#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
sremember{FUVR2}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
partición
\series default
 de 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 es una colección de puntos 
\begin_inset Formula $a=t_{0}<t_{1}<\dots<t_{n}=b$
\end_inset

 [...].
 [...]
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
integral indefinida
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a la función 
\begin_inset Formula $F:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \int_{a}^{x}f$
\end_inset

.
 El 
\series bold
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
\series default
 afirma que, si 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es su integral indefinida, entonces 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 y si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es derivable en 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F'(c)=f(c)$
\end_inset

, y esto también ocurre con los extremos del intervalo y las correspondientes
 derivadas laterales.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
eremember
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Integral de Riemann para funciones de varias variables
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
gráfica
\series default
 de una función 
\begin_inset Formula $f:[a_{1},b_{1}]\times\dots\times[a_{n},b_{n}]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 a
\begin_inset Formula 
\[
\text{graf}(f):=\{(x_{1},\dots,x_{n},y)\in\mathbb{R}^{n+1}\mid (x_{1},\dots,x_{n})\in[a_{1},b_{1}]\times\dots\times[a_{n},b_{n}]\land y=f(x_{1},\dots,x_{n})\}
\]

\end_inset

y 
\series bold
subgrafo
\series default
 a
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\text{subgraf}(f):=\\
\{(x_{1},\dots,x_{n},y)\in\mathbb{R}^{n+1}\mid (x_{1},\dots,x_{n})\in[a_{1},b_{1}]\times\dots\times[a_{n},b_{n}]\land0\leq y\leq f(x_{1},\dots,x_{n})\}
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
volumen
\series default
 del 
\series bold
rectángulo
\series default
 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-dimensional 
\begin_inset Formula $R\coloneqq [a_{1},b_{1}]\times\dots\times[a_{n},b_{n}]\subset\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 se define como 
\begin_inset Formula $v(R)=(b_{1}-a_{1})\cdots(b_{n}-a_{n})$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 es un intervalo y 
\begin_inset Formula $v(R)$
\end_inset

 es su 
\series bold
longitud
\series default
; si 
\begin_inset Formula $n=2$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 es un rectángulo y 
\begin_inset Formula $v(R)$
\end_inset

 es su 
\series bold
área
\series default
, y si 
\begin_inset Formula $n=3$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 es un paralelepípedo recto y 
\begin_inset Formula $v(R)$
\end_inset

 es su 
\series bold
volumen
\series default
 tridimensional.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
partición
\series default
 sobre este rectángulo es una lista 
\begin_inset Formula $P\coloneqq (P_{1},\dots,P_{n})$
\end_inset

 en la que cada 
\begin_inset Formula $P_{i}$
\end_inset

 es una partición de 
\begin_inset Formula $[a_{i},b_{i}]$
\end_inset

.
 Si cada 
\begin_inset Formula $P_{i}$
\end_inset

 divide el intervalo 
\begin_inset Formula $[a_{i},b_{i}]$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $k_{i}$
\end_inset

 subintervalos, los 
\begin_inset Formula $k_{1}\cdots k_{n}$
\end_inset

 rectángulos en los que 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 divide a 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 son los 
\series bold
subrectángulos
\series default
 de la partición 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f:R\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es acotada y 
\begin_inset Formula $P\coloneqq (P_{i})_{i=1}^{n}$
\end_inset

 es una partición de 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 que lo divide en una cantidad finita de subrectángulos 
\begin_inset Formula $\{S_{i}\}_{i=1}^{N}$
\end_inset

, si para cada 
\begin_inset Formula $S_{h}$
\end_inset

 denotamos 
\begin_inset Formula $m_{S_{h}}(f)\coloneqq \inf\{f(x)\}_{x\in S_{h}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M_{S_{h}}(f)=\sup\{f(x)\}_{x\in S_{h}}$
\end_inset

, y definimos las 
\series bold
sumas inferior
\series default
 y 
\series bold
superior
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 correspondientes a la partición 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

, respectivamente, como
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
s(f,P):=\sum_{h=1}^{N}m_{S_{h}}(f)v(S_{h}) & \text{y} & S(f,P):=\sum_{h=1}^{N}M_{S_{h}}(f)v(S_{h})
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P'$
\end_inset

 dos particiones del rectángulo 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-dimensional 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $P'\succeq P$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $\forall i\in\{1,\dots,n\},P'_{i}\succeq P_{i}$
\end_inset

 o, equivalentemente, cada subrectángulo de 
\begin_inset Formula $P'$
\end_inset

 está contenido en uno de 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

) y 
\begin_inset Formula $f:R\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
s(f,P)\leq s(f,P')\leq S(f,P')\leq S(f,P)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Obviamente 
\begin_inset Formula $s(f,P')\leq S(f,P')$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 se divide en los subrectángulos 
\begin_inset Formula $\{S_{i},\dots,S_{N}\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P'$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\{S'_{1},\dots,S'_{M}\}$
\end_inset

, dado un subrectángulo 
\begin_inset Formula $S_{i}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 que se expresa como unión de subrectángulos 
\begin_inset Formula $S_{i1},\dots,S_{ik_{i}}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $P'$
\end_inset

, es claro que para 
\begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,k_{i}\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $m_{S}(f)=\inf\{f(x)\}_{x\in S_{i}}\leq m_{S_{ij}}(f)=\inf\{f(x)\}_{x\in S_{ij}}$
\end_inset

.
 Por otro lado, 
\begin_inset Formula $v(S_{i})=\sum_{j=1}^{k_{i}}v(S_{ij})$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $m_{S_{i}}(f)v(S_{i})=m_{S_{i}}(f)\sum_{j=1}^{k_{i}}v(S_{ij})=\sum_{j=1}^{k_{i}}m_{S_{i}}(f)v(S_{ij})\leq\sum_{j=1}^{k_{i}}m_{S_{ij}}(f)v(S_{ij})$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $s(f,P)=\sum_{i=1}^{N}m_{S_{i}}(f)v(S_{i})\leq\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{k_{i}}m_{S_{ij}}(f)v(S_{ij})=\sum_{i=1}^{M}m_{S'_{i}}(f)v(S'_{i})=s(f,P')$
\end_inset

.
 La prueba de que 
\begin_inset Formula $S(f,P')\leq S(f,P)$
\end_inset

 se hace de forma análoga.
\end_layout

\begin_layout Standard
Definimos las 
\series bold
integrales superior e inferior de Riemann
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

, respectivamente, como
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\overline{\int_{R}}f(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\dots dx_{n} & := & \inf\{S(f,P)\}_{P\text{ partición de }R}\\
\underline{\int_{R}}f(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\dots dx_{n} & := & \sup\{s(f,P)\}_{P\text{ partición de }R}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Por lo anterior, es claro que la integral inferior es siempre menor o igual
 a la su
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

pe
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

rior.
 Si son iguales decimos que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es 
\series bold
integrable Riemann
\series default
 en 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}(R)$
\end_inset

) con 
\series bold
integral
\series default
 
\begin_inset Formula $\int_{R}f(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\dots dx_{n}$
\end_inset

 igual a estas dos.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}(R)\iff\forall\varepsilon>0,\exists P_{\varepsilon}:S(f,P_{\varepsilon})-s(f,P_{\varepsilon})\leq\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{sloppypar}
\end_layout

\end_inset

Basta tomar 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P'$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $S(f,P)\leq\int_{R}f(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\dots dx_{n}+\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s(f,P')\geq\int_{R}f(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\dots dx_{n}-\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

 y quedarnos con la partición 
\begin_inset Formula $P\lor P'$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $\{P_{i}\lor P'_{i}\}_{i=1}^{n}$
\end_inset

).
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{sloppypar}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si se cumple 
\begin_inset Formula $0\leq\overline{\int_{R}}f(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\dots dx_{n}-\underline{\int_{R}}f(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\dots dx_{n}\leq S(f,P_{\varepsilon})-s(f,P_{\varepsilon})\leq\varepsilon$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, haciendo tender 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

 a 0 obtenemos la igualdad de las integrales superior e inferior.
\end_layout

\begin_layout Standard
La integral es un operador lineal: sean 
\begin_inset Formula $f,g\in{\cal R}(R)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c\in\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f+g\in{\cal R}(R)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\int_{R}(f+g)(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\dots dx_{n}=\int_{R}f(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\dots dx_{n}+\int_{R}g(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\dots dx_{n}$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $cf\in{\cal R}(R)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\int_{R}(cf)(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\dots dx_{n}=c\int_{R}f(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\dots dx_{n}$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Se deriva de que para 
\begin_inset Formula $S\subseteq R$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $m_{S}(f)+m_{S}(g)\leq m_{S}(f+g)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M_{S}(f+g)\leq M_{S}(f)+M_{S}(g)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M_{S}(cf)=cM_{S}(f)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
También es un operador positivo.
 Sean 
\begin_inset Formula $f,g\in{\cal R}(R)$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall(x_{1},\dots,x_{n})\in R,f(x_{1},\dots,x_{n})\geq0\implies\int_{R}(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\dots dx_{n}\geq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall(x_{1},\dots,x_{n})\in R,f(x_{1},\dots,x_{n})\geq g(x_{1},\dots,x_{n})\implies\int_{R}f(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\dots dx_{n}\geq\int_{R}g(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\dots dx_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $|f|\in{\cal R}(R)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\left|\int_{R}f(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\dots dx_{n}\right|\leq\int_{R}|f(x_{1},\dots,x_{n})|dx_{1}\dots dx_{n}$
\end_inset

 (desigualdad triangular).
\end_layout

\begin_layout Standard
Definimos la 
\series bold
oscilación
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f:R\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $S\subseteq R$
\end_inset

 como
\begin_inset Formula 
\[
\text{osc}(f,S):=M_{S}(f)-m_{S}(f)=\sup\{|f(x)-f(y)|\}_{x,y\in S}
\]

\end_inset

 y la oscilación de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $x\in R$
\end_inset

 como
\begin_inset Formula 
\[
\text{osc}(f,x):=\inf\{\text{osc}(f,S\cap T)\}_{T\text{ rectángulo abierto centrado en }S}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Vemos que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\text{osc}(f,x)=0$
\end_inset

, y que para cada 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 donde 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua existe un cubo abierto 
\begin_inset Formula $C_{x}(d_{x})$
\end_inset

 centrado en 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 con diámetro 
\begin_inset Formula $d_{x}$
\end_inset

 donde la oscilación de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es menor que 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
sremember{TEM}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Toda 
\begin_inset Formula $f:(X,d)\rightarrow(Y,d')$
\end_inset

 continua, siendo 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{d})$
\end_inset

 compacto, es uniformemente continua.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
eremember
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, toda 
\begin_inset Formula $f:R\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 continua definida en un rectángulo cerrado 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-dimensional 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 es integrable Riemann en 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Conjuntos de contenido y de medida nula
\end_layout

\begin_layout Standard
Un subconjunto 
\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 tiene 
\series bold
medida
\series default
 (
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-dimensional) 
\series bold
nula
\series default
 si para cada 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe una sucesión 
\begin_inset Formula $(R_{k})_{k}$
\end_inset

 de rectángulos 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-dimensionales cerrados tal que 
\begin_inset Formula $S\subseteq\bigcup_{j=1}^{\infty}R_{j}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sum_{j=1}^{\infty}v(R_{j})<\varepsilon$
\end_inset

.
 Sustituyendo los rectángulos cerrados por rectángulos abiertos obtenemos
 el mismo concepto.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $(R_{k})_{k}$
\end_inset

 la sucesión de cerrados que cumple las propiedades y 
\begin_inset Formula $0<d<\varepsilon-\sum_{j=1}^{\infty}v(R_{j})$
\end_inset

.
 Para cada rectángulo 
\begin_inset Formula $R_{k}$
\end_inset

, tomamos un rectángulo abierto 
\begin_inset Formula $R'_{k}\supseteq R_{k}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $v(R'_{k})\leq R_{k}+\frac{d}{2^{k+1}}$
\end_inset

, y vemos que, en efecto, 
\begin_inset Formula $\sum_{j=1}^{\infty}v(R'_{j})\leq\sum_{j=1}^{\infty}v(R_{j})+\sum_{j=1}^{\infty}\frac{d}{2^{k+1}}<\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $(R_{k})_{k\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 una sucesión de rectángulos abiertos que cumple las propiedades, vemos
 que 
\begin_inset Formula $N\subseteq\bigcup_{k\in\mathbb{N}}R_{k}\subseteq\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\overline{R_{k}}$
\end_inset

 y que 
\begin_inset Formula $\sum_{j=1}^{\infty}v(\overline{R_{j}})=\sum_{j=1}^{\infty}v(R_{j})<\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, la unión numerable de conjuntos de medida nula tiene medida nula.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Consideremos 
\begin_inset Formula $\bigcup_{i=1}^{\infty}S_{i}$
\end_inset

.
 Fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, para cada 
\begin_inset Formula $i\in\mathbb{N}$
\end_inset

 utilizamos que 
\begin_inset Formula $S_{i}$
\end_inset

 es de medida nula para recubrirlo con una sucesión 
\begin_inset Formula $\{R_{ij}\}_{j\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 cuyos volúmenes suman menos que 
\begin_inset Formula $\frac{\varepsilon}{2^{i}}$
\end_inset

.
 Vemos que 
\begin_inset Formula $\{R_{ij}\}_{i,j\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 es numerable y podemos describirlo como una sucesión que recubre 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 y cuyos volúmenes suman menos que 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $\sum_{i,j=1}^{\infty}v(R_{ij})=\sum_{i=1}^{\infty}(\sum_{j=1}^{\infty}v(R_{ij}))<\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^{i}}=\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un subconjunto 
\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 tiene 
\series bold
contenido
\series default
 (
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-dimensional) 
\series bold
nulo
\series default
 si para cada 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe una familia finita de rectángulos 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-dimensionales cerrados que cumplen las mismas condiciones que los de la
 definición de medida nula.
 Es claro que todo conjunto de contenido nulo tiene medida nula.
 Como 
\series bold
teorema
\series default
, todo compacto en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 de medida nula es de contenido nulo; basta usar un cubrimiento con rectángulos
 abiertos en la definición de medida nula y extraer un subrecubrimiento
 finito por compacidad.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f:R\subseteq\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es integrable Riemann en el rectángulo cerrado 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\text{graf}(f)$
\end_inset

 tiene contenido 
\begin_inset Formula $(m+1)$
\end_inset

-dimensional nulo.
\end_layout

\begin_layout Subsection
El conjunto de Cantor
\end_layout

\begin_layout Standard
Consideremos el intervalo 
\begin_inset Formula $[0,1]$
\end_inset

, que dividimos en 3 subintervalos y eliminamos el subintervalo abierto
 central, 
\begin_inset Formula $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$
\end_inset

.
 A continuación, de cada subintervalo cerrado restante, eliminamos el subinterva
lo abierto central de longitud la tercera parte del subintervalo original.
 Repitiendo este proceso indefinidamente lo que nos queda es el 
\series bold
conjunto de Cantor
\series default
, 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

.
 Observamos que un número está en el conjunto de Cantor si y sólo si su
 representación en base 3, 
\begin_inset Formula $0.c_{1}c_{2}c_{3}\cdots c_{n}\cdots$
\end_inset

, contiene sólo los dígitos 0 y 2, teniendo en cuenta que el número puede
 también acabar por una secuencia infinita de doses.
 Teoremas:
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 es incontable, con igual cardinalidad que 
\begin_inset Formula $[0,1]$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

La función 
\begin_inset Formula $f:C\rightarrow[0,1]$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $f(0.c_{1}c_{2}\cdots c_{n}\cdots_{(3)})\coloneqq 0.\frac{c_{1}}{2}\frac{c_{2}}{2}\cdots\frac{c_{n}}{2}\cdots_{(2)}$
\end_inset

 es suprayectiva, luego 
\begin_inset Formula $|C|\geq|[0,1]|$
\end_inset

, pero es claro que 
\begin_inset Formula $|C|\leq|[0,1]|$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $|C|=|[0,1]|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 es de medida nula.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Al principio 
\begin_inset Formula $[0,1]$
\end_inset

 tiene longitud 1, y es fácil ver que si en un 
\begin_inset Quotes fld
\end_inset

paso
\begin_inset Quotes frd
\end_inset

 de la construcción el conjunto resultante tiene longitud 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, en el siguiente tendrá longitud 
\begin_inset Formula $\frac{2}{3}n$
\end_inset

.
 Por tanto la longitud de 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 no tiene puntos interiores.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Como es de medida nula no contiene puntos de acumulación, pues para ello
 debería contener intervalos, de medida no nula.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 está acotado.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 es cerrado.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Es el resultado de quitar a un cerrado (
\begin_inset Formula $[0,1]$
\end_inset

) un abierto (la unión de los abiertos eliminados en su construcción).
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 no tiene puntos aislados.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Dado 
\begin_inset Formula $x\in C$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\frac{2}{3^{n}}<\varepsilon$
\end_inset

, existe un punto, el resultado de cambiar la cifra 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-ésima de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 por un 2 si era un 0 o viceversa, cuya distancia a 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es menor que 
\begin_inset Formula $\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Dados 
\begin_inset Formula $a,b\in C$
\end_inset

 distintos, existe una partición 
\begin_inset Formula $\{A,B\}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 cerrados, 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\in B$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 la posición de una cifra (en base 3) en la que 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 difieren, basta hacer la partición según el valor de dicha cifra.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Caracterización
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 cerrado, si 
\begin_inset Formula $f:A\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es acotada y 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $B\coloneqq \{x\in A\mid \text{osc}(f,x)\geq\varepsilon\}$
\end_inset

 es cerrado.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}^{n}\backslash B$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $x\notin A$
\end_inset

, existe una bola de centro 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 que no interseca con 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $x\in A$
\end_inset

, existe un rectángulo abierto 
\begin_inset Formula $C\ni x$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{osc}(f,c)<\varepsilon$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $y\in C$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $\delta_{y}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $\Vert z-y\Vert<\delta_{y}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\Vert x-z\Vert<\delta$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\text{osc}(f,y)<\varepsilon$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $C\subseteq\mathbb{R}^{n}\backslash B$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
teorema de Lebesgue de caracterización de las funciones integrables
\series default
 afirma que si 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 es un rectángulo 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-dimensional cerrado y 
\begin_inset Formula $f:R\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es acotada, entonces 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}(R)$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $B\coloneqq \{x\in R\mid f\text{ no es continua en }x\}$
\end_inset

 tiene medida nula.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $B_{k}\coloneqq \{x\in R\mid o(f,x)\geq\frac{1}{k}\}$
\end_inset

, basta probar que cada 
\begin_inset Formula $B_{k}$
\end_inset

 tiene medida nula dado que 
\begin_inset Formula $B=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}B_{k}$
\end_inset

.
 Dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 una partición de 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $S(f,P)-s(f,P)<\frac{\varepsilon}{k}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal S}$
\end_inset

 el conjunto de subrectángulos de 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 que cortan a 
\begin_inset Formula $B_{k}$
\end_inset

 , entonces para 
\begin_inset Formula $S\in{\cal S}$
\end_inset

 se tiene 
\begin_inset Formula $M_{S}(f)-m_{S}(f)\geq\frac{1}{k}$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
\frac{1}{k}\sum_{S\in{\cal S}}v(S)\leq\sum_{S\in{\cal S}}(M_{S}(f)-m_{S}(f))v(S)\leq S(f,P)-s(f,P)<\frac{\varepsilon}{k}
\]

\end_inset

con lo que 
\begin_inset Formula $\sum_{S\in{\cal S}}v(S)<\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Fijado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $|f(x)|\leq K\forall x\in R$
\end_inset

, y tenemos que 
\begin_inset Formula $M_{N}(f)-m_{N}(f)\leq2K\forall N\subseteq R$
\end_inset

.
 Consideramos el conjunto de puntos donde 
\begin_inset Formula $\text{osc}(f,x)\geq\frac{\varepsilon}{2v(R)}$
\end_inset

, un cerrado de medida nula y por tanto un compacto de contenido nulo, que
 podemos cubrir con una cantidad finita de abiertos 
\begin_inset Formula $N_{k}$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $\sum_{k}v(N_{k})<\frac{\varepsilon}{4K}$
\end_inset

, y por tanto 
\begin_inset Formula $\sum_{k}\text{osc}(N_{k},f)v(N_{k})<2K\cdot\frac{\varepsilon}{4K}=\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

.
 Es claro que 
\begin_inset Formula $C\coloneqq R\backslash\bigcup_{k}N_{k}$
\end_inset

 es compacto, y como para cada 
\begin_inset Formula $x\in C$
\end_inset

 podemos tomar un 
\begin_inset Formula $S_{x}$
\end_inset

 abierto tal que 
\begin_inset Formula $\text{osc}(f,S_{x})<\frac{\varepsilon}{2v(R)}$
\end_inset

, existe un subrecubrimiento finito 
\begin_inset Formula $S_{x_{i}}$
\end_inset

 a partir de este, de modo que 
\begin_inset Formula $\sum_{i}\text{osc}(f,S_{x_{i}})v(S_{x_{i}})<\frac{\varepsilon}{2v(R)}\cdot v(R)=\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

 La partición 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 cuyos subintervalos están contenidos bien en un rectángulo 
\begin_inset Formula $S_{x_{i}}$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $N_{k}$
\end_inset

 cumple que 
\begin_inset Formula $S(f,P)-s(f,P)\leq\sum_{k}\text{osc}(f,N_{k})v(N_{k})+\sum_{i}\text{osc}(f,S_{x_{i}})v(S_{x_{i}})<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Conjuntos medibles Jordan
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 acotado es 
\series bold
medible Jordan
\series default
 si su 
\series bold
función característica
\series default
,
\begin_inset Formula 
\[
\chi_{A}(x):=\begin{cases}
1 & \text{si }x\in A\\
0 & \text{si }x\notin A
\end{cases}
\]

\end_inset

 es integrable Riemann en un rectángulo cerrado 
\begin_inset Formula $R\supseteq A$
\end_inset

, y se define el 
\series bold
volumen
\series default
 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-dimensional de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 como
\begin_inset Formula 
\[
v(A):=\int_{R}\chi_{A}(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Equivalentemente, 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es medible Jordan si y sólo si su frontera, 
\begin_inset Formula $\partial A=\overline{A}\backslash\mathring{A}$
\end_inset

, tiene medida nula.
 Se dice que una función acotada 
\begin_inset Formula $f:A\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es integrable Riemann en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $f\chi_{A}\in{\cal R}(R)$
\end_inset

.
 Por ejemplo, si 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 tiene contenido nulo y 
\begin_inset Formula $f:N\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es acotada, entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es integrable Riemann en 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\int_{N}f(x)dx=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Teorema de Fubini
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{sloppypar}
\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $R_{1}\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $R_{2}\subseteq\mathbb{R}^{m}$
\end_inset

 rectángulos cerrados de dimensiones respectivas 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $R=R_{1}\times R_{2}\subseteq\mathbb{R}^{n+m}$
\end_inset

 un rectángulo cerrado 
\begin_inset Formula $(n+m)$
\end_inset

-dimensional y 
\begin_inset Formula $f:R\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 una función acotada.
 Para cada 
\begin_inset Formula $x\in R_{1}$
\end_inset

 definimos 
\begin_inset Formula $lf_{x}:R_{2}\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $lf_{x}(y)\coloneqq f(x,y)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $s_{lf}(x)\coloneqq \underline{\int_{R_{2}}}lf_{x}(y_{1},\dots,y_{m})dy_{1}\cdots dy_{m}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S_{lf}(x)\coloneqq \overline{\int_{R_{2}}}lf_{x}(y_{1},\dots,y_{m})dy_{1}\cdots dy_{m}$
\end_inset

, y para cada 
\begin_inset Formula $y\in R_{2}$
\end_inset

 definimos 
\begin_inset Formula $rf_{y}(x)\coloneqq f(x,y)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $s_{rf}(y)\coloneqq \int_{R_{1}}rf_{y}(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{m}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S_{rf}(y)\coloneqq \overline{\int_{R_{1}}}rf_{y}(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{m}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $f\in{\cal R}(R)$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $s_{lf},S_{lf}\in{\cal R}(R_{1})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $s_{rf},S_{rf}\in{\cal R}(R_{2})$
\end_inset

 y
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{sloppypar}
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\int_{R}f(x_{1},\dots,x_{n},y_{1},\dots,y_{m})dx_{1}\cdots dx_{n}dy_{1}\cdots dy_{m}=\\
=\int_{R_{1}}s_{lf}(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}=\int_{R_{1}}S_{lf}(x_{1},\dots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}=\\
=\int_{R_{2}}s_{rf}(y_{1},\dots,y_{m})dy_{1}\cdots dy_{m}=\int_{R_{2}}S_{rf}(y_{1},\dots,y_{m})dy_{1}\cdots dy_{m}
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
En la práctica esto significa que
\begin_inset Formula 
\[
\int_{R}f(\vec{x},\vec{y})d\vec{x}d\vec{y}=\int_{R_{1}}\left(\int_{R_{2}}f(\vec{x},\vec{y})d\vec{y}\right)d\vec{x}=\int_{R_{2}}\left(\int_{R_{1}}f(\vec{x},\vec{y})d\vec{x}\right)d\vec{y}
\]

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $d\vec{x}\coloneqq dx_{1}\cdots dx_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d\vec{y}\coloneqq dy_{1}\cdots dy_{m}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
sremember{FUVR2}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Cálculo de primitivas
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int u^{n}u'\,dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\forall n\neq-1$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{u}dx=\ln|u|+C\forall u\neq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int e^{u}u'\,dx=e^{u}+C$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\int a^{u}u'\,dx=\frac{a^{u}}{\ln a}+C\forall a>0,a\neq1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\cos u\,u'\,dx=\sin u+C$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\int\sin u\,u'\,dx=-\cos u+C$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\cosh u\,u'\,dx=\sinh u+C$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\int\sinh u\,u'\,dx=\cosh u+C$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{\sin^{2}u}dx=\int\frac{u'}{\sinh^{2}u}dx=-\cot u+C$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{\cos^{2}u}dx=\int\frac{u'}{\cosh^{2}u}dx=\tan u+C$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{1+u^{2}}dx=\arctan u+C$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{1-u^{2}}dx=\arg\tanh u+C$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}dx=\arcsin u+C=-\arccos u+C'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{\sqrt{u^{2}+1}}dx=\arg\sinh u+C$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\int\frac{u'}{\sqrt{u^{2}-1}}dx=\arg\cosh u+C$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} &  & \arg\cosh(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}-1})\\
\sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} &  & \arg\sinh(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})\\
\cosh^{2}(x)-\sinh^{2}(x)=1 &  & \arg\tanh(x)=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Integración por partes
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $f,g\in{\cal R}[a,b]$
\end_inset

 con primitivas respectivas 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{b}Fg=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{a}^{b}fG
\]

\end_inset

lo que suele escribirse como 
\begin_inset Formula $\int u\,dv=uv-\int v\,du$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Cambio de variable
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, sea 
\begin_inset Formula $\varphi:[c,d]\rightarrow[a,b]\in{\cal C}^{1}[c,d]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\varphi(c)=a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\varphi(d)=b$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 continua, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{b}f=\int_{c}^{d}(f\circ\varphi)\varphi'
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Funciones racionales
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $P(x)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q(x)$
\end_inset

 polinomios y queremos resolver 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}\frac{P(x)}{Q(x)}dx$
\end_inset

.
 Si el grado de 
\begin_inset Formula $P(x)$
\end_inset

 es mayor o igual que el de 
\begin_inset Formula $Q(x)$
\end_inset

 hacemos 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}\frac{P(x)}{Q(x)}dx=\int C(x)dx+\int\frac{R(x)}{Q(x)}dx$
\end_inset

 para que el grado del numerador sea menor que el del denominador.
 Entonces descomponemos en fracciones simples.
\end_layout

\begin_layout Standard
Descomponemos 
\begin_inset Formula $Q(x)$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $Q(x)=\prod_{i=1}^{r}(x-a_{i})^{m_{i}}\prod_{i=1}^{s}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{n_{i}}$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $q_{i}>\frac{p_{i}^{2}}{4}$
\end_inset

 para que los factores sean irreducibles.
 Entonces (si el grado de 
\begin_inset Formula $P(x)$
\end_inset

 es menor que el de 
\begin_inset Formula $Q(x)$
\end_inset

) podemos expresar la fracción como
\begin_inset Formula 
\[
\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{m_{i}}\frac{A_{ij}}{(x-a_{i})^{j}}+\sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{n_{i}}\frac{M_{ij}x+N_{ij}}{(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{j}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Resolvemos los 
\begin_inset Formula $A_{k,i}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M_{k,i}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N_{k,i}$
\end_inset

 y nos queda hallar la integral de cada sumando como sigue:
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\frac{A}{x-a}dx=A\ln|x-a|+C$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\frac{A}{(x-a)^{n}}dx=-\frac{A}{(n-1)(x-a)^{n-1}}+C$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $n\in2,3,\dots$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\int\frac{Mx+N}{x^{2}+px+q}dx=\frac{M}{2}\ln\left(\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}+c^{2}\right)+\frac{N-\frac{Mp}{2}}{c}\arctan\left(\frac{x+\frac{p}{2}}{c}\right)+C$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $c=\frac{\sqrt{4q-p^{2}}}{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Funciones que contienen 
\begin_inset Formula $\cos x$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sin x$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
En general, haremos 
\begin_inset Formula $t=\tan\frac{x}{2}$
\end_inset

 y entonces
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\cos x=\frac{\cos(2\frac{x}{2})}{\sin^{2}\frac{x}{2}+\cos^{2}\frac{x}{2}}=\frac{\cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2}}{\sin^{2}\frac{x}{2}+\cos^{2}\frac{x}{2}} & \overset{\text{div. }\cos^{2}\frac{x}{2}}{=} & \frac{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}{\tan^{2}\frac{x}{2}+1}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\\
\sin x=\frac{\sin(2\frac{x}{2})}{\sin^{2}\frac{x}{2}+\cos^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\sin^{2}\frac{x}{2}+\cos^{2}\frac{x}{2}} & \overset{\text{div. }\cos^{2}\frac{x}{2}}{=} & \frac{2\tan\frac{x}{2}}{\tan^{2}\frac{x}{2}+1}=\frac{2t}{1+t^{2}}\\
x=2\arctan t & \text{ y } & dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si la función es de la forma 
\begin_inset Formula $f(x)=g(\sin x)\cos x$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 una función racional, hacemos 
\begin_inset Formula $t=\sin x$
\end_inset

, y si es 
\begin_inset Formula $f(x)=g(\cos x)\sin x$
\end_inset

 hacemos 
\begin_inset Formula $t=\cos x$
\end_inset

.
 Si es 
\begin_inset Formula $f(x)=g(\tan x)$
\end_inset

 hacemos 
\begin_inset Formula $\tan x=t$
\end_inset

, y podemos llegar a esta situación cuando al sustituir 
\begin_inset Formula $\sin x$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $\cos x\tan x$
\end_inset

 quedan solo potencias pares de 
\begin_inset Formula $\cos x$
\end_inset

, y hacemos 
\begin_inset Formula $\cos^{2}x=\frac{1}{1+\tan^{2}x}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
En el caso 
\begin_inset Formula $f(x)=\cos^{n}x\sin^{m}x$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 es impar hacemos 
\begin_inset Formula $t=\sin x$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 es impar, 
\begin_inset Formula $t=\cos x$
\end_inset

, y si ambos son pares, usamos 
\begin_inset Formula $\cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

reducir el grado
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Funciones de la forma 
\begin_inset Formula $f(e^{x})$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Hacemos el cambio 
\begin_inset Formula $t=e^{x}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $dt=e^{x}dx$
\end_inset

, y esto también sirve para el coseno y seno hiperbólicos (
\begin_inset Formula $\cosh$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sinh$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Subsection
Funciones que contienen 
\begin_inset Formula $\sqrt{ax^{2}+2bx+c}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\begin_inset Formula $d\coloneqq \frac{ac-b^{2}}{a}$
\end_inset

 y se tiene 
\begin_inset Formula $ax^{2}+2bx+c=a\left(x+\frac{b}{a}\right)^{2}+d$
\end_inset

.
 Hacemos entonces el cambio de variable 
\begin_inset Formula $t=x+\frac{b}{a}$
\end_inset

 y a continuación:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $a>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d>0$
\end_inset

 hacemos 
\begin_inset Formula $at^{2}=d\tan^{2}u$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $\sqrt{at^{2}+d}=[...]\sqrt{d}\sec u$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $dt=\sqrt{\frac{d}{a}}\sec^{2}u\,du$
\end_inset

.
 También podemos hacer 
\begin_inset Formula $at^{2}=d\sinh^{2}u$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $\sqrt{at^{2}+d}=[...]\sqrt{d}\cosh u$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $dt=\sqrt{\frac{d}{a}}\cosh u\,du$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $a>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d<0$
\end_inset

 hacemos 
\begin_inset Formula $at^{2}=-d\sec^{2}u$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $\sqrt{at^{2}+d}=[...]\sqrt{-d}\tan u$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $dt=\sqrt{-\frac{d}{a}}\sec u\tan u\,du$
\end_inset

.
 También podemos hacer 
\begin_inset Formula $at^{2}=-d\cosh^{2}u$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $\sqrt{at^{2}+d}=[...]\sqrt{-d}\sinh u$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $dt=\sqrt{-\frac{d}{a}}\sinh u\,du$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $a<0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d>0$
\end_inset

 hacemos 
\begin_inset Formula $at^{2}=-d\sin^{2}u$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $\sqrt{at^{2}+d}=[..]\sqrt{d}\cos u$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $dt=\sqrt{-\frac{d}{a}}\cos u\,du$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
eremember
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Cambio de variable
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 un abierto y 
\begin_inset Formula $T:\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
jacobiano
\series default
 de 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $a\in\Omega$
\end_inset

 a la matriz cuadrada asociada a 
\begin_inset Formula $dT(a)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\left(\frac{\partial T_{i}}{\partial x_{j}}(a)\right)_{ij}$
\end_inset

.
 El 
\series bold
teorema de cambio de variable
\series default
 afirma que si 
\begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 es un abierto medible Jordan y 
\begin_inset Formula $T:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 es una función inyectiva diferenciable con derivadas parciales continuas
 tal que 
\begin_inset Formula $\forall x\in\Omega,\det(dg(x))\neq0$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $f:T(\Omega)\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es integrable Riemann en 
\begin_inset Formula $T(\Omega)$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f\circ T$
\end_inset

 es integrable Riemann en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
\int_{g(A)}f(\vec{x})d\vec{x}=\int f(T(\vec{y}))|\det(dg(\vec{y}))|d\vec{y}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Algunos cambios de variable importantes:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Coordenadas polares
\series default
 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

: Los puntos vienen dados por la distancia al origen, y el ángulo entre
 el eje OX y el vector desde el origen al punto.
 La función de cambio de variable es 
\begin_inset Formula $T(\rho,\theta)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)$
\end_inset

, inyectiva en cualquier banda de la forma 
\begin_inset Formula $(0,+\infty)\times(a,b)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $b-a\leq2\pi$
\end_inset

, y
\begin_inset Formula 
\[
|dT(\rho,\theta)|=\left|\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\rho\sin\theta\\
\sin\theta & \rho\cos\theta
\end{array}\right|=\rho
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Coordenadas cilíndricas
\series default
 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

: Los puntos vienen dados por las coordenadas de 
\begin_inset Formula $(x,y)$
\end_inset

 en polares y la coordenada 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

.
 La función de cambio es 
\begin_inset Formula $T(\rho,\theta,z)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)$
\end_inset

, inyectiva en cualquier banda de la forma 
\begin_inset Formula $(0,+\infty)\times(a,b)\times\mathbb{R}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $b-a\leq2\pi$
\end_inset

, y
\begin_inset Formula 
\[
|dT(\rho,\theta,z)|=\left|\begin{array}{ccc}
\cos\theta & -\rho\sin\theta & 0\\
\sin\theta & \rho\cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right|=\rho
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Coordenadas esféricas
\series default
 o 
\series bold
polares
\series default
 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

: Los puntos vienen dados por la distancia al origen; el ángulo entre el
 eje OX y la proyección en el plano XY del vector del origen al punto, y
 el ángulo entre el eje OZ y el vector del origen al punto.
 La función de cambio es 
\begin_inset Formula $T(\rho,\theta,\varphi)=(\rho\cos\theta\sin\varphi,\rho\sin\theta\sin\varphi,\rho,\rho\cos\varphi)$
\end_inset

, inyectiva en cualquier banda de la forma 
\begin_inset Formula $(0,+\infty)\times(a,b)\times(0,\pi)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $b-a\leq2\pi$
\end_inset

, y
\begin_inset Formula 
\[
|dT(\rho,\theta,\varphi)|=\left|\begin{array}{ccc}
\cos\theta\sin\varphi & -\rho\sin\theta\sin\varphi & \rho\cos\theta\cos\varphi\\
\sin\theta\sin\varphi & \rho\cos\theta\sin\varphi & \rho\sin\theta\cos\varphi\\
\cos\varphi & 0 & -\rho\sin\varphi
\end{array}\right|=\rho^{2}\sin\varphi
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
La integral de Riemann-Stieltjes
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $f,\varphi:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P=\{a=t_{0}<\dots<t_{n}=b\}$
\end_inset

 una partición del intervalo, llamamos 
\series bold
suma de Riemann-Stieltjes
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 con respecto a 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 asociada a la partición 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 a cualquier suma de la forma
\begin_inset Formula 
\[
R(f,\varphi,P,\{\xi_{i}\})=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\varphi(t_{i})-\varphi(t_{i-1}))
\]

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $\xi_{i}\in[t_{i-1},t_{i}]\forall i\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

.
 Si existe el límite de estas sumas cuando 
\begin_inset Formula $|P|\coloneqq \sup\{t_{i}-t_{i-1}\}_{i=1}^{n}$
\end_inset

 tiende a 0 se dice que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es 
\series bold
integrable en el sentido de Riemann-Stieltjes
\series default
 con respecto a 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 en el intervalo 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

, y a este límite lo llamamos 
\series bold
integral de Riemann-Stieltjes
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 con respecto a 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

, denotado como
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{b}f(x)d\varphi(x)=\int_{a}^{b}f\,d\varphi
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Vemos que si 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 es la identidad entonces la integral es exactamente la de Riemann.
 Denotamos 
\begin_inset Formula $\lambda_{\varphi}([a,b])\coloneqq \varphi(b)-\varphi(a)$
\end_inset

.
 Para que esta medida sea positiva es necesario que 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 sea creciente.
 Una función 
\begin_inset Formula $\varphi:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es 
\series bold
continua por la derecha
\series default
 en 
\begin_inset Formula $c\in D$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\lim_{x\rightarrow c^{+}}\varphi(x)=\varphi(c)$
\end_inset

.
 Si se quiere que 
\begin_inset Formula $\lambda_{\varphi}$
\end_inset

 se comporte bien al hacer uniones crecientes o intersecciones decrecientes
 de intervalos, es necesario que 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 sea continua por la derecha.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es integrable Riemann-Stieltjes con respecto a 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall P,Q\in[a,b],(|P|,|Q|<\delta\implies|R(f,\varphi,P)-R(f,\varphi,Q)|<\varepsilon)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Dado 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $|P|<\delta$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\left|R(f,\varphi,P)-\int_{a}^{b}f\,d\varphi\right|<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

, pero si 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 son son particiones de 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $|P|,|Q|<\delta$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
|R(f,\varphi,P)-R(f,\varphi,Q)|\leq\left|R(f,\varphi,P)-\int_{a}^{b}f\,d\varphi\right|+\left|\int_{a}^{b}f\,d\varphi-R(f,\varphi,Q)\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Dada una sucesión de particiones 
\begin_inset Formula $(P_{k})_{k}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $|P_{k}|\rightarrow0$
\end_inset

, por la condición se tiene que 
\begin_inset Formula $(R(f,\varphi,P_{k}))_{k}$
\end_inset

 es de Cauchy y por tanto converge hacia un 
\begin_inset Formula $I\in\mathbb{R}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 es monótona creciente definida en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es integrable Riemann-Stieltjes respecto a 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Al ser 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 continua en un compacto, es uniformemente continua, luego para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $|x-y|<\delta$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{\varphi(b)-\varphi(a)}$
\end_inset

.
 Sean 
\begin_inset Formula $P\coloneqq \{a=x_{0}<\dots<x_{n}=b\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q\coloneqq \{a=y_{0}<\dots<y_{m}=b\}$
\end_inset

 particiones con 
\begin_inset Formula $|P|,|Q|<\frac{\delta}{2}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P\lor Q=:\{a=t_{0}<\dots<t_{p}=b\}$
\end_inset

, podemos escribir las sumas de Riemann-Stieltjes asociadas a 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $R(f,\varphi,P)=\sum_{i=1}^{n}f(\chi_{i})(\varphi(x_{i})-\varphi(x_{i-1}))=\sum_{j=1}^{p}f(\chi_{j}^{*})(\varphi(t_{j})-\varphi(t_{j-1}))$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $R(f,\varphi,Q)=\sum_{k=1}^{m}f(\eta_{i})(\varphi(y_{k})-\varphi(y_{k-1}))=\sum_{j=1}^{p}f(\eta_{j}^{*})(\varphi(t_{j})-\varphi(t_{j-1}))$
\end_inset

, respectivamente, donde 
\begin_inset Formula $\chi_{j}^{*}=\chi_{i}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $[t_{j-1},t_{j}]\subseteq[x_{i-1},x_{i}]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\eta_{j}^{*}=\eta_{k}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $[t_{j-1},t_{j}]\subseteq[y_{k-1},y_{k}]$
\end_inset

.
 De aquí, 
\begin_inset Formula $|\chi_{j}^{*}-\eta_{j}^{*}|\leq|\chi_{j}^{*}-t_{j}|+|t_{j}-\eta_{j}^{*}|<\frac{\delta}{2}+\frac{\delta}{2}=\delta$
\end_inset

, y con esto 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
|R(f,\varphi,P)-R(f,\varphi,Q)|\leq\sum_{j=1}^{p}|f(\chi_{j}^{*})-f(\eta_{j}^{*})|(\varphi(t_{j})-\varphi(t_{j-1}))<\\
<\sum_{j=1}^{p}\frac{\varepsilon}{\varphi(b)-\varphi(a)}(\varphi(t_{j})-\varphi(t_{j-1}))=\frac{\varepsilon}{\varphi(b)-\varphi(a)}(\varphi(b)-\varphi(a))=\varepsilon
\end{multline*}

\end_inset

Por tanto si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 es una función creciente de clase 
\begin_inset Formula ${\cal C}^{1}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

, se cumple que
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{b}f(x)d\varphi(x)=\int_{a}^{b}f(x)\varphi'(x)dx
\]

\end_inset

 Propiedades: Dadas 
\begin_inset Formula $f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 integrables Riemann-Stieltjes en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 respecto a 
\begin_inset Formula $\varphi,\psi:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{R}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}(\lambda f)d\varphi=\int_{a}^{b}f\,d(\lambda\varphi)=\lambda\int_{a}^{b}f\,d\varphi$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}(f+g)d\varphi=\int_{a}^{b}f\,d\varphi+\int_{a}^{b}g\,d\varphi$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f(t)\geq g(t)\forall t\in[a,b]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 es monótona creciente, 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f\,d\varphi\geq\int_{a}^{b}g\,d\varphi$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f\,d(\varphi+\psi)=\int_{a}^{b}f\,d\varphi+\int_{a}^{b}f\,d\psi$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $c\in(a,b)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{c}f\,d\varphi+\int_{c}^{b}f\,d\varphi=\int_{a}^{b}f\,d\varphi$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
integración por partes
\series default
 en Riemann-Stieltjes se basa en que, si existe 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}f\,d\varphi$
\end_inset

 entonces también existe 
\begin_inset Formula $\int_{a}^{b}\varphi\,df$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{b}\varphi\,df=(f(b)\varphi(b)-f(a)\varphi(a))-\int_{a}^{b}f\,d\varphi
\]

\end_inset


\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $P=\{a=t_{0}<\dots<t_{n}=b\}$
\end_inset

 una partición de 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\xi_{i}\in[t_{i-1},t_{i}]\forall i\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $Q=\{a=\xi_{0}<\dots<\xi_{n}<\xi_{n+1}=b\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x_{1}\coloneqq t_{0}=a\in[\xi_{0},\xi_{1}]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x_{i}\coloneqq t_{i-1}\in[\xi_{i-1},\xi_{i}]\forall i\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x_{n+1}\coloneqq t_{n}=b\in[\xi_{n},\xi_{n+1}]$
\end_inset

.
 Entonces
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
R(\varphi,f,P,\{\xi_{i}\})=\sum_{i=1}^{n}\varphi(\xi_{i})(f(t_{i})-f(t_{i-1}))=\sum_{i=1}^{n}f(t_{i})\varphi(\xi_{i})-\sum_{i=1}^{n}f(t_{i-1})\varphi(\xi_{i})=\\
=\sum_{i=1}^{n-1}f(t_{i})\varphi(\xi_{i})+f(b)\varphi(b)-f(a)\varphi(\xi_{1})-\sum_{i=2}^{n}f(t_{i-1})\varphi(\xi_{i})=\\
=f(b)\varphi(b)-f(a)\varphi(a)-f(a)(\varphi(\xi_{1})-\varphi(a))+\sum_{i=2}^{n}f(x_{i})\varphi(\xi_{i-1})-\sum_{i=2}^{n}f(x_{i})\varphi(\xi_{i})=\\
=f(b)\varphi(b)-f(a)\varphi(a)-\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})(\varphi(\xi_{i})-\varphi(\xi_{i-1}))=f(b)\varphi(b)-f(a)\varphi(a)-R(f,\varphi,Q,\{x_{i}\})
\end{multline*}

\end_inset

Basta pues tomar límites en esta última expresión cuando 
\begin_inset Formula $|Q|\leq2|P|\rightarrow0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_body
\end_document