}(\Omega\setminus\{a\})$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
residuo
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 a
\begin_inset Formula 
\[
\text{Res}(f,a):=\frac{1}{2\pi i}\int_{C(a,\rho)}f,
\]

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

 es cualquier radio tal que 
\begin_inset Formula $D(a,\rho)\setminus\{a\}\subseteq\Omega$
\end_inset

.
 El valor no depende del radio, pues 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\int_{C(a,R)}f-\int_{C(a,\rho)}f=\\
=\int_{C(a,R)|_{[0,\pi]}\dot{+}[-R,-\rho]\dot{-}C(a,\rho)|_{[0,\pi]}\dot{+}[\rho,R]}f+\int_{C(a,R)|_{[-\pi,0]}\dot{+}[R,\rho]\dot{-}C(a,\rho)|_{[-\pi,0]}\dot{+}[-\rho,-R]}f=0+0=0,
\end{multline*}

\end_inset

incluyendo cada curva en un abierto nulhomólogo que contenga al semianillo.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es regular, 
\begin_inset Formula $\text{Res}(f,a)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Basta extender 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 de forma holomorfa y aplicar el teorema de Cauchy.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es un polo de orden 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
\text{Res}(f,a)=\frac{1}{(k-1)!}\lim_{z\to a}\left((z-a)^{k}f(z)\right)^{(k-1)}.
\]

\end_inset

Existe 
\begin_inset Formula $g\in{\cal H}(\Omega)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $g(z)=(z-a)^{k}f(z)$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $z\in\Omega\setminus\{a\}$
\end_inset

.
 Cerca de 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, tendrá una serie de Taylor 
\begin_inset Formula $\sum_{n}c_{n}(z-a)^{n}$
\end_inset

, pero por el teorema de Taylor, 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{g^{(n)}(a)}{n!}=c_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C(a,\rho)}\frac{g(z)}{(z-a)^{n+1}}dz,
\]

\end_inset

y en particular
\begin_inset Formula 
\[
\text{Res}(f,a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C(a,\rho)}f=\frac{1}{2\pi i}\int_{C(a,\rho)}\frac{g(z)}{(z-a)^{k}}dz=c_{k-1}=\frac{g^{(k-1)}(a)}{(k-1)!}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $f=\frac{g}{h}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $g,h\in{\cal H}(\Omega)$
\end_inset

, las únicas singularidades de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 son los ceros de 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 tiene un cero de orden 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g(a)\neq0$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene un polo de orden 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
 Si el polo es simple, 
\begin_inset Formula 
\[
\text{Res}(f,a)=\frac{g(a)}{h'(a)}.
\]

\end_inset


\begin_inset Formula $\text{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)=\lim_{z\to a}(z-a)\frac{g(z)}{h(z)}=g(a)\lim_{z\to a}\frac{z-a}{h(z)}=\frac{g(a)}{h'(a)}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Teorema de los residuos
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{C}$
\end_inset

 abierto, 
\begin_inset Formula $S\subseteq\Omega$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $S'\cap\Omega=\emptyset$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f\in{\cal H}(\Omega\setminus S)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 un ciclo en 
\begin_inset Formula $\Omega\setminus S$
\end_inset

 nulhomólogo respecto de 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\{a\in S\mid \text{Ind}_{\Gamma}(a)\neq0\}$
\end_inset

 es finito y
\begin_inset Formula 
\[
\int_{\Gamma}f=2\pi i\sum_{a\in S}\text{Res}(f,a)\text{Ind}_{\Gamma}(a).
\]

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $\Omega_{0}=\{z\in\mathbb{C}\setminus\Gamma^{*}\mid \text{Ind}_{\Gamma}(z)=0\}$
\end_inset

, que es abierto por ser unión de componentes conexas de 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}\setminus\Gamma^{*}$
\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
¿por qué?
\end_layout

\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 es nulhomólogo respecto de 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}\setminus\Omega\subseteq\Omega_{0}$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $K\coloneqq \mathbb{C}\setminus\Omega_{0}=\Gamma^{*}\cup\{z\in\mathbb{C}\setminus\Gamma^{*}\mid \text{Ind}_{\Gamma}(z)\neq0\}$
\end_inset

, que es cerrado por ser complementario de un abierto y acotado porque no
 corta a la componente no acotada de 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}\setminus\Gamma^{*}$
\end_inset

, luego es compacto.
 Si 
\begin_inset Formula $S\cap K=\{a\in S\mid \text{Ind}_{\Gamma}(z)\neq0\}$
\end_inset

 no fuera finito, tendría un punto de acumulación que, por compacidad, debería
 quedarse en 
\begin_inset Formula $K\subseteq\Omega$
\end_inset

, luego no sería 
\begin_inset Formula $S'\cap\Omega=\emptyset\#$
\end_inset

.
 Así, la suma en el enunciado del teorema es finita.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $S\cap K=:\{a_{1},\dots,a_{q}\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\rho>0$
\end_inset

 tal que para cada 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\overline{D}(a_{k},\rho)\subseteq\Omega$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\overline{D}(a_{k},\rho)\cap S=\{a_{k}\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $m_{k}\coloneqq \text{Ind}_{\Gamma}(a_{k})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\gamma_{k}\coloneqq C(a_{k},\rho)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Sigma\coloneqq \sum_{k=1}^{q}m_{k}\gamma_{k}$
\end_inset

.
 Veamos que 
\begin_inset Formula $\Gamma-\Sigma$
\end_inset

 es nulhomólogo respecto de 
\begin_inset Formula $\Omega\setminus S$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $z\notin\Omega\setminus S$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $z\notin\Omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\Gamma}(z)=0$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $z\notin\overline{D}(a_{k},\rho)$
\end_inset

 para ningún 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\Sigma}(z)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $z\in S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $z\neq a_{1},\dots,a_{q}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\Gamma}(z)=0$
\end_inset

 y como, por definición, 
\begin_inset Formula $z\notin\overline{D}(a_{k},\rho)$
\end_inset

 para ningún 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\Sigma}(z)=0$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $z=a_{j}$
\end_inset

 para algún 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\Gamma}(a_{j})=m_{j}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\gamma_{j}}(a_{j})=1$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $k\neq j$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a_{j}\notin\overline{D}(a_{k},\rho)$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\gamma_{k}}(a_{j})=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\text{Ind}_{\Sigma}(a_{j})=m_{j}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Aplicando ahora el teorema de Cauchy,
\begin_inset Formula 
\[
\int_{\Gamma-\Sigma}f=0,
\]

\end_inset

luego
\begin_inset Formula 
\[
\int_{\Gamma}f=\int_{\Sigma}f=\sum_{k=1}^{q}m_{k}\int_{\gamma_{k}}f=\sum_{k=1}^{q}\text{Ind}_{\Gamma}(a_{j})\int_{C(a_{j},\rho)}f=2\pi i\sum_{k=1}^{q}\text{Ind}_{\Gamma}(a_{j})\text{Res}(f,a_{j}).
\]

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document