#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
Podemos hablar de un grupo 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 con:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Notación multiplicativa
\series default
: Llamamos a la operación 
\begin_inset Formula $\cdot$
\end_inset

, aunque podemos omitirla.
 Llamamos 1 al neutro y 
\begin_inset Formula $a^{-1}$
\end_inset

 al simétrico de 
\begin_inset Formula $a\in G$
\end_inset

.
 Definimos 
\begin_inset Formula $a^{0}\coloneqq1$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a^{n+1}\coloneqq aa^{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a^{-n}\coloneqq(a^{n})^{-1}=(a^{-1})^{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Notación aditiva
\series default
: Solo para grupos abelianos.
 Llamamos a la operación 
\begin_inset Formula $+$
\end_inset

.
 Llamamos 0 al neutro y 
\begin_inset Formula $-a$
\end_inset

 al simétrico de 
\begin_inset Formula $a\in G$
\end_inset

.
 Definimos 
\begin_inset Formula $0a\coloneqq0$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(n+1)a=a+na$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(-n)a=-(na)=n(-a)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
orden
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 al cardinal del conjunto.
 Algunos grupos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un anillo, 
\begin_inset Formula $(A,+)$
\end_inset

 es su 
\series bold
grupo aditivo
\series default
, que es abeliano, y 
\begin_inset Formula $(A^{*},\cdot)$
\end_inset

 es su 
\series bold
grupo de unidades
\series default
, que es abeliano cuando el anillo es conmutativo.
 Por ejemplo, si 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es un cuerpo, 
\begin_inset Formula $({\cal GL}_{n}(K)={\cal M}_{n}(K)^{*},\cdot)$
\end_inset

 es un grupo.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El 
\series bold
grupo simétrico
\series default
 de un conjunto 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es el conjunto 
\begin_inset Formula $S_{X}$
\end_inset

 de las biyecciones 
\begin_inset Formula $X\to X$
\end_inset

 con la composición.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dada una familia 
\begin_inset Formula $(G_{i})_{i\in I}$
\end_inset

 de grupos, 
\begin_inset Formula $\prod_{i\in I}G_{i}$
\end_inset

 es un grupo con el producto componente a componente.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Llamamos 
\series bold
grupo cíclico
\series default
 de orden 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $C_{n}\coloneqq\{1,a,a^{2},\dots,a^{n-1}\}$
\end_inset

 con la operación 
\begin_inset Formula $a^{i}a^{j}\coloneqq a^{[i+j]_{n}}$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $[x]_{n}$
\end_inset

 es el resto de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 entre 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
grupo diédrico
\series default
 de orden 
\begin_inset Formula $2n$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula 
\[
D_{n}:=\{1,a,a^{2},\dots,a^{n-1},b,ab,a^{2}b,\dots,a^{n-1}b\}
\]

\end_inset

con la operación 
\begin_inset Formula $(a^{i_{1}}b^{j_{1}})(a^{i_{2}}b^{j_{2}})\coloneqq a^{[i_{1}+(-1)^{j_{1}}i_{2}]_{n}}b^{[j_{1}+j_{2}]_{2}}$
\end_inset

.
 Intuitivamente los elementos de 
\begin_inset Formula $D_{n}$
\end_inset

 son los movimientos del plano que dejan fijos a un polígono regular de
 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 lados, donde 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es una rotación de ángulo 
\begin_inset Formula $\frac{2\pi}{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 es una cierta simetría.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El 
\series bold
grupo diédrico infinito
\series default
 es 
\begin_inset Formula $D_{\infty}\coloneqq\{a^{n},a^{n}b\}_{n\in\mathbb{Z}}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula 
\[
(a^{i_{1}}b^{j_{1}})(a^{i_{2}}b^{j_{2}}):=a^{i_{1}+(-1)^{j_{1}}i_{2}}b^{[j_{1}+j_{2}]_{2}}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Sea 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 un anillo conmutativo, 
\begin_inset Formula $B^{*}\propto B\coloneqq B^{*}\times B$
\end_inset

 es un grupo abeliano con la operación 
\begin_inset Formula $(u,a)(v,b)=(uv,ub+va)$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $(u,a)^{n}=(u^{n},nu^{n-1}a)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Subgrupos
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es un grupo, 
\begin_inset Formula $S\subseteq G$
\end_inset

 es un subgrupo de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $1\in S\land\forall a,b\in S,(ab,a^{-1}\in S)$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $S\neq\emptyset\land\forall a,b\in S,(ab,a^{-1}\in S)$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $1\in S\land\forall a,b\in S,ab^{-1}\in S$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $S\neq\emptyset\land\forall a,b\in S,ab^{-1}\in S$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies2\implies3,4\implies5]$
\end_inset

 Obvio.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $5\implies1]$
\end_inset

 Sea 
\begin_inset Formula $a\in S$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $aa^{-1}=1\in S$
\end_inset

.
 Entonces, dados 
\begin_inset Formula $a,b\in S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b^{-1}=1b^{-1}\in S$
\end_inset

, luego el opuesto es una operación interna, y 
\begin_inset Formula $a(b^{-1})^{-1}=ab\in S$
\end_inset

, luego el producto también.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es un grupo con el mismo 1.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es un subgrupo de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 escribimos 
\begin_inset Formula $S\leq G$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es un grupo, 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es el 
\series bold
subgrupo impropio
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, y el resto de subgrupos son 
\series bold
propios
\series default
.
 El 
\series bold
subgrupo trivial
\series default
 es 
\begin_inset Formula $1\coloneqq\{1\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $(A,+)$
\end_inset

 es el grupo aditivo de un anillo y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 es un subanillo de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(B,+)\leq(A,+)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Los subgrupos de 
\begin_inset Formula $(\mathbb{Z},+)$
\end_inset

 son de la forma 
\begin_inset Formula $n\mathbb{Z}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es un subgrupo de 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $nx\in S$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\in S$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es un ideal de 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dado un cuerpo 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula ${\cal SL}_{n}(K)\coloneqq{\cal SO}_{n}(K)$
\end_inset

 es un subgrupo de 
\begin_inset Formula $({\cal GL}_{n}(K),\cdot)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un anillo, el conjunto 
\begin_inset Formula $\text{Aut}(A)$
\end_inset

 de los automorfismos de anillos de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un subgrupo de 
\begin_inset Formula $S_{A}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es un espacio topológico, el conjunto de los homeomorfismos 
\begin_inset Formula $X\to X$
\end_inset

 es un subgrupo de 
\begin_inset Formula $S_{X}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es un espacio métrico, el conjunto de las 
\series bold
isometrías
\series default
 (biyecciones que conservan distancias) 
\begin_inset Formula $X\to X$
\end_inset

 es un subgrupo de 
\begin_inset Formula $S_{X}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $X\subseteq G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\langle X\rangle\coloneqq\{x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{m}^{n_{m}}\}_{m\in\mathbb{N},x_{i}\in X,n_{i}\in\mathbb{Z}}$
\end_inset

 es el 
\series bold
subgrupo generado
\series default
 por 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, y es el menor subgrupo de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 que contiene a 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $X=\{g\}$
\end_inset

, decimos que 
\begin_inset Formula $\langle g\rangle\coloneqq\langle X\rangle$
\end_inset

 es el 
\series bold
grupo cíclico
\series default
 generado por 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

.
 Un grupo 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es 
\series bold
cíclico
\series default
 si existe 
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $G=\langle g\rangle$
\end_inset

, en cuyo caso 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es un 
\series bold
generador
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
 Por ejemplo, 
\begin_inset Formula $(\mathbb{Z},+)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(\mathbb{Z}_{n},+)$
\end_inset

 son grupos cíclicos generados por 1, y 
\begin_inset Formula $C_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $C_{\infty}$
\end_inset

 son cíclicos generados por 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $(G_{i})_{i\in I}$
\end_inset

 es una familia de grupos, 
\begin_inset Formula $\bigoplus_{i\in I}G_{i}\coloneqq\{(g_{i})_{i\in I}\in\prod_{i\in I}G_{i}\mid\{i\in I\mid g_{i}\ne1\}\text{ es finito}\}$
\end_inset

 es un subgrupo de 
\begin_inset Formula $\prod_{i\in I}G_{i}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dado un grupo 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, el 
\series bold
centralizador
\series default
 de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es el subgrupo 
\begin_inset Formula $C_{G}(x)\coloneqq\{g\in G\mid gx=xg\}$
\end_inset

, y el 
\series bold
centro
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es el subgrupo abeliano 
\begin_inset Formula $Z(G)\coloneqq\{g\in G\mid\forall x\in G,gx=xg\}=\bigcap_{x\in X}C_{G}(x)$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es abeliano, 
\begin_inset Formula $Z(G)=G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $H\leq G$
\end_inset

, definimos la relación de equivalencia en 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
a\equiv_{i}b\bmod H:\iff a^{-1}b\in H;
\]

\end_inset

la clase de equivalencia de 
\begin_inset Formula $a\in G$
\end_inset

, llamada 
\series bold
clase lateral módulo 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 por la izquierda
\series default
, es 
\begin_inset Formula $aH=\{ah\}_{h\in H}$
\end_inset

, y llamamos 
\begin_inset Formula $G/H\coloneqq G/(\equiv_{i}\bmod\ H)$
\end_inset

.
 Definimos también la relación de equivalencia en 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
a\equiv_{d}b\bmod H:\iff ab^{-1}\in H;
\]

\end_inset

la clase de equivalencia de 
\begin_inset Formula $a\in G$
\end_inset

, llamada 
\series bold
clase lateral módulo 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 por la derecha
\series default
, es 
\begin_inset Formula $Ha=\{ha\}_{h\in H}$
\end_inset

, y llamamos 
\begin_inset Formula $H\backslash G\coloneqq G/(\equiv_{d}\bmod\ H)$
\end_inset

.
 La función 
\begin_inset Formula $\sigma:G/H\to H\backslash G$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\sigma(aH)\coloneqq Ha^{-1}$
\end_inset

 es biyectiva, luego 
\begin_inset Formula $|G/H|=|H\backslash G|$
\end_inset

, y llamamos 
\series bold
índice
\series default
 de 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $[G:H]\coloneqq|G/H|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Lagrange:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es un grupo finito y 
\begin_inset Formula $H\leq G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|G|=|H|[G:H]$
\end_inset

.
 En particular, si 
\begin_inset Formula $|G|$
\end_inset

 es primo, los únicos subgrupos de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 son 1 y 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es cíclico y cualquier elemento suyo distinto de 1 es generador de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Subgrupos normales
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $A,B\subseteq G$
\end_inset

, llamamos 
\begin_inset Formula $AB\coloneqq\{ab\}_{a\in A,b\in B}$
\end_inset

, y es fácil ver que esta operación es asociativa.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un subgrupo 
\begin_inset Formula $N\leq G$
\end_inset

 es 
\series bold
normal
\series default
 si 
\begin_inset Formula $N\backslash G=G/N$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall x\in G,Nx=xN$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall x\in G,x^{-1}Nx=N$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall x\in G,Nx\subseteq xN$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall x\in G,xN\subseteq Nx$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall a,b\in G,aNbN=abN$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall a,b\in G,NaNb=Nab$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\iff2\iff3\implies4,5]$
\end_inset

 Obvio.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $4\implies2]$
\end_inset

 Si para 
\begin_inset Formula $x\in G$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $Nx\subseteq xN$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $x^{-1}Nx\subseteq N$
\end_inset

, y por tanto para 
\begin_inset Formula $x\in G$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $xNx^{-1}\subseteq N$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $xNx^{-1}x=xN\subseteq Nx$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $xN=Nx$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $5\implies2]$
\end_inset

 Por simetría con lo anterior.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies6]$
\end_inset

 Como 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 es un subgrupo, 
\begin_inset Formula $NN=N$
\end_inset

, y entonces, para 
\begin_inset Formula $a,b\in G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $aNbN=abNN=abN$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $6\implies4]$
\end_inset

 Para 
\begin_inset Formula $x\in G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x^{-1}Nx\subseteq x^{-1}NxN=x^{-1}xNN=N$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $xx^{-1}Nx=Nx\subseteq xN$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies7\implies5]$
\end_inset

 Por simetría con los dos anteriores.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $N\leq G$
\end_inset

 es normal, escribimos 
\begin_inset Formula $N\unlhd G$
\end_inset

, y si además es propio, escribimos 
\begin_inset Formula $N\lhd G$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $N\unlhd G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $G/N$
\end_inset

 es un grupo, el 
\series bold
grupo cociente
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 
\series bold
módulo
\series default
 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $H\leq G$
\end_inset

 está contenido en 
\begin_inset Formula $Z(G)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $H\unlhd G$
\end_inset

.
 En particular, en un grupo abeliano, todo subgrupo es normal.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 es un ideal de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(A,+)/I$
\end_inset

 es el grupo aditivo del conjunto cociente.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $H\leq G$
\end_inset

 tiene índice 2, es normal.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Como las clases por la izquierda módulo 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 forman una partición de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, solo hay dos y una es 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $G/H=\{H,G\setminus H\}$
\end_inset

, y del mismo modo 
\begin_inset Formula $H\backslash G=\{H,G\setminus H\}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula ${\cal SL}_{n}(\mathbb{R})\unlhd{\cal GL}_{n}(\mathbb{R})$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $a,b\in{\cal GL}_{n}(\mathbb{R})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\det(ba)=\det(ab)$
\end_inset

, luego dos elementos son de la misma clase izquierda o derecha módulo 
\begin_inset Formula ${\cal SL}_{n}(\mathbb{R})$
\end_inset

 si y sólo si tienen igual determinante.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de la correspondencia:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $N\unlhd G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $H\mapsto H/N$
\end_inset

 es una biyección entre el conjunto de los subgrupos de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 que contienen a 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 y el de los subgrupos de 
\begin_inset Formula $G/N$
\end_inset

 que conserva las inclusiones y la normalidad en ambas direcciones.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Basta seguir la prueba del teorema de correspondencia de anillos.
 Para la normalidad, si 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es normal, para 
\begin_inset Formula $gN\in G/N$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $hN\in H/N$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $g^{-1}hg\in H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(gN)^{-1}hNgN=g^{-1}NhNgN=g^{-1}hgN\in H/N$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $H/N\unlhd G/N$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $H/N$
\end_inset

 es normal, para 
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $h\in H$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $g^{-1}NhNgN=g^{-1}hgN\in H/N$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $g^{-1}hg\in H$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $H\unlhd G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Homomorfismos
\end_layout

\begin_layout Standard
Una función 
\begin_inset Formula $f:G\to H$
\end_inset

 entre dos grupos es un 
\series bold
homomorfismo de grupos
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall a,b\in G,f(ab)=f(a)f(b)$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $G=H$
\end_inset

, es un 
\series bold
endomorfismo
\series default
.
 Si es biyectiva, es un 
\series bold
isomorfismo
\series default
, y si además 
\begin_inset Formula $G=H$
\end_inset

, es un 
\series bold
automorfismo
\series default
.
 Si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es un grupo, el conjunto 
\begin_inset Formula $\text{Aut}(G)$
\end_inset

 de los automorfismos de anillos de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es un subgrupo de 
\begin_inset Formula $S_{G}$
\end_inset

.
 Llamamos 
\begin_inset Formula $\ker f\coloneqq f^{-1}(1)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $G\overset{f}{\to}H\overset{g}{\to}K$
\end_inset

 son homomorfismos de grupos, 
\begin_inset Formula $G'\leq G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $H'\leq H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a,a_{1},\dots,a_{n}\in G$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f(1)=1$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $f(1)f(1)=f(1\cdot1)=f(1)=f(1)1\implies f(1)=1$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f(a)^{-1}=f(a^{-1})$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(1)=1$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f(a_{1}\cdots a_{n})=f(a_{1})\cdots f(a_{n})$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Para 
\begin_inset Formula $n=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(1)=1$
\end_inset

.
 Supuesto esto probado para un cierto 
\begin_inset Formula $n\geq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(a_{1}\cdots a_{n+1})=f(a_{1}\cdots a_{n})f(a_{n+1})=f(a_{1})\cdots f(a_{n})f(a_{n+1})$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f(a^{m})=f(a)^{m}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Para 
\begin_inset Formula $m=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(a^{0})=1=f(a)^{0}$
\end_inset

.
 Supuesto esto probado para un cierto 
\begin_inset Formula $m\geq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(a^{m+1})=f(aa^{m})=f(a)f(a^{m})=f(a)f(a)^{m}=f(a)^{m+1}$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $m<0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(a^{m})=f((a^{-m})^{-1})=f(a^{-m})^{-1}=(f(a)^{-m})^{-1}=f(a)^{m}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es un isomorfismo, 
\begin_inset Formula $f^{-1}:H\to G$
\end_inset

 también.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $x,y\in H$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(a)=x$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(b)=y$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f^{-1}(xy)=f^{-1}(f(a)f(b))=f^{-1}(f(ab))=ab=f^{-1}(x)f^{-1}(y)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $g\circ f:G\to K$
\end_inset

 es un homomorfismo de grupos.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Para 
\begin_inset Formula $a,b\in G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $g(f(ab))=g(f(a)f(b))=g(f(a))g(f(b))$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f^{-1}(H')\leq G$
\end_inset

.
 Si además 
\begin_inset Formula $H'\unlhd H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f^{-1}(H')\unlhd G$
\end_inset

.
 En particular, 
\begin_inset Formula $\ker f\unlhd G$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Claramente 
\begin_inset Formula $1\in f^{-1}(H')$
\end_inset

.
 Además, si 
\begin_inset Formula $a,b\in f^{-1}(H')$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
ab^{-1}=f^{-1}(f(ab^{-1}))=f^{-1}(f(a)f(b)^{-1}),
\]

\end_inset

 y como 
\begin_inset Formula $f(a),f(b)\in H'$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(ab^{-1})$
\end_inset

 también.
 Si 
\begin_inset Formula $H'$
\end_inset

 es normal, sean 
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s\in f^{-1}(H')$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f(g^{-1}sg)=f(g)^{-1}f(s)f(g)\in H'$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $g^{-1}sg\in f^{-1}(H')$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es inyectivo si y sólo si 
\begin_inset Formula $\ker f=1$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Como 
\begin_inset Formula $f(1)=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $1\in\ker f$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $b\in\ker f$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(b)=1=f(1)$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $b=1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $a,b\in G$
\end_inset

 cumplen 
\begin_inset Formula $f(a)=f(b)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f(ab^{-1})=f(a)f(b)^{-1}=1$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $ab^{-1}=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a=b$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f(G')\leq H$
\end_inset

.
 En particular 
\begin_inset Formula $f(G)\leq H$
\end_inset

.
 Si además 
\begin_inset Formula $G'\unlhd G$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es suprayectiva, entonces 
\begin_inset Formula $f(G')\unlhd H$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Claramente 
\begin_inset Formula $1\in f(G')$
\end_inset

.
 Además, si 
\begin_inset Formula $x,y\in f(G')$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $a,b\in G'$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(a)=x$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(b)=y$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $xy^{-1}=f(a)f(b)^{-1}=f(ab^{-1})\in f(G')$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $G'$
\end_inset

 es normal, sean 
\begin_inset Formula $h\in H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $t\in f(G')$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(g)=h$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s\in G'$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(s)=t$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $h^{-1}th=f(g)^{-1}f(s)f(g)=f(g^{-1}sg)\in f(G')$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Algunos homomorfismos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $H\leq G$
\end_inset

, la inclusión 
\begin_inset Formula $H\to G$
\end_inset

 es un homomorfismo inyectivo.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $N\unlhd G$
\end_inset

, la 
\series bold
proyección canónica
\series default
 
\begin_inset Formula $\pi:G\to G/N$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\pi(x)\coloneqq xN$
\end_inset

 es un homomorfismo suprayectivo con núcleo 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dados dos grupos 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f:G\to H$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $f(a)\coloneqq1_{H}$
\end_inset

 es el 
\series bold
homomorfismo trivial
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

, con núcleo 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dado 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $f(n)\coloneqq an$
\end_inset

 es un endomorfismo de 
\begin_inset Formula $(\mathbb{Z},+)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es un grupo y 
\begin_inset Formula $x\in G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{Z}\to G$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $f(n)\coloneqq x^{n}$
\end_inset

 es un homomorfismo, esto es, 
\begin_inset Formula $x^{n+m}=x^{n}x^{m}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dado 
\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{R}^{+}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f:(\mathbb{R},+)\to(\mathbb{R}^{+},\cdot)$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $f(r)\coloneqq\alpha^{r}$
\end_inset

 es un isomorfismo de grupos con inversa 
\begin_inset Formula $f^{-1}(s)\coloneqq\log_{\alpha}s$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teoremas de isomorfía para grupos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f:G\to H$
\end_inset

 es un homomorfismo de grupos, existe un único isomorfismo 
\begin_inset Formula $\tilde{f}:G/\ker f\to\text{Im}f$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $f=i\circ\tilde{f}\circ p$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $i:\text{Im}f\to H$
\end_inset

 es la inclusión y 
\begin_inset Formula $p:G\to G/\ker f$
\end_inset

 es la proyección canónica.
 En particular, 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{G}{\ker f}\cong\text{Im}f.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $N,H\unlhd G$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $N\subseteq H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $H/N\unlhd G/N$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{G/N}{H/N}\cong G/H.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $H\leq G$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $N\unlhd G$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $NH\leq G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N\cap H\unlhd G$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
\frac{H}{N\cap H}\cong\frac{NH}{N}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Así:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f:G\to H$
\end_inset

 es un homomorfismo de grupos, 
\begin_inset Formula $K\mapsto f(K)$
\end_inset

 es una biyección entre los subgrupos de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 que contienen a 
\begin_inset Formula $\ker f$
\end_inset

 y los subgrupos de 
\begin_inset Formula $\text{Im}f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathbb{C}^{*}/{\cal C}(0,1)\cong\mathbb{R}^{+}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
La norma 
\begin_inset Formula $|\cdot|:\mathbb{C}^{*}\to\mathbb{R}^{*}$
\end_inset

 es un homomorfismo con núcleo la circunferencia unidad en 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

 y con imagen 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{+}$
\end_inset

, y aplicamos el primer teorema de isomorfía.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula ${\cal GL}_{n}(\mathbb{R})/{\cal SL}_{n}(\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^{*}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
El determinante 
\begin_inset Formula $\det:{\cal GL}_{n}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$
\end_inset

 es un homomorfismo con núcleo 
\begin_inset Formula ${\cal SL}_{n}(\mathbb{R})$
\end_inset

 e imagen 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{*}$
\end_inset

, y aplicamos el primer teorema de isomorfía.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
En general, 
\begin_inset Formula $H,K\leq G$
\end_inset

 no implica 
\begin_inset Formula $HK\leq G$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
En efecto, si 
\begin_inset Formula $\sigma,\tau\in S_{3}$
\end_inset

 vienen dadas por 
\begin_inset Formula $\sigma(1)=2$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma(2)=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma(3)=3$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\tau(1)=3$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\tau(2)=2$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tau(3)=1$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\langle\sigma\rangle=\{1,\sigma\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\langle\tau\rangle=\{1,\tau\}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\langle\sigma\rangle\langle\tau\rangle=\{1,\sigma,\tau,\sigma\tau\}$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $|\langle\sigma\rangle\langle\tau\rangle|=4\nmid6$
\end_inset

, luego esto no es un grupo.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Orden de un elemento
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
orden
\series default
 de 
\begin_inset Formula $a\in G$
\end_inset

 al orden de 
\begin_inset Formula $\langle a\rangle$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|a|\coloneqq|\langle a\rangle|$
\end_inset

, y escribimos 
\begin_inset Formula $\langle a\rangle_{n}$
\end_inset

 para referirnos a 
\begin_inset Formula $\langle a\rangle$
\end_inset

 indicando que tiene orden 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
 El orden de 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 divide al de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{Z}\to G$
\end_inset

 el homomorfismo dado por 
\begin_inset Formula $f(n)\coloneqq a^{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\ker f=n\mathbb{Z}$
\end_inset

 para algún 
\begin_inset Formula $n\geq0$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $n=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es inyectivo y 
\begin_inset Formula $(\mathbb{Z},+)\cong\langle a\rangle$
\end_inset

, y en otro caso 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}\cong\langle a\rangle$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $n=|a|$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a^{n}=1\iff|a|\mid n$
\end_inset

.
 De aquí, 
\begin_inset Formula $a^{k}=a^{l}\iff k\equiv l\bmod n$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $|a|$
\end_inset

 es el menor entero positivo con 
\begin_inset Formula $a^{n}=1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 tiene orden finito y 
\begin_inset Formula $n>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
|a^{n}|=\frac{|a|}{\text{mcd}\{|a|,n\}}.
\]

\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
En efecto, sean 
\begin_inset Formula $m\coloneqq|a|$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d\coloneqq\text{mcd}\{m,n\}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\text{mcd}\{\frac{m}{d},\frac{n}{d}\}=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(a^{n})^{k}=a^{nk}=1\iff m\mid nk\iff\frac{m}{d}\mid\frac{nk}{d}=\frac{n}{d}k\iff\frac{m}{d}\mid k$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $|a^{n}|=\frac{m}{d}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $G=\langle a\rangle$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 tiene orden infinito, 
\begin_inset Formula $G\cong(\mathbb{Z},+)\cong C_{\infty}$
\end_inset

 y los subgrupos de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 son los 
\begin_inset Formula $\langle a^{n}\rangle$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $|G|=n$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $G\cong(\mathbb{Z}_{n},+)\cong C_{n}$
\end_inset

 y los subgrupos de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 son exactamente uno de orden 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 por cada 
\begin_inset Formula $d\mid n$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\langle a^{n/d}\rangle_{d}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todos los subgrupos y grupos cociente de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 son cíclicos.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así, si 
\begin_inset Formula $p\in\mathbb{N}$
\end_inset

 es primo, todos los grupos de orden 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 son isomorfos a 
\begin_inset Formula $(\mathbb{Z}_{p},+)$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $G=\langle g_{1},\dots,g_{n}\rangle$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $N\unlhd G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $G/N=\langle g_{1}N,\dots,g_{n}N\rangle$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema chino de los restos para grupos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 son subgrupos cíclicos de órdenes respectivos 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $G\times H$
\end_inset

 es cíclico si y sólo si 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 son coprimos.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $d\coloneqq\text{mcd}\{n,m\}>1$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 tiene un subgrupo 
\begin_inset Formula $G'$
\end_inset

 de orden 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 un subgrupo 
\begin_inset Formula $H'$
\end_inset

 de orden 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $G'\times1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $1\times H'$
\end_inset

 son subgrupos distintos de 
\begin_inset Formula $G\times H$
\end_inset

 del mismo orden, luego 
\begin_inset Formula $G\times H$
\end_inset

 no es cíclico.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $G\cong(\mathbb{Z}_{n},+)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $H\cong(\mathbb{Z}_{m},+)$
\end_inset

, y por el teorema chino de los restos para anillos, 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}\times\mathbb{Z}_{m}\cong\frac{\mathbb{Z}}{nm\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}_{nm}$
\end_inset

 como anillos, luego los grupos aditivos también son isomorfos y 
\begin_inset Formula $G\times H\cong(\mathbb{Z}_{n},+)\times(\mathbb{Z}_{m},+)\cong(\mathbb{Z}_{nm},+)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $g,h\in G$
\end_inset

 tienen órdenes respectivos 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 coprimos y 
\begin_inset Formula $gh=hg$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\langle g,h\rangle$
\end_inset

 es cíclico de orden 
\begin_inset Formula $nm$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
La función 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{Z}_{n}\times\mathbb{Z}_{m}\to G$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $f(i,j)\coloneqq g^{i}h^{j}$
\end_inset

 es un homomorfismo de grupos con imagen 
\begin_inset Formula $\langle g,h\rangle$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $f(i,j)=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a^{i}b^{j}=1\implies a^{-i}=b^{j}\in\langle g\rangle\cap\langle h\rangle$
\end_inset

 pero por el teorema de Lagrange, el orden de 
\begin_inset Formula $\langle g\rangle\cap\langle h\rangle$
\end_inset

 divide a 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 y a 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 y por tanto a 1, luego 
\begin_inset Formula $a^{-i}=b^{j}=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(i,j)=(0,0)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es inyectiva.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{nm}\cong\mathbb{Z}_{n}\times\mathbb{Z}_{m}\cong\text{Im}f=\langle g,h\rangle$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\langle g,h\rangle$
\end_inset

 es cíclico de orden 
\begin_inset Formula $nm$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Acciones de grupos en conjuntos
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados un grupo 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in G$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
conjugado
\series default
 de 
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $g^{a}\coloneqq a^{-1}ga$
\end_inset

, y conjugado de 
\begin_inset Formula $X\subseteq G$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $X^{a}\coloneqq\{x^{a}\}_{x\in X}$
\end_inset

.
 Dos elementos 
\begin_inset Formula $x,y\in G$
\end_inset

 o conjuntos 
\begin_inset Formula $x,y\subseteq G$
\end_inset

 son 
\series bold
conjugados
\series default
 en 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 si existe 
\begin_inset Formula $a\in G$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x^{a}=y$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $a\in G$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
automorfismo interno
\series default
 definido por 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 al automorfismo 
\begin_inset Formula $\iota_{a}:G\to G$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\iota_{a}(x)\coloneqq x^{a}$
\end_inset

.
 Su inverso es 
\begin_inset Formula $\iota_{a^{-1}}$
\end_inset

.
 El conjugado por 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 de un subgrupo de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es otro subgrupo de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 del mismo orden.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vemos que 
\begin_inset Formula $\forall g,a,b\in G,g^{ab}=(g^{a})^{b}$
\end_inset

, y con esto es fácil comprobar que la relación de ser conjugados es de
 equivalencia.
 Las clases de equivalencia se llaman 
\series bold
clases de conjugación
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, y llamamos 
\begin_inset Formula $a^{G}\coloneqq[a]=\{a^{g}\}_{g\in G}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 un conjunto.
 Una 
\series bold
acción por la izquierda
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es una función 
\begin_inset Formula $\cdot:G\times X\to X$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall x\in X,(\forall g,h\in G,(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)\land1\cdot x=x)$
\end_inset

, y una 
\series bold
acción por la derecha
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es una función 
\begin_inset Formula $\cdot:X\times G\to X$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall x\in X,(\forall g,h\in G,x\cdot(gh)=(x\cdot g)\cdot h\land x\cdot1=x)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\cdot:G\times X\to X$
\end_inset

 es una acción por la izquierda de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
órbita
\series default
 de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $G\cdot x\coloneqq\{g\cdot x\}_{g\in G}$
\end_inset

 y 
\series bold
estabilizador
\series default
 de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)\coloneqq\{g\in G\mid g\cdot x=x\}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $\cdot:X\times G\to X$
\end_inset

 es una acción por la derecha de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

, llamamos órbita de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $x\cdot G\coloneqq\{x\cdot g\}_{g\in G}$
\end_inset

 y estabilizador de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)\coloneqq\{g\in G\mid x\cdot g=x\}$
\end_inset

.
 Las órbitas forman una partición de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Llamamos 
\series bold
acción por traslación a la izquierda
\series default
 a la acción por la izquierda de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $G/H$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $g\cdot xH=gxH$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $G\cdot xH=G/H$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula 
\[
\text{Estab}_{G}(xH)=\{g\in G\mid gxH=xH\}=\{g\in G\mid x^{-1}gx\in H\}=xHx^{-1}=H^{x^{-1}}.
\]

\end_inset

Análogamente llamamos 
\series bold
acción por traslación a la derecha
\series default
 a la acción por la derecha de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $H\backslash G$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $Hx\cdot g=Hxg$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Cuando 
\begin_inset Formula $H=1$
\end_inset

, la acción de traslación es de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, con 
\begin_inset Formula $G\cdot x=G$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)=1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
La 
\series bold
acción por conjugación
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es la acción por la derecha 
\begin_inset Formula $x\cdot g\coloneqq x^{g}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $x\cdot G=x^{G}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)=C_{G}(x)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es el conjunto de subgrupos de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, la 
\series bold
acción por conjugación de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 en sus subgrupos
\series default
 es la acción por la derecha de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $H\cdot g=H^{g}$
\end_inset

.
 El 
\series bold
normalizador
\series default
 de un subgrupo 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $N_{G}(H)\coloneqq\text{Estab}_{G}(H)=\{g\in G\mid H^{g}=H\}$
\end_inset

, el mayor subgrupo de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 que contiene a 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 como subgrupo normal.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es un conjunto, 
\begin_inset Formula $\cdot:S_{n}\times X^{n}\to X^{n}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\sigma\cdot(x_{1},\dots,x_{n})\coloneqq(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})$
\end_inset

 es una acción por la izquierda.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Sean 
\begin_inset Formula $\cdot:G\times X\to X$
\end_inset

 una acción por la izquierda, 
\begin_inset Formula $H\leq G$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y\subseteq X$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $\forall h\in H,y\in Y,h\cdot y\in Y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\cdot|_{H\times Y}$
\end_inset

 es una acción por la izquierda de 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 un grupo actuando sobre un conjunto 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)\leq G$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Como 
\begin_inset Formula $1\cdot x=x$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $1\in\text{Estab}_{G}(x)$
\end_inset

.
 Dados 
\begin_inset Formula $a,b\in\text{Estab}_{G}(x)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $ab\cdot x=a\cdot(b\cdot x)=a\cdot x=x$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a^{-1}\cdot x=a^{-1}\cdot(a\cdot x)=a^{-1}a\cdot x=1\cdot x=x$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $ab,a^{-1}\in\text{Estab}_{G}(x)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $[G:\text{Estab}_{G}(x)]=|G\cdot x|$
\end_inset

.
 En particular, si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es finito, 
\begin_inset Formula $|G\cdot x|\mid|G|$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sea 
\begin_inset Formula $H\coloneqq\text{Estab}_{G}(x)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f:G/H\to G\cdot x$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $f(gH)\coloneqq g^{-1}\cdot x$
\end_inset

 está bien definida, pues si 
\begin_inset Formula $gh^{-1}\in H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(gH)=g^{-1}\cdot x=g^{-1}\cdot(gh^{-1}\cdot x)=h^{-1}\cdot x=f(hH)$
\end_inset

, y queremos ver que es biyectiva.
 Es claramente sobreyectiva, y es inyectiva porque si 
\begin_inset Formula $f(gH)=f(hH)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $g^{-1}\cdot x=h^{-1}\cdot x$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $gh^{-1}\cdot x=g\cdot(h^{-1}\cdot x)=g\cdot(g^{-1}\cdot x)=x$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $gh^{-1}\in H$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si la acción es por la izquierda, 
\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(g\cdot x)=\text{Estab}_{G}(x)^{g^{-1}}$
\end_inset

, y si es por la derecha, 
\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x\cdot g)=\text{Estab}_{G}(x)^{g}$
\end_inset

.
 En particular, si 
\begin_inset Formula $x,g\in G$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $H\leq G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $C_{G}(x^{g})=C_{G}(x)^{g}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $N_{G}(H^{g})=N_{G}(H)^{g}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si la acción es por la izquierda, 
\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)^{g^{-1}}=\{ghg^{-1}\mid h\cdot x=x\}=\{p\in G\mid g^{-1}pg\cdot x=x\}=\{p\in G\mid p\cdot(g\cdot x)=g\cdot x\}=\text{Estab}_{G}(g\cdot x)$
\end_inset

.
 Si es por la derecha, 
\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)^{g}=\{g^{-1}hg\mid x\cdot h=x\}=\{p\in G\mid x\cdot gpg^{-1}=x\}=\{p\in G\mid(x\cdot g)\cdot p=x\cdot g\}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 es un conjunto irredundante de representantes de las órbitas, 
\begin_inset Formula $|X|=\sum_{r\in R}|G\cdot r|=\sum_{r\in R}[G:\text{Estab}_{G}(r)]$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Se debe a que las órbitas forman una partición de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Así, si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es un grupo y 
\begin_inset Formula $a\in G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|a^{G}|=[G:C_{G}(a)]$
\end_inset

, y en particular 
\begin_inset Formula $a^{G}$
\end_inset

 es unipuntual si y sólo si 
\begin_inset Formula $a\in Z(G)$
\end_inset

.
 
\series bold
Ecuación de clases:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es finito y 
\begin_inset Formula $X\subseteq G$
\end_inset

 contiene exactamente un elemento de cada clase de conjugación con al menos
 dos elementos, entonces 
\begin_inset Formula $|G|=|Z(G)|+\sum_{x\in X}[G:C_{G}(x)]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un número primo 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, un 
\series bold

\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-grupo
\series default
 es un grupo en que todo elemento tiene orden potencia de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, y 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
por el teorema de Lagrange, 
\end_layout

\end_inset

un grupo finito es un 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-grupo si y sólo si su orden es potencia de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-grupo finito no trivial, 
\begin_inset Formula $Z(G)\neq1$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
En efecto, si 
\begin_inset Formula $X\subseteq G$
\end_inset

 tiene exactamente un elemento de cada clase de conjugación con al menos
 dos elementos, 
\begin_inset Formula $|G|=|Z(G)|+\sum_{x\in X}[G:C_{G}(x)]=|Z(G)|+\sum_{x\in X}|x^{G}|$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $|G|$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $|x^{G}|$
\end_inset

 son múltiplos de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $|Z(G)|$
\end_inset

 también y por tanto 
\begin_inset Formula $Z(G)\neq1$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Cauchy:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es un grupo finito con orden múltiplo de un primo 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 tiene un elemento de orden 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $X\coloneqq\{(g_{1},\dots,g_{p})\in G^{p}\mid g_{1}\cdots g_{p}=1\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
(g_{1},\dots,g_{p-1})\mapsto(g_{1},\cdots,g_{p-1},(g_{1}\cdots g_{p-1})^{-1}
\]

\end_inset

 es una biyección de 
\begin_inset Formula $G^{p-1}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $|X|=|G|^{p-1}$
\end_inset

.
 Sean ahora 
\begin_inset Formula $\cdot$
\end_inset

 la acción de 
\begin_inset Formula $S_{p}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $G^{p}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\sigma\cdot(g_{1},\dots,g_{p})=(g_{\sigma(1)},\dots,g_{\sigma(p)})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma\in S_{p}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\sigma(i)=i+1$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $i\neq p$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma(p)=1$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{p})\in X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x_{p}x_{1}\cdots x_{p-1}=x_{p}(x_{1}\cdots x_{p})x_{p}^{-1}=1$
\end_inset

, luego para 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma\cdot x\in X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\cdot$
\end_inset

 es una acción de 
\begin_inset Formula $\langle\sigma\rangle$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Como 
\begin_inset Formula $|\sigma|=p$
\end_inset

, las órbitas de 
\begin_inset Formula $\cdot|_{\langle\sigma\rangle\times X}$
\end_inset

 tienen cardinal 1 o 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 es el número de órbitas con un elemento y 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 el de órbitas con 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 elementos, 
\begin_inset Formula $|G|^{p-1}=|X|=n+pm$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $p\mid|G|$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p\mid n$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $|\langle\sigma\rangle\cdot(1,\dots,1)|=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $n\geq1$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $p\mid n$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $n\geq2$
\end_inset

, luego existe 
\begin_inset Formula $x\in X\setminus\{(1,\dots,1)\}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $|G\cdot x|=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{p})=\sigma\cdot x=(x_{p},x_{1},\dots,x_{p-1})$
\end_inset

.
 Por tanto, todos los 
\begin_inset Formula $x_{i}$
\end_inset

 son iguales a un 
\begin_inset Formula $g\in G\setminus1$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $g^{p}=x_{1}\cdots x_{p}=1$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $|g|=p$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Teoremas de Sylow
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados un grupo finito 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 y un número primo 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $H\leq G$
\end_inset

 es un 
\series bold

\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-subgrupo de Sylow
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 si es un 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-grupo y 
\begin_inset Formula $[G:H]$
\end_inset

 es coprimo con 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, si y sólo si es un 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-grupo y 
\begin_inset Formula $|H|$
\end_inset

 es la mayor potencia de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 que divide a 
\begin_inset Formula $|G|$
\end_inset

.
 Llamamos 
\begin_inset Formula $s_{p}(G)$
\end_inset

 al número de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-subgrupos de Sylow de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teoremas de Sylow:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 un número primo y 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 un grupo finito de orden 
\begin_inset Formula $n\coloneqq p^{k}m$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $k,m\in\mathbb{N}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p\nmid m$
\end_inset

.
 Entonces:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 tiene al menos un 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-subgrupo de Sylow, que tendrá orden 
\begin_inset Formula $p^{k}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-subgrupo de Sylow de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-subgrupo de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $Q\subseteq P^{g}$
\end_inset

.
 En particular, todos los 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-subgrupos de Sylow de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 son conjugados en 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $s_{p}(G)\mid m$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s_{p}(G)\equiv1\bmod p$
\end_inset

.
\end_layout

\end_body
\end_document