#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_body

\begin_layout Section
Derivadas
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 normados, 
\begin_inset Formula $\Omega\subseteq E$
\end_inset

 abierto y 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow F$
\end_inset

, dados 
\begin_inset Formula $a\in\Omega$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $u\in E$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es 
\series bold
derivable
\series default
 en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 según 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 si existe la 
\series bold
derivada direccional
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 según 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

, dada por
\begin_inset Formula 
\[
d_{u}f(x_{0}):=\lim_{t\rightarrow0}\frac{f(a+tu)-f(a)}{t}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $u=\vec{e}_{i}$
\end_inset

 es el vector 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

-ésimo de la base canónica hablamos de la 
\series bold
derivada parcial
\series default
 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

-ésima, que denotamos
\begin_inset Formula 
\[
\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a):=d_{i}f(a):=d_{\vec{e}_{i}}f(a)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\vec{u}=\lambda\vec{v}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $d_{\vec{u}}f(t)$
\end_inset

 existe si y sólo si existe 
\begin_inset Formula $d_{\vec{v}}f(t)$
\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
, pues 
\begin_inset Formula 
\[
d_{\vec{u}}f(t)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{f(a+t\lambda\vec{v})-f(a)}{t}=\lim_{t\rightarrow0}\frac{f(a+t\lambda\vec{v})-f(a)}{t\lambda}\lambda\overset{t\lambda\rightarrow0}{=}\lambda d_{\vec{v}}f(t)
\]

\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 es derivable en 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 si cada una de sus coordenadas lo es, y entonces 
\begin_inset Formula $f'(x_{0})=(f'_{1}(x_{0}),\dots,f'_{n}(x_{0}))$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Diferenciales
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $\Omega\subseteq E$
\end_inset

 abierto, 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow F$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in\Omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es 
\series bold
diferenciable
\series default
 en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 si existe una aplicación lineal 
\begin_inset Formula $L:E\rightarrow F$
\end_inset

 tal que
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{\Vert h\Vert}=0
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Esta aplicación es la 
\series bold
diferencial
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, denotada por 
\begin_inset Formula $df(a)$
\end_inset

, y si existe es única.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $L,M:E\rightarrow F$
\end_inset

 dos diferenciales de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\lim_{h\rightarrow0}\frac{L(h)-M(h)}{\Vert h\Vert}=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{f(a+h)-f(a)-M(h)}{\Vert h\Vert}-\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{\Vert h\Vert}\right)=0-0=0$
\end_inset

, pero entonces, dado 
\begin_inset Formula $v\neq0$
\end_inset

 arbitrario, 
\begin_inset Formula $0=\lim_{t\rightarrow0^{+}}\frac{L(tv)-M(tv)}{\Vert tv\Vert}=\lim_{t\rightarrow0^{+}}\frac{L(v)-M(v)}{\Vert v\Vert}$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $L(v)=M(v)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $L=M$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Escribimos 
\begin_inset Formula $L\equiv M$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es la matriz asociada a la aplicación lineal 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f:\Omega\subseteq\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 es diferenciable en 
\begin_inset Formula $a\in\Omega$
\end_inset

 con diferencial 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 si y sólo si cada 
\begin_inset Formula $f_{i}:\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

, es diferenciable con diferencial 
\begin_inset Formula $L_{i}$
\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
, pues 
\begin_inset Formula $\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{\Vert h\Vert}\rightarrow0\iff\forall i\in\{1,\dots,n\},\left(\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{\Vert h\Vert}\right)_{i}\rightarrow0\iff\frac{f_{i}(a+h)-f_{i}(a)-L_{i}(h)}{\Vert h\Vert}\rightarrow0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f:\Omega\subseteq E\rightarrow F$
\end_inset

 es diferenciable en 
\begin_inset Formula $a\in\Omega$
\end_inset

, también es continua en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
 
\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\lim_{h\rightarrow0}f(a+h)-f(a)=0$
\end_inset

.
 Pero si 
\begin_inset Formula $\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{\Vert h\Vert}=0$
\end_inset

, multiplicando por 
\begin_inset Formula $\Vert h\Vert$
\end_inset

, que tiende a 0, tenemos 
\begin_inset Formula $\lim_{h\rightarrow0}f(a+h)-f(a)-L(h)=0$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $L(h)$
\end_inset

 tiende a 0 nos queda la expresión de arriba.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f:\Omega\subseteq\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 es diferenciable en 
\begin_inset Formula $a\in\Omega$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 abierto) si para todo 
\begin_inset Formula $P\in\Omega$
\end_inset

 existen todas las derivadas parciales 
\begin_inset Formula $\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(P)$
\end_inset

 y son continuas en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Podemos suponer 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

, pues de lo contrario basta probar que cada 
\begin_inset Formula $f_{i}$
\end_inset

 es diferenciable en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
 Se trata pues de probar que 
\begin_inset Formula $\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)-\sum_{i=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a)h_{i}}{\Vert h\Vert}=0$
\end_inset

, lo que ocurre si y sólo si
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
0 & = & \lim_{h\rightarrow0}\frac{|f(a+h)-f(a)-\sum_{i=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a)h_{i}|}{\Vert h\Vert}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+\sum_{i=1}^{m}h_{i}\vec{e}_{i})-f(a)-\sum_{i=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a)h_{i}}{\Vert h\Vert}\\
 & = & \lim_{h\rightarrow0}\frac{\left|\sum_{i=1}^{m}\left(f(a+h_{1}\vec{e}_{1}+\dots+h_{i}\vec{e}_{i})-f(a+h_{1}\vec{e}_{1}+\dots+h_{i-1}\vec{e}_{i-1})-\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a)h_{i}\right)\right|}{\Vert h\Vert}
\end{eqnarray*}

\end_inset

El último sumatorio con sus dos primeros elementos forma una 
\series bold
suma telescópica
\series default
: todos los elementos se anulan salvo el primero y el último.
 Sabemos que cada 
\begin_inset Formula $a+h_{1}\vec{e}_{1}+\dots+h_{i}\vec{e}_{i}$
\end_inset

 está en el dominio de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 porque 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 es abierto y 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 se supone lo suficientemente pequeño.
 Ahora llamamos 
\begin_inset Formula $\varphi_{i}(t)\coloneqq f(a+h_{1}\vec{e}_{1}+\dots+h_{i-1}\vec{e}_{i-1}+t\vec{e}_{i})$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\varphi'_{i}(t)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a+h_{1}\vec{e}_{1}+\dots+h_{i-1}\vec{e}_{i-1}+t\vec{e}_{i})$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $\Delta_{i}\coloneqq \varphi_{i}(h_{i})-\varphi_{i}(0)=f(a+h_{1}\vec{e}_{1}+\dots+h_{i}\vec{e}_{i})-f(a+h_{1}\vec{e}_{1}+\dots+h_{i-1}\vec{e}_{i-1})=\varphi'_{i}(\xi_{i})h_{i}$
\end_inset

 para algún 
\begin_inset Formula $\xi_{i}$
\end_inset

 entre 0 y 
\begin_inset Formula $h_{i}$
\end_inset

, que tiende a 0.
 Sustituyendo nos queda que lo anterior es igual a 
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left|\sum_{i=1}^{m}\varphi'_{i}(\xi_{i})h_{i}-\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a)h_{i}\right|}{\Vert h\Vert}
\]

\end_inset

Entonces,
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
0 & \leq & \frac{\left|\sum_{i=1}^{m}\varphi'_{i}(\xi_{i})h_{i}-\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a)h_{i}\right|}{\Vert h\Vert_{\infty}}\\
 & \leq & \left|\sum_{i=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a+h_{1}\vec{e}_{1}+\dots+h_{i-1}\vec{e}_{i-1}+\xi_{i}\vec{e}_{i})-\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a)\right|\frac{\left|h_{i}\right|}{\Vert h\Vert_{\infty}}\rightarrow0
\end{eqnarray*}

\end_inset

Que esta última expresión tienda a 0 se debe a que 
\begin_inset Formula $0\leq\frac{|h_{i}|}{\Vert h\Vert_{\infty}}\leq1$
\end_inset

 y a que las derivadas parciales de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 sean continuas y por tanto 
\begin_inset Formula $\lim_{h\rightarrow0}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a+\dots)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\lim_{h\rightarrow0}(a+\dots))$
\end_inset

.
 Entonces, por la regla del sandwich, el límite inicial tiende a 0.
 Hemos utilizado la norma 
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{\infty}$
\end_inset

, pero como dada una norma 
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $\exists\alpha,\beta>0:\forall h,\alpha\leq\frac{\Vert h\Vert_{\infty}}{\Vert h\Vert}\leq\beta$
\end_inset

, la convergencia a 0 no depende de la norma que tomemos.
\end_layout

\begin_layout Section
Regla de la cadena
\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
regla de la cadena
\series default
 afirma que si 
\begin_inset Formula ${\cal U}\subseteq\mathbb{R}^{m}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal V}\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 son abiertos, 
\begin_inset Formula $a\in{\cal U}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal U}\overset{f}{\rightarrow}{\cal V}\overset{g}{\rightarrow}\mathbb{R}^{k}$
\end_inset

 son diferenciables en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 y en 
\begin_inset Formula $f(a)$
\end_inset

, respectivamente, entonces 
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset

 es diferenciable en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d(g\circ f)(a)=dg(f(a))\circ df(a)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $L\coloneqq df(a):\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S\coloneqq dg(f(a)):\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{k}$
\end_inset

, tenemos que 
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{\Vert h\Vert}=\lim_{\eta\rightarrow0}\frac{g(f(a)+\eta)-g(f(a))-S(\eta)}{\Vert\eta\Vert}=0
\]

\end_inset

y queremos ver que 
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{h\rightarrow0}\frac{g(f(a+h))-g(f(a))-S(L(h))}{\Vert h\Vert}=0
\]

\end_inset

Si llamamos 
\begin_inset Formula $\eta\coloneqq f(a+h)-f(a)$
\end_inset

, que tiende a 0 por la continuidad de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\lim_{h\rightarrow0}\frac{g(f(a+h))-g(f(a))-S(L(h))}{\Vert h\Vert}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{g(f(a)+\eta)-g(f(a))-S(\eta)}{\Vert h\Vert}+\frac{S(\eta)-S(L(h))}{\Vert h\Vert}\\
=\lim_{h\rightarrow0}\frac{g(f(a)+\eta)-g(f(a))-S(\eta)}{\Vert\eta\Vert}\frac{\Vert\eta\Vert}{\Vert h\Vert}-S\left(\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{\Vert h\Vert}\right)
\end{multline*}

\end_inset

Como 
\begin_inset Formula $S\left(\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{\Vert h\Vert}\right)\rightarrow0$
\end_inset

 usando la linealidad de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 y su continuidad (que se deduce de su linealidad), y como 
\begin_inset Formula $\frac{g(f(a)+\eta)-g(f(a))-S(\eta)}{\Vert\eta\Vert}\rightarrow0$
\end_inset

, el límite tenderá a 0 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\frac{\Vert\eta\Vert}{\Vert h\Vert}$
\end_inset

 es acotado, pero 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
0 & \leq & \frac{\Vert\eta\Vert}{\Vert h\Vert}=\frac{\Vert f(a+h)-f(a)-L(h)+L(h)\Vert}{\Vert h\Vert}\\
 & \leq & \frac{\Vert f(a+h)-f(a)-L(h)\Vert}{\Vert h\Vert}+\frac{\Vert L(h)\Vert}{\Vert h\Vert}\rightarrow0+\frac{\Vert L(h)\Vert}{\Vert h\Vert}\leq\frac{\Vert L\Vert\Vert h\Vert}{\Vert h\Vert}<+\infty
\end{eqnarray*}

\end_inset

 por la continuidad de 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Incremento finito
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
teorema del incremento finito
\series default
 afirma que, sean 
\begin_inset Formula $f:\Omega\subseteq\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a,b\in\Omega$
\end_inset

 con el segmento 
\begin_inset Formula $[a,b]\subseteq\Omega$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M>0$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $\Vert df(x)\Vert\leq M$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
\end_inset

 se tiene 
\begin_inset Formula $\Vert f(b)-f(a)\Vert\leq M\Vert b-a\Vert$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, sabemos que para 
\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)-df(x)(h)}{\Vert h\Vert}=0$
\end_inset

 y por tanto existe 
\begin_inset Formula $\delta_{x}>0$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $\Vert h\Vert<\delta_{x}$
\end_inset

 se tiene 
\begin_inset Formula 
\[
\Vert f(x+h)-f(x)-df(x)(h)\Vert<\varepsilon\Vert h\Vert
\]

\end_inset

con lo que 
\begin_inset Formula 
\[
\Vert f(x+h)-f(x)\Vert-\Vert df(x)(h)\Vert\leq\Vert f(x+h)-f(x)-df(x)(h)\Vert<\varepsilon\Vert h\Vert
\]

\end_inset

 y por tanto
\begin_inset Formula 
\[
\Vert f(x+h)-f(x)\Vert<\varepsilon\Vert h\Vert+\Vert df(x)(h)\Vert\leq\varepsilon\Vert h\Vert+\Vert df(x)\Vert\Vert h\Vert\leq(\varepsilon+M)\Vert h\Vert
\]

\end_inset

Esta desigualdad depende de 
\begin_inset Formula $\delta_{x}$
\end_inset

 y por tanto de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $\{B(x,\frac{\delta_{x}}{2})\}_{x\in[a,b]}$
\end_inset

 un re
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

cu
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

bri
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

mien
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

to por abiertos de 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\{B_{i}\}_{i=1}^{k}\coloneqq \{B(x_{i},\frac{\delta_{x_{i}}}{2})\}_{i=1}^{k}$
\end_inset

 un subrecubrimiento finito del que suponemos que no podemos quitar ninguna
 bola.
 Ahora llamamos 
\begin_inset Formula $x_{0}\coloneqq a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x_{k+1}\coloneqq b$
\end_inset

 y suponemos 
\begin_inset Formula $a=x_{0}<x_{1}<\dots<x_{k}<x_{k+1}=b$
\end_inset

.
 Por la desigualdad anterior, para 
\begin_inset Formula $x,y\in[a,b]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert y-x\Vert<\delta_{x}$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\Vert x-y\Vert<\delta_{y}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert f(y)-f(x)\Vert\leq(M+\varepsilon)\Vert x-y\Vert$
\end_inset

.
 El segmento 
\begin_inset Formula $[x_{i},x_{i+1}]$
\end_inset

 queda cubierto por 
\begin_inset Formula $B_{i}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B_{i+1}$
\end_inset

, pues si hiciera falta además 
\begin_inset Formula $B_{j}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $j\neq i,i+1$
\end_inset

 para cubrirlo sería 
\begin_inset Formula $x_{j}<x_{i}$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $B_{i}\subseteq B_{j}$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $x_{j}>x_{i+1}$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $B_{i+1}\subseteq B_{j}$
\end_inset

, pero entonces podríamos quitar una bola del recubrimiento
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $\Vert x_{i+1}-x_{i}\Vert<\frac{\delta_{x_{i}}}{2}+\frac{\delta_{x_{i+1}}}{2}\leq\max\{\delta_{x_{i}},\delta_{x_{i+1}}\}$
\end_inset

.
 Finalmente tenemos que 
\begin_inset Formula $\Vert f(b)-f(a)\Vert=\Vert f(x_{k+1})-f(x_{k})+\dots+f(x_{1})-f(x_{0})\Vert\leq\sum_{i=0}^{k}\Vert f(x_{i+1})-f(x_{i})\Vert\leq\sum_{i=0}^{k}\Vert x_{i+1}-x_{i}\Vert(M+\varepsilon)$
\end_inset

 y, como todos los 
\begin_inset Formula $x_{i+1}-x_{i}$
\end_inset

 tienen la forma 
\begin_inset Formula $\lambda(b-a)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\lambda>0$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\sum_{i=0}^{k}\Vert x_{i+1}-x_{i}\Vert(M+\varepsilon)=\Vert b-a\Vert(M+\varepsilon)$
\end_inset

.
 Como esto se da para todo 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, el resultado queda probado.
\end_layout

\end_body
\end_document