#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 544 \begin_document \begin_header \save_transient_properties true \origin unavailable \textclass book \use_default_options true \maintain_unincluded_children false \language spanish \language_package default \inputencoding auto \fontencoding global \font_roman "default" "default" \font_sans "default" "default" \font_typewriter "default" "default" \font_math "auto" "auto" \font_default_family default \use_non_tex_fonts false \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 100 \font_tt_scale 100 100 \use_microtype false \use_dash_ligatures true \graphics default \default_output_format default \output_sync 0 \bibtex_command default \index_command default \paperfontsize default \spacing single \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_package amsmath 1 \use_package amssymb 1 \use_package cancel 1 \use_package esint 0 \use_package mathdots 1 \use_package mathtools 1 \use_package mhchem 1 \use_package stackrel 1 \use_package stmaryrd 1 \use_package undertilde 1 \cite_engine basic \cite_engine_type default \biblio_style plain \use_bibtopic false \use_indices false \paperorientation portrait \suppress_date false \justification true \use_refstyle 1 \use_minted 0 \index Index \shortcut idx \color #008000 \end_index \secnumdepth 3 \tocdepth 3 \paragraph_separation indent \paragraph_indentation default \is_math_indent 0 \math_numbering_side default \quotes_style french \dynamic_quotes 0 \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \tracking_changes false \output_changes false \html_math_output 0 \html_css_as_file 0 \html_be_strict false \end_header \begin_body \begin_layout Section \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -álgebras \end_layout \begin_layout Standard Un \series bold álgebra de partes \series default de \begin_inset Formula $\Omega\neq\emptyset$ \end_inset es un conjunto no vacío \begin_inset Formula ${\cal A}\subseteq{\cal P}(\Omega)$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $A\in{\cal A}\implies A^{\complement}\in{\cal A}$ \end_inset y \begin_inset Formula $A,B\in{\cal A}\implies A\cup B\in{\cal A}$ \end_inset . Así, \begin_inset Formula $\Omega=A\cup A^{\complement}\in{\cal A}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\emptyset=\Omega^{\complement}\in{\cal A}$ \end_inset , \begin_inset Formula $A\cap B=(A^{\complement}\cup B^{\complement})^{\complement}\in{\cal A}$ \end_inset , \begin_inset Formula $A\backslash B=A\cap B^{\complement}\in{\cal A}$ \end_inset y \begin_inset Formula $A\Delta B\coloneqq(A\backslash B)\cup(B\backslash A)\in{\cal A}$ \end_inset (diferencia simétrica). \end_layout \begin_layout Standard Una \series bold \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -álgebra de partes \series default de \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset es un álgebra \begin_inset Formula $\Sigma\subseteq{\cal P}(\Omega)$ \end_inset tal que si \begin_inset Formula $\{A_{n}\}_{n}\subseteq\Sigma$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\in\Sigma$ \end_inset , y entonces \begin_inset Formula $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}A_{n}=\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_{n}^{\complement}\right)^{\complement}\in\Sigma$ \end_inset . Para que un álgebra \begin_inset Formula ${\cal A}$ \end_inset sea una \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -álgebra basta que la condición adicional se cumpla para sucesiones crecientes ( \begin_inset Formula $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq\dots$ \end_inset ), pues si \begin_inset Formula $A_{n}\in{\cal A}\forall n\in\mathbb{N}$ \end_inset , tomando la sucesión creciente \begin_inset Formula $U_{n}\coloneqq\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}$ \end_inset , vemos que \begin_inset Formula $A\coloneqq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}U_{n}\in{\cal A}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard La mínima \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -álgebra de partes de \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset es \begin_inset Formula $\{\emptyset,\Omega\}$ \end_inset , la \series bold \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -álgebra trivial \series default , y la máxima es \begin_inset Formula ${\cal P}(\Omega)$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset es infinito, la familia formada por los subconjuntos finitos de \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset y sus complementarios es una \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -álgebra, al igual que la formada por los subconjuntos numerables y sus complementarios si \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset es infinito no numerable. \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $\{\Sigma_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\neq\emptyset$ \end_inset es un conjunto de álgebras, su intersección \begin_inset Formula $\Sigma\coloneqq\bigcap_{\alpha\in A}\Sigma_{\alpha}$ \end_inset es un álgebra, y si los \begin_inset Formula $\Sigma_{\alpha}$ \end_inset son todos \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -álgebras la intersección también lo es, sin más que aplicar la definición en cada álgebra del conjunto. Así, llamamos \series bold \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -álgebra generada \series default por \begin_inset Formula ${\cal D}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\sigma({\cal D})$ \end_inset , a la mínima \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -álgebra que contiene a \begin_inset Formula ${\cal D}$ \end_inset , es decir, la intersección de todas ellas. \end_layout \begin_layout Standard Sea \begin_inset Formula $T$ \end_inset un espacio topológico, llamando \begin_inset Formula ${\cal J}$ \end_inset , \begin_inset Formula ${\cal F}$ \end_inset , \begin_inset Formula ${\cal K}$ \end_inset a las familias formadas, respectivamente, por los abiertos, cerrados y compactos de \begin_inset Formula $T$ \end_inset , llamamos \series bold \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -álgebra de Borel \series default de \begin_inset Formula $T$ \end_inset a \begin_inset Formula ${\cal B}(T)\coloneqq\sigma({\cal J})=\sigma({\cal F})$ \end_inset , y sus elementos son los \series bold conjuntos de Borel \series default . Si \begin_inset Formula $T$ \end_inset es un abierto en \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset , \begin_inset Formula ${\cal B}(T)=\sigma({\cal K})$ \end_inset , pues cada abierto es unión numerable de compactos. \end_layout \begin_layout Standard Dados \begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{R}^{n}$ \end_inset , escribimos \begin_inset Formula $a0\forall i\in\{1,\dots,n\}$ \end_inset , se dice que el intervalo es un \series bold cubo \series default \begin_inset Formula $n$ \end_inset -dimensional de lado \begin_inset Formula $\delta$ \end_inset . \begin_inset Formula $[a,b)\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset es un \series bold cubo diádico semiabierto \series default de orden \begin_inset Formula $q\in\mathbb{N}$ \end_inset si su lado es \begin_inset Formula $2^{-q}$ \end_inset y para cada \begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$ \end_inset existe \begin_inset Formula $m_{i}\in\mathbb{Z}$ \end_inset con \begin_inset Formula $a_{i}=m_{i}2^{-q}$ \end_inset . Fijado \begin_inset Formula $q$ \end_inset , cada punto de \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset está en un único cubo diádico semiabierto de orden \begin_inset Formula $q$ \end_inset , y si \begin_inset Formula $q0\}$ \end_inset es numerable. \end_layout \begin_layout Standard Propiedades de un espacio de medida: \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Monotonía \series default : Para \begin_inset Formula $A,B\in\Sigma$ \end_inset con \begin_inset Formula $A\subseteq B$ \end_inset , \begin_inset Formula $\mu(A)\leq\mu(B)$ \end_inset , y si además \begin_inset Formula $\mu(B)<+\infty$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $\mu(B\backslash A)=\mu(B)-\mu(A)$ \end_inset . \begin_inset Formula \[ B=A\cup(B\backslash A)\implies\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\backslash A)\geq\mu(A) \] \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Subaditividad \series default : Para \begin_inset Formula $\{A_{n}\}_{n}\subseteq\Sigma$ \end_inset , \begin_inset Formula $\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n})\leq\sum_{n}\mu(A_{n})$ \end_inset . \begin_inset Newline newline \end_inset Si llamamos \begin_inset Formula $B_{1}\coloneqq A_{1}$ \end_inset y \begin_inset Formula $B_{n}\coloneqq A_{n}\backslash\bigcup_{k=1}^{n-1}A_{k}$ \end_inset para \begin_inset Formula $n>1$ \end_inset , nos queda una sucesión \begin_inset Formula $\{B_{n}\}_{n}\subseteq\Sigma$ \end_inset de elementos disjuntos con \begin_inset Formula $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_{n}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}$ \end_inset , y usando la monotonía, \begin_inset Formula $\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n})=\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_{n})=\sum_{n}\mu(B_{n})\leq\sum_{n}\mu(A_{n})$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Continuidad superior \series default : Si \begin_inset Formula $\{A_{n}\}_{n}\subseteq\Sigma$ \end_inset es creciente ( \begin_inset Formula $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq\dots$ \end_inset ), \begin_inset Formula $\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n})=\lim_{n}\mu(A_{n})$ \end_inset . \begin_inset Newline newline \end_inset Construyendo \begin_inset Formula $(B_{n})_{n}$ \end_inset como en la prueba anterior, tenemos \begin_inset Formula $B_{n}=A_{n}\backslash A_{n-1}$ \end_inset para \begin_inset Formula $n>1$ \end_inset y \begin_inset Formula $A_{n}=\bigcup_{k=1}^{n}B_{k}$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n})=\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_{n})=\sum_{n}\mu(B_{n})=\lim_{n}\sum_{k=1}^{n}\mu(B_{k})=\lim_{n}\mu(\bigcup_{k=1}^{n}B_{k})=\lim_{n}\mu(A_{n})$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Continuidad inferior \series default : Si \begin_inset Formula $\{A_{n}\}_{n}\subseteq\Sigma$ \end_inset es decreciente ( \begin_inset Formula $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq\dots$ \end_inset ) con \begin_inset Formula $\mu(A_{m})<+\infty$ \end_inset para algún \begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $\mu(\bigcap_{n}A_{n})=\lim_{n}\mu(A_{n})$ \end_inset . \begin_inset Newline newline \end_inset Basta aplicar la continuidad superior a la sucesión creciente \begin_inset Formula $(A_{m}\backslash A_{n+m})_{n}$ \end_inset , pues \begin_inset Formula \begin{multline*} \mu\left(\bigcap_{n}A_{n}\right)=\mu\left(A_{m}\backslash\bigcup_{n}(A_{m}\backslash A_{n+m})\right)=\mu(A_{m})-\mu\left(\bigcup_{n}(A_{m}\backslash A_{n+m})\right)=\\ =\mu(A_{m})-\lim_{n}\mu(A_{m}\backslash A_{n+m})=\mu(A_{m})-(\mu(A_{m})-\lim_{n}\mu(A_{n+m}))=\lim_{n}\mu(A_{n+m}) \end{multline*} \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Medida exterior de Lebesgue \end_layout \begin_layout Standard Una \series bold medida exterior \series default sobre \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset es una función \begin_inset Formula $\mu^{*}:{\cal P}(\Omega)\rightarrow[0,+\infty]$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\mu^{*}(\emptyset)=0$ \end_inset , \begin_inset Formula $A\subseteq B\implies\mu^{*}(A)\leq\mu^{*}(B)$ \end_inset y si \begin_inset Formula $\{A_{n}\}_{n}$ \end_inset es una sucesión de subconjuntos de \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $\mu^{*}(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n})\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu^{*}(A_{n})$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Definimos la \series bold medida exterior \begin_inset Formula $n$ \end_inset -dimensional de Lebesgue \series default de un subconjunto \begin_inset Formula $B\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset como \begin_inset Formula \[ \lambda_{n}^{*}(B):=\inf\left\{ \sum_{k\in\mathbb{N}}v([a_{k},b_{k}))\mid B\subseteq\dot{\bigcup_{k\in\mathbb{N}}}[a_{k},b_{k})\right\} \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default : \end_layout \begin_layout Enumerate Cada conjunto \begin_inset Formula $N\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset de medida nula tiene medida exterior 0. \end_layout \begin_layout Enumerate Para cada rectángulo \begin_inset Formula $n$ \end_inset -dimensional \begin_inset Formula $R$ \end_inset , \begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(R)=v(R)$ \end_inset . \end_layout \begin_deeper \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\leq]$ \end_inset \end_layout \end_inset Como el borde de \begin_inset Formula $R$ \end_inset tiene medida nula, si los extremos de \begin_inset Formula $R$ \end_inset son \begin_inset Formula $a0$ \end_inset usando \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{\infty}$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $\bigcup_{j=1}^{p}R_{j}$ \end_inset está cubierto por una unión numerable de rectángulos semiabiertos \begin_inset Formula $[a_{k},b_{k})$ \end_inset con \begin_inset Formula $\sum_{k}v([a_{k},b_{k}))\leq\lambda_{n}^{*}(\bigcup_{j=1}^{p}R_{j})+\varepsilon$ \end_inset , podemos suponer que los lados de estos son menores que \begin_inset Formula $\delta$ \end_inset y por tanto solo pueden cortan a uno de los \begin_inset Formula $R_{j}$ \end_inset . Usando el apartado anterior, \begin_inset Formula \begin{multline*} \sum_{j=1}^{p}\lambda_{n}^{*}(R_{j})=\sum_{j=1}^{p}v(R_{j})\leq\sum_{j=1}^{p}\sum_{[a_{k},b_{k})\cap R_{j}\neq\emptyset}v([a_{k},b_{k}))\leq\\ \leq\sum_{k}v([a_{k},b_{k}))\leq\lambda_{n}^{*}\left(\bigcup_{j=1}^{p}R_{j}\right)+\varepsilon \end{multline*} \end_inset y haciendo tender \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset a 0 obtenemos \begin_inset Formula $\sum_{j=1}^{p}\lambda_{n}^{*}(R_{j})\leq\lambda_{n}^{*}(\bigcup_{j=1}^{p}R_{j})$ \end_inset . \end_layout \end_deeper \begin_layout Standard Para \begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset existe un abierto \begin_inset Formula $A\supseteq S$ \end_inset con \begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A)\leq\lambda_{n}^{*}(S)+\varepsilon$ \end_inset , y por tanto \begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(S)=\inf\{\lambda_{n}^{*}(A)\mid A\supseteq S\text{ abierto}\}$ \end_inset . \series bold Demostración: \series default Sea \begin_inset Formula $([a_{k},b_{k}))_{k}$ \end_inset una sucesión de rectángulos semiabiertos disjuntos dos a dos con \begin_inset Formula $S\subseteq\bigcup_{k=1}^{+\infty}[a_{k},b_{k})$ \end_inset y \begin_inset Formula $\sum_{k=1}^{+\infty}[a_{k},b_{k})<\lambda_{n}^{*}(S)+\frac{\varepsilon}{2}$ \end_inset . Para cada \begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$ \end_inset , existe un rectángulo abierto \begin_inset Formula $(a'_{k},b_{k})$ \end_inset con \begin_inset Formula $v((a'_{k},b_{k}))0,\exists A_{\varepsilon}:(M'\subseteq A_{\varepsilon}\land\lambda_{n}^{*}(A_{\varepsilon}\backslash M)<\varepsilon)$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $M$ \end_inset es medible, su \series bold medida de Lebesgue \series default es \begin_inset Formula $\lambda_{n}(M)\coloneqq\lambda_{n}^{*}(M)$ \end_inset . Todos los abiertos, conjuntos de medida nula y rectángulos \begin_inset Formula $n$ \end_inset -dimensionales son medibles. \end_layout \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default , si \begin_inset Formula $M\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset es medible, existe una sucesión de abiertos \begin_inset Formula $(A_{k})_{k}$ \end_inset tal que su intersección \begin_inset Formula $B\coloneqq\bigcap_{k}A_{k}$ \end_inset cumple que \begin_inset Formula $M\subseteq B$ \end_inset y \begin_inset Formula $B\backslash M$ \end_inset tiene medida nula. \series bold Demostración: \series default Basta tomar los \begin_inset Formula $A_{k}$ \end_inset tales que \begin_inset Formula $M\subseteq A_{k}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A_{k}\backslash M)<\frac{1}{k}$ \end_inset y ver que \begin_inset Formula $\lambda_{n}(B\backslash M)\leq\lambda_{n}(A_{k}\backslash M)<\frac{1}{k}\forall k\in\mathbb{N}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Llamamos \series bold conjuntos \begin_inset Formula $G_{\delta}$ \end_inset \series default a las intersecciones numerables de abiertos, por lo que este teorema dice que los conjuntos medibles son diferencias de un \begin_inset Formula $G_{\delta}$ \end_inset y un conjunto de medida nula. Si \begin_inset Formula $M\coloneqq\bigcup_{k}M_{k}$ \end_inset es unión numerable de conjuntos medibles, \begin_inset Formula $M$ \end_inset es medible y \begin_inset Formula $\lambda_{n}(M)\leq\sum_{k}\lambda_{n}(M_{k})$ \end_inset sin más que incluir cada \begin_inset Formula $M_{k}$ \end_inset en un abierto \begin_inset Formula $A_{k}$ \end_inset a distancia \begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A_{k}\backslash M_{k})<\frac{\varepsilon}{2^{k}}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Cada cerrado \begin_inset Formula $F\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset es medible. \series bold Demostración: \series default Basta ver que los compactos \begin_inset Formula $K\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset lo son, pues los cerrados son unión numerable de compactos. Veamos primero que si \begin_inset Formula $d(A,B)>0$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A\cup B)=\lambda_{n}^{*}(A)+\lambda_{n}^{*}(B)$ \end_inset . Ahora bien, fijado \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset existe \begin_inset Formula $A\supseteq K$ \end_inset con \begin_inset Formula $\lambda_{n}(A)\leq\lambda_{n}^{*}(K)+\frac{\varepsilon}{2}<+\infty$ \end_inset . Como \begin_inset Formula $A\backslash K$ \end_inset es abierto, es unión numerable de cubos diádicos disjuntos \begin_inset Formula $([a_{k},b_{k}))_{k}$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A\backslash K)=\sum_{k}\lambda_{n}^{*}([a_{k},b_{k}))$ \end_inset . Para cada \begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$ \end_inset existe \begin_inset Formula $[a_{k},b'_{k}]\subseteq[a_{k},b_{k})$ \end_inset con \begin_inset Formula $\lambda_{n}([a_{k},b_{k}))\leq\lambda_{n}^{*}([a_{k},b'_{k}])+\frac{\varepsilon}{2^{k+1}}$ \end_inset . Como \begin_inset Formula $K$ \end_inset es compacto, está a distancia positiva de \begin_inset Formula $\bigcup_{k=1}^{N}[a_{k},b'_{k}]$ \end_inset y por lo demostrado al principio, \begin_inset Formula $\lambda_{n}(A)\geq\lambda_{n}^{*}\left(K\cup\bigcup_{k=1}^{N}[a_{k},b'_{k}]\right)=\lambda_{n}^{*}(K)+\sum_{k=1}^{n}\lambda([a_{k},b'_{k}])$ \end_inset y despejando de aquí queda que \begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A\backslash K)\leq\frac{\varepsilon}{2}+\sum_{k}\lambda_{n}^{*}([a_{k},b'_{k}])\leq\frac{\varepsilon}{2}+\lambda_{n}(A)-\lambda_{n}^{*}(K)<\varepsilon$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Llamamos \series bold conjuntos \begin_inset Formula $F_{\sigma}$ \end_inset \series default a las uniones numerables de conjuntos cerrados, y sabemos que son medibles. Si \begin_inset Formula $M\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset es medible, \begin_inset Formula $M^{\complement}$ \end_inset también lo es. \series bold Demostración: \series default Existe un \begin_inset Formula $G_{\delta}$ \end_inset \begin_inset Formula $B\coloneqq\bigcap_{k}A_{k}$ \end_inset tl que \begin_inset Formula $M=B\backslash N$ \end_inset con \begin_inset Formula $N$ \end_inset de medida nula, luego \begin_inset Formula $M^{\complement}=(B\backslash N)^{\complement}=N\cup B^{\complement}=N\cup B$ \end_inset es medible por ser unión de \begin_inset Formula $N$ \end_inset que, al tener medida nula, es medible, y \begin_inset Formula $B^{\complement}=\bigcup A_{k}^{\complement}$ \end_inset , que es un \begin_inset Formula $F_{\sigma}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Con esto tenemos, como \series bold teorema \series default , que la familia de subconjuntos medibles de \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset es una \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -álgebra. Además, \begin_inset Formula $M$ \end_inset es medible si y sólo si para \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset existe un cerrado \begin_inset Formula $F_{\varepsilon}\subseteq M$ \end_inset con \begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(M\backslash F_{\varepsilon})<\varepsilon$ \end_inset , si y sólo si existen un \begin_inset Formula $F_{\sigma}$ \end_inset \begin_inset Formula $C$ \end_inset y un \begin_inset Formula $N$ \end_inset de medida nula con \begin_inset Formula $M=C\cup N$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default , si \begin_inset Formula $(M_{k})_{k}$ \end_inset es una sucesión de medibles disjuntos, entonces \begin_inset Formula \[ \lambda\left(\bigcup_{k}M_{k}\right)=\sum_{k}\lambda(M_{k}) \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Demostración: \series default Basta ver que \begin_inset Formula $\lambda(\bigcup_{k}M_{k})\geq\sum_{k}\lambda(M_{k})$ \end_inset . Supongamos primero que los \begin_inset Formula $M_{k}$ \end_inset son acotados, y fijado \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset , para cada \begin_inset Formula $k$ \end_inset elegimos un compacto \begin_inset Formula $F_{k}\subseteq M_{k}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\lambda(F_{k})<\lambda(M_{k})<\lambda(F_{k})+\frac{\varepsilon}{2^{k}}$ \end_inset . Estos compactos son disjuntos, luego \begin_inset Formula $\sum_{k=1}^{m}\lambda(M_{k})<\sum_{k=1}^{m}\lambda(F_{k})+\varepsilon=\lambda(\bigcup_{k}F_{k})+\varepsilon\leq\lambda(\bigcup_{k}M_{k})+\varepsilon$ \end_inset , y haciendo a \begin_inset Formula $m$ \end_inset tender a infinito obtenemos la desigualdad buscada. Pasando al caso general, existe una sucesión de rectángulos semiabiertos disjuntos \begin_inset Formula $[a_{j},b_{j})$ \end_inset con \begin_inset Formula $\bigcup_{k}M_{k}\subseteq\bigcup_{j}[a_{j},b_{j})$ \end_inset , y aplicando lo anterior al conjunto numerable de medibles acotados y disjuntos \begin_inset Formula $\{M_{k}\cap[a_{j},b_{j})\}_{j,k\in\mathbb{N}}$ \end_inset , se tiene \begin_inset Formula $\sum_{k}\lambda(M_{k})=\sum_{j}\sum_{k}\lambda(M_{k}\cap[a_{j},b_{j}))=\sum_{j}\lambda\left(\bigcup_{k}M_{k}\cap[a_{j},b_{j})\right)=\lambda\left(\bigcup_{j}\bigcup_{k}M_{k}\cap[a_{j},b_{j})\right)=\lambda\left(\left(\bigcup_{k}M_{k}\right)\cap\left(\bigcup_{j}[a_{j},b_{j})\right)\right)=\lambda\left(\bigcup_{k}M_{k}\right)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard El \series bold teorema de Caratheodory \series default afirma que \begin_inset Formula $E\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset es medible Lebesgue si y sólo si \begin_inset Formula $E$ \end_inset es \begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}$ \end_inset -medible, es decir, \begin_inset Formula $\forall A\subseteq\mathbb{R}^{n},\lambda_{n}^{*}(A)=\lambda_{n}^{*}(A\cap E)+\lambda_{n}^{*}(A\cap E^{\complement})$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Dado \begin_inset Formula $A$ \end_inset , \begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A)=\lambda_{n}^{*}((A\cap E)\cup(A\cap E^{\complement}))\leq\lambda_{n}^{*}(A\cap E)+\lambda_{n}^{*}(A\cap E^{\complement})$ \end_inset . Para la otra desigualdad, aproximamos los cubrimientos de \begin_inset Formula $A$ \end_inset con rectángulos semiabiertos mediante cubrimientos abiertos un poco más grandes y encontramos un \begin_inset Formula $G_{\delta}$ \end_inset medible \begin_inset Formula $H\supseteq A$ \end_inset con \begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(A)=\lambda(H)=\lambda(H\cap E)+\lambda(H\cap E^{\complement})\geq\lambda_{n}^{*}(A\cap E)+\lambda_{n}^{*}(A\cap E^{\complement})$ \end_inset , ya que \begin_inset Formula $H$ \end_inset y \begin_inset Formula $E$ \end_inset son medibles. \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Si la medida exterior de \begin_inset Formula $E$ \end_inset es finita, vemos que existe un \begin_inset Formula $G_{\delta}$ \end_inset medible \begin_inset Formula $H\supseteq E$ \end_inset con \begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(E)=\lambda(H)$ \end_inset , y poniendo \begin_inset Formula $A=H$ \end_inset , \begin_inset Formula $\lambda_{n}^{*}(E)=\lambda(H)=\lambda_{n}^{*}(H\cap E)+\lambda_{n}^{*}(H\cap E^{\complement})=\lambda_{n}^{*}(E)+\lambda_{n}^{*}(H\backslash E)$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $H\backslash E$ \end_inset tiene medida nula y por tanto es medible y \begin_inset Formula $E=H\backslash(H\backslash E)$ \end_inset también lo es. Si la medida exterior de \begin_inset Formula $E$ \end_inset es infinita, sea \begin_inset Formula $E_{k}=E\cap[-k,k]^{n}$ \end_inset para cada \begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$ \end_inset , cada uno de estos conjuntos tiene medida exterior finita y se puede aproximar exteriormente por un \begin_inset Formula $G_{\delta}$ \end_inset \begin_inset Formula $H_{k}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\lambda(H_{k})=\lambda_{n}^{*}(E_{k})$ \end_inset , y haciendo \begin_inset Formula $A=H_{k}$ \end_inset para cada \begin_inset Formula $k$ \end_inset , \begin_inset Formula $\lambda(H_{k})=\lambda_{n}^{*}(H_{k}\cap E)+\lambda_{n}^{*}(H_{k}\cap E^{\complement})\geq\lambda_{n}^{*}(E_{k})$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $H_{k}\cap E^{\complement}$ \end_inset tiene medida nula y como \begin_inset Formula $H\coloneqq\bigcup_{k}H_{k}$ \end_inset es medible, entonces \begin_inset Formula $E\subseteq H$ \end_inset y \begin_inset Formula $H\cap E^{\complement}=\bigcup_{k}H_{k}\cap E^{\complement}$ \end_inset tiene medida nula, luego \begin_inset Formula $E=H\backslash(H\cap E^{\complement})$ \end_inset es medible. \end_layout \begin_layout Section Invarianza \end_layout \begin_layout Standard El \series bold teorema de invarianza por traslaciones \series default afirma que: \end_layout \begin_layout Enumerate Las \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -álgebras de los conjuntos de Borel \begin_inset Formula ${\cal B}(\mathbb{R}^{n})$ \end_inset y los medibles Lebesgue \begin_inset Formula ${\cal M}(\lambda_{n})$ \end_inset son invariantes por traslaciones. \begin_inset Newline newline \end_inset Para \begin_inset Formula ${\cal M}(\lambda_{n})$ \end_inset , el traslado de un rectángulo \begin_inset Formula $n$ \end_inset -dimensional semiabierto es otro con el mismo volumen. Para \begin_inset Formula ${\cal B}(\mathbb{R}^{n})$ \end_inset , la familia de los traslados de una \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -álgebra es una \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -álgebra, y como el traslado de un abierto es un abierto, \begin_inset Formula $x+{\cal B}(\mathbb{R}^{n})\subseteq{\cal B}(\mathbb{R}^{n})$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate La medida de Lebesgue es invariante por traslaciones. \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $\mu$ \end_inset es una medida definida en \begin_inset Formula ${\cal B}(\mathbb{R}^{n})$ \end_inset e invariante por traslaciones, entonces \begin_inset Formula $\mu=c\lambda_{n}$ \end_inset , donde \begin_inset Formula $c\coloneqq\mu([0,1)^{n})$ \end_inset . \begin_inset Newline newline \end_inset Si \begin_inset Formula $\mu$ \end_inset es invariante por traslaciones, \begin_inset Formula $\mu$ \end_inset y \begin_inset Formula $c\lambda_{n}$ \end_inset son iguales para los cubos diádicos y por tanto también para los abiertos. Como la familia de conjuntos donde ambas medidas coinciden es una \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -álgebra que contiene a los abiertos, también contiene a todos los elementos de \begin_inset Formula ${\cal B}(\mathbb{R}^{n})$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Una aplicación \begin_inset Formula $T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ \end_inset es una \series bold transformación Lipschitziana \series default si \begin_inset Formula \[ \exists c\in\mathbb{R}:\forall x,y\in\mathbb{R}^{n},\Vert T(x)-T(y)\Vert\leq c\Vert x-y\Vert \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default , toda aplicación Lipschitziana lleva conjuntos medibles a conjuntos medibles. \series bold Demostración: \series default Al ser \begin_inset Formula $T$ \end_inset continua, lleva compactos a compactos. Como los cerrados son uniones numerables de compactos, \begin_inset Formula $T$ \end_inset lleva conjuntos \begin_inset Formula $F_{\sigma}$ \end_inset a conjuntos \begin_inset Formula $F_{\sigma}$ \end_inset . Como lleva intervalos \begin_inset Formula $[a,b)$ \end_inset a conjuntos \begin_inset Formula $F_{\sigma}$ \end_inset contenidos en un diámetro menor que \begin_inset Formula $c\cdot\text{diám}([a,b))$ \end_inset , \begin_inset Formula $T$ \end_inset lleva conjuntos de medida nula a otros de medida nula. Como cada conjunto medible es unión de un \begin_inset Formula $F_{\sigma}$ \end_inset y uno de medida nula, \begin_inset Formula $T$ \end_inset lleva medibles a medibles. \end_layout \begin_layout Standard De estos dos teoremas se deduce el \series bold teorema para transformaciones lineales \series default , que afirma que si \begin_inset Formula $T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ \end_inset es lineal y \begin_inset Formula $E$ \end_inset es medible, \begin_inset Formula $\lambda_{n}(T(E))=c\lambda_{n}(E)$ \end_inset , donde \begin_inset Formula $c\coloneqq\lambda_{n}(T([0,1)^{n}))=|\det(T)|$ \end_inset . \end_layout \end_body \end_document