#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_body

\begin_layout Section
Funciones medibles
\end_layout

\begin_layout Standard
Una aplicación 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow\Omega'$
\end_inset

 es 
\series bold

\begin_inset Formula $(\Sigma,\Sigma')$
\end_inset

-medible
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall E'\in\Sigma',f^{-1}(E')\in\Sigma$
\end_inset

.
 Cuando 
\begin_inset Formula $\Omega'$
\end_inset

 es un espacio topológico, decimos que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es 
\series bold

\begin_inset Formula $\Sigma$
\end_inset

-medible
\series default
 si es 
\begin_inset Formula $(\Sigma,{\cal B}(\Omega'))$
\end_inset

-medible.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\Sigma'=:\sigma({\cal D})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $(\Sigma,\Sigma')$
\end_inset

-medible si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall D\in{\cal D},f^{-1}(D)\in\Sigma$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Obvio.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula ${\cal A}\coloneqq \{E\in\Sigma'\mid f^{-1}(E)\in\Sigma\}$
\end_inset

, vemos que 
\begin_inset Formula ${\cal A}$
\end_inset

 es una 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

-álgebra que contiene a 
\begin_inset Formula ${\cal D}$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $f^{-1}(E^{\complement})=\Omega\backslash f^{-1}(E)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f^{-1}(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_{k})=\bigcup_{k=1}^{\infty}f^{-1}(E_{k})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $T\coloneqq (X,{\cal T})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $T'\coloneqq (X,{\cal T}')$
\end_inset

 espacios topológicos, toda función 
\begin_inset Formula $f:T\rightarrow T'$
\end_inset

 continua es 
\begin_inset Formula $({\cal B}(T),{\cal B}(T'))$
\end_inset

-medible, pues 
\begin_inset Formula ${\cal B}(T')=\sigma({\cal T}')$
\end_inset

 y la continuidad asegura que 
\begin_inset Formula $\forall A\in{\cal T}',f^{-1}(A)\in{\cal T}\subseteq{\cal B}(T)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Composición de medibles:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow\Omega'$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g:f(\Omega)\rightarrow\Omega''$
\end_inset

 son medibles, 
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset

 también lo es.
 En particular, si 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $T'$
\end_inset

 son espacios topológicos, 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow T$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $(\Sigma,{\cal B}(T))$
\end_inset

-medible y 
\begin_inset Formula $g:T\rightarrow T'$
\end_inset

 es continua, 
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $(\Sigma,{\cal B}(T'))$
\end_inset

-medible.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $E\in\Sigma''$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $g^{-1}(E)\in\Sigma'$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 medible y 
\begin_inset Formula $f^{-1}(g^{-1}(E))=(g\circ f)^{-1}(E)\in\Sigma$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 medible, luego 
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset

 es medible.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $u_{1},\dots u_{n}:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 son medibles, 
\begin_inset Formula $\varphi:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\varphi(\omega)\coloneqq (u_{1}(\omega),\dots,u_{n}(\omega))$
\end_inset

 es medible.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Un abierto 
\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 se puede expresar como unión numerable de cubos diádicos disjuntos, y como
 estos están en 
\begin_inset Formula ${\cal B}(\mathbb{R}^{n})$
\end_inset

, lo generan.
 Si 
\begin_inset Formula $[a,b)$
\end_inset

 es uno de estos cubos,
\begin_inset Formula 
\[
\varphi^{-1}([a,b))=\bigcap_{i=1}^{n}u_{i}^{-1}([a_{i},b_{i}))\in\Sigma
\]

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset

 es medible si y sólo si lo son 
\begin_inset Formula $\omega\mapsto\text{Re}(f(\omega))$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\omega\mapsto\text{Im}(f(\omega))$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

 Se deriva de que 
\begin_inset Formula $x\mapsto\text{Re}(x)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\mapsto\text{Im}(x)$
\end_inset

 son continuas.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{sloppypar}
\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $\pi:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset

 el isomorfismo canónico, como 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 es continua y 
\begin_inset Formula $f(\omega)=\pi(\text{Re}(f(\omega)),\text{Im}(f(\omega)))$
\end_inset

, el punto anterior nos da que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es medible.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{sloppypar}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f,g:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset

 son medibles, 
\begin_inset Formula $f+g$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $fg$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{f}{g}\chi_{\{g\neq0\}}$
\end_inset

 también lo son.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Se debe a que 
\begin_inset Formula $(x,y)\mapsto x+y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(x,y)\mapsto xy$
\end_inset

 son continuas.
 Para el cociente, si 
\begin_inset Formula $\{g=0\}=\emptyset$
\end_inset

, la continuidad de 
\begin_inset Formula $(x,y)\mapsto\frac{x}{y}$
\end_inset

 cuando 
\begin_inset Formula $y\neq0$
\end_inset

 implica que 
\begin_inset Formula $\frac{f}{g}$
\end_inset

 es medible.
 En el caso general, sea 
\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{C}$
\end_inset

 medible,
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\left(\frac{f}{g}\chi_{\{g\neq0\}}\right)^{-1}(S)=\left(\left(\frac{f}{g}\chi_{\{g\neq0\}}\right)^{-1}(S)\cap\{g\neq0\}\right)\cup\left(\left(\frac{f}{g}\chi_{\{g\neq0\}}\right)^{-1}(S)\cap\{g=0\}\right)\\
=\left(\frac{f}{g}\chi_{\{g\neq0\}}\right)^{-1}(S\backslash\{0\}))\cup\left(\frac{f}{g}\chi_{\{g\neq0\}}\right)^{-1}(S\cap\{0\})
\end{multline*}

\end_inset

El primer elemento de esta última unión no contiene elementos de 
\begin_inset Formula $\{g=0\}$
\end_inset

, pues para todos ellos 
\begin_inset Formula $\frac{f}{g}\chi_{\{g\neq0\}}(\omega)\neq0$
\end_inset

, por tanto el conjunto es igual a 
\begin_inset Formula $\left(\frac{f}{g}\right)^{-1}(S\backslash\{0\})$
\end_inset

, que es medible.
 El segundo elemento es 
\begin_inset Formula $\emptyset$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $0\notin S$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\{f=0\}\cup\{g=0\}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $0\in S$
\end_inset

; en cualquier caso es medible.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset

 es medible, 
\begin_inset Formula $|f|$
\end_inset

 también lo es y existe 
\begin_inset Formula $\alpha:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall\omega\in\Omega,|\alpha(\omega)|=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $|f|=\alpha f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $|f|$
\end_inset

 es medible por ser 
\begin_inset Formula $\omega\mapsto\sqrt{\text{Re}(f(\omega))^{2}+\text{Im}(f(\omega))^{2}}$
\end_inset

, al igual que 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\alpha(\omega)=\chi_{\{f=0\}}+\frac{f}{|f|}\chi_{\{f\neq0\}}$
\end_inset

, que cumple las condiciones.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Una función 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow[-\infty,+\infty]$
\end_inset

 es 
\series bold

\begin_inset Formula $\Sigma$
\end_inset

-medible
\series default
 si es 
\begin_inset Formula $(\Sigma,\Sigma'\coloneqq \sigma(\{(a,+\infty]\}_{a\in\mathbb{R}}))$
\end_inset

-medible.
 Todos los cubos diádicos 
\begin_inset Formula $[a,b)\subseteq\mathbb{R}$
\end_inset

 están en 
\begin_inset Formula $\Sigma'$
\end_inset

, luego también están todos los abiertos de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 como unión numerable de cubos diádicos y por tanto 
\begin_inset Formula ${\cal B}(\mathbb{R})\subseteq\Sigma'$
\end_inset

.
 Adoptamos el convenio 
\begin_inset Formula $\pm\infty\cdot0=0\cdot\pm\infty=0$
\end_inset

 y la notación 
\begin_inset Formula $\{f\bullet a\}\coloneqq \{\omega\in\Omega\mid f(\omega)\bullet a\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow[-\infty,+\infty]$
\end_inset

, si tenemos que
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
f\text{ es medible}\iff\forall a\in\mathbb{R},\{f>a\}\in\Sigma\iff\forall a\in\mathbb{R},\{f\geq a\}\in\Sigma\\
\iff\forall a\in\mathbb{R},\{f<a\}\in\Sigma\iff\forall a\in\mathbb{R},\{f\leq a\}\in\Sigma
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies3]$
\end_inset

 Como 
\begin_inset Formula $(a,+\infty]$
\end_inset

 es medible, 
\begin_inset Formula $f^{-1}((a,+\infty])=\{f>a\}$
\end_inset

 también lo es.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies1]$
\end_inset

 Para cada elemento de 
\begin_inset Formula $\{(a,+\infty]\}_{a\in\mathbb{R}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f^{-1}((a,+\infty])=\{f>a\}\in\Sigma$
\end_inset

, y por tanto 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es medible.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies3]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $\{f\geq a\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\{f>a-\frac{1}{k}\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies4]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $\{f<a\}=\Omega\backslash\{f\geq a\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $4\implies5]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $\{f\leq a\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\{f<a+\frac{1}{k}\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $5\implies2]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $\{f>a\}=\Omega\backslash\{f\leq a\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Además, si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es medible, 
\begin_inset Formula $\{f>-\infty\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{f<+\infty\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{f=-\infty\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{f=+\infty\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{a\leq f\leq b\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{f=a\}$
\end_inset

, etc.
 son medibles, y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es medible si y sólo si 
\begin_inset Formula $\{f=-\infty\}$
\end_inset

 es medible y para 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula $\{a<f<+\infty\}$
\end_inset

 es medible.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $\{a<f<+\infty\}=\{f>a\}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}\{f<k\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{f=-\infty\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\{f<-k\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $\{f>a\}=\{a<f<+\infty\}\cup\left(\{f=-\infty\}\cup\bigcup_{k=1}^{\infty}\{-k<f<+\infty\}\right)^{\complement}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un subconjunto denso 
\begin_inset Formula $A\subseteq[-\infty,+\infty]$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $\{f>a\}$
\end_inset

 es medible para todo 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es medible.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}$
\end_inset

, existe una sucesión 
\begin_inset Formula $(a_{k})_{k}$
\end_inset

 de elementos de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 que converge a 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a_{k}>a\forall k\in\mathbb{N}$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $\{f>a\}=\bigcup\{f>a_{k}\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow[-\infty,+\infty]$
\end_inset

 es medible si y sólo si para todo abierto 
\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f^{-1}(G)$
\end_inset

 es medible.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Los abiertos de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 están en 
\begin_inset Formula $\sigma(\{(a,+\infty]\}_{a\in\mathbb{R}})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para todo 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f^{-1}((a,+\infty))=\{a<f<+\infty\}$
\end_inset

 es medible, luego 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 lo es.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una propiedad se cumple 
\series bold
en casi todo punto
\series default
 de 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 si el conjunto de puntos 
\begin_inset Formula $\omega\in\Omega$
\end_inset

 en los que no se cumple tiene medida cero.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f,g:\Omega\rightarrow[-\infty,+\infty]$
\end_inset

 son medibles, 
\begin_inset Formula $\{f>g\}$
\end_inset

 también lo es.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\{r_{k}\}_{k\in\mathbb{N}}=\mathbb{Q}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\{f>g\}=\bigcup_{k=1}^{\infty}\{f>r_{k}>g\}=\bigcup_{k=1}^{\infty}(\{f>r_{k}\}\cap\{g<r_{k}\})$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es medible y 
\begin_inset Formula $g=f$
\end_inset

 en casi todo punto, 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es medible y 
\begin_inset Formula $\mu(\{g>a\})=\mu(\{f>a\})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $Z\coloneqq \{f\neq g\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{g>a\}\cup Z=\{f>a\}\cup Z$
\end_inset

, luego si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es medible, 
\begin_inset Formula $\{g>a\}\cup Z$
\end_inset

 lo es y como difiere de 
\begin_inset Formula $\{g>a\}$
\end_inset

 por un conjunto de medida cero, 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es medible.
 Por último, 
\begin_inset Formula $\mu(\{g>a\})=\mu(\{g>a\}\cup Z)=\mu(\{f>a\}\cup Z)=\mu(\{f>a\})$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es medible y 
\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f+\lambda$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lambda f$
\end_inset

 son medibles.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{f+\lambda>a\}=\{f>a-\lambda\}$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
\{\lambda f>a\}=\begin{cases}
f>\frac{a}{\lambda} & \text{si }\lambda>0\\
f<\frac{a}{\lambda} & \text{si }\lambda<0\\
\Omega & \text{si }\lambda=0\land a<0\\
\emptyset & \text{si }\lambda=0\land a\geq0
\end{cases}
\]

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 son medibles, también lo es 
\begin_inset Formula $f+g$
\end_inset

.
 Esto significa que las combinaciones lineales 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}f_{1}+\dots+\lambda_{n}f_{n}$
\end_inset

 de funciones medibles 
\begin_inset Formula $f_{1},\dots,f_{n}$
\end_inset

 son medibles, por lo que el conjunto de funciones 
\begin_inset Formula $\Omega\rightarrow[-\infty,+\infty]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $\Sigma$
\end_inset

-medibles es un espacio vectorial.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es medible, también lo es 
\begin_inset Formula $a-g$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $\{f+g>a\}=\{f>a-g\}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $f,g:\Omega\rightarrow[-\infty,+\infty]$
\end_inset

 medibles, 
\begin_inset Formula $fg$
\end_inset

 es medible y, si 
\begin_inset Formula $g\neq0$
\end_inset

 en casi todo punto, 
\begin_inset Formula $f/g$
\end_inset

 (definida en casi todo punto) es medible.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es medible, es fácil ver que 
\begin_inset Formula $f^{2}=|f|^{2}$
\end_inset

 también lo es.
 Para valores finitos, 
\begin_inset Formula $fg=\frac{(f+g)^{2}-(f-g)^{2}}{4}$
\end_inset

.
 Si alguna de las funciones puede tener valores infinitos, vemos que 
\begin_inset Formula $\{f=+\infty\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{f=-\infty\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{f=0\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{g=+\infty\}$
\end_inset

, etc.
 son medibles y por tanto 
\begin_inset Formula $\{fg=0\}=\{f=0\}\cup\{g=0\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{fg=+\infty\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\{fg=-\infty\}$
\end_inset

 también lo son.
 Para 
\begin_inset Formula $f/g$
\end_inset

, basta ver que 
\begin_inset Formula $1/g$
\end_inset

 es medible, pero dado 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\{1/g>a\}=\begin{cases}
\{0<g<\frac{1}{a}\} & \text{si }a>0\\
\{0<g<+\infty\} & \text{si }a=0\\
\{g<\frac{1}{a}\}\cup\{0<g<+\infty\} & \text{si }a<0
\end{cases}
\]

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Dada una sucesión de funciones medibles 
\begin_inset Formula $(f_{k}:\Omega\rightarrow\mathbb{R})_{k}$
\end_inset

, las funciones 
\begin_inset Formula $\sup_{k}f_{k}(\omega)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\inf_{k}f_{k}(\omega)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\limsup_{k}f_{k}(\omega)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\liminf_{k}f_{k}(\omega)$
\end_inset

 son medibles.
 De aquí que, si 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 es el conjunto de puntos 
\begin_inset Formula $\omega\in\Omega$
\end_inset

 en los que 
\begin_inset Formula $(f_{n}(\omega))_{n}$
\end_inset

 converge, entonces el límite puntual de 
\begin_inset Formula $(f_{n}|_{E})_{n}$
\end_inset

 es medible y 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 también lo es.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{sloppypar}
\end_layout

\end_inset

Basta probarlo para el supremo, pues 
\begin_inset Formula $\inf_{k}f_{k}(x)=-\sup_{k}(-f_{k})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\limsup_{n}f_{n}(\omega)=\inf_{m\in\mathbb{N}}\{\sup_{k\geq m}\{f_{k}(\omega)\}\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\liminf_{n}f_{n}(\omega)=\sup_{m\in\mathbb{N}}\{\inf_{k\geq m}\{f_{k}(\omega)\}\}$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $\{\sup_{k}f_{k}>a\}=\bigcup_{k}\{f_{k}>a\}$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{sloppypar}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Section
Funciones simples
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
función simple
\series default
 es aquella cuya imagen es finita.
 Si 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow\Omega'$
\end_inset

 es una función simple que toma valores distintos 
\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}$
\end_inset

 en conjuntos disjuntos respectivos 
\begin_inset Formula $E_{1},\dots,E_{n}$
\end_inset

, su 
\series bold
forma canónica
\series default
 es
\begin_inset Formula 
\[
f=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\chi_{E_{k}}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Claramente 
\begin_inset Formula $\chi_{E}$
\end_inset

 es medible si y sólo si 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 lo es, por lo que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es medible si y sólo si lo son 
\begin_inset Formula $E_{1},\dots,E_{n}$
\end_inset

.
 Algunos autores sólo llaman funciones simples a las que además son medibles.
 Como 
\series bold
teorema
\series default
:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Toda función 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow[0,+\infty]$
\end_inset

 es límite de una sucesión creciente de funciones simples.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
\end_inset

, subdividimos 
\begin_inset Formula $[0,k]$
\end_inset

 en subintervalos 
\begin_inset Formula $\{[(j-1)2^{-k},j2^{-k}]\}_{j\in\{1,\dots,k2^{k}\}}$
\end_inset

 y definimos
\begin_inset Formula 
\[
f_{k}(x):=\begin{cases}
\frac{j-1}{2^{k}} & \text{si }\frac{j-1}{2^{k}}\leq f(x)<\frac{j}{2^{k}},j\in\{1,\dots,k2^{k}\}\\
k & \text{si }f(x)\geq k
\end{cases}
\]

\end_inset

Cada 
\begin_inset Formula $f_{k}$
\end_inset

 es una función simple definida en todo 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f_{k}\leq f_{k+1}$
\end_inset

 porque al pasar de 
\begin_inset Formula $f_{k}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $f_{k+1}$
\end_inset

 dividimos los intervalos por la mitad y permitimos valores mayores en la
 imagen, y 
\begin_inset Formula $f_{k}\rightarrow f$
\end_inset

 porque para un valor 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 lo suficientemente grande, 
\begin_inset Formula $0\leq f(x)-f_{k}(x)\leq2^{-k}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $f(x)$
\end_inset

 es finito y 
\begin_inset Formula $f_{k}=k\rightarrow+\infty$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $f(x)=+\infty$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Toda función 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow[-\infty,+\infty]$
\end_inset

 es límite de una sucesión de funciones simples.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Basta aplicar lo anterior a 
\begin_inset Formula $f^{+}\coloneqq \max\{0,f\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f^{-}\coloneqq -\min\{0,f\}$
\end_inset

 y restar las sucesiones resultantes.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si la función 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en los dos apartados anteriores es medible, podemos hacer que las 
\begin_inset Formula $f_{k}$
\end_inset

 también lo sean.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
En el primer apartado,
\begin_inset Formula 
\[
f_{k}=\sum_{j=1}^{k2^{k}}\frac{j-1}{2^{k}}\chi_{\left\{ \frac{j-1}{2^{k}}\leq f<\frac{j}{2^{k}}\right\} }+k\chi_{\{f\geq k\}}
\]

\end_inset

que es medible porque todos los conjuntos involucrados lo son, y en el segundo
 basta considerar 
\begin_inset Formula $f^{+}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f^{-}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es acotada, las funciones simples dadas convergerán uniformemente a 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Integrales en funciones positivas
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma,\mu)$
\end_inset

 un espacio de medida, 
\begin_inset Formula ${\cal S}(\Omega)$
\end_inset

 el espacio vectorial de las funciones simples 
\begin_inset Formula $\Omega\rightarrow[-\infty,+\infty]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal S}(\Omega)^{+}\coloneqq \{h\in{\cal S}(\Omega)\mid h\geq0\}$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
integral
\series default
 de una función simple 
\begin_inset Formula $h\coloneqq \sum_{k=1}^{n}a_{k}\chi_{E_{k}}\in{\cal S}(\Omega)^{+}$
\end_inset

 como
\begin_inset Formula 
\[
\int h\,d\mu:=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\mu(E_{k})
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f,g\in{\cal S}(\Omega)^{+}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\alpha\in[0,+\infty)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\int\alpha f\,d\mu=\alpha\int f\,d\mu$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Supongamos 
\begin_inset Formula $f=:\sum_{i=1}^{n}a_{i}\chi_{A_{i}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g=:\sum_{j=1}^{m}b_{j}\chi_{B_{j}}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\alpha f=\sum_{i=1}^{n}\alpha a_{i}\chi_{A_{i}}$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
\int\alpha f\,d\mu=\sum_{i=1}^{n}\alpha a_{i}\mu(A_{i})=\alpha\sum_{i=1}^{n}a_{i}\mu(A_{i})=\alpha\int f\,d\mu
\]

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\int(f+g)d\mu=\int f\,d\mu+\int g\,d\mu$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $C\coloneqq \{c_{1},\dots,c_{r}\}=\{a_{i}+b_{j}\}_{i\in\{1,\dots,n\},j\in\{1,\dots,m\}}$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $C_{k}\coloneqq \bigcup_{a_{i}+b_{j}=c_{k}}(A_{i}\cap B_{j})$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $c_{k}$
\end_inset

, tenemos 
\begin_inset Formula $f+g=\sum_{k=1}^{r}c_{k}\chi_{C_{k}}$
\end_inset

.
 Entonces
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\int f+g\,d\mu=\sum_{k=1}^{r}c_{k}\mu(C_{k})=\sum_{k=1}^{r}c_{k}\mu(C_{k})=\sum_{k=1}^{r}c_{k}\left(\sum_{a_{i}+b_{j}=c_{k}}\mu(A_{i}\cap B_{j})\right)=\\
=\sum_{k=1}^{r}\sum_{a_{i}+b_{j}=c_{k}}(a_{i}+b_{j})\mu(A_{i}\cap B_{j})=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}((a_{i}+b_{j})\mu(A_{i}\cap B_{j})=\\
=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\left(\sum_{j=1}^{m}\mu(A_{i}\cap B_{j})\right)+\sum_{j=1}^{m}b_{j}\left(\sum_{i=1}^{n}\mu(A_{i}\cap B_{j})\right)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\mu(A_{i})+\sum_{j=1}^{m}b_{i}\mu(B_{j})
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f\leq g$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\int f\,d\mu\leq\int g\,d\mu$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
\int g\,d\mu=\int f\,d\mu+\int(g-f)d\mu\geq\int f\,d\mu
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\nu:\Sigma\rightarrow[0,+\infty]$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\nu(E)\coloneqq \int f\chi_{E}d\mu$
\end_inset

 es una medida finita.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\nu(E)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\mu(A_{i}\cap E)$
\end_inset

, y como las aplicaciones 
\begin_inset Formula $\nu_{i}(E)=\mu(E\cap A_{i})$
\end_inset

 son medidas, 
\begin_inset Formula $\nu$
\end_inset

 también lo es.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow[0,+\infty]$
\end_inset

 medible, se define
\begin_inset Formula 
\[
\int f\,d\mu:=\sup\left\{ \int s\,d\mu\mid s\in{\cal S}(\Omega)\land0\leq s\leq f\right\} 
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Esta definición es compatible con la dada inicialmente para funciones simples.
 Para 
\begin_inset Formula $E\in\Sigma$
\end_inset

, se define
\begin_inset Formula 
\[
\int_{E}f\,d\mu:=\int\chi_{E}f\,d\mu
\]

\end_inset


\begin_inset Newpage pagebreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $f,g:\Omega\rightarrow[0,+\infty]$
\end_inset

 medibles y 
\begin_inset Formula $A,B\in\Sigma$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f\leq g\implies\int f\,d\mu\leq\int g\,d\mu$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A\subseteq B\implies\int_{A}f\,d\mu\leq\int_{B}f\,d\mu$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall\alpha\in[0,+\infty),\int\alpha f\,d\mu=\alpha\int f\,d\mu$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f|_{A}=0\implies\int_{A}f\,d\mu=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mu(A)=0\implies\int_{A}f\,d\mu=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
desigualdad de Tchevichev
\series default
 afirma que si 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow[0,+\infty]$
\end_inset

 es medible y 
\begin_inset Formula $E\in\Sigma$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si para 
\begin_inset Formula $t>0$
\end_inset

 definimos 
\begin_inset Formula $E_{t}\coloneqq E\cap\{f>t\}$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
t\mu(E_{t})\leq\int_{E_{t}}f\,d\mu\leq\int f\,d\mu
\]

\end_inset

Se obtiene de integrar en 
\begin_inset Formula $t\chi_{E_{t}}\leq f\chi_{E_{t}}\leq f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\int_{E}f\,d\mu=0$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f(\omega)=0$
\end_inset

 para casi todo 
\begin_inset Formula $\omega\in E$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Por lo anterior, 
\begin_inset Formula $\forall k\in\mathbb{N},\mu(E_{\frac{1}{k}})=0$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $\{f\neq0\}=\bigcup_{k}E_{\frac{1}{k}}$
\end_inset

, este conjunto también tiene medida nula.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\int_{E}f\,d\mu<+\infty$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f(\omega)<+\infty$
\end_inset

 para casi todo 
\begin_inset Formula $\omega\in E$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\mu(E_{k})\leq\frac{1}{k}\int f\,d\mu$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\mu(\{f=+\infty\})=\mu\left(\bigcap_{k}E_{k}\right)=\lim_{n}\mu(E_{k})=0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\int_{E}f\,d\mu<+\infty$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\{f>0\}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

-finito.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\{f>0\}=\bigcup_{k}E_{\frac{1}{k}}$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $E_{\frac{1}{k}}$
\end_inset

 tiene medida finita.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
El 
\series bold
teorema de convergencia monótona de Lebesgue
\series default
 afirma que si 
\begin_inset Formula $(f_{n}:\Omega\rightarrow[0,+\infty])_{n}$
\end_inset

 es una sucesión creciente de funciones medibles que converge puntualmente
 a 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow[0,+\infty]$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\int f\,d\mu=\lim_{n}\int f_{n}d\mu
\]

\end_inset


\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \sup\int f_{n}d\mu\in[0,+\infty]$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $f_{n}\leq f\forall n$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es medible por ser límite puntual de medibles, 
\begin_inset Formula $\alpha\leq\int f$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $s\leq f$
\end_inset

 una función simple, al ser 
\begin_inset Formula $f_{n}$
\end_inset

 creciente y convergente a 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, se tiene que 
\begin_inset Formula $(E_{n}\coloneqq \{f_{n}\geq s\})_{n}$
\end_inset

 es creciente con 
\begin_inset Formula $\bigcup_{n}E_{n}=\Omega$
\end_inset

.
 Tenemos que 
\begin_inset Formula $\int f_{n}d\mu\geq\int\chi_{E_{n}}f_{n}d\mu\geq\int\chi_{E_{n}}s\,d\mu$
\end_inset

.
 Tomando límites aquí, vemos que 
\begin_inset Formula $\alpha\geq\int\chi_{\Omega}s\,d\mu=\int s\,d\mu$
\end_inset

, y tomando supremos entre las funciones simples 
\begin_inset Formula $s\leq f$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha\geq\int f\,d\mu$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Usando esto podemos probar para 
\begin_inset Formula $f,g:\Omega\rightarrow[0,+\infty]$
\end_inset

 que 
\begin_inset Formula $\int(f+g)d\mu=\int f\,d\mu+\int g\,d\mu$
\end_inset

, partiendo de la propiedad correspondiente para funciones simples.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
teorema de Beppo-Levi
\series default
 afirma que la suma de una sucesión de funciones medibles 
\begin_inset Formula $f_{n}:\Omega\rightarrow[0,+\infty]$
\end_inset

 es medible y
\begin_inset Formula 
\[
\int\left(\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}\right)d\mu=\sum_{n=1}^{\infty}\int f_{n}d\mu
\]

\end_inset


\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Formula $(F_{n}\coloneqq \sum_{k=1}^{n}f_{k})_{n}$
\end_inset

 es una sucesión de funciones medibles, por lo que basta tomar límites en
 
\begin_inset Formula $\int F_{n}d\mu=\sum_{k=1}^{n}\int f_{k}d\mu$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una función 
\begin_inset Formula $\Omega\rightarrow[0,+\infty]$
\end_inset

 medible es 
\series bold
integrable
\series default
 si su integral es finita.
 Por ejemplo, si 
\begin_inset Formula $\Sigma={\cal P}(\Omega)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\mu(E)=|E|\forall E\in\Sigma$
\end_inset

, una función 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 medible positiva es integrable si y sólo si 
\begin_inset Formula $\int f\,d\mu=\sum_{\omega\in\Omega}f(\omega)<+\infty$
\end_inset

, y si además 
\begin_inset Formula $\Omega=\mathbb{N}$
\end_inset

, la sucesión 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es integrable si y sólo si la serie 
\begin_inset Formula $\sum_{n}f(n)$
\end_inset

 converge, y la integral coincide con la suma.
 En tal caso, el teorema de Beppo-Levi nos dice que si 
\begin_inset Formula $a_{n,m}$
\end_inset

 es una sucesión doble de números positivos, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}a_{m,n}=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}a_{m,n}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
lema de Fatou
\series default
 afirma que si 
\begin_inset Formula $f_{n}:\Omega\rightarrow[0,+\infty]$
\end_inset

 es una sucesión de funciones medibles, su límite inferior 
\begin_inset Formula $f(\omega)\coloneqq \liminf_{n}f_{n}(\omega)$
\end_inset

 es medible y 
\begin_inset Formula $\int f\,d\mu\leq\liminf_{n}\int f_{n}d\mu$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Formula $(g_{n}\coloneqq \inf_{m\geq n}\{f_{m}(x)\})_{n}$
\end_inset

 define una sucesión creciente de funciones medibles convergente hacia 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, y por la monotonía de la integral y el teorema de convergencia monótona,
 
\begin_inset Formula 
\[
\int f\,d\mu=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\{ \int g_{n}d\mu\right\} \leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\{ \inf_{m\geq n}\left\{ \int f_{m}d\mu\right\} \right\} =\liminf_{n}\int f_{n}d\mu
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, si 
\begin_inset Formula $g:\Omega\rightarrow[0,+\infty]$
\end_inset

 es medible, entonces 
\begin_inset Formula $\nu:\Sigma\rightarrow[0,+\infty]$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\nu(E)\coloneqq \int_{E}g\,d\mu$
\end_inset

 es una medida y para 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow[0,+\infty]$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\int f\,d\nu=\int fg\,d\mu
\]

\end_inset


\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Formula $\nu(\emptyset)=0$
\end_inset

 y, dada una sucesión 
\begin_inset Formula $(A_{n})_{n}$
\end_inset

 de medibles disjuntos, 
\begin_inset Formula $g\chi_{\bigcup_{n}A_{n}}=\sum_{n}g\chi_{A_{n}}$
\end_inset

 y el teorema de Beppo-Levi nos da que 
\begin_inset Formula $\nu(\bigcup_{n}A_{n})=\sum_{n}\nu(A_{n})$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\nu$
\end_inset

 es una medida.
 Sea 
\begin_inset Formula $s\coloneqq \sum_{i=1}^{m}a_{i}\chi_{E_{i}}\in{\cal S}(\Omega)^{+}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\int s\,d\nu=\sum_{i=1}^{m}a_{i}\int\chi_{E_{i}}g\,d\mu=\int\left(\sum_{i=1}^{m}a_{i}\chi_{E_{i}}\right)g\,d\mu=\int sg\,d\mu
\]

\end_inset

Usando el teorema de la convergencia monótona para tomar límites en una
 sucesión creciente de funciones simples que converge a 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 se completa la prueba.
\end_layout

\begin_layout Section
Funciones integrables
\end_layout

\begin_layout Standard
Una función medible 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 es integrable si 
\begin_inset Formula $\int|f|d\mu<+\infty$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $f^{+}=\max\{f,0\},f^{-}=\min\{f,0\}:\Omega\rightarrow[-\infty,+\infty]$
\end_inset

 son integrables, y definimos
\begin_inset Formula 
\[
\int f\,d\mu:=\int f^{+}\,d\mu-\int f^{-}\,d\mu
\]

\end_inset

Si solo una de entre 
\begin_inset Formula $f^{+}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f^{-}$
\end_inset

 es integrable, usamos esta misma definición y entonces 
\begin_inset Formula $\int f\,d\mu\in[-\infty,+\infty]$
\end_inset

.
 Una función medible 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset

 es integrable si 
\begin_inset Formula $\int|f|d\mu<+\infty$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $u,v:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 son tales que 
\begin_inset Formula $f=u+iv$
\end_inset

, es claro que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es integrable si y sólo si 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 lo son, y definimos
\begin_inset Formula 
\[
\int f\,d\mu:=\int u\,d\mu+i\int v\,d\mu
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\begin_inset Formula ${\cal L}^{1}(\Omega,\Sigma,\mu)$
\end_inset

 al conjunto de funciones integrables 
\begin_inset Formula $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset

.
 Cuando basta indicar uno de los componentes de la terna y se sobreentiende
 el resto, podemos escribir 
\begin_inset Formula ${\cal L}^{1}(\Omega)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula ${\cal L}^{1}(\Sigma)$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula ${\cal L}^{1}(\mu)$
\end_inset

.
 El subconjunto de 
\begin_inset Formula ${\cal L}^{1}$
\end_inset

 formado por las funciones reales se denota 
\begin_inset Formula ${\cal L}_{\mathbb{R}}^{1}(\mu)$
\end_inset

, y por definición 
\begin_inset Formula $f\in{\cal L}^{1}(\mu)\iff|f|\in{\cal L}^{1}(\mu)$
\end_inset

.
 Propiedades:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula ${\cal L}^{1}(\mu)$
\end_inset

 es un espacio vectorial complejo y, si lo consideramos como un espacio
 vectorial real por el isomorfismo canónico entre 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula ${\cal L}_{\mathbb{R}}^{1}$
\end_inset

 es un subespacio suyo.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $f,g\in{\cal L}^{1}(\mu)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{C}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha f+g$
\end_inset

 es medible y 
\begin_inset Formula $|\alpha f+g|\leq|\alpha||f|+|g|$
\end_inset

, e integrando y aplicando las propiedades de la integral en funciones positivas
, 
\begin_inset Formula $\int|\alpha f+g|d\mu\leq\int(|\alpha||f|+|g|)d\mu=|\alpha|\int|f|d\mu+\int|g|d\mu<+\infty$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Enumerate
La aplicación 
\begin_inset Formula $\nu:{\cal L}^{1}(\mu)\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\nu(f)\coloneqq \int f\,d\mu$
\end_inset

 es lineal.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $u,v\in{\cal L}_{\mathbb{R}}^{1}(\mu)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{R}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $i\int(u+iv)d\mu=i\int ud\mu+i^{2}\int v\,d\mu=\int(-v+iu)d\mu=\int i(u+iv)d\mu$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $h\coloneqq u+v\implies h^{+}-h^{-}=u^{+}-u^{-}+v^{+}-v^{-}\implies h^{+}+(u^{-}+v^{-})=(u^{+}+v^{+})+h^{-}\implies\int h^{+}d\mu+\int u^{-}d\mu+\int v^{-}d\mu=\int u^{+}d\mu+\int v^{+}d\mu+\int h^{-}d\mu\implies\int h\,d\mu=\int h^{+}d\mu-\int h^{-}d\mu=\int u^{+}d\mu-\int u^{-}d\mu+\int v^{+}d\mu-\int v^{-}d\mu=\int u\,d\mu+\int v\,d\mu$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\alpha\geq0\implies(\alpha u)^{+}=\alpha u^{+}\land(\alpha u)^{-}=\alpha u^{-}\implies\int\alpha u\,d\mu=\int\alpha u^{+}d\mu-\int\alpha u^{-}d\mu=\alpha\left(\int u^{+}d\mu-\int u^{-}d\mu\right)=\alpha\int u\,d\mu$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\alpha<0\implies(\alpha u)^{+}=(-\alpha)u^{-}\land(\alpha u)^{-}=(-\alpha)u^{+}\implies\int\alpha u\,d\mu=\int(-\alpha)u^{-}d\mu-\int(-\alpha)u^{+}d\mu=(-\alpha)\left(\int u^{-}d\mu-\int u^{+}d\mu\right)=\alpha\int u\,d\mu$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Desigualdad triangular:
\begin_inset Formula 
\[
\forall f\in{\cal L}^{1}(\mu),\left|\int f\,d\mu\right|\leq\int|f|d\mu
\]

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $\left|\int f\,d\mu\right|=0$
\end_inset

 es trivial.
 Si 
\begin_inset Formula $\left|\int f\,d\mu\right|\neq0$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $a\coloneqq \frac{\int f\,d\mu}{|\int f\,d\mu|}$
\end_inset

 y como 
\begin_inset Formula $\forall z\in\mathbb{C},|\text{Re}(z)|\leq|z|$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|\text{Re}(af)|\leq|af|=|f|$
\end_inset

; de aquí que 
\begin_inset Formula $\left|\int f\,d\mu\right|=a\int f\,d\mu=\text{Re}\left(\int af\,d\mu\right)=\int\text{Re}(af)d\mu\leq\int|f|d\mu$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una función medible 
\begin_inset Formula $f:E\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset

 definida en 
\begin_inset Formula $E\in\Sigma$
\end_inset

 es 
\series bold
integrable sobre 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset


\series default
 si la 
\series bold
extensión canónica
\series default
 
\begin_inset Formula $\tilde{f}\coloneqq f\chi_{E}$
\end_inset

 es integrable, y entonces se define 
\begin_inset Formula $\int_{E}f\,d\mu\coloneqq \int\tilde{f}\,d\mu$
\end_inset

.
 Con esto:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f:E\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset

 es una función medible definida en 
\begin_inset Formula $E\in\Sigma$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es integrable sobre 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\forall A\in\Sigma\cap{\cal P}(E),\int_{A}f\,d\mu=0$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 se anula en casi todo 
\begin_inset Formula $\omega\in E$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

En particular, 
\begin_inset Formula $\int(\text{Re}(f))^{+}d\mu=\text{Re}\left(\int_{\{\text{Re}(f)\geq0\}}f\,d\mu\right)=0$
\end_inset

, y por la desigualdad de Tchevichev, 
\begin_inset Formula $\mu\{\text{Re}(f)^{+}>t\}\leq\frac{1}{t}\int(\text{Re}(f))^{+}d\mu=0$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $t>0$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\text{Re}(f)^{+}$
\end_inset

 se anula en casi todo punto.
 Lo mismo sucede con 
\begin_inset Formula $(\text{Re}(f))^{-}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(\text{Im}(f))^{+}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $(\text{Im}(f))^{-}$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 se anula en casi todo punto.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $A\in\Sigma\cap{\cal P}(E)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(\text{Re}(f))^{+}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(\text{Re}(f))^{-}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(\text{Im}(f))^{+}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $(\text{Im}(f))^{-}$
\end_inset

 se anulan en casi todo 
\begin_inset Formula $\omega\in A\subseteq E$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\text{Re}\left(\int f\,d\mu\right)=\int\text{Re}(f)d\mu=\int(\text{Re}(f))^{+}d\mu-\int(\text{Re}(f))^{-}d\mu=0-0=0$
\end_inset

 y, análogamente, 
\begin_inset Formula $\text{Im}\left(\int f\,d\mu\right)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f,g:E\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset

 son medibles iguales en casi todo punto y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es integrable sobre 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 también lo es y 
\begin_inset Formula $\int_{E}f\,d\mu=\int_{E}g\,d\mu$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Basta aplicar el punto anterior a 
\begin_inset Formula $f-g$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
teorema de la convergencia dominada
\series default
 afirma que, dada una sucesión 
\begin_inset Formula $(f_{n}:\Omega\rightarrow\mathbb{C})_{n}$
\end_inset

 de funciones que converge en casi todo punto, si existe 
\begin_inset Formula $g:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset

 integrable con 
\begin_inset Formula $|f_{n}|\leq g\forall n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, entonces la función límite 
\begin_inset Formula $f(\omega)\coloneqq \lim_{n}f_{n}(\omega)$
\end_inset

, definida en casi todo punto, es integrable, 
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{n}\int|f_{n}-f|d\mu=0
\]

\end_inset

y, en particular, 
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{n}\int f_{n}d\mu=\int f\,d\mu
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Las 
\begin_inset Formula $f_{n}$
\end_inset

 son integrables al estar acotadas por una función integrable.
 Te
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

ne
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

mos que 
\begin_inset Formula $|f-f_{n}|\leq|f|+|f_{n}|\leq2g$
\end_inset

 y, teniendo en cuenta que 
\begin_inset Formula $\limsup_{n}|f-f_{n}|=0$
\end_inset

 y aplicando el lema de Fatou a la sucesión de medibles positivas 
\begin_inset Formula $2g-|f-f_{n}|$
\end_inset

, queda que 
\begin_inset Formula $\int2g\,d\mu=\int\liminf_{n}(2g-|f-f_{n}|)d\mu\leq\liminf_{n}\int(2g-|f-f_{n}|)d\mu=\int2g\,d\mu-\limsup_{n}\int|f-f_{n}|$
\end_inset

.
 Restando la cantidad finita 
\begin_inset Formula $\int2g\,d\mu$
\end_inset

 a ambos miembros de la desigualdad, 
\begin_inset Formula $0\leq-\limsup_{n}\int|f-f_{n}|\leq0$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\int|f-f_{n}|=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es integrable porque 
\begin_inset Formula $|f|\leq|f_{n}|+|f-f_{n}|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{sloppypar}
\end_layout

\end_inset

Como 
\series bold
teorema
\series default
, dada una sucesión de funciones integrables 
\begin_inset Formula $(f_{n}:\Omega\rightarrow\mathbb{C})_{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}\int|f_{n}|d\mu<+\infty$
\end_inset

, la serie 
\begin_inset Formula $\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(\omega)$
\end_inset

 converge absolutamente en casi todo punto y su suma es integrable con 
\begin_inset Formula $\int\left(\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}\right)d\mu=\sum_{n=1}^{\infty}\int f_{n}d\mu$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Por el teorema de la convergencia monótona, 
\begin_inset Formula $G\coloneqq \sum_{n}|f_{n}|$
\end_inset

 converge en casi todo punto y es integrable, y 
\begin_inset Formula $S\coloneqq \sum_{n}f_{n}$
\end_inset

 también, y como para 
\begin_inset Formula $(g_{m}\coloneqq \sum_{n=0}^{m}f_{n})_{m}$
\end_inset

 se tiene 
\begin_inset Formula $|g_{m}|\leq G$
\end_inset

, podemos aplicar el teorema de la convergencia dominada para obtener el
 resultado.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{sloppypar}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Relación entre las integrales de Riemann y Lebesgue
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, las funciones integrables Riemann son integrables respecto a la medida
 de Lebesgue y las integrales coinciden.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 integrable Riemann, y por tanto acotada, existe una sucesión 
\begin_inset Formula $(P_{k})_{k}$
\end_inset

 de particiones en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert P_{n}\Vert\rightarrow0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\int_{[a,b]}f(\vec{x})d\vec{x}=\lim_{k}s(f,P_{k})$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $\{N_{k1},\dots,N_{km_{k}}\}$
\end_inset

 es el conjunto de subrectángulos de 
\begin_inset Formula $P_{k}$
\end_inset

, la sucesión 
\begin_inset Formula $(s_{k})_{k}$
\end_inset

 de funciones simples 
\begin_inset Formula $s_{k}(t)\coloneqq \sum_{i=1}^{m_{k}}\chi_{N_{ki}}\inf_{x\in N_{ki}}\{f(x)\}$
\end_inset

 está acotada por la función constante 
\begin_inset Formula $M\coloneqq \chi_{[a,b]}\sup_{x\in[a,b]}\{|f(x)|\}$
\end_inset

 y converge a 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en todos sus puntos de continuidad y por tanto en casi todo punto.
 Entonces, por el teorema de la convergencia dominada, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es integrable Lebesgue en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\int_{[a,b]}f\,d\lambda_{n}=\int_{[a,b]}f(\vec{x})d\vec{x}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una función 
\begin_inset Formula $f:S\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 definida en un intervalo 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-dimensional 
\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 se dice 
\series bold
localmente integrable Riemann
\series default
 si es integrable Riemann sobre cada intervalo compacto 
\begin_inset Formula $I\subseteq S$
\end_inset

.
 Definimos entonces la 
\series bold
integral impropia
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 como
\begin_inset Formula 
\[
\int_{S}f(x)dx:=\lim_{I\nearrow S}\int_{I}f(x)dx
\]

\end_inset

y si existe, decimos que 
\series bold
converge
\series default
.
 La integral impropia 
\begin_inset Formula $\int_{S}f(x)dx$
\end_inset

 es 
\series bold
absolutamente convergente
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\int_{S}|f(x)|dx$
\end_inset

 es convergente.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $f:S\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 localmente integrable Riemann sobre un intervalo 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-dimensional 
\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\int_{S}f(x)dx$
\end_inset

 es absolutamente convergente si y sólo si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es integrable Lebesgue sobre 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\int_{S}f\,d\lambda_{n}=\int_{S}f(x)dx$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es integrable Riemann, y por tanto Lebesgue, sobre todo intervalo compacto
 
\begin_inset Formula $I\subseteq S$
\end_inset

, y dada una sucesión 
\begin_inset Formula $(I_{k})_{k}$
\end_inset

 de intervalos compactos en 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 que tiende a 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(f_{k}\coloneqq \chi_{I_{k}}f)$
\end_inset

 es una sucesión de funciones que tiende a 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $|f_{k}|<|f|\forall k\in\mathbb{N}$
\end_inset

, y por la convergencia dominada tenemos que 
\begin_inset Formula $\int_{S}f\,d\lambda_{n}=\lim_{k}\int f_{k}d\lambda_{n}=\lim_{k}\int_{I_{k}}f\,dx=\int_{S}f(x)dx$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{sloppypar}
\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es integrable Riemann en un intervalo compacto 
\begin_inset Formula $I\subseteq S$
\end_inset

, también es acotada en ese intervalo y por tanto 
\begin_inset Formula $f^{+}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f^{-}$
\end_inset

 también lo son.
 Si además 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es integrable Lebesgue sobre 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, por la convergencia monótona tenemos que si 
\begin_inset Formula $(I_{k})_{k}$
\end_inset

 es una sucesión creciente de in
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

ter
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

va
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

los compactos que tiende a 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\int_{S}f^{+}(x)dx=\lim_{I\nearrow S}\int_{I}f^{+}(x)dx=\lim_{k}\int_{I_{k}}f^{+}(x)dx=\lim_{k}\int_{I_{k}}f^{+}(x)d\lambda_{n}=\int\lim_{k}\chi_{I_{k}}f^{+}(x)d\lambda_{n}=\int_{S}f^{+}(x)d\lambda_{n}<+\infty$
\end_inset

, y análogamente 
\begin_inset Formula $\int_{S}f^{-}(x)dx<+\infty$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\int_{S}|f(x)|dx=\int_{S}f^{+}(x)dx+\int_{S}f^{-}(x)dx<+\infty$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{sloppypar}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
soporte
\series default
 de una función 
\begin_inset Formula $g:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\text{sop}(g)\coloneqq \overline{\{g\neq0\}}$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula ${\cal C}_{0}(\Omega)$
\end_inset

 al conjunto de funciones continuas 
\begin_inset Formula $g:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset

 con soporte compacto.
 Como 
\series bold
teorema
\series default
, 
\begin_inset Formula ${\cal C}_{0}(\mathbb{R}^{n})$
\end_inset

 es denso en 
\begin_inset Formula ${\cal L}^{1}(\mathbb{R}^{n})$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Como las funciones simples medibles son densas en 
\begin_inset Formula ${\cal L}^{1}(\mathbb{R}^{n})$
\end_inset

, basta ver que la función característica de cualquier conjunto medible
 Lebesgue es límite de una sucesión de funciones en 
\begin_inset Formula ${\cal C}_{0}(\mathbb{R}^{n})$
\end_inset

.
 Para ello, dado un medible 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, existen 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 compacto y 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 abierto con 
\begin_inset Formula $K\subseteq E\subseteq A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lambda(A\backslash K)<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $f\in{\cal C}_{0}(\mathbb{R}^{n})$
\end_inset

 cumple que 
\begin_inset Formula $K\subseteq\text{sop}(f)\subseteq A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\chi_{K}\leq f\leq1$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\Vert f-\chi_{E}\Vert_{\infty}\leq2\chi_{A\backslash K}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Vert f-\chi_{E}\Vert_{\infty}\leq2\lambda(A\backslash K)<\varepsilon$
\end_inset

.
 Para ver que existe 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, fijado un cerrado 
\begin_inset Formula $F\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $d(x,F)$
\end_inset

 es continua, y como 
\begin_inset Formula $\delta\coloneqq \min\{d(x,K)\mid x\notin A\}>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A_{0}\coloneqq \{x\mid d(x,K)<\frac{\delta}{2}\}$
\end_inset

 es un abierto acotado con 
\begin_inset Formula $K\subseteq A_{0}\subseteq\overline{A_{0}}\subseteq A$
\end_inset

.
 Tomando 
\begin_inset Formula $F_{0}\coloneqq \mathbb{R}^{n}\backslash A_{0}=\{x\mid d(x,K)\geq\frac{\delta}{2}\}$
\end_inset

, podemos definir 
\begin_inset Formula $f_{0}(y)\coloneqq \frac{d(y,F_{0})}{1+d(y,F_{0})}$
\end_inset

, que cumple 
\begin_inset Formula $0\leq f_{0}\leq1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f_{0}(x)=0\forall x\in F_{0}\supseteq\mathbb{R}^{n}\backslash A$
\end_inset

 y, como para 
\begin_inset Formula $y\in K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $d(y,F_{0})\geq\frac{\delta}{2}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f_{0}(y)\geq k_{0}\coloneqq \frac{\frac{\delta}{2}}{1+\frac{\delta}{2}}$
\end_inset

 y la función continua 
\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq \min\{1,\frac{f_{0}(x)}{k_{0}}\}$
\end_inset

 tiene soporte compacto en 
\begin_inset Formula $\overline{A_{0}}\subseteq A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\chi_{K}\leq f\leq1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Integrales dependientes de un parámetro
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
 sean 
\begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma,\mu)$
\end_inset

 un espacio de medida, 
\begin_inset Formula $(X,d)$
\end_inset

 un espacio métrico y 
\begin_inset Formula $f:X\times\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset

 una función tal que:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para casi todo 
\begin_inset Formula $\omega\in\Omega$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $f^{\omega}(x)\coloneqq f(x,\omega)$
\end_inset

 es continua.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para todo 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $f_{x}(\omega)\coloneqq f(x,\omega)$
\end_inset

 es medible.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Existe 
\begin_inset Formula $g:\Omega\rightarrow[0,+\infty)$
\end_inset

 tal que para todo 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

, para casi todo 
\begin_inset Formula $\omega\in\Omega$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|f(x,\omega)|\leq g(\omega)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Entonces para todo 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $f_{x}$
\end_inset

 es integrable y 
\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \int f(x,\omega)d\mu(\omega)$
\end_inset

 es continua.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Como 
\begin_inset Formula $(X,d)$
\end_inset

 es un espacio métrico, la continuidad de las funciones en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 se puede caracterizar mediante sucesiones, por lo que basta tomar una sucesión
 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
\end_inset

 de elementos de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 que converge a un cierto 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 arbitrario y probar que 
\begin_inset Formula 
\[
\left(F(x_{n})=\int f(x_{n},\omega)d\mu(\omega)\right)_{n}
\]

\end_inset

 converge a 
\begin_inset Formula $F(x)$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $N\in\Sigma$
\end_inset

 de medida cero tal que 
\begin_inset Formula $f^{\omega}$
\end_inset

 es continua para 
\begin_inset Formula $\omega\notin N$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $f^{\omega}(x_{n})=f(x_{n},\omega)\rightarrow f(x,\omega)$
\end_inset

.
 Podemos tomar una sucesión 
\begin_inset Formula $(A_{n})_{n}$
\end_inset

 de conjuntos de medida nula tales que para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\omega\notin A_{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|f(x_{n},\omega)|\leq g(\omega)$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $N\cup\bigcup_{n}A_{n}$
\end_inset

 tiene medida nula y fuera de él, como la sucesión 
\begin_inset Formula $(f_{x_{n}})_{n}$
\end_inset

 converge puntualmente y 
\begin_inset Formula $|f_{x_{n}}|\leq g\forall n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, podemos aplicar el teorema de la convergencia dominada y 
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{n}F(x_{n})=\lim_{n}\int f(x_{n},\omega)d\mu(\omega)=\int\lim_{n}f(x_{n},\omega)d\mu(\omega)=\int f(x,\omega)d\mu(\omega)=F(x)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Otro 
\series bold
teorema
\series default
 nos dice que si 
\begin_inset Formula $I\subseteq\mathbb{R}$
\end_inset

 es un intervalo y 
\begin_inset Formula $f:I\times\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset

 cumple que:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para casi todo 
\begin_inset Formula $\omega\in\Omega$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $f^{\omega}(x)\coloneqq f(x,\omega)$
\end_inset

 es derivable (
\begin_inset Formula $\exists\frac{\partial f}{\partial x}(x,\omega)$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para todo 
\begin_inset Formula $x\in I$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $f_{x}(\omega)\coloneqq f(x,\omega)$
\end_inset

 es medible, siendo integrable para algún 
\begin_inset Formula $x_{0}\in I$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Existe 
\begin_inset Formula $g:\Omega\rightarrow[0,+\infty)$
\end_inset

 integrable tal que para casi todo 
\begin_inset Formula $\omega\in\Omega$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x\in I$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,\omega)\right|\leq g(\omega)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Entonces para todo 
\begin_inset Formula $x\in I$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f_{x}$
\end_inset

 es integrable, 
\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \int f(x,\omega)d\mu(\omega)$
\end_inset

 es derivable y 
\begin_inset Formula $F'(x)=\int\frac{\partial f}{\partial x}(x,\omega)d\mu(\omega)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $A\in\Sigma$
\end_inset

 de medida nula tal que 
\begin_inset Formula 
\[
\left|\frac{\partial f}{\partial x}(s,\omega)\right|\leq g(\omega)
\]

\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $\omega\notin A$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $s\in I$
\end_inset

, por el teorema del incremento finito, si 
\begin_inset Formula $\omega\notin A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
|f(x,\omega)-f(x_{0},\omega)|=\left|\frac{\partial f}{\partial x}(\xi_{x,\omega},\omega)(x-x_{0})\right|\leq g(\omega)|x-x_{0}|
\]

\end_inset

Entonces 
\begin_inset Formula $f_{x}$
\end_inset

 se diferencia de 
\begin_inset Formula $f_{x_{0}}$
\end_inset

 en un múltiplo de una función integrable 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

, por lo que también es integrable.
 Para ver que la integral es derivable, basta tomar una sucesión 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
\end_inset

 de elementos de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 que converge a un cierto 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 arbitrario y probar que existe 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\frac{F(x_{n})-F(x)}{x_{n}-x}$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $N\in\Sigma$
\end_inset

 de medida nula tal que para 
\begin_inset Formula $\omega\notin N$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f^{\omega}$
\end_inset

 es derivable y por tanto 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{f(x_{n},\omega)-f(x,\omega)}{x_{n}-x}\rightarrow\frac{\partial f}{\partial x}(x,\omega)
\]

\end_inset

Entonces 
\begin_inset Formula $N\cup A$
\end_inset

 tiene medida nula y fuera de él, la sucesión
\begin_inset Formula 
\[
\left(h_{n,\omega}:=\frac{f(x_{n},\omega)-f(x,\omega)}{x_{n}-x}\right)_{n}
\]

\end_inset

 cumple que 
\begin_inset Formula 
\[
|h_{n,\omega}|=\left|\frac{f(x_{n},\omega)-f(x,\omega)}{x_{n}-x}\right|=\left|\frac{\partial f}{\partial x}f(\eta_{x,x_{n},\omega},\omega)\right|\leq g(\omega)
\]

\end_inset

 y, como además converge puntualmente, podemos aplicar el teorema de la
 convergencia dominada y 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
F'(x) & = & \lim_{n}\frac{F(x_{n})-F(x)}{x_{n}-x}=\lim_{n}\frac{\int f(x_{n},\omega)d\mu(\omega)-\int f(x_{n},\omega)d\mu(\omega)}{x_{n}-x}\\
 & = & \lim_{n}\int\frac{f(x_{n},\omega)-f(x,\omega)}{x_{n}-x}d\mu(\omega)=\int\left(\lim_{n}\frac{f(x_{n},\omega)-f(x,\omega)}{x_{n}-x}\right)d\mu(\omega)\\
 & = & \int\frac{\partial f}{\partial x}(x,\omega)d\mu(\omega)
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document