#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 544
\begin_document
\begin_header
\save_transient_properties true
\origin unavailable
\textclass book
\use_default_options true
\begin_modules
algorithm2e
\end_modules
\maintain_unincluded_children false
\language spanish
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman "default" "default"
\font_sans "default" "default"
\font_typewriter "default" "default"
\font_math "auto" "auto"
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100 100
\font_tt_scale 100 100
\use_microtype false
\use_dash_ligatures true
\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_package amsmath 1
\use_package amssymb 1
\use_package cancel 1
\use_package esint 1
\use_package mathdots 1
\use_package mathtools 1
\use_package mhchem 1
\use_package stackrel 1
\use_package stmaryrd 1
\use_package undertilde 1
\cite_engine basic
\cite_engine_type default
\biblio_style plain
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\justification true
\use_refstyle 1
\use_minted 0
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\is_math_indent 0
\math_numbering_side default
\quotes_style french
\dynamic_quotes 0
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Standard
Dado un anillo conmutativo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, llamamos 
\begin_inset Formula $A[[X]]$
\end_inset

 al anillo conmutativo de las sucesiones de elementos de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 entendidas como 
\series bold
series de potencias
\series default
 en una 
\series bold
indeterminada
\series default
 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(a_{n})_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}X^{n}$
\end_inset

, con las operaciones
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
(a_{n})_{n}+(b_{n})_{n} & :=(a_{n}+b_{n})_{n}; & (a_{n})_{n}(b_{n})_{n} & :=\left(\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{n}.
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 al subanillo de 
\begin_inset Formula $A[[X]]$
\end_inset

 formado por las sucesiones con un número finito de elementos no nulos,
 a las que llamamos 
\series bold
polinomios
\series default
 en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un subanillo de 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 identificando los elementos de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 con los 
\series bold
polinomios constantes
\series default
, de la forma 
\begin_inset Formula $P(X)=a_{0}$
\end_inset

.
 Dado un ideal 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]\mid a_{0}\in I\}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $I[X]\coloneqq \{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]\mid a_{0},\dots,a_{n}\in I\}$
\end_inset

 son ideales de 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado 
\begin_inset Formula $p\coloneqq \sum_{k\in\mathbb{N}}p_{k}X^{k}\in A[X]\setminus\{0\}$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
grado
\series default
 de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\text{gr}(p)\coloneqq \max\{k\in\mathbb{N}\mid p_{k}\neq0\}$
\end_inset

, 
\series bold
coeficiente
\series default
 de 
\series bold
grado
\series default
 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $p_{k}$
\end_inset

, 
\series bold
coeficiente independiente
\series default
 al de grado 0 y 
\series bold
coeficiente principal
\series default
 al de grado 
\begin_inset Formula $\text{gr}(p)$
\end_inset

.
 Un polinomio es 
\series bold
mónico
\series default
 si su coeficiente princial es 1.
 El polinomio 0 tiene grado 
\begin_inset Formula $-\infty$
\end_inset

 por convención.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
monomio
\series default
 es un polinomio de la forma 
\begin_inset Formula $aX^{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

.
 Todo polinomio en 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 se escribe como suma finita de monomios de distinto grado de forma única
 salvo orden.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]\setminus\{0\}$
\end_inset

 tienen coeficientes principales respectivos 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{gr}(P+Q)\leq\max\{\text{gr}(P),\text{gr}(Q)\}$
\end_inset

, con desigualdad estricta si y sólo si 
\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=\text{gr}(Q)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p+q=0$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $P=:\sum_{k}a_{k}X^{k}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q=:\sum_{k}b_{k}X^{k}$
\end_inset

 con grados respectivos 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $t\coloneqq \max\{m,n\}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $P+Q=\sum_{k}(a_{k}+b_{k})X^{k}$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $a_{k}+b_{k}=0+0=0$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $k>m,n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si la desigualdad es estricta, 
\begin_inset Formula $a_{t}+b_{t}=0$
\end_inset

.
 Como al menos 
\begin_inset Formula $a_{t}$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $b_{t}$
\end_inset

 no es nulo, el otro tampoco puede serlo, luego 
\begin_inset Formula $m,n\geq t$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $m=n=t$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a_{t}=p$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b_{t}=q$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

El coeficiente de grado 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $P+Q$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $a_{t}+b_{t}=a_{m}+b_{n}=p+q=0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{gr}(PQ)\leq\text{gr}(P)+\text{gr}(Q)$
\end_inset

, con igualdad si y sólo si 
\begin_inset Formula $pq\neq0$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Para 
\begin_inset Formula $N>n+m$
\end_inset

, el coeficiente de grado 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $PQ$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{k=0}^{N}a_{k}b_{N-k}=\sum_{k=0}^{m}a_{k}b_{N-k}+\sum_{k=m+1}^{N}a_{k}b_{N-k}=\sum_{k=0}^{m}a_{k}\cdot0+\sum_{k=m+1}^{N}0\cdot b_{N-k}=0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
El coeficiente de grado 
\begin_inset Formula $n+m$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $PQ$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $a_{m}b_{n}=pq$
\end_inset

, luego la igualdad se da si y sólo si esto es no nulo.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 no es un cuerpo
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
, pues 
\begin_inset Formula $(X)$
\end_inset

 es un ideal propio no nulo
\end_layout

\end_inset

.
 Es un dominio si y sólo si lo es 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, en cuyo caso llamamos 
\series bold
cuerpo de las funciones racionales
\series default
 sobre 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 al cuerpo de fracciones de 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es subanillo de 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]\setminus\{0\}$
\end_inset

, como los coeficientes principales de 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 no son nulos y 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un dominio, el de 
\begin_inset Formula $PQ$
\end_inset

 tampoco lo es.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Propiedad universal
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Propiedad universal del anillo de polinomios
\series default
 (
\series bold
PUAP
\series default
)
\series bold
:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 un anillo y 
\begin_inset Formula $u:A\to A[X]$
\end_inset

 el homomorfismo inclusión:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para cada homomorfismo de anillos conmutativos 
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\in B$
\end_inset

, el único homomorfismo 
\begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X]\to B$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\tilde{f}(X)=b$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
\tilde{f}\left(\sum_{n}p_{n}X^{n}\right):=\sum_{n}f(p_{n})b^{n}.
\]

\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $\tilde{f}$
\end_inset

 cumple las condiciones,
\begin_inset Formula 
\[
\tilde{f}\left(\sum_{n\in\mathbb{N}}p_{n}X^{n}\right)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\tilde{f}(u(p_{n}))\tilde{f}(X)^{n}=\sum_{n\in\mathbb{N}}f(p_{n})b^{n},
\]

\end_inset

lo que prueba la unicidad.
 Es claro que 
\begin_inset Formula $\tilde{f}(1)=1$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $p,q\in A[X]$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\tilde{f}(p+q) & =\sum_{n\in\mathbb{N}}f(p_{n}+q_{n})b^{n}=\sum_{n\in\mathbb{N}}f(p_{n})b^{n}+\sum_{n\in\mathbb{N}}f(q_{n})b^{n}=\tilde{f}(p)+\tilde{f}(q);\\
\tilde{f}(pq) & =\sum_{n\in\mathbb{N}}f\left(\sum_{k=0}^{n}p_{k}q_{n-k}\right)b^{n}=\sum_{n\in\mathbb{N}}\sum_{k=0}^{n}f(p_{k})f(q_{n-k})b^{n}=\\
 & =\sum_{i,j\in\mathbb{N}}f(p_{i})f(q_{j})b^{i+j}=\left(\sum_{i\in\mathbb{N}}f(p_{i})b^{i}\right)\left(\sum_{j\in\mathbb{N}}f(q_{j})b^{j}\right)=\tilde{f}(p)\tilde{f}(q).
\end{align*}

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 están determinados salvo isomorfismos por la propiedad universal: dados
 un homomorfismo de anillos 
\begin_inset Formula $v:A\to P$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $t\in P$
\end_inset

 tales que, para cada homomorfismo de anillos 
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\in B$
\end_inset

, existe un único 
\begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tilde{f}(t)=b$
\end_inset

, existe un isomorfismo 
\begin_inset Formula $\phi:A[X]\to P$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\phi\circ u=v$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\phi(X)=t$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Tomando 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 como homomorfismo en la propiedad universal, existe 
\begin_inset Formula $\tilde{v}:A[X]\to P$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\tilde{v}\circ u=v$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tilde{v}(X)=t$
\end_inset

, y tomando 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\tilde{u}:P\to A[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\tilde{u}\circ v=u$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tilde{u}(t)=X$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $(\tilde{u}\circ\tilde{v})\circ u=\tilde{u}\circ v=u$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(\tilde{u}\circ\tilde{v})(X)=\tilde{u}(t)=X$
\end_inset

, y por la unicidad en la propiedad universal, 
\begin_inset Formula $\tilde{u}\circ\tilde{v}=1_{A[X]}$
\end_inset

.
 Del mismo modo, 
\begin_inset Formula $(\tilde{v}\circ\tilde{u})\circ v=\tilde{v}\circ u=v$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(\tilde{v}\circ\tilde{u})(t)=\tilde{v}(X)=t$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\tilde{v}\circ\tilde{u}=1_{P}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tilde{v}$
\end_inset

 es el isomorfismo buscado.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Así:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un subanillo de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\in B$
\end_inset

, el 
\series bold
homomorfismo de sustitución
\series default
 o 
\series bold
de evaluación
\series default
 en 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $S_{b}:A[X]\to B$
\end_inset

 dado por
\begin_inset Formula 
\[
S_{b}(p):=p(b):=\sum_{n}p_{n}b^{n},
\]

\end_inset

y su imagen es el subanillo generado por 
\begin_inset Formula $A\cup\{b\}$
\end_inset

, llamado 
\begin_inset Formula $A[b]$
\end_inset

.
 Todo 
\begin_inset Formula $p\in A[X]$
\end_inset

 induce una 
\series bold
función polinómica
\series default
 
\begin_inset Formula $\hat{p}:B\to B$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\hat{p}(b)\coloneqq S_{b}(p)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $S_{b}$
\end_inset

 se obtiene al aplicar la PUAP a la inclusión.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dado 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

, el homomorfismo de sustitución 
\begin_inset Formula $S_{X+a}$
\end_inset

 es un automorfismo de 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 con inverso 
\begin_inset Formula $S_{X-a}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $S_{X-a}(S_{X+a}(X))=S_{X-a}(X+a)=X$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $S_{X-a}(S_{X+a}(a))=S_{X-a}(a)=a$
\end_inset

.
 Análogamente, 
\begin_inset Formula $S_{X+a}(S_{X-a}(X))=X$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $S_{X+a}(S_{X-a}(a))=a$
\end_inset

, luego por unicidad de la PUAP, 
\begin_inset Formula $S_{X-a}\circ S_{X+a}=S_{X+a}\circ S_{X-a}=1_{A[X]}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un anillo conmutativo, 
\begin_inset Formula $\frac{A[X]}{(X)}\cong A$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
El homomorfismo 
\begin_inset Formula $A[X]\to A$
\end_inset

 de sustitución en el 0 es suprayectivo con núcleo 
\begin_inset Formula $(X)$
\end_inset

, y basta aplicar el primer teorema de isomorfía.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo homomorfismo de anillos 
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset

 induce un homomorfismo 
\begin_inset Formula $\hat{f}:A[X]\to B[X]$
\end_inset

 dado por
\begin_inset Formula 
\[
\hat{f}(p)=\sum_{n}f(p_{n})X^{n},
\]

\end_inset

que es inyectivo o suprayectivo si lo es 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Se obtiene de aplicar la PUAP a la composición de la inclusión 
\begin_inset Formula $B\to B[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un subanillo de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 lo es de 
\begin_inset Formula $B[X]$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Basta aplicar lo anterior al homomorfismo inyectivo inclusión.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 es un ideal de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, el 
\series bold
homomorfismo de reducción de coeficientes módulo 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset


\series default
 es 
\begin_inset Formula $\tilde{\pi}:A[X]\to(A/I)[X]$
\end_inset

 dado por
\begin_inset Formula 
\[
\tilde{\pi}(p):=\sum_{n}(p_{n}+I)X^{n}.
\]

\end_inset

Su núcleo es 
\begin_inset Formula $I[X]$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $(A/I)[X]\cong\frac{A[X]}{I[X]}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Se obtiene de aplicar la PUAP a la proyección 
\begin_inset Formula $A\to A/I$
\end_inset

.
 Es fácil ver que 
\begin_inset Formula $I[X]$
\end_inset

 es un ideal, y entonces basta aplicar el primer teorema de isomorfía.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Raíces de polinomios
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $f,g\in A[X]$
\end_inset

, si el coeficiente principal de 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es invertible en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, existen dos únicos polinomios 
\begin_inset Formula $q,r\in A[X]$
\end_inset

, llamados respectivamente 
\series bold
cociente
\series default
 y 
\series bold
resto
\series default
 de la 
\series bold
división
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 entre 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

, tales que 
\begin_inset Formula $f=gq+r$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{gr}(r)<\text{gr}(g)$
\end_inset

, y se obtienen con el algoritmo 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "alg:poly-div"
plural "false"
caps "false"
noprefix "false"

\end_inset

.
 En particular, el grado es una función euclídea.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Para la existencia, basta ver que 
\begin_inset Formula $d\coloneqq \mathtt{dividir}$
\end_inset

 termina y los valores 
\begin_inset Formula $(q,r)$
\end_inset

 devueltos cumplen 
\begin_inset Formula $f=g(q-acc)+r$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{gr}(r)<\text{gr}(q)$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $n<m$
\end_inset

, incluyendo si 
\begin_inset Formula $f=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $d(f,acc)=(acc,f)$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $n=m=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $d(f,acc)=d(f-\frac{f_{0}}{g_{0}}g,acc+\frac{f_{0}}{g_{0}})=(acc+\frac{f}{g},0)$
\end_inset

, y como en ambos casos se cumple la condición, esto queda probado para
 
\begin_inset Formula $n=0$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $n>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $n\geq m$
\end_inset

, suponiendo esto probado para grado menor que 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $p\coloneqq \frac{f_{n}}{g_{m}}X^{n-m}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(q,r)\coloneqq d(f,acc)=d(f-pg,acc+p)$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $pg$
\end_inset

 tiene grado 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 y coeficiente principal 
\begin_inset Formula $f_{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{gr}(f-pg)<\text{gr}(f)$
\end_inset

, luego por hipótesis de inducción el algoritmo termina, 
\begin_inset Formula $\text{gr}(r)<\text{gr}(g)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f-pg=g(q-acc-p)+r$
\end_inset

, y despejando, 
\begin_inset Formula $f=g(q-acc)+r$
\end_inset

.
 Para la unicidad, si 
\begin_inset Formula $q,r,q',r'$
\end_inset

 son tales que 
\begin_inset Formula $f=gq+r=gq'+r'$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{gr}(r),\text{gr}(r')<\text{gr}(g)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{gr}(g)+\text{gr}(q-q')=\text{gr}(g(q-q'))=\text{gr}(r'-r)\leq\max\{\text{gr}(r),\text{gr}(r')\}<\text{gr}(g)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\text{gr}(q-q')<0$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $q=q'$
\end_inset

, y despejando 
\begin_inset Formula $r=r'$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float algorithm
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
Entrada{Polinomios $f$ y $g
\backslash
neq0$ con coeficiente principal de $g$ invertible.}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
Salida{Cociente $q$ y resto $r$ de $f$ entre $g$.}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
SetKwProg{Fn}{función}{}{fin}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
SetKwFunction{dividir}{dividir}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$m:=
\backslash
text{gr}(g)$
\backslash
;
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
Fn(
\backslash
tcp*[h]{{
\backslash
rm $acc$ acumula términos de $q$.}}){
\backslash
dividir{$f,acc$}}{
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

	$n:=
\backslash
text{gr}(f)$
\backslash
;
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

	
\backslash
lSSi{$n<m$}{$(acc,f)$}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

	
\backslash
lEnOtroCaso{
\backslash
dividir{$f-{f_n
\backslash
over g_m}X^{n-m}g,acc+{f_n
\backslash
over g_m}X^{n-m}$}}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$q,r
\backslash
gets$
\backslash
,
\backslash
dividir{$f,0$}
\backslash
;
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "alg:poly-div"

\end_inset

División de polinomios.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema del resto:
\series default
 Dados 
\begin_inset Formula $f\in A[X]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

, el resto de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 entre 
\begin_inset Formula $X-a$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $f(a)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
En efecto, si 
\begin_inset Formula $f=q(X-a)+r$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $p,q\in A[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{gr}(r)<1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 es constante y 
\begin_inset Formula $r=r(a)=f(a)-q(a)(a-a)=f(a)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset

 De aquí se obtiene el 
\series bold
teorema de Ruffini
\series default
, que dice que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es divisible por 
\begin_inset Formula $X-a$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $f(a)=0$
\end_inset

, en cuyo caso 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es una 
\series bold
raíz
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $f\in A[X]\setminus\{0\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $m\coloneqq \max\{k\in\mathbb{N}\mid (X-a)^{k}\mid f\}$
\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
, pues 
\begin_inset Formula $(X-a)^{0}\mid f$
\end_inset

 y si 
\begin_inset Formula $(X-a)^{k}\mid f$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $k=\text{gr}((X-a)^{k})\leq\text{gr}(f)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
 Llamamos a 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 
\series bold
multiplicidad
\series default
 de 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es raíz de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $m\geq1$
\end_inset

.
 Decimos que 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es una 
\series bold
raíz simple
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $m=1$
\end_inset

 y que es una 
\series bold
raíz compuesta
\series default
 si 
\begin_inset Formula $m>1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
La multiplicidad de 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es el único natural 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $f=(X-a)^{m}g$
\end_inset

 para algún 
\begin_inset Formula $g\in A[X]$
\end_inset

 del que 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 no es raíz.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 la multiplicidad.
 Entonces 
\begin_inset Formula $f=(X-a)^{m}h$
\end_inset

 para algún 
\begin_inset Formula $h\in A[X]$
\end_inset

, y si fuera 
\begin_inset Formula $X-a\mid h$
\end_inset

, para algún 
\begin_inset Formula $h'$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f=(X-a)^{m+1}h'\#$
\end_inset

.
 Para la unicidad, si 
\begin_inset Formula $f=(X-a)^{m}g$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(X-a)^{m}\mid f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n\ge m$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $X-a$
\end_inset

 es mónico, es cancelable en 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 y de 
\begin_inset Formula $(X-a)^{m}g=(X-a)^{n}h$
\end_inset

 obtenemos 
\begin_inset Formula $g=(X-a)^{n-m}h$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $X-a\nmid g$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $n-m=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n=m$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un dominio, 
\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus\{0\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}$
\end_inset

 son 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 elementos de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{Z}^{>0}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $(X-a_{k})^{\alpha_{k}}\mid f$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $(X-a_{1})^{\alpha_{1}}\cdots(X-a_{n})^{\alpha_{n}}\mid f$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\leq\text{gr}(f)$
\end_inset

 y, en particular, la suma de las multiplicidades de las raíces de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, y el número de raíces, no son superiores a 
\begin_inset Formula $\text{gr}(f)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $s\coloneqq \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}=1$
\end_inset

 es evidente.
 Para 
\begin_inset Formula $s>1$
\end_inset

, sabemos que existen 
\begin_inset Formula $g,h\in D[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $g(X-a_{1})^{\alpha_{1}}=f=h(X-a_{1})^{\alpha_{1}-1}(X-a_{2})^{\alpha_{2}}\cdots(X-a_{n})^{\alpha_{n}}$
\end_inset

, luego cancelando 
\begin_inset Formula $(X-a_{1})^{\alpha_{1}-1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X-a_{1}\mid h(X-a_{2})^{\alpha_{2}}\cdots(X-a_{n})^{\alpha_{n}}$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $a,b\in D[X]$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $X-a_{1}\mid ab$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a(a_{1})b(a_{1})=(ab)(a_{1})=0$
\end_inset

, luego o 
\begin_inset Formula $a(a_{1})=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $X-a_{1}\mid a$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $b(a_{1})=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $X-a_{1}\mid b$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $X-a_{1}$
\end_inset

 es primo, y como no divide a ninguno de 
\begin_inset Formula $X-a_{2},\dots,X-a_{n}$
\end_inset

, divide a 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

, de donde se obtiene el resultado.
 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Principio de las identidades polinómicas:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 un dominio:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$
\end_inset

, si las funciones polinómicas 
\begin_inset Formula $f,g:D\to D$
\end_inset

 coinciden en 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 elementos de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $m>\text{gr}(f),\text{gr}(g)$
\end_inset

, los polinomios 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 son iguales.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{m}$
\end_inset

 estos elementos, 
\begin_inset Formula $(X-a_{1})\cdots(X-a_{m})\mid f-g$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $\text{gr}(f-g)\leq\max\{\text{gr}(f),\text{gr}(g)\}<m$
\end_inset

, luego debe ser 
\begin_inset Formula $f-g=0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es infinito si y sólo si cualquier par de polinomios distintos en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

 define dos funciones polinómicas distintas en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si hubiera 
\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$
\end_inset

 con iguales funciones polinómicas, coincidirían en infinitos puntos y,
 por lo anterior, 
\begin_inset Formula $f=g$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 fuera finito, habría infinitos polinomios pero una cantidad finita de funciones
 polinómicas.
\end_layout

\end_deeper
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como ejemplo de lo anterior, por el teorema pequeño de Fermat, dado un primo
 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, todos los elementos de 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$
\end_inset

 son raíces de 0 y 
\begin_inset Formula $X^{p}-X$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un anillo conmutativo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, definimos la 
\series bold
derivada
\series default
 de 
\begin_inset Formula $P\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $P'\coloneqq D(P)\coloneqq \sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$
\end_inset

, y escribimos 
\begin_inset Formula $P^{(0)}\coloneqq P$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P^{(n+1)}\coloneqq P^{(n)\prime}$
\end_inset

.
 Dados 
\begin_inset Formula $a,b\in A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(aP+bQ)'=aP'+bQ'$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
D(aP+bQ)=D\left(a\sum_{k}p_{k}X^{k}+b\sum_{k}q_{k}X^{k}\right)=D\left(\sum_{k}(ap_{k}+bq_{k})X^{k}\right)=\\
=\sum_{k}k(ap_{k}+bq_{k})X^{k-1}=a\sum_{k}kp_{k}X^{k-1}+b\sum_{k}kq_{k}X^{k-1}=aD(P)+bD(Q).
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(PQ)'=P'Q+PQ'$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
D(PQ)=D\left(\left(\sum_{k}p_{k}X^{k}\right)\left(\sum_{k}q_{k}X^{k}\right)\right)=D\left(\sum_{k}\left(\sum_{i=0}^{k}p_{i}q_{k-i}\right)X^{k}\right)=\\
=\sum_{k}\sum_{i=0}^{k}kp_{i}q_{k-i}X^{k-1}=\sum_{i,j}(i+j)p_{i}q_{j}X^{i+j-1}=\\
=\sum_{i,j}ip_{i}q_{j}X^{i-1}X^{j}+\sum_{i,j}jp_{i}q_{j}X^{i}X^{j-1}=\\
=\left(\sum_{i}ip_{i}X^{i-1}\right)\left(\sum_{j}q_{j}X^{j}\right)+\left(\sum_{i}p_{i}X^{i}\right)\left(\sum_{j}q_{j}X^{j-1}\right)=D(P)Q+PD(Q).
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(P^{n})'=nP^{n-1}P'$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $P^{n-1}$
\end_inset

 está definido para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $1P^{1-1}P'=1\cdot1\cdot P'=(P^{1})'$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $n>1$
\end_inset

, supuesto esto probado para 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(P^{n})'=(P^{n-1}P)'=(P^{n-1})'P+P^{n-1}P'=(n-1)P^{n-1}P'+P^{n-1}P'=nP^{n-1}P'$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dados un dominio 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 de característica 0, 
\begin_inset Formula $P\in D[X]\setminus\{0\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in D$
\end_inset

, la multiplicidad de 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 es el menor 
\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}_{0}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $P^{(m)}(a)\neq0$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Veamos primero que, para 
\begin_inset Formula $k>0$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $P=(X-a)Q$
\end_inset

 para un cierto 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $P^{(k)}=kQ^{(k-1)}+(X-a)Q^{(k)}$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $k=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $P'=((X-a)Q)'=Q+(X-a)Q'$
\end_inset

, y supuesto esto probado para un cierto 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $P^{(k+1)}=P^{(k)\prime}=(kQ^{(k-1)}+(X-a)Q^{(k)})'=kQ^{(k)}+Q^{(k)}+(X-a)Q^{(k+1)}=(k+1)Q^{(k)}+(X-a)Q^{(k+1)}$
\end_inset

.
 Sea ahora 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 la multiplicidad.
 Para 
\begin_inset Formula $m=0$
\end_inset

 es claro que el enunciado se cumple.
 Sea ahora 
\begin_inset Formula $m>0$
\end_inset

 y supongamos esto probado para 
\begin_inset Formula $m-1$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $P=(X-a)Q$
\end_inset

 para un cierto 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 y la multiplicidad de 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $m-1$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $Q^{(k)}(a)=0$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $k<m-1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q^{(m-1)}(a)\neq0$
\end_inset

.
 Así, 
\begin_inset Formula $P^{(0)}(a)=0$
\end_inset

, y por la propiedad probada al principio, 
\begin_inset Formula $P^{(t)}(a)=tQ^{(t-1)}+(a-a)Q^{(t)}=tQ^{(t-1)}$
\end_inset

, luego para 
\begin_inset Formula $1\leq k<m$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $P^{(k)}(a)=kQ^{(k-1)}(a)=0$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $P^{(m)}(a)=kQ^{(m-1)}(a)\neq0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Divisibilidad en anillos de polinomios
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 es un dominio euclídeo si y sólo si es un DIP, si y sólo si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un cuerpo.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies2]$
\end_inset

 Visto.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies3]$
\end_inset

 Si 
\begin_inset Formula $X=PQ$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{gr}P+\text{gr}Q=1$
\end_inset

, y si, por ejemplo, 
\begin_inset Formula $\text{gr}Q=0$
\end_inset

, el coeficiente principal de 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $Q^{-1}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 es unidad.
 Entonces 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es irreducible, y al ser 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 DIP, 
\begin_inset Formula $(X)$
\end_inset

 es maximal.
 Para 
\begin_inset Formula $a\in A\setminus\{0\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a\notin(X)$
\end_inset

, luego al ser 
\begin_inset Formula $(X)$
\end_inset

 maximal es 
\begin_inset Formula $(a,X)=A[X]$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $1=aP+XQ$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $1=aP(0)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es invertible en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies1]$
\end_inset

 El grado es una función euclídea en 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

.
 En efecto, sea 
\begin_inset Formula $D\coloneqq A[X]$
\end_inset

, es claro que 
\begin_inset Formula $\forall a,b\in D\setminus\{0\},(a\mid b\implies\text{gr}(a)\leq\text{gr}(b))$
\end_inset

, y para la otra condición basta tomar el cociente y el resto teniendo en
 cuenta que todos los elementos de 
\begin_inset Formula $A\setminus\{0\}$
\end_inset

 son invertibles.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 un dominio y 
\begin_inset Formula $p\in D$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 si y sólo si lo es en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si hubiera 
\begin_inset Formula $Q\in D[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $pQ=1$
\end_inset

 sería 
\begin_inset Formula $\text{gr}Q=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q\in D$
\end_inset

, pero sabemos que 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 no es unidad en 
\begin_inset Formula $D\#$
\end_inset

.
 Entonces si 
\begin_inset Formula $p=PQ$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $P,Q\in D[X]$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $P,Q\neq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{gr}P=\text{gr}Q=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $P,Q\in D$
\end_inset

 y uno de 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 es unidad.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Se obtiene de que 
\begin_inset Formula $D\subseteq D[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es primo en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

, lo es en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $a,b\in D$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p\mid ab$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p\mid a$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $p\mid b$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

, pero si, por ejemplo, 
\begin_inset Formula $pt=a$
\end_inset

 para un 
\begin_inset Formula $t\in D[X]$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\text{gr}t=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p\mid a$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 es análogo.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un DFU, 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 si y sólo si lo es en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

, si y sólo si es primo en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, si y sólo si lo es en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies1,4\implies2]$
\end_inset

 Por ser 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

 dominios.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies3]$
\end_inset

 Por ser 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 un DFU.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\iff2,4\implies3]$
\end_inset

 Son los puntos anteriores.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies4]$
\end_inset

 Si 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es primo en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $a\coloneqq a_{0}+\dots+a_{n}X^{n},b\coloneqq b_{0}+\dots+b_{m}X^{m}\in D[X]$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $p\nmid a,b$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 el menor índice con 
\begin_inset Formula $p\nmid a_{i}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 el menor índice con 
\begin_inset Formula $p\nmid b_{j}$
\end_inset

, el coeficiente de grado 
\begin_inset Formula $i+j$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $ab$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $a_{0}b_{i+j}+\dots+a_{i-1}b_{j+1}+a_{i}b_{j}+a_{i+1}b_{j-1}+\dots+a_{i+j}b_{0}$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 divide a todos los sumandos de esta fórmula salvo a 
\begin_inset Formula $a_{i}b_{j}$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 primo en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, de donde 
\begin_inset Formula $p\nmid ab$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es primo en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 un DFU, definimos 
\begin_inset Formula $\varphi:D\setminus0\to\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\varphi(a)$
\end_inset

 es el número de factores irreducibles en la factorización por irreducibles
 de 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, contando repetidos, y para 
\begin_inset Formula $a,b\in D\setminus\{0\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\varphi(ab)=\varphi(a)+\varphi(b)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\varphi(a)=0\iff a\in D^{*}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un DFU, 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es su cuerpo de fracciones y 
\begin_inset Formula $f\in D[X]$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

, es irreducible en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Si no lo fuera, existirían 
\begin_inset Formula $G,H\in K[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f=GH$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{gr}(G),\text{gr}(H)>0$
\end_inset

, pues los elementos de grado 0 son nulos o unidades.
 Si tomamos representantes de los coeficientes de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\in D\setminus0$
\end_inset

 múltiplo común de los denominadores en estos representantes, 
\begin_inset Formula $g\coloneqq bG\in D[X]$
\end_inset

, y si hacemos lo mismo con 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 obtenemos un 
\begin_inset Formula $c\in D\setminus\{0\}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $h\coloneqq cH\in D[X]$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $bcf=gh$
\end_inset

, y basta ver que existen 
\begin_inset Formula $g',h'\in D[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f=g'h'$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{gr}(g')=\text{gr}(g)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{gr}(h')=\text{gr}(h)$
\end_inset

, pues entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 no es irreducible en 
\begin_inset Formula $D[X]\#$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $\varphi(bc)=0$
\end_inset

, podemos tomar 
\begin_inset Formula $g'\coloneqq (bc)^{-1}g$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $h'\coloneqq h$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $n\coloneqq \varphi(bc)>0$
\end_inset

, probado esto para 
\begin_inset Formula $\varphi(bc)=n-1$
\end_inset

, existen 
\begin_inset Formula $p,d\in D$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $bc=pd$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 primo, luego 
\begin_inset Formula $p\mid bcf=gh$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

 y, por estar en un DFU, 
\begin_inset Formula $p\mid g$
\end_inset

.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $\tilde{g}\in D[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $g=p\tilde{g}$
\end_inset

, y por tanto 
\begin_inset Formula $\text{gr}(g)=\text{gr}(\tilde{g})$
\end_inset

, es 
\begin_inset Formula $pdf=bcf=gh=p\tilde{g}h$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $df=\tilde{g}h$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $\varphi(d)=\varphi(bc)-1=n-1$
\end_inset

, existen 
\begin_inset Formula $g',h'\in D[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f=g'h'$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{gr}(g')=\text{gr}(\tilde{g})=\text{gr}(g)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{gr}(h')=\text{gr}(h)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un DFU si y sólo si lo es 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Primero vemos que todo 
\begin_inset Formula $a\coloneqq a_{0}+\dots+a_{n}X^{n}\in D[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a_{n}\neq0$
\end_inset

 no invertible es producto de irreducibles.
 Si 
\begin_inset Formula $n+\varphi(a_{n})=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es unidad.
 Para 
\begin_inset Formula $n+\varphi(a_{n})=1$
\end_inset

, tanto si 
\begin_inset Formula $n=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\varphi(a_{n})=1$
\end_inset

 como si 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\varphi(a_{n})=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 sería irreducible.
 Supongamos que 
\begin_inset Formula $n+\varphi(a_{n})>1$
\end_inset

 y que esto se cumple para valores de 
\begin_inset Formula $n+\varphi(a_{n})$
\end_inset

 menores.
 Si 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es irreducible o si 
\begin_inset Formula $n=0$
\end_inset

 es obvio.
 De lo contrario existen 
\begin_inset Formula $b\coloneqq b_{0}+\dots+b_{m}X^{m},c\coloneqq c_{0}+\dots+c_{k}X^{k}\in D[X]$
\end_inset

 no invertibles ni unidades con 
\begin_inset Formula $b_{m},c_{k}\neq0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $0<m+\varphi(b_{m}),k+\varphi(c_{k})<m+k+\varphi(b_{m})+\varphi(c_{k})=n+\varphi(a_{n})$
\end_inset

, y aplicando la hipótesis de inducción a 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 y 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

pegando
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 las factorizaciones se obtiene el resultado.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Queda ver que todo irreducible 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

 es primo.
 Para 
\begin_inset Formula $\text{gr}(f)=0$
\end_inset

 ya lo tenemos.
 De lo contrario, sean 
\begin_inset Formula $g,h\in D[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f\mid gh$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f\mid gh$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible y por tanto primo en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

.
 Si, por ejemplo, 
\begin_inset Formula $f\mid g$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $G\in K[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $g=fG$
\end_inset

, y queda ver que 
\begin_inset Formula $G\in D[X]$
\end_inset

, para lo cual, si 
\begin_inset Formula $a\in D$
\end_inset

 cumple 
\begin_inset Formula $aG\in D[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\varphi(a)$
\end_inset

 mínimo, basta ver que 
\begin_inset Formula $\varphi(a)=0$
\end_inset

.
 Supongamos 
\begin_inset Formula $\varphi(a)>0$
\end_inset

 y sean 
\begin_inset Formula $p,b\in D$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a=pb$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 primo, con lo que 
\begin_inset Formula $p\mid ag=afG$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

.
 Si fuera 
\begin_inset Formula $p\mid f$
\end_inset

, sería 
\begin_inset Formula $p\mid f_{k}$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $\text{gr}(f)\geq1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 no sería irreducible
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $p\mid aG$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $h\in D[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $aG=ph$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $pbG=ph$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $bG=h\in D[X]$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $\varphi(b)<\varphi(a)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\varphi(a)$
\end_inset

 no es mínimo.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un dominio y cada 
\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$
\end_inset

 es producto de irreducibles de 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

, que tendrán grado 0 por tenerlo 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 y serán primos por ser 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

 un DFU, por lo que serán también primos en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un DFU.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un DFU y 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es su cuerpo de fracciones, definimos la relación de equivalencia en 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $x\sim y:\iff\exists u\in D^{*}:y=ux$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $[x]=xD^{*}$
\end_inset

 y, en particular, si 
\begin_inset Formula $x\in D$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $[x]$
\end_inset

 es el conjunto de los asociados de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

.
 Definimos 
\begin_inset Formula $\cdot:K\times(K/\sim)\to K/\sim$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $a(bD^{*})=(ab)D^{*}$
\end_inset

.
 Esto está bien definido
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
, pues si 
\begin_inset Formula $b_{1}\sim b_{2}$
\end_inset

 (por ejemplo, 
\begin_inset Formula $b_{1}=ub_{2}$
\end_inset

), entonces 
\begin_inset Formula $(ab_{2})D^{*}=(aub_{1})D^{*}=\{ab_{1}uv\}_{v\in D^{*}}=\{ab_{1}v\}_{v\in D^{*}}=(ab_{1})D^{*}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
 Además, 
\begin_inset Formula $a(b(cD^{*}))=(ab)(cD^{*})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Definimos 
\begin_inset Formula $c:K[X]\to K/\sim$
\end_inset

 tal que, para 
\begin_inset Formula $p\coloneqq \sum_{k\geq0}p_{k}X^{k}\in D[X]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c(p)\coloneqq \{x\mid x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $p\in K[X]$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $a\in D\setminus\{0\}$
\end_inset

 cumple 
\begin_inset Formula $ap\in D[X]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c(p)\coloneqq a^{-1}c(ap)$
\end_inset

.
 Esto está bien definido
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
, pues si 
\begin_inset Formula $a_{1}p,a_{2}p\in D[X]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c(a_{1}a_{2}p)=a_{1}c(a_{2}p)=a_{2}c(a_{1}p)$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $a_{1}^{-1}c(a_{1}p)=a_{2}^{-1}c(a_{2}p)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $c(p)=aD^{*}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es el 
\series bold
contenido
\series default
 de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $a=c(p)$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $a\in K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p\in K[X]$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $a\in D$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p\in D[X]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a\mid p$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $a\mid c(p)$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $a\mid p$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

 si y sólo si divide a cada coeficiente de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, si y sólo si divide a su máximo común divisor, que es 
\begin_inset Formula $c(p)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $c(ap)=ac(p)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $a\in D$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p=:\sum_{k=0}^{n}p_{k}X^{k}\in D[X]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c(ap)=\text{mcd}(ap_{0},\dots,ap_{n})=a\text{mcd}(p_{0},\dots,p_{n})=ac(p)$
\end_inset

.
 En otro caso basta multiplicar por un 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $p,ap\in D[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $p\in D[X]\iff c(p)\in D$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Obvio.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $p=:\sum_{k}\frac{r_{k}}{s_{k}}X^{k}$
\end_inset

 de forma que para todo 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $r_{k}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s_{k}$
\end_inset

 son coprimos y 
\begin_inset Formula $r_{k}=0\implies s_{k}=1$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $p\notin D[X]$
\end_inset

, existiría un 
\begin_inset Formula $s_{k}\notin D^{*}$
\end_inset

, con lo que existe un irreducible 
\begin_inset Formula $q\mid s_{k}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $q\nmid r_{k}$
\end_inset

.
 Sean 
\begin_inset Formula $n_{k}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $h_{k}\in D$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $q^{n_{k}}h_{k}=s_{k}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q\nmid h_{k}$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $n\coloneqq n_{i}\coloneqq \max_{k}n_{k}\geq1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $m\coloneqq \text{mcm}_{k}s_{k}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m=:q^{n}h$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $q\nmid h$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $mp\in D[X]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c(mp)=mc(p)$
\end_inset

, pero el coeficiente 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

-ésimo de 
\begin_inset Formula $mp$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $m\frac{r_{i}}{s_{i}}=\frac{q^{n}hr_{i}}{q^{n}h_{i}}=\frac{hr_{i}}{h_{i}}\in D$
\end_inset

, no es múltiplo de 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $mc(p)$
\end_inset

, el máximo común divisor de estos coeficientes, no es múltiplo de 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, pese a que 
\begin_inset Formula $m=\text{mcm}_{k}s_{k}$
\end_inset

 sí lo es.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un polinomio 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es 
\series bold
primitivo
\series default
 si 
\begin_inset Formula $c(p)=1$
\end_inset

, esto es, si 
\begin_inset Formula $p\in D[X]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{mcd}_{k}p_{k}=1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Lema de Gauss:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c(fg)=c(f)c(g)$
\end_inset

, y en particular 
\begin_inset Formula $fg$
\end_inset

 es primitivo si y sólo si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 lo son.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Formula $f'\coloneqq f/c(f)$
\end_inset

 es primitivo, pues 
\begin_inset Formula $c(f')=c(c(f)^{-1}f)=c(f)^{-1}c(f)=1$
\end_inset

, y análogamente 
\begin_inset Formula $g'\coloneqq g/c(g)$
\end_inset

 es primitivo, luego 
\begin_inset Formula $fg=c(f)c(g)f'g'$
\end_inset

 y basta ver que 
\begin_inset Formula $f'g'\in D[X]$
\end_inset

 es primitivo.
 Si no lo fuera, 
\begin_inset Formula $c(f'g')$
\end_inset

 tendría un divisor irreducible, y por tanto primo, 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $p\mid f'g'$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $p\mid f'$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $p\mid g'$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $p\mid c(f')=1$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $p\mid c(g')=1\#$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dado 
\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus D$
\end_inset

 primitivo, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

 si y sólo si lo es en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall G,H\in K[X],(f=GH\implies\text{gr}(G)=0\lor\text{gr}(H)=0)$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall g,h\in D[X],(f=gh\implies\text{gr}(g)=0\lor\text{gr}(h)=0)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies2\implies3]$
\end_inset

 Visto.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies4]$
\end_inset

 Obvio.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $4\implies1]$
\end_inset

 Como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es primitivo, sus únicos divisores de grado 0 son unidades, por lo que
 para 
\begin_inset Formula $g,h\in D[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f=gh$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 es unidad.
\end_layout

\begin_layout Standard
De aquí que si 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un DFU con cuerpo de fracciones 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, los irreducibles de 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

 son precisamente los de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 y los polinomios primitivos de 
\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$
\end_inset

 irreducibles en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Factorización en el anillo de polinomios de un DFU
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 un cuerpo y 
\begin_inset Formula $f\in K[X]$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\text{gr}(f)=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $g,h\in K[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f=gh$
\end_inset

, podemos suponer 
\begin_inset Formula $\text{gr}g=0$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es unidad.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\text{gr}(f)>1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene una raíz en 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 no es irreducible en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 la raíz y 
\begin_inset Formula $g\in K[X]$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $f=(X-a)g$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\text{gr}g=1$
\end_inset

, luego ni 
\begin_inset Formula $X-a$
\end_inset

 ni 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 son unidades.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\text{gr}(f)\in\{2,3\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

 si y sólo si no tiene raíces en 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Es el contrarrecíproco de lo anterior.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

De haber 
\begin_inset Formula $g,h\in K[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f=gh$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{gr}(g),\text{gr}(h)>0$
\end_inset

, o 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 tendría grado 1.
 Si, por ejemplo, 
\begin_inset Formula $g=aX+b$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a,b\in K$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f=(X+\frac{b}{a})(ah)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{b}{a}$
\end_inset

 sería raíz.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un DFU con cuerpo de fracciones 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}(f)$
\end_inset

, todas las raíces de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 son de la forma 
\begin_inset Formula $\frac{r}{s}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $r\mid a_{0}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s\mid a_{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
En efecto, sea 
\begin_inset Formula $t=\frac{r}{s}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $r,s\in D$
\end_inset

 coprimos una raíz de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, multiplicando 
\begin_inset Formula $f(t)=0$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $s^{n}$
\end_inset

 obtenemos 
\begin_inset Formula $a_{0}s^{n}+a_{1}rs^{n-1}+\dots+a_{n-1}r^{n-1}s+a_{n}r^{n}=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $r\mid a_{0}s^{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s\mid a_{n}r^{n}$
\end_inset

 y, por ser 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 coprimos, 
\begin_inset Formula $r\mid a_{0}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s\mid a_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Criterio de reducción:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $\phi:D\to K$
\end_inset

 un homomorfismo de anillos donde 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un DFU y 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es un cuerpo, 
\begin_inset Formula $\hat{\phi}:D[X]\to K[X]$
\end_inset

 el homomorfismo inducido por 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 un polinomio primitivo de 
\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $\hat{\phi}(f)$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{gr}(\hat{\phi}(f))=\text{gr}(f)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $g,h\in D[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f=gh$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 los coeficientes principales respectivos de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a=bc\notin\ker\phi$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $b,c\notin\ker\phi$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{gr}(\phi(g))=\text{gr}(g)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{gr}(\phi(h))=\text{gr}(h)$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $\hat{\phi}(f)$
\end_inset

 es irreducible en el cuerpo 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\hat{\phi}(f)=\hat{\phi}(g)\hat{\phi}(h)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{gr}(\phi(g))=0$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\text{gr}(\phi(h))=0$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
En particular, si 
\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$
\end_inset

 es primo, 
\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$
\end_inset

 es primitivo, 
\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}(f)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p\nmid a_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}[X]$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Criterio de Eisenstein:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 un DFU, 
\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$
\end_inset

 primitivo y 
\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f$
\end_inset

, si existe un irreducible 
\begin_inset Formula $p\in D$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall k\in\{0,\dots,n-1\},p\mid a_{k}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p^{2}\nmid a_{0}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $g\coloneqq b_{0}+\dots+b_{m}X^{m},h\coloneqq c_{0}+\dots+c_{k}X^{k}\in D[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $b_{m},c_{k}\neq0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f=gh$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $p^{2}\nmid a_{0}=b_{0}c_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p\nmid b_{0}$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $p\nmid c_{0}$
\end_inset

.
 Si, por ejemplo, 
\begin_inset Formula $p\nmid c_{0}$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es primitivo, 
\begin_inset Formula $p\nmid g$
\end_inset

, pues si fuera 
\begin_inset Formula $p\mid g$
\end_inset

 sería 
\begin_inset Formula $p\mid c(g)\mid c(f)\#$
\end_inset

, luego existe 
\begin_inset Formula $i\coloneqq \min\{j\mid p\nmid b_{j}\}$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $p\nmid a_{i}=\sum_{j=0}^{i-1}b_{j}c_{i-j}+b_{i}c_{0}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $i=n$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{gr}(g)=n$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{gr}(h)=0$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $p\nmid b_{0}$
\end_inset

 es análogo.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Así:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$
\end_inset

 y existe 
\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$
\end_inset

 cuya multiplicidad en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es 1, 
\begin_inset Formula $X^{n}-a$
\end_inset

 es irreducible.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $X^{n}-a$
\end_inset

 es primitivo, 
\begin_inset Formula $p\mid a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p^{2}\nmid a$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $n\geq3$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
raíces 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-ésimas de la unidad
\series default
 o 
\series bold
de 1
\series default
 a las raíces de 
\begin_inset Formula $X^{n}-1$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

, que son los 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 vértices del 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-ágono regular inscrito en el círculo unidad de 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

 con un vértice en el 1.
 
\begin_inset Formula $X^{n}-1=(X-1)\Phi_{n}(X)$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X)\coloneqq X^{n-1}+X^{n-2}+\dots+X+1$
\end_inset

 es el 
\series bold

\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-ésimo polinomio ciclotómico
\series default
 y sus raíces en 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

 son las raíces 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-ésimas de 1 distintas de 1.
 En 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X+1\mid\Phi_{4}(X)$
\end_inset

, pero si 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 es primo, 
\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X)$
\end_inset

 es irreducible.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Usando el automorfismo de sustitución en 
\begin_inset Formula $X+1$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\Phi_{p}(X+1)=\frac{(X+1)^{n}-1}{(X+1)-1}=\frac{(X+1)^{n}-1}{X}=X^{n-1}+{n \choose n-1}X^{n-2}+\dots+{n \choose 2}X+{n \choose 1}.
\]

\end_inset

Entonces 
\begin_inset Formula $\Phi_{p}(X+1)$
\end_inset

 es primitivo, 
\begin_inset Formula $n^{2}\nmid n$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n-1\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 no divide a 
\begin_inset Formula $k!$
\end_inset

 ni a 
\begin_inset Formula $(n-k)!$
\end_inset

, por lo que divide a 
\begin_inset Formula $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
\end_inset

 y podemos aplicar el criterio de Eisenstein.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Polinomios en varias indeterminadas
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados un anillo conmutativo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n\geq2$
\end_inset

, definimos el 
\series bold
anillo de polinomios
\series default
 en 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 indeterminadas con coeficientes en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]\coloneqq A[X_{1},\dots,X_{n-1}][X_{n}]$
\end_inset

.
 Llamamos 
\series bold
indeterminadas
\series default
 a los símbolos 
\begin_inset Formula $X_{1},\dots,X_{n}$
\end_inset

 y 
\series bold
polinomios en 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 indeterminadas
\series default
 a los elementos de 
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

.
 Dados un anillo conmutativo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
, por inducción
\end_layout

\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 no es un cuerpo.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 es un dominio si y sólo si lo es 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un dominio, 
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]^{*}=A^{*}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 es un DFU si y sólo si lo es 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 es un DIP si y sólo si 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un cuerpo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $i\coloneqq (i_{1},\dots,i_{n})\in\mathbb{N}^{n}$
\end_inset

, llamamos a 
\begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 
\series bold
monomio
\series default
 de 
\series bold
tipo
\series default
 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 y coeficiente 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
 Todo 
\begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 se escribe de forma única como suma de monomios de distinto tipo,
\begin_inset Formula 
\[
p:=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}},
\]

\end_inset

con 
\begin_inset Formula $p_{i}=0$
\end_inset

 para casi todo 
\begin_inset Formula $i\in\mathbb{N}^{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

 es obvio.
 Para 
\begin_inset Formula $n>1$
\end_inset

, supuesto esto probado para 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es de la forma 
\begin_inset Formula $\sum_{t\in\mathbb{N}}p_{t}X_{n}^{t}=:\sum_{t\in\mathbb{N}}(\sum_{i\in\mathbb{N}^{n-1}}p_{it}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n-1}^{i_{n-1}})X_{n}^{t}=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{(i_{1},\dots,i_{n-1}),i_{n}}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n-1}^{i_{n-1}}X_{n}^{i_{n}}$
\end_inset

, con casi todos los coeficientes nulos.
 Si fuera 
\begin_inset Formula 
\[
p=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}q_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}},
\]

\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

 es obvio que 
\begin_inset Formula $p_{i}=q_{i}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $n>1$
\end_inset

, supuesto esto probado para 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sum_{t\in\mathbb{N}}\left(\sum_{i\in\mathbb{N}^{n-1}}p_{i_{1},\dots,i_{n-1},t}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n-1}^{i_{n-1}}\right)X_{n}^{t}=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}q_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}=\sum_{t\in\mathbb{N}}\left(\sum_{i\in\mathbb{N}^{n-1}}p_{i_{1},\dots,i_{n-1}t}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n-1}^{i_{n-1}}\right)X_{n}^{t}$
\end_inset

, luego para cada 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{i\in\mathbb{N}^{n-1}}p_{i_{1},\dots,i_{n-1},t}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n-1}^{i_{n-1}}=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n-1}}q_{i_{1},\dots,i_{n-1},t}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n-1}^{i_{n-1}}
\]

\end_inset

 y, por la hipótesis de inducción, para cada 
\begin_inset Formula $i\in\mathbb{N}^{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p_{i}=q_{i}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
PUAP en 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 indeterminadas:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 un anillo conmutativo, 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $u:A\to A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 la inclusión
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
, por inducción
\end_layout

\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dados un homomorfismo de anillos 
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$
\end_inset

, existe un único homomorfismo de anillos 
\begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tilde{f}(X_{k})=b_{k}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dados un anillo conmutativo 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $T_{1},\dots,T_{n}\in P$
\end_inset

 y un homomorfismo 
\begin_inset Formula $v:A\to P$
\end_inset

 tales que, dados un homomorfismo de anillos 
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$
\end_inset

, existe un único homomorfismo 
\begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tilde{f}(T_{k})=b_{k}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

, existe un isomorfismo 
\begin_inset Formula $\phi:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to P$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\phi\circ u=v$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\phi(X_{k})=T_{k}$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dados dos anillos conmutativos 
\begin_inset Formula $A\subseteq B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$
\end_inset

, el 
\series bold
homomorfismo de sustitución
\series default
 
\begin_inset Formula $S:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$
\end_inset

 viene dado por 
\begin_inset Formula $p(b_{1},\dots,b_{n})\coloneqq S(p)\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}b_{1}^{i_{1}}\cdots b_{n}^{i_{n}}$
\end_inset

.
 Su imagen es el subanillo de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 generado por 
\begin_inset Formula $A\cup\{b_{1},\dots,b_{n}\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A[b_{1},\dots,b_{n}]$
\end_inset

, y dados dos homomorfismos de anillos 
\begin_inset Formula $f,g:A[b_{1},\dots,b_{n}]\to C$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f=g$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $f|_{A}=g|_{A}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(b_{k})=g(b_{k})$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Sean 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 un anillo y 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 una permutación de 
\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}$
\end_inset

 con inversa 
\begin_inset Formula $\tau\coloneqq \sigma^{-1}$
\end_inset

, tomando 
\begin_inset Formula $B=A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b_{k}=X_{\sigma(k)}$
\end_inset

 en el punto anterior obtenemos un automorfismo 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 con inversa 
\begin_inset Formula $\hat{\tau}$
\end_inset

 que permuta las indeterminadas.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n},Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[X_{1},\dots,X_{n}][Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[Y_{1},\dots,Y_{m}][X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

, por lo que en la práctica no distinguimos entre estos anillos.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo homomorfismo de anillos conmutativos 
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset

 induce un homomorfismo 
\begin_inset Formula $\hat{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\hat{f}(p)\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}f(p_{i})X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
grado
\series default
 de un monomio 
\begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $i_{1}+\dots+i_{n}$
\end_inset

, y grado de 
\begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]\setminus0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{gr}(p)$
\end_inset

, al mayor de los grados de los monomios no nulos en la expresión por monomios
 de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\text{gr}(p+q)\leq\max\{\text{gr}(p),\text{gr}(q)\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{gr}(pq)\leq\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Un polinomio es 
\series bold
homogéneo
\series default
 de grado 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 si es suma de monomios de grado 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
 Todo polinomio se escribe de modo único como suma de polinomios homogéneos
 de distintos grados, sin más que agrupar los monomios de igual grado en
 la expresión como suma de monomios.
 Así, si 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un dominio, 
\begin_inset Formula $\text{gr}(pq)=\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$
\end_inset

 para cualesquiera 
\begin_inset Formula $p,q\in D[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

.
\end_layout

\end_body
\end_document