#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 544 \begin_document \begin_header \save_transient_properties true \origin unavailable \textclass book \use_default_options true \maintain_unincluded_children false \language spanish \language_package default \inputencoding auto \fontencoding global \font_roman "default" "default" \font_sans "default" "default" \font_typewriter "default" "default" \font_math "auto" "auto" \font_default_family default \use_non_tex_fonts false \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 100 \font_tt_scale 100 100 \use_microtype false \use_dash_ligatures true \graphics default \default_output_format default \output_sync 0 \bibtex_command default \index_command default \paperfontsize default \spacing single \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_package amsmath 1 \use_package amssymb 1 \use_package cancel 1 \use_package esint 1 \use_package mathdots 1 \use_package mathtools 1 \use_package mhchem 1 \use_package stackrel 1 \use_package stmaryrd 1 \use_package undertilde 1 \cite_engine basic \cite_engine_type default \biblio_style plain \use_bibtopic false \use_indices false \paperorientation portrait \suppress_date false \justification true \use_refstyle 1 \use_minted 0 \index Index \shortcut idx \color #008000 \end_index \secnumdepth 3 \tocdepth 3 \paragraph_separation indent \paragraph_indentation default \is_math_indent 0 \math_numbering_side default \quotes_style french \dynamic_quotes 0 \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \tracking_changes false \output_changes false \html_math_output 0 \html_css_as_file 0 \html_be_strict false \end_header \begin_body \begin_layout Standard Sea \begin_inset Formula $E$ \end_inset un \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset -espacio vectorial, una \series bold norma \series default es una aplicación \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert:E\rightarrow\mathbb{R}$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\forall x,y\in E,\lambda\in\mathbb{R}$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\Vert x\Vert\geq0\land(\Vert x\Vert=0\iff x=0)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\Vert x+y\Vert\leq\Vert x\Vert+\Vert y\Vert$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\Vert\lambda x\Vert=|\lambda|\Vert x\Vert$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard El par \begin_inset Formula $(E,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es un \series bold espacio normado \series default . Llamamos \series bold distancia asociada a la norma \series default a \begin_inset Formula $d(x,y)\coloneqq \Vert x-y\Vert$ \end_inset . Dos normas son equivalentes si sus distancias lo son. \end_layout \begin_layout Standard Ejemplos de normas en \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset son las dadas por \begin_inset Formula $\Vert(x_{1},\dots,x_{n})\Vert_{p}\coloneqq \sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}$ \end_inset y \begin_inset Newline newline \end_inset \begin_inset Formula $\Vert(x_{1},\dots,x_{n})\Vert_{\infty}\coloneqq \max\{|x_{i}|\}_{i=1}^{n}$ \end_inset . Además, \begin_inset Formula $V\coloneqq {\cal C}[a,b]\coloneqq \{f\mid [a,b]\rightarrow\mathbb{R}\text{ continua}\}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert f\Vert_{\infty}\coloneqq \sup\{|f(x)|\}_{x\in[a,b]}$ \end_inset es un espacio normado. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Enumerate Dado \begin_inset Formula $f\in V$ \end_inset , existe al menos un \begin_inset Formula $x\in[a,b]$ \end_inset y entonces \begin_inset Formula $\Vert f\Vert_{\infty}\geq|f(x)|\geq0$ \end_inset , y \begin_inset Formula $\Vert f\Vert_{\infty}=0\iff\forall x\in[a,b],f(x)=0\iff f=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\Vert f+g\Vert_{\infty}=\sup\{|f(x)+g(x)|\}_{x\in[a,b]}\leq\sup\{|f(x)|+|g(x)|\}_{x\in[a,b]}\leq\sup\{|f(x)|\}_{x\in[a,b]}+\sup\{|g(x)|\}_{x\in[a,b]}=\Vert f\Vert_{\infty}+\Vert g\Vert_{\infty}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Dado \begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{R}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert\lambda f\Vert_{\infty}=\sup\{|\lambda f(x)|\}_{x\in[a,b]}=|\lambda|\sup\{|f(x)|\}_{x\in[a,b]}=|\lambda|\Vert f\Vert_{\infty}$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash sremember{TEM} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula $f:(X,d)\rightarrow(Y,d')$ \end_inset es continua en \begin_inset Formula $p$ \end_inset [...] si y sólo si \begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x\in X,(d(x,p)<\delta\implies d'(f(x),f(p))<\varepsilon)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash eremember \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Definimos la norma de una aplicación \begin_inset Formula $L:(E,\Vert\cdot\Vert)\rightarrow(F,\Vert\cdot\Vert')$ \end_inset como \begin_inset Formula $\Vert L\Vert\coloneqq \Vert L\Vert_{\Vert\cdot\Vert}^{\Vert\cdot\Vert'}\coloneqq \sup\{\Vert L(x)\Vert'\}_{x\in E,\Vert x\Vert\leq1}$ \end_inset , y tenemos como \series bold teorema \series default que \begin_inset Formula $L$ \end_inset es continua si y sólo si \begin_inset Formula $\Vert L\Vert<+\infty$ \end_inset , y entonces es uniformemente continua. \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sea \begin_inset Formula $L$ \end_inset continua en 0, es decir, \begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall y\in E,(\Vert y\Vert<\delta\implies\Vert L(y)\Vert'<\varepsilon)$ \end_inset . Fijado \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset , sea \begin_inset Formula $\Vert z\Vert\leq1$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $\Vert\frac{\delta}{2}z\Vert<\delta$ \end_inset y \begin_inset Formula $\Vert L(\frac{\delta}{2}z)\Vert'<\varepsilon$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $\Vert L(z)\Vert'<\frac{2\varepsilon}{\delta}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\Vert L\Vert<\frac{2\varepsilon}{\delta}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Veamos primero que \begin_inset Formula $\Vert L\Vert<+\infty\implies\forall x\in E,\Vert L(x)\Vert'\leq\Vert L\Vert\Vert x\Vert$ \end_inset . En efecto, para \begin_inset Formula $\Vert x\Vert=1$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert L(x)\Vert'\leq\sup\{\Vert L(y)\Vert\}_{\Vert y\Vert\leq1}=\Vert L\Vert=\Vert L\Vert\Vert x\Vert$ \end_inset , y para cualquier otra \begin_inset Formula $x$ \end_inset basta dividir entre la norma. Ahora bien, dado \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset , tomando \begin_inset Formula $\delta\coloneqq \frac{\varepsilon}{\Vert L\Vert+1}$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $\Vert y-x\Vert<\delta\implies\Vert L(y)-L(x)\Vert'=\Vert L(y-x)\Vert'\leq\Vert L\Vert\Vert y-x\Vert<\Vert L\Vert\delta=\frac{\Vert L\Vert\varepsilon}{\Vert L\Vert+1}<\varepsilon$ \end_inset . Pero como \begin_inset Formula $\delta$ \end_inset no depende de \begin_inset Formula $x$ \end_inset , \begin_inset Formula $L$ \end_inset es uniformemente continua. \end_layout \begin_layout Section Equivalencia de normas \end_layout \begin_layout Standard Dos normas \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert$ \end_inset y \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert'$ \end_inset son equivalentes si y sólo si \begin_inset Formula $\exists\alpha,\beta>0:\forall x\in E,\alpha\Vert x\Vert\leq\Vert x\Vert'\leq\beta\Vert x\Vert$ \end_inset . \series bold Demostración: \series default Sean \begin_inset Formula $L\coloneqq id_{E}:(E,\Vert\cdot\Vert)\rightarrow(E,\Vert\cdot\Vert')$ \end_inset y \begin_inset Formula $L'\coloneqq L^{-1}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula ${\cal T}_{\Vert\cdot\Vert}={\cal T}_{\Vert\cdot\Vert'}$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $L$ \end_inset y \begin_inset Formula $L'$ \end_inset son continuas, pues \begin_inset Formula $L\text{ es continua}\iff\forall A\in{\cal T}_{\Vert\cdot\Vert'},A\in{\cal T}_{\Vert\cdot\Vert}\iff{\cal T}_{\Vert\cdot\Vert'}\subseteq{\cal T}_{\Vert\cdot\Vert}$ \end_inset , y el otro contenido es análogo. Entonces: \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Si \begin_inset Formula $L$ \end_inset es continua \begin_inset Formula $\Vert L\Vert<+\infty$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $\Vert x\Vert'=\Vert L(x)\Vert'\leq\Vert L\Vert\Vert x\Vert\overset{\beta\coloneqq \Vert L\Vert}{=}\beta\Vert x\Vert$ \end_inset . La otra cota se hace de forma análoga. \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Si existe \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\forall x\in E,\Vert x\Vert'\leq\beta\Vert x\Vert$ \end_inset , en particular se cumple para \begin_inset Formula $\Vert x\Vert\leq1$ \end_inset , y entonces \begin_inset Formula $\Vert L(x)\Vert=\Vert x\Vert'\leq\beta\Vert x\Vert$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $\Vert L\Vert=\sup\{\Vert x\Vert'\}_{\Vert x\Vert\leq1}\leq\beta<+\infty$ \end_inset y \begin_inset Formula $L$ \end_inset es continua. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash sremember{TEM} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Las métricas \begin_inset Formula $d_{E}$ \end_inset , \begin_inset Formula $d_{T}$ \end_inset y \begin_inset Formula $d_{\infty}$ \end_inset [...] son equivalentes, [...]. \series bold Demostración: \series default Se deduce de que \begin_inset Formula $\frac{1}{n}d_{T}(x,y)\leq d_{\infty}(x,y)\leq d_{T}(x,y)$ \end_inset y \begin_inset Formula $\frac{1}{\sqrt{n}}d_{E}(x,y)\leq d_{\infty}(x,y)\leq d_{E}(x,y)$ \end_inset . [...] \end_layout \begin_layout Standard Todo cerrado \begin_inset Formula $C$ \end_inset de un compacto \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset es compacto. [...] En [...] \begin_inset Formula $(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$ \end_inset [...] todo subespacio cerrado y acotado es compacto. [...] Todo subespacio compacto \begin_inset Formula $K$ \end_inset de un espacio métrico \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset es [cerrado y] acotado. [...]Si \begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$ \end_inset es continua y \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset es compacto entonces \begin_inset Formula $f(X)$ \end_inset es compacto. [...] \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset es \series bold compacto \series default [...] si toda sucesión admite una subsucesión convergente. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash eremember \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Toda norma \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert:(E,\Vert\cdot\Vert)\rightarrow\mathbb{R}$ \end_inset es uniformemente continua. \series bold Demostración: \series default Fijado \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset y tomando \begin_inset Formula $\delta\coloneqq \varepsilon$ \end_inset , si \begin_inset Formula $\Vert x-y\Vert<\delta$ \end_inset entonces usando que \begin_inset Formula $|\Vert x\Vert-\Vert y\Vert|\leq\Vert x-y\Vert$ \end_inset , lo que se deduce de \begin_inset Formula $\Vert x\Vert\leq\Vert x-y\Vert+\Vert y\Vert$ \end_inset y \begin_inset Formula $\Vert y\Vert\leq\Vert y-x\Vert+\Vert x\Vert$ \end_inset , obtenemos que \begin_inset Formula $|\Vert x\Vert-\Vert y\Vert|<\varepsilon$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default , en \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset , todas las normas son equivalentes. \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \begin_inset Formula $\Vert x\Vert\leq C\Vert x\Vert_{1}]$ \end_inset \begin_inset Formula $\Vert x\Vert=\Vert\sum x_{i}\vec{e}_{i}\Vert\leq\sum|x_{i}|\Vert\vec{e}_{i}\Vert\leq\max\{\Vert\vec{e}_{i}\Vert\}\sum|x_{i}|=\max\{\Vert\vec{e}_{i}\Vert\}\Vert x\Vert_{1}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Labeling \labelwidthstring 00.00.0000 \begin_inset Formula $\Vert x\Vert_{1}\leq D\Vert x\Vert]$ \end_inset Tomamos \begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{n},\Vert\cdot\Vert_{1})\overset{id}{\rightarrow}(\mathbb{R}^{n},\Vert\cdot\Vert)\overset{\Vert\cdot\Vert}{\rightarrow}\mathbb{R}$ \end_inset , que es continua por ser composición de dos funciones continuas (la identidad es continua por la otra cota y la demostración del teorema anterior), entonces \begin_inset Formula $S\coloneqq \{x\in\mathbb{R}^{n}\mid \Vert x\Vert_{1}=1\}$ \end_inset es cerrado dentro del compacto \begin_inset Formula $\overline{B}(0,1)$ \end_inset , luego es compacto y como la función dada es continua, \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert(S)$ \end_inset es compacto y alcanza su máximo y su mínimo. Sea ahora \begin_inset Formula $\mu\coloneqq \min\{\Vert x\Vert\}_{x\in S}>0$ \end_inset (pues \begin_inset Formula $0\notin S$ \end_inset ), si \begin_inset Formula $\Vert x\Vert_{1}=1$ \end_inset para un cierto \begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}^{n}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $\Vert x\Vert\geq\mu$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $x\neq0$ \end_inset y \begin_inset Formula $\left\Vert \frac{x}{\Vert x\Vert_{1}}\right\Vert =1$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $\left\Vert \frac{x}{\Vert x\Vert_{1}}\right\Vert \geq\mu$ \end_inset y \begin_inset Formula $\Vert x\Vert\geq\mu\Vert x\Vert_{1}$ \end_inset , y entonces \begin_inset Formula $\Vert x\Vert_{1}\leq\frac{1}{\mu}\Vert x\Vert$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Tenemos pues que toda \begin_inset Formula $T:(\mathbb{R}^{m},\Vert\cdot\Vert)\rightarrow(\mathbb{R}^{n},\Vert\cdot\Vert')$ \end_inset lineal es continua \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout , pues equivale a una multiplicación por una matriz en \begin_inset Formula $M_{n\times m}(\mathbb{R})$ \end_inset , que es continua con la norma euclídea y por tanto en todas las demás \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Convergencia \end_layout \begin_layout Standard Sea \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset un espacio topológico e \begin_inset Formula $(Y,d)$ \end_inset un espacio métrico, una sucesión de funciones \begin_inset Formula $(f_{n}:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,d))_{n}$ \end_inset \series bold converge puntualmente \series default a \begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,d)$ \end_inset si para todo \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset , \begin_inset Formula $f_{n}(x)\rightarrow f(x)$ \end_inset , y converge \series bold uniformemente \series default a \begin_inset Formula $f$ \end_inset si \begin_inset Formula $d_{\infty}(f_{n},f)\rightarrow0$ \end_inset . Sea \begin_inset Formula $x_{0}\in(X,{\cal T})$ \end_inset y \begin_inset Formula $(f_{n}:X\rightarrow\mathbb{R})_{n}$ \end_inset una sucesión de funciones continuas en \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset que converge uniformemente a \begin_inset Formula $f$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $f$ \end_inset es continua en \begin_inset Formula $x_{0}$ \end_inset . \series bold Demostración: \series default Fijado un \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset , existe un \begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ \end_inset tal que para \begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ \end_inset y \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset se tiene \begin_inset Formula $|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$ \end_inset . Como \begin_inset Formula $f_{n}$ \end_inset es continua, existe \begin_inset Formula ${\cal V}\in{\cal E}(x_{0})$ \end_inset tal que si \begin_inset Formula $x\in{\cal V}$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $|f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})|<\frac{\varepsilon}{3}$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $|f(x)-f(x_{0})|\leq|f(x)-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})|+|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout El límite puntual de funciones continuas no es necesariamente continua, ni siquera en funciones de \begin_inset Formula $(a,b)$ \end_inset a \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset , y como contraejemplo tenemos \begin_inset Formula $(f_{n}:(-1,1)\rightarrow\mathbb{R})_{n}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $f_{n}(x)=\begin{cases} 0 & \text{si }x\leq0\\ nx & \text{si }00 \end{cases}$ \end_inset . Asimismo, el límite uniforme de funciones derivables no es necesariamente derivable, y como contraejemplo tenemos \begin_inset Formula $f_{n}(x)=\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}$ \end_inset , que converge a \begin_inset Formula $f(x)=|x|$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Plain Layout La función \begin_inset Formula $\sum_{n}\frac{\cos(7^{n}\pi x)}{2^{n}}$ \end_inset es continua en todos los puntos ( \begin_inset Formula $\Vert\frac{\cos(7^{n}\pi x)}{2^{n}}\Vert_{\infty}=\frac{1}{2^{n}}\implies\Vert\sum_{n}\frac{\cos(7^{n}\pi x)}{2^{n}}\Vert<+\infty$ \end_inset , con lo que la función es continua por ser la suma de una sucesión convergente de funciones continuas) pero no es derivable en ninguno. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash sremember{FUVR1} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=\pm\infty$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $\lim_{n}\left(1+\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}}=e$ \end_inset y \begin_inset Formula $\lim_{n}\left(1-\frac{1}{x_{n}}\right)^{x_{n}}=e^{-1}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si existe \begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{z_{n+1}}{z_{n}}=w\in\mathbb{R}$ \end_inset con \begin_inset Formula $|w|<1$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $\lim_{n}z_{n}=0$ \end_inset . [...] \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $b>0$ \end_inset , \begin_inset Formula $c>1$ \end_inset y \begin_inset Formula $d>0$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula \[ \log n\ll n^{b}\ll c^{n}\ll n^{dn} \] \end_inset Si además \begin_inset Formula $d\geq1$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $c^{n}\ll n!\ll n^{dn}$ \end_inset . [...] \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=0$ \end_inset con \begin_inset Formula $0<|x_{n}|<1$ \end_inset , entonces: \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\log(1+x_{n})\sim x_{n}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $e^{x_{n}}-1\sim x_{n}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=1$ \end_inset con \begin_inset Formula $x_{n}\neq1$ \end_inset y \begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}=\pm\infty$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula \[ \lim_{n}x_{n}^{y_{n}}=e^{\lim_{n}y_{n}(x_{n}-1)} \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $\lim_{n}x_{n}=0$ \end_inset y \begin_inset Formula $x_{n}\neq0$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $\sin x_{n}\sim x_{n}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \series bold Criterios de Stolz: \series default Si \begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$ \end_inset son sucesiones de reales tales que \begin_inset Formula $(b_{n})_{n}$ \end_inset es estrictamente creciente o decreciente y bien \begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=\lim_{n}b_{n}=0$ \end_inset , bien \begin_inset Formula $\lim_{n}b_{n}=\infty$ \end_inset , si existe \begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}=L\in\overline{\mathbb{R}}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Como consecuencia: \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ \end_inset converge, entonces \begin_inset Formula \[ \lim_{n}\frac{a_{1}+\dots+a_{n}}{n}=\lim_{n}a_{n} \] \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ \end_inset converge y \begin_inset Formula $a_{n}>0$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula \[ \lim_{n}\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}=\lim_{n}a_{n} \] \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $a_{n}>0$ \end_inset y existe \begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula \[ \lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n}\frac{a_{n}}{a_{n-1}} \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash eremember \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash sremember{FUVR1} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard La \series bold condición de Cauchy \series default nos dice que \begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ \end_inset es convergente si y sólo si \begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall p,q\in\mathbb{N},(n_{0}\leq p\leq q\implies|a_{p+1}+\dots+a_{q}|<\varepsilon)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard [...] Si \begin_inset Formula $S_{n}$ \end_inset converge, entonces \begin_inset Formula $\lim_{n}a_{n}=0$ \end_inset . [...] La convergencia de una serie no se altera modificando un número finito de términos de esta. [...] \end_layout \begin_layout Standard Dada una serie \begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ \end_inset de términos \begin_inset Formula $a_{n}\geq0$ \end_inset , esta es convergente si y sólo si la sucesión de sumas parciales es acotada [...]. \end_layout \begin_layout Standard \series bold Criterios de comparación: \end_layout \begin_layout Enumerate Dadas \begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$ \end_inset con \begin_inset Formula $a_{n},b_{n}\geq0$ \end_inset , si existe \begin_inset Formula $M>0$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $a_{n}\leq Mb_{n}\forall n$ \end_inset , entonces la convergencia de \begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ \end_inset implica la de \begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ \end_inset [...]. \end_layout \begin_layout Enumerate Dadas \begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\sum_{n}b_{n}$ \end_inset con \begin_inset Formula $a_{n},b_{n}>0$ \end_inset y existe \begin_inset Formula $l\coloneqq \lim_{n}\frac{a_{n}}{b_{n}}\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ \end_inset : \end_layout \begin_deeper \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $00$ \end_inset y \begin_inset Formula $a\coloneqq \lim_{n}\sqrt[n]{a_{n}}\in\mathbb{R}$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Itemize Si \begin_inset Formula $a<1$ \end_inset , la serie converge. [...] \end_layout \begin_layout Itemize Si \begin_inset Formula $a>1$ \end_inset , la serie diverge. [...] \end_layout \begin_layout Itemize Si \begin_inset Formula $a=1$ \end_inset no se puede afirmar nada. \end_layout \begin_layout Standard \series bold Criterio del cociente: \series default Sea \begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ \end_inset con \begin_inset Formula $a_{n}>0$ \end_inset y \begin_inset Formula $a\coloneqq \lim_{n}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\in\mathbb{R}$ \end_inset . [...] \end_layout \begin_layout Itemize Si \begin_inset Formula $a<1$ \end_inset , la serie converge. \end_layout \begin_layout Itemize Si \begin_inset Formula $a>1$ \end_inset , la serie diverge. \end_layout \begin_layout Standard \series bold Criterio de condensación: \series default Dada una sucesión \begin_inset Formula $(a_{n})_{n}$ \end_inset monótona decreciente con \begin_inset Formula $a_{n}>0$ \end_inset . Entonces \begin_inset Formula \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\in\mathbb{R}\iff\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}a_{2^{n}}\in\mathbb{R} \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Una serie \begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}$ \end_inset con \begin_inset Formula $a_{n}\in\mathbb{R}$ \end_inset es \series bold absolutamente convergente \series default si \begin_inset Formula $\sum_{n}|a_{n}|$ \end_inset es convergente. Toda serie absolutamente convergente es convergente. [...] \end_layout \begin_layout Standard La \series bold serie geométrica \series default \begin_inset Formula $\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}$ \end_inset es convergente si \begin_inset Formula $|r|<1$ \end_inset con suma \begin_inset Formula $\frac{1}{1-r}$ \end_inset y divergente si \begin_inset Formula $|r|\geq1$ \end_inset . La \series bold serie armónica \series default \begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{k}}$ \end_inset es convergente si \begin_inset Formula $k>1$ \end_inset y divergente si \begin_inset Formula $k\leq1$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash eremember \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Completitud \end_layout \begin_layout Standard Una sucesión \begin_inset Formula $(x_{n})$ \end_inset en un espacio métrico \begin_inset Formula $(E,d)$ \end_inset es \series bold de Cauchy \series default si \begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}:\forall n,m\geq n_{\varepsilon},d(x_{n},x_{m})<\varepsilon$ \end_inset . Un espacio métrico es \series bold completo \series default si toda sucesión de Cauchy es convergente. Un \series bold espacio de Banach \series default es un espacio normado completo. Dadas dos normas \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert$ \end_inset y \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert'$ \end_inset equivalentes sobre \begin_inset Formula $E$ \end_inset , \begin_inset Formula $(E,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es completo si y sólo si lo es \begin_inset Formula $(E,\Vert\cdot\Vert')$ \end_inset . \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout \series bold Demostración: \series default Existen \begin_inset Formula $\alpha,\beta>0$ \end_inset tales que \begin_inset Formula $\alpha\Vert x\Vert\leq\Vert x\Vert'\leq\beta\Vert x\Vert$ \end_inset , luego si \begin_inset Formula $(x_{n})$ \end_inset es de Cauchy en \begin_inset Formula $(E,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset también lo es en \begin_inset Formula $(E,\Vert\cdot\Vert')$ \end_inset sin más que tomar \begin_inset Formula $n_{\frac{\varepsilon}{\beta}}$ \end_inset , y viceversa, y como \begin_inset Formula $(x_{n})$ \end_inset converge a \begin_inset Formula $x$ \end_inset en \begin_inset Formula $(E,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset si y sólo si converge en \begin_inset Formula $(E,\Vert\cdot\Vert')$ \end_inset , la completitud de uno implica la del otro. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default , \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset es un espacio de Banach con cualquier norma. \series bold Demostración: \series default Basta probar que \begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{n},\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset es completo. Si \begin_inset Formula $(x_{m})$ \end_inset es de Cauchy en \begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{n},\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset , como \begin_inset Formula $|x_{mi}-x_{ki}|\leq\Vert x_{m}-x_{k}\Vert_{\infty}$ \end_inset para todo \begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $(x_{mi})_{m}$ \end_inset es de Cauchy en \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset y por tanto convergente a un \begin_inset Formula $x_{0i}$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $(x_{m})_{m}$ \end_inset converge a \begin_inset Formula $(x_{01},\dots,x_{0n})$ \end_inset , y se tiene que \begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{n},\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es completo. \end_layout \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default , \begin_inset Formula $({\cal C}[a,b],\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset es un espacio de Banach. \series bold Demostración: \series default Sea \begin_inset Formula $(f_{n})_{n}$ \end_inset una sucesión de Cauchy en \begin_inset Formula $({\cal C}[a,b],\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset , fijado un \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset existe un \begin_inset Formula $n_{0}$ \end_inset tal que para \begin_inset Formula $n,m\geq n_{0}$ \end_inset y \begin_inset Formula $x\in[a,b]$ \end_inset , \begin_inset Formula $|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$ \end_inset . Por tanto para cada \begin_inset Formula $x\in[a,b]$ \end_inset , \begin_inset Formula $(f_{n}(x))_{n}$ \end_inset es de Cauchy en \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset y converge pues a un valor \begin_inset Formula $f(x)$ \end_inset . Ahora bien, dado un \begin_inset Formula $x\in[a,b]$ \end_inset , por la convergencia puntual que acabamos de probar existe \begin_inset Formula $n_{x}\in\mathbb{N}$ \end_inset tal que para \begin_inset Formula $n\geq n_{x}$ \end_inset se tiene \begin_inset Formula $|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $n>n_{0}$ \end_inset , \begin_inset Formula $|f_{n}(x)-f(x)|\leq|f_{n}(x)-f_{\max\{n_{0},n_{x}\}}(x)|+|f_{\max\{n_{0},n_{x}\}}(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ \end_inset , y como \begin_inset Formula $n_{0}$ \end_inset no depende de \begin_inset Formula $x$ \end_inset (sólo de \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset ), queda probada la convergencia uniforme. \end_layout \begin_layout Standard Sea \begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$ \end_inset una sucesión en el espacio de Banach \begin_inset Formula $(E,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset con \begin_inset Formula $\sum_{n}\Vert x_{n}\Vert<+\infty$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $\sum_{n}x_{n}$ \end_inset converge. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout \series bold Demostración: \series default Tenemos que \begin_inset Formula $\sum_{n}\Vert x_{n}\Vert$ \end_inset , por ser convergente, es de Cachy, por lo que dado \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset existe \begin_inset Formula $n_{\varepsilon}$ \end_inset tal que si \begin_inset Formula $n,m>n_{\varepsilon}$ \end_inset se tiene \begin_inset Formula $|\sum_{k=1}^{n}\Vert x_{k}\Vert-\sum_{k=1}^{m}\Vert x_{k}\Vert|<\varepsilon$ \end_inset . Pero por la desigualdad triangular \begin_inset Formula $\Vert\sum_{k=1}^{n}x_{k}-\sum_{k=1}^{m}x_{k}\Vert\leq|\sum_{k=1}^{n}\Vert x_{k}\Vert-\sum_{k=1}^{m}\Vert x_{k}\Vert|<\varepsilon$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $\sum_{n}x_{n}$ \end_inset también es de Cauchy y por tanto convergente por estar en un espacio completo. \end_layout \end_inset \end_layout \end_body \end_document