#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 544 \begin_document \begin_header \save_transient_properties true \origin unavailable \textclass book \use_default_options true \begin_modules algorithm2e \end_modules \maintain_unincluded_children false \language spanish \language_package default \inputencoding auto \fontencoding global \font_roman "default" "default" \font_sans "default" "default" \font_typewriter "default" "default" \font_math "auto" "auto" \font_default_family default \use_non_tex_fonts false \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 100 \font_tt_scale 100 100 \use_microtype false \use_dash_ligatures true \graphics default \default_output_format default \output_sync 0 \bibtex_command default \index_command default \paperfontsize default \spacing single \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_package amsmath 1 \use_package amssymb 1 \use_package cancel 1 \use_package esint 1 \use_package mathdots 1 \use_package mathtools 1 \use_package mhchem 1 \use_package stackrel 1 \use_package stmaryrd 1 \use_package undertilde 1 \cite_engine basic \cite_engine_type default \biblio_style plain \use_bibtopic false \use_indices false \paperorientation portrait \suppress_date false \justification true \use_refstyle 1 \use_minted 0 \index Index \shortcut idx \color #008000 \end_index \secnumdepth 3 \tocdepth 3 \paragraph_separation indent \paragraph_indentation default \is_math_indent 0 \math_numbering_side default \quotes_style french \dynamic_quotes 0 \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \tracking_changes false \output_changes false \html_math_output 0 \html_css_as_file 0 \html_be_strict false \end_header \begin_body \begin_layout Section Sumas directas \end_layout \begin_layout Standard Dada una familia \begin_inset Formula $(B_{i})_{i\in I}$ \end_inset de subgrupos de un grupo abeliano, llamamos \series bold suma \series default de \begin_inset Formula $(B_{i})_{i\in I}$ \end_inset a \begin_inset Formula $\sum_{i\in I}B_{i}\coloneqq \{\sum_{i\in I}b_{i}\mid b_{i}\in B_{i},\{i\in I\mid b_{i}\neq0\}\text{ es finito}\}$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $I=\{1,\dots,n\}$ \end_inset , llamamos \begin_inset Formula $\sum_{i\in I}B_{i}=:B_{1}+\dots+B_{n}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard La familia \begin_inset Formula $(B_{i})_{i\in I}$ \end_inset es \series bold independiente \series default si el 0 se expresa de forma única como suma de elementos de los \begin_inset Formula $B_{i}$ \end_inset ( \begin_inset Formula $\forall i,b_{i}\in B_{i}\land\sum_{i\in I}b_{i}=0\implies\forall i,b_{i}=0$ \end_inset ), si y sólo si cada elemento de \begin_inset Formula $\sum_{i\in I}B_{i}$ \end_inset se expresa de forma única como suma de elementos de los \begin_inset Formula $B_{i}$ \end_inset , si y sólo si para cada \begin_inset Formula $j\in I$ \end_inset , \begin_inset Formula $B_{j}\cap(\sum_{i\in I\setminus\{j\}}B_{i})=0$ \end_inset . \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Description \begin_inset Formula $1\implies2]$ \end_inset Si \begin_inset Formula $\sum_{i\in I}b_{i}=\sum_{i\in I}c_{i}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $\sum_{i\in I}(b_{i}-c_{i})=0$ \end_inset , luego para cada \begin_inset Formula $i$ \end_inset , \begin_inset Formula $b_{i}-c_{i}=0$ \end_inset y \begin_inset Formula $b_{i}=c_{i}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $2\implies1]$ \end_inset Obvio. \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $1\implies3]$ \end_inset Si \begin_inset Formula $x\in B_{j}\cap(\sum_{i\in I\setminus\{j\}}B_{i})$ \end_inset , podemos escribir \begin_inset Formula $x=-b_{j}=\sum_{i\in I\setminus\{j\}}b_{i}$ \end_inset con \begin_inset Formula $b_{i}\in B_{i}$ \end_inset para todo \begin_inset Formula $i\in I$ \end_inset , pero entonces \begin_inset Formula $\sum_{i\in I}b_{i}=0$ \end_inset y por tanto cada \begin_inset Formula $b_{i}=0$ \end_inset y \begin_inset Formula $x=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $3\implies1]$ \end_inset Si \begin_inset Formula $\sum_{i\in I}b_{i}=0$ \end_inset , para cada \begin_inset Formula $j$ \end_inset , \begin_inset Formula $b_{j}=\sum_{i\in I\setminus\{j\}}(-b_{i})\in B_{j}\cap(\sum_{i\in I\setminus\{j\}}B_{i})=0$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $b_{j}=0$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Cuando \begin_inset Formula $(B_{i})_{i\in I}$ \end_inset es independiente, su suma se llama \series bold suma directa \series default , \begin_inset Formula $\bigoplus_{i\in I}B_{i}$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $I=\{1,\dots,n\}$ \end_inset , llamamos \begin_inset Formula $\bigoplus_{i\in I}B_{i}=:B_{1}\oplus\dots\oplus B_{n}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate En \begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{*},\cdot)$ \end_inset , \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{*}=\langle-1\rangle\oplus\mathbb{R}^{+}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset y \begin_inset Formula $B$ \end_inset son grupos abelianos, \begin_inset Formula $A\times B=(A\times0)\oplus(0\times B)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Para cada \begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}=\langle(1,0)\rangle\oplus\langle(a,1)\rangle$ \end_inset . \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout La intersección es nula y, dado \begin_inset Formula $(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ \end_inset , \begin_inset Formula $(x,y)=y(a,1)+(x-ya)(1,0)$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate En \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset no hay dos subgrupos no triviales independientes. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout Sean \begin_inset Formula $A$ \end_inset y \begin_inset Formula $B$ \end_inset subgrupos no triviales de \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset , con lo que existen \begin_inset Formula $\frac{a}{n}\in A\setminus0$ \end_inset y \begin_inset Formula $\frac{b}{m}\in B\setminus0$ \end_inset . Entonces \begin_inset Formula $bn\frac{a}{n}-am\frac{b}{m}$ \end_inset es una expresión no trivial de 0 como suma de elementos de \begin_inset Formula $A$ \end_inset y \begin_inset Formula $B$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset y \begin_inset Formula $B$ \end_inset son subgrupos no triviales de \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset , también lo son de \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset y tampoco son independientes. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $\hat{B}_{i}\coloneqq 0\times\dots\times0\times B_{i}\times0\times\dots\times0\leq B_{1}\times\dots\times B_{n}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $B_{1}\times\dots\times B_{n}=\tilde{B}_{1}\oplus\dots\oplus\tilde{B}_{n}$ \end_inset , con \begin_inset Formula $\hat{B}_{i}\cong B_{i}$ \end_inset , y \begin_inset Formula $f:B_{1}\times\dots\times B_{n}\to B_{1}\oplus\dots\oplus B_{n}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $f(b_{1},\dots,b_{n})\coloneqq b_{1}+\dots+b_{n}$ \end_inset es un isomorfismo de grupos. Por ello identificamos \begin_inset Formula $B_{1}\oplus\dots\oplus B_{n}$ \end_inset con \begin_inset Formula $B_{1}\times\dots\times B_{n}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Para \begin_inset Formula $(B_{i})_{i\in I}$ \end_inset , identificamos \begin_inset Formula $\bigoplus_{i\in I}B_{i}$ \end_inset con el subgrupo de \begin_inset Formula $\prod_{i\in I}B_{i}$ \end_inset de los \begin_inset Formula $(b_{i})_{i\in I}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\{i\in I\mid b_{i}\neq0\}$ \end_inset finito. \end_layout \begin_layout Section Grupos indescomponibles y \begin_inset Formula $p$ \end_inset -grupos \end_layout \begin_layout Standard Un grupo abeliano no trivial es \series bold indescomponible \series default si no es suma directa de dos subgrupos propios. Todo grupo abeliano finito no trivial es suma directa de grupos indescomponible s. \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset son indescomponibles. \end_layout \begin_layout Standard Un grupo cíclico \begin_inset Formula $\langle a\rangle_{n}$ \end_inset es indescomponible si y sólo si tiene orden potencia de primo. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Si \begin_inset Formula $n=p^{k}$ \end_inset con \begin_inset Formula $p$ \end_inset primo, los subgrupos de \begin_inset Formula $\langle a\rangle$ \end_inset forman una cadena \begin_inset Formula $0<\langle p^{k-1}a\rangle<\dots<\langle p^{2}a\rangle<\langle pa\rangle<\langle a\rangle$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Si el orden no es potencia de primo, existen \begin_inset Formula $h,k>1$ \end_inset coprimos con \begin_inset Formula $n=hk$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $\langle a\rangle$ \end_inset tiene un subgrupo cíclico \begin_inset Formula $\langle a^{k}\rangle$ \end_inset de orden \begin_inset Formula $h$ \end_inset y otro \begin_inset Formula $\langle a^{h}\rangle$ \end_inset de orden \begin_inset Formula $k$ \end_inset y \begin_inset Formula $\langle a\rangle=\langle a^{k}\rangle\oplus\langle a^{h}\rangle$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dado un grupo \begin_inset Formula $G$ \end_inset , llamamos \series bold exponente \series default o \series bold periodo \series default de \begin_inset Formula $G$ \end_inset , \begin_inset Formula $\text{Exp}(G)$ \end_inset , al menor \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\forall g\in G,g^{n}=1$ \end_inset , o a \begin_inset Formula $\infty$ \end_inset si este no existe. \begin_inset Formula $G$ \end_inset es \series bold periódico \series default o \series bold de torsión \series default si todo elemento de \begin_inset Formula $G$ \end_inset tiene orden finito. \end_layout \begin_layout Standard Si un grupo es finito tiene periodo finito, y si tiene periodo finito es periódico. Los recíprocos no se cumplen. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout En efecto, \begin_inset Formula $\prod_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}_{2}$ \end_inset tiene periodo finito pero no es finito, y \begin_inset Formula $\bigoplus_{n\geq1}\mathbb{Z}_{n}$ \end_inset es periódico pero con periodo infinito. \end_layout \end_inset Todo \begin_inset Formula $p$ \end_inset -grupo es periódico, pero no necesariamente finito \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout , pues \begin_inset Formula $\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}_{p^{n}}$ \end_inset es un \begin_inset Formula $p$ \end_inset -grupo de orden infinito \end_layout \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dados un grupo abeliano \begin_inset Formula $A$ \end_inset y un primo \begin_inset Formula $p$ \end_inset , el \series bold subgrupo de \begin_inset Formula $p$ \end_inset -torsión \series default de \begin_inset Formula $A$ \end_inset es \begin_inset Formula \[ t_{p}(A):=\{a\in A\mid \exists n\in\mathbb{N}:p^{n}a=0\}=\{a\in A\mid|a|\text{ es potencia de }p\}. \] \end_inset \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout En efecto, si \begin_inset Formula $p^{n}a=0$ \end_inset , \begin_inset Formula $|a|\mid p^{n}$ \end_inset y por tanto es potencia de \begin_inset Formula $p$ \end_inset , y el recíproco es obvio. \end_layout \end_inset Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset es finito, \begin_inset Formula $t_{p}(A)$ \end_inset es el mayor \begin_inset Formula $p$ \end_inset -subgrupo de \begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $A$ \end_inset un grupo abeliano finito y \begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{k}$ \end_inset los divisores primos de \begin_inset Formula $|A|$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula \[ A=t_{p_{1}}(A)\oplus\dots\oplus t_{p_{k}}(A) \] \end_inset con cada \begin_inset Formula $t_{p_{i}}(A)\neq0$ \end_inset . \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout \series bold Demostración: \series default Sean \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset , \begin_inset Formula $|a|=:p_{1}^{\alpha_{1}}\cdots p_{k}^{\alpha_{k}}$ \end_inset y, para \begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,k\}$ \end_inset , \begin_inset Formula $q_{i}\coloneqq \prod_{j\neq i}p_{j}^{\alpha_{j}}$ \end_inset , es claro que ningún primo divide a todos los \begin_inset Formula $q_{i}$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $\text{mcd}\{q_{1},\dots,q_{k}\}=1$ \end_inset y existen \begin_inset Formula $m_{1},\dots,m_{k}\in\mathbb{Z}$ \end_inset con \begin_inset Formula $m_{1}q_{1}+\dots+m_{k}q_{k}=1$ \end_inset . Como \begin_inset Formula $p_{i}^{\alpha_{i}}q_{i}a=0$ \end_inset , \begin_inset Formula $q_{i}a\in t_{p_{i}}(A)$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $a=m_{1}q_{1}a+\dots+m_{k}q_{k}a\in t_{p_{1}}(A)+\dots+t_{p_{k}}(A)$ \end_inset . Por tanto \begin_inset Formula $A=t_{p_{1}}(A)+\dots+t_{p_{k}}(A)$ \end_inset . Veamos que la suma es directa. Sean \begin_inset Formula $a_{1}+\dots+a_{k}=0$ \end_inset con cada \begin_inset Formula $a_{i}\in t_{p_{i}}(A)$ \end_inset , para \begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,k\}$ \end_inset existe \begin_inset Formula $\beta_{i}$ \end_inset con \begin_inset Formula $p_{i}^{\beta_{i}}a_{i}=0$ \end_inset . Sea entonces \begin_inset Formula $t_{i}\coloneqq \prod_{j\neq i}p_{j}^{\beta_{j}}$ \end_inset para cada \begin_inset Formula $i$ \end_inset , para \begin_inset Formula $i\neq j$ \end_inset , \begin_inset Formula $t_{i}a_{j}=0$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $t_{i}a_{i}=t_{i}\sum_{j\neq i}-a_{j}=0$ \end_inset . Entonces \begin_inset Formula $|a_{i}|\mid t_{i},p_{i}^{\beta_{i}}$ \end_inset , y como \begin_inset Formula $t_{i}$ \end_inset y \begin_inset Formula $p_{i}^{\beta_{i}}$ \end_inset son coprimos, \begin_inset Formula $|a_{i}|=1$ \end_inset y \begin_inset Formula $a_{i}=0$ \end_inset . Por último, tenemos \begin_inset Formula $|A|=|t_{p_{1}}(A)|\cdots|t_{p_{k}}(A)|$ \end_inset , y como el orden de cada \begin_inset Formula $t_{p_{i}}(A)$ \end_inset es una potencia de \begin_inset Formula $p_{i}$ \end_inset y cada \begin_inset Formula $p_{i}\mid|A|$ \end_inset , debe ser \begin_inset Formula $t_{p_{i}}(A)\neq0$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $n\coloneqq p_{1}^{\alpha_{1}}\cdots p_{k}^{\alpha_{k}}$ \end_inset es una factorización prima \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout , por el teorema chino de los restos \end_layout \end_inset , \begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}\cong\mathbb{Z}_{p_{1}^{\alpha_{1}}}\times\dots\times\mathbb{Z}_{p_{k}^{\alpha_{k}}}$ \end_inset , y cada factor cumple \begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p_{i}^{\alpha_{i}}}\cong t_{p}(\mathbb{Z}_{n})$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un grupo abeliano, \begin_inset Formula $B\leq A$ \end_inset , \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset , \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset y \begin_inset Formula $na=0$ \end_inset , en \begin_inset Formula $A/B$ \end_inset es \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $n(a+B)=0$ \end_inset , luego \end_layout \end_inset \begin_inset Formula $|a+B|\mid|a|$ \end_inset . En general estos órdenes no coinciden. \end_layout \begin_layout Standard Un grupo abeliano finito es indescomponible si y solo si es un \begin_inset Formula $p$ \end_inset -grupo cíclico. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sea \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un grupo abeliano finito indescomponible, que podemos suponer no trivial al ser el grupo trivial cíclico. Por la descomposición por grupos de torsión, debe ser \begin_inset Formula $|A|=p^{n}$ \end_inset para ciertos \begin_inset Formula $p,n\in\mathbb{N}$ \end_inset con \begin_inset Formula $p$ \end_inset primo y por tanto \begin_inset Formula $A$ \end_inset es \begin_inset Formula $p$ \end_inset -grupo. \end_layout \begin_deeper \begin_layout Plain Layout Queda ver que \begin_inset Formula $A$ \end_inset es cíclico. Para \begin_inset Formula $n=1$ \end_inset ya lo sabemos. Sea entonces \begin_inset Formula $n>1$ \end_inset y supongamos esto probado para \begin_inset Formula $1,\dots,n-1$ \end_inset . Existe \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $|a|=\text{Exp}(A)$ \end_inset , pues si \begin_inset Formula $\max_{b\in A}|b|=p^{k}$ \end_inset , como para todo \begin_inset Formula $b\in A$ \end_inset , \begin_inset Formula $|b|$ \end_inset es de la forma \begin_inset Formula $p^{j}$ \end_inset con \begin_inset Formula $j\leq k$ \end_inset , se tiene \begin_inset Formula $p^{k}b=0$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $\text{Exp}(A)=p^{k}=\max_{b\in A}|b|$ \end_inset . Sean \begin_inset Formula $B\coloneqq \langle a\rangle$ \end_inset y \begin_inset Formula $C\coloneqq A/B$ \end_inset , si \begin_inset Formula $C=:C_{1}\oplus\dots\oplus C_{k}$ \end_inset es la descomposición de \begin_inset Formula $C$ \end_inset por indescomponibles, por hipótesis de inducción, cada \begin_inset Formula $C_{i}$ \end_inset es cíclico. \end_layout \begin_layout Plain Layout Dado \begin_inset Formula $x$ \end_inset , veamos que \begin_inset Formula $x+B$ \end_inset contiene un representante \begin_inset Formula $y$ \end_inset con \begin_inset Formula $|y|=|x+B|$ \end_inset . Sean \begin_inset Formula $|a|=\text{Exp}(A)=:p^{m}$ \end_inset . \begin_inset Formula $|x|=p^{s}$ \end_inset y \begin_inset Formula $|x+B|=p^{t}$ \end_inset , y se tiene \begin_inset Formula $t\leq s\leq m$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $t=s$ \end_inset , tomamos \begin_inset Formula $y\coloneqq x$ \end_inset . De lo contrario, como \begin_inset Formula $p^{t}(x+B)=0$ \end_inset , \begin_inset Formula $p^{t}x\in B=\langle a\rangle$ \end_inset , es decir, \begin_inset Formula $p^{t}x=qa$ \end_inset para algún \begin_inset Formula $q\in\mathbb{Z}$ \end_inset . Sean \begin_inset Formula $r,u\in\mathbb{Z}$ \end_inset tales que \begin_inset Formula $q=rp^{u}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\text{mcd}\{p,r\}=1$ \end_inset , \begin_inset Formula $p^{m+t-u}x=p^{m-u}p^{t}x=p^{m-u}qa=rp^{m}a=0$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $s\leq m+t-u$ \end_inset . Por otro lado, \begin_inset Formula $p^{m+t-u-1}x=p^{m-u-1}qa=rp^{m-1}a\neq0$ \end_inset , de donde \begin_inset Formula $s=m+t-u$ \end_inset . Sea ahora \begin_inset Formula $y\coloneqq x-rp^{m+t-s}a$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $y+B=x+B$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $p^{t}=|x+B|=|y+B|\mid|y|$ \end_inset , y como además \begin_inset Formula $p^{t}y=p^{t}x-rp^{m+t-s}a=p^{t}x-rp^{u}a=p^{t}x-qa=0$ \end_inset , se tiene \begin_inset Formula $|y|=p^{t}=|x+B|$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Plain Layout Con esto, para cada \begin_inset Formula $i$ \end_inset podemos tomar un \begin_inset Formula $x_{i}\in A$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $C_{i}=\langle x_{i}+B\rangle$ \end_inset y \begin_inset Formula $|x_{i}|=|x_{i}+B|$ \end_inset . Dado \begin_inset Formula $p\in A$ \end_inset , podemos escribir \begin_inset Formula $p+B$ \end_inset como \begin_inset Formula $m_{1}x_{1}+\dots+m_{k}x_{k}+B$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $p$ \end_inset como \begin_inset Formula $m_{!}x_{1}+\dots+m_{k}x_{k}+B$ \end_inset . Por tanto \begin_inset Formula $A=B+\langle x_{1}\rangle+\dots+\langle x_{k}\rangle$ \end_inset , y queremos ver que la suma es directa. Dados \begin_inset Formula $b\in B$ \end_inset y \begin_inset Formula $m_{1},\dots,m_{k}\in\mathbb{Z}$ \end_inset con \begin_inset Formula $b+m_{1}x_{1}+\dots+m_{k}x_{k}=0$ \end_inset , \begin_inset Formula $0=m_{1}(x_{1}+B)+\dots+m_{k}(x_{k}+B)$ \end_inset y por tanto para cada \begin_inset Formula $i$ \end_inset , \begin_inset Formula $m_{i}(x_{i}+B)=0$ \end_inset , \begin_inset Formula $|x_{i}+B|=|x_{i}|\mid|m_{i}|$ \end_inset y \begin_inset Formula $m_{i}x_{i}=0$ \end_inset , con lo que también \begin_inset Formula $b=0$ \end_inset . Finalmente, como \begin_inset Formula $A$ \end_inset es indescomponible y \begin_inset Formula $B\neq0$ \end_inset , deducimos que \begin_inset Formula $A=B=\langle a\rangle$ \end_inset , y \begin_inset Formula $A$ \end_inset es cíclico. \end_layout \end_deeper \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Ya hemos visto que todo grupo cíclico de orden \begin_inset Formula $p^{n}$ \end_inset es indescomponible. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Esto significa que todo grupo abeliano finito es suma directa de subgrupos cíclicos, cada uno con orden potencia de primo. \end_layout \begin_layout Section Descomposiciones primarias e invariantes \end_layout \begin_layout Standard Una \series bold descomposición primaria \series default o \series bold indescomponible \series default de un grupo abeliano finito \begin_inset Formula $A$ \end_inset es una expresión de la forma \begin_inset Formula \begin{align*} A= & \langle a_{11}\rangle_{p_{1}^{\alpha_{11}}}\oplus\dots\oplus\langle a_{1m_{1}}\rangle_{p_{1}^{\alpha_{1m_{1}}}}\oplus\\ & \dots\oplus\\ & \langle a_{k1}\rangle_{p_{k}^{\alpha_{k1}}}\oplus\dots\oplus\langle a_{km_{k}}\rangle_{p_{k}^{\alpha_{km_{k}}}}, \end{align*} \end_inset donde \begin_inset Formula $p_{1}<\dots