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\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 son conjuntos de igual cardinal, existe una biyección 
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $h:S_{A}\to S_{B}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $h(\sigma)\coloneqq f\circ\sigma\circ f^{-1}$
\end_inset

 es un isomorfismo.
 Por tanto, las propiedades de 
\begin_inset Formula $S_{A}$
\end_inset

 solo dependen del cardinal.
\end_layout

\begin_layout Standard
Nos centraremos en los grupos de permutaciones entre conjuntos finitos,
 
\begin_inset Formula $S_{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

.
 Entonces representamos una 
\begin_inset Formula $\sigma\in S_{n}$
\end_inset

 como
\begin_inset Formula 
\[
\sigma=\begin{pmatrix}1 & 2 & \cdots & n\\
\sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n)
\end{pmatrix}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Ciclos
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\begin_inset Formula $\sigma\in S_{n}$
\end_inset

 
\series bold
fija
\series default
 un 
\begin_inset Formula $i\in\mathbb{N}_{n}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\sigma(i)=i$
\end_inset

, y lo 
\series bold
cambia
\series default
 o 
\series bold
mueve
\series default
 en caso contrario.
 Llamamos 
\begin_inset Formula $M(\sigma)\coloneqq \{i\in\mathbb{N}_{n}\mid \sigma(i)\neq i\}$
\end_inset

, y es claro que 
\begin_inset Formula $M(\sigma)=\emptyset\iff\sigma=1$
\end_inset

 y que 
\begin_inset Formula $|M(\sigma)|\neq1$
\end_inset

.
 Dos permutaciones 
\begin_inset Formula $\sigma,\tau\in S_{n}$
\end_inset

 son 
\series bold
disjuntas
\series default
 si lo son 
\begin_inset Formula $M(\sigma)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M(\tau)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tau$
\end_inset

 son permutaciones disjuntas, 
\begin_inset Formula $\sigma\tau=\tau\sigma$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M(\sigma\tau)=M(\sigma)\cup M(\tau)$
\end_inset

.
 
\series bold

\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $i\in M(\sigma)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma(i)\in M(\sigma)$
\end_inset

, pues si fuera 
\begin_inset Formula $\sigma(i)\notin M(\sigma)$
\end_inset

 sería 
\begin_inset Formula $\sigma(\sigma(i))=\sigma(i)$
\end_inset

, contradiciendo que 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 sea biyectiva.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset

 Entonces 
\begin_inset Formula $i,\sigma(i)\notin M(\tau)$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tau$
\end_inset

 disjuntas, luego 
\begin_inset Formula $\sigma(\tau(i))=\sigma(i)=\tau(\sigma(i))$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $(\sigma\tau)(i)=\sigma(i)\neq i$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $i\in M(\sigma\tau)$
\end_inset

.
 De forma análoga, si 
\begin_inset Formula $i\in M(\tau)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma(\tau(i))=\tau(\sigma(i))$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $i\in M(\sigma\tau)$
\end_inset

.
 Finalmente, si 
\begin_inset Formula $i\notin M(\sigma),M(\tau)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma(\tau(i))=i=\tau(\sigma(i))$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un
\series bold
 ciclo
\series default
 de 
\series bold
longitud
\series default
 
\begin_inset Formula $s\in\{2,\dots,n\}$
\end_inset

 o 
\series bold

\begin_inset Formula $s$
\end_inset

-ciclo
\series default
 es una permutación 
\begin_inset Formula $\sigma\in S_{n}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $|M(\sigma)|=s$
\end_inset

 y podemos ordenar sus elementos como 
\begin_inset Formula $M(\sigma)=\{i_{1},\dots,i_{s}\}$
\end_inset

 de forma que 
\begin_inset Formula $\sigma(i_{k})=i_{k+1}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,s-1\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma(i_{s})=i_{1}$
\end_inset

.
 Denotamos este ciclo como 
\begin_inset Formula 
\[
\sigma=(i_{1}\,i_{2}\,\dots\,i_{s}).
\]

\end_inset

 Los 2-ciclos se llaman 
\series bold
transposiciones
\series default
 o 
\series bold
trasposiciones
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $\sigma\coloneqq (i_{1}\,\dots\,i_{s})\in S_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $t\in\{1,\dots,s\}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\sigma=(i_{t}\,\dots\,i_{s}\,i_{1}\,\dots\,i_{t-1})$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\sigma(i_{s})=i_{1}$
\end_inset

; para 
\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,s-1\}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $k\neq t-1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma(i_{k})=i_{k+1}$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $\sigma(i_{t-1})=\sigma(i_{t})$
\end_inset

.
 Además se fijan los mismos puntos.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $i_{t}=\sigma^{t-1}(i_{1})$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Para 
\begin_inset Formula $t=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $i_{1}=\sigma^{0}(i_{1})$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $t>1$
\end_inset

, supuesto esto probado para 
\begin_inset Formula $\sigma^{t-1}(i_{1})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $i_{t}=\sigma(i_{t-1})=\sigma(\sigma^{t-2}(i_{1}))=\sigma^{t-1}(i_{1})$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $|\sigma|=s$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Para 
\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,s-1\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma^{k}(i_{1})=i_{k+1}\neq i_{1}$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma^{s}(i_{1})=\sigma(\sigma^{s-1}(i_{1}))=\sigma(i_{s})=i_{1}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\sigma^{s}(i_{k})=\sigma^{s+k-1}(i_{1})=\sigma^{k-1}(i_{1})=i_{k}$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $\sigma^{s}=1$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, toda permutación 
\begin_inset Formula $\sigma\neq1$
\end_inset

 se puede expresar de forma única salvo orden como producto de ciclos disjuntos.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Razonamos por inducción en 
\begin_inset Formula $|M(\sigma)|\geq2$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $M(\sigma)=\{i,j\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma=(i\,j)$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $\sigma=\tau_{1}\cdots\tau_{k}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\tau_{1},\dots,\tau_{k}$
\end_inset

 ciclos disjuntos, como 
\begin_inset Formula $M(\sigma)=\sum_{i}M(\tau_{i})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $k=1$
\end_inset

.
 Supongamos que esto se cumple para toda permutación no identidad que mueve
 menos elementos que 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

.
 Sean 
\begin_inset Formula $i\in M(\sigma)$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $(i_{n})_{n}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $i_{0}\coloneqq i$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $i_{n}\coloneqq \sigma(i_{n-1})$
\end_inset

, como los 
\begin_inset Formula $i_{n}$
\end_inset

 toman valores en un conjunto finito, existen 
\begin_inset Formula $0\le j<k$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $i_{j}=i_{k}$
\end_inset

, y podemos tomar 
\begin_inset Formula $j=0$
\end_inset

 porque, si el menor 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 que se puede tomar es positivo, 
\begin_inset Formula $i_{j-1}=\sigma^{-1}(i_{j})=\sigma^{-1}(i_{k})=i_{k-1}\#$
\end_inset

.
 Tomamos el menor 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 positivo con 
\begin_inset Formula $i_{0}=i_{k}$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $\tau\coloneqq (i_{0}\,\dots\,i_{k-1})$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

-ciclo.
 Sea 
\begin_inset Formula $\rho\in S_{n}$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
\rho(j):=\begin{cases}
j, & j\in\{i_{0}\,\dots\,i_{k-1}\}\lor j\notin M(\sigma);\\
\sigma(j), & \text{en otro caso}.
\end{cases}
\]

\end_inset

Claramente 
\begin_inset Formula $\tau$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

 son disjuntas, 
\begin_inset Formula $|M(\rho)|=|M(\sigma)|-k<|M(\sigma)|$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma=\tau\rho$
\end_inset

, y por la hipótesis de inducción, 
\begin_inset Formula $\rho=:\rho_{1}\cdots\rho_{l}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\rho_{1},\dots,\rho_{l}$
\end_inset

 disjuntos dos a dos.
 Además, 
\begin_inset Formula $M(\tau)\cap M(\rho_{i})\subseteq M(\tau)\cap M(\rho)=\emptyset$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\sigma=\tau\rho_{1}\cdots\rho_{l}$
\end_inset

 es un producto de ciclos disjuntos.
 Para la unicidad, si 
\begin_inset Formula $\sigma=\tau_{1}\cdots\tau_{m}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\tau_{1},\dots,\tau_{m}$
\end_inset

 ciclos disjuntos, 
\begin_inset Formula $i_{0}\in M(\tau_{j})$
\end_inset

 para un único 
\begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,m\}$
\end_inset

, y podemos suponer 
\begin_inset Formula $j=1$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\tau(i_{0})=\sigma(i_{0})=\tau_{1}(i_{0})$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\tau=\tau_{1}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\rho=\tau_{2}\cdots\tau_{m}$
\end_inset

, y de la unicidad de la factorización de 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

 se deduce la unicidad de la de 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
tipo
\series default
 de una permutación 
\begin_inset Formula $\sigma\in S_{n}\setminus1$
\end_inset

 es la lista 
\begin_inset Formula $[s_{1},\dots,s_{k}]$
\end_inset

 de las longitudes de los ciclos en su factorización en ciclos disjuntos,
 en orden creciente.
 El orden de 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 es el mínimo común múltiplo de las componentes de su tipo.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $\sigma=\tau_{1}\cdots\tau_{k}$
\end_inset

 la factorización de 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 como producto de ciclos disjuntos, 
\begin_inset Formula $s_{i}=|\tau_{i}|$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$
\end_inset

.
 Como los 
\begin_inset Formula $\tau_{i}$
\end_inset

 conmutan y, para cada 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M(\tau_{i}^{m})\subseteq M(\tau_{i})$
\end_inset

, la factorización de 
\begin_inset Formula $\sigma^{m}$
\end_inset

 por ciclos disjuntos es 
\begin_inset Formula $\sigma^{m}=\tau_{1}^{m}\cdots\tau_{k}^{m}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\sigma^{m}=1$
\end_inset

 si y solo si cada 
\begin_inset Formula $\tau_{i}^{m}=1$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $s_{i}\mid m$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\text{mcm}\{s_{1},\dots,s_{m}\}\mid m$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dada una permutación 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 y un ciclo 
\begin_inset Formula $\tau\coloneqq (i_{1}\,\dots\,i_{s})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\tau^{\alpha}=(\alpha^{-1}(i_{1})\,\dots\,\alpha^{-1}(i_{s}))$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $\tau^{\alpha}=\alpha^{-1}(i_{1}\,\dots\,i_{s})\alpha=(\alpha^{-1}(i_{1})\,\dots\,\alpha^{-1}(i_{s}))$
\end_inset

.
 Como 
\series bold
teorema
\series default
, dos elementos de 
\begin_inset Formula $S_{n}$
\end_inset

 son conjugados si y sólo si tienen el mismo tipo, luego las clases de conjugaci
ón están formadas por los elementos de igual tipo.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Es fácil ver que, si 
\begin_inset Formula $\tau_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tau_{2}$
\end_inset

 son ciclos disjuntos, 
\begin_inset Formula $\alpha\tau_{1}\alpha^{-1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha\tau_{2}\alpha^{-1}$
\end_inset

 también lo son, luego si 
\begin_inset Formula $\tau_{1},\dots,\tau_{k}$
\end_inset

 son ciclos disjuntos, 
\begin_inset Formula $\alpha\tau_{1}\cdots\tau_{k}\alpha^{-1}=(\alpha\tau_{1}\alpha^{-1})\cdots(\alpha\tau_{k}\alpha^{-1})$
\end_inset

, y entonces es claro que dos elementos conjugados de 
\begin_inset Formula $S_{n}$
\end_inset

 tienen el mismo tipo.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma'$
\end_inset

 tienen el mismo tipo, las descomposiciones en producto de ciclos disjuntos
 tienen forma 
\begin_inset Formula $\sigma=:\tau_{1}\cdots\tau_{k}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma'=:\tau'_{1}\cdots\tau_{k}'$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $|\tau_{i}|=|\tau'_{i}|$
\end_inset

.
 Por tanto existen biyecciones 
\begin_inset Formula $\alpha_{i}:M(\tau_{i})\to M(\tau'_{i})$
\end_inset

 que conservan la estructura de los ciclos, y como 
\begin_inset Formula $|M(\sigma)|=|M(\sigma')|$
\end_inset

, existe una biyección 
\begin_inset Formula $\beta:\mathbb{N}_{n}\setminus M(\sigma)\to\mathbb{N}_{n}\setminus M(\sigma')$
\end_inset

.
 Sea ahora 
\begin_inset Formula $\alpha\in S_{n}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\alpha(x)\coloneqq \alpha_{i}(x)$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $x\in M(\tau_{i})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha(x)\coloneqq \beta(x)$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $x\notin M(\sigma)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\tau_{i}'=\alpha\tau_{i}\alpha^{-1}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\sigma'=\alpha\sigma\alpha^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $n\geq2$
\end_inset

, los siguientes conjuntos son generadores de 
\begin_inset Formula $S_{n}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El de todos los ciclos.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El de todas las trasposiciones.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(i_{1}\,\dots\,i_{s})=(i_{1}\,i_{s})(i_{1}\,i_{s-1})\cdots(i_{1}\,i_{2})$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\{(1\,2),(1\,3),\dots,(1\,n)\}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(i\,j)=(1\,i)(1\,j)(1\,i)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\{(1\,2),(2\,3),\dots,(n-1\,n)\}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Dados 
\begin_inset Formula $j\geq2$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq (2\,3)(3\,4)\cdots(j-1\,j)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(1\,2)^{\alpha}=(\alpha^{-1}(1)\,\alpha^{-1}(2))=(1\,j)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\{(1\,2),(1\,2\,\dots\,n-1\,n)\}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $\tau\coloneqq (1\,2)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma\coloneqq (1\,2\,\dots\,n-1\,n)$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,n-1\}$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $\sigma^{j-1}(1)=j$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma^{j-1}(2)=j+1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\tau^{\sigma^{1-j}}=(j\,j+1)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es primo y 
\begin_inset Formula $H\leq S_{p}$
\end_inset

 contiene una transposición y un 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-ciclo, 
\begin_inset Formula $H=S_{p}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Podemos suponer que 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 contiene a 
\begin_inset Formula $(1\,2)$
\end_inset

 y un 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-ciclo 
\begin_inset Formula $\sigma=(a_{1}\,\dots\,a_{p})$
\end_inset

, y podemos suponer 
\begin_inset Formula $a_{1}=1$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $a_{i}=2$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma^{i-1}=(1\,2\,b_{3}\,\dots\,b_{p})$
\end_inset

, y como las propiedades de las permutaciones no varían por biyecciones
 en el conjunto permutado, podemos renombrar los 
\begin_inset Formula $b_{i}$
\end_inset

 de forma que 
\begin_inset Formula $b_{i}=i$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $(1\,2),(1\,2\,\dots\,p)\in H$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $H=S_{p}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
El grupo alternado
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $n\geq2$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma\in S_{n}$
\end_inset

, existe un automorfismo de anillos 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(k)=k$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{Z}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(X_{i})=X_{\sigma(i)}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

.
 Sea
\begin_inset Formula 
\[
P:=\prod_{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i}).
\]

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $i<j$
\end_inset

, puede ocurrir:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Que sea 
\begin_inset Formula $\sigma(i)<\sigma(j)$
\end_inset

, y entonces el factor 
\begin_inset Formula $X_{\sigma(j)}-X_{\sigma(i)}$
\end_inset

 aparece en 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(P)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Que sea 
\begin_inset Formula $\sigma(i)>\sigma(j)$
\end_inset

, y entonces el factor 
\begin_inset Formula $X_{\sigma(j)}-X_{\sigma(i)}$
\end_inset

 aparece en 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(P)$
\end_inset

 pero en 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 aparece su opuesto, y decimos que 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 
\series bold
presenta una inversión
\series default
 para el par 
\begin_inset Formula $(i,j)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Entonces 
\begin_inset Formula $\sigma\in S_{n}$
\end_inset

 es 
\series bold
par
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 presenta un número par de inversiones, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(P)=P$
\end_inset

, y es 
\series bold
impar
\series default
 si presenta un número impar de inversiones, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(P)=-P$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
aplicación signo
\series default
, 
\begin_inset Formula $\text{sgn}:S_{n}\to\mathbb{Z}^{*}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(P)=\text{sgn}(\sigma)P$
\end_inset

, es un homomorfismo de grupos.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $\sigma,\tau\in S_{n}$
\end_inset

, es fácil comprobar que 
\begin_inset Formula $\overbrace{\sigma\circ\tau}=\hat{\sigma}\circ\hat{\tau}$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $\text{sgn}(\sigma\circ\tau)P=\overbrace{\sigma\circ\tau}(P)=\hat{\sigma}(\hat{\tau}(P))=\hat{\sigma}(\text{sgn}(\tau)P)=\text{sgn}(\tau)\hat{\sigma}(P)=\text{sgn}(\tau)\text{sgn}(\sigma)P$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\text{sgn}(\sigma\circ\tau)=\text{sgn}(\sigma)\text{sgn}(\tau)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Propiedades:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{sgn}(\sigma)=\text{sgn}(\sigma^{-1})$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\text{sgn}(\sigma)\text{sgn}(\sigma^{-1})=\text{sgn}(1)=1$
\end_inset

, luego o 
\begin_inset Formula $\text{sgn}(\sigma)=\text{sgn}(\sigma^{-1})=1$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\text{sgn}(\sigma)=\text{sgn}(\sigma^{-1})=-1$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Toda transposición es impar.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $\sigma\coloneqq (m\,n)$
\end_inset

 una transposición con 
\begin_inset Formula $m<n$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $i<j$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 presenta una inversión en 
\begin_inset Formula $(i,j)$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\sigma(i)>\sigma(j)$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $m=i<j\leq n$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $m\leq i<j=n$
\end_inset

, teniendo en cuenta que 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 tiene que mover 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 para que haya una inversión.
 En total hay 
\begin_inset Formula $2(m-n)-1$
\end_inset

 inversiones, un número impar.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\tau_{1},\dots,\tau_{r}$
\end_inset

 son transposiciones, 
\begin_inset Formula $\text{sgn}(\tau_{1}\cdots\tau_{r})=(-1)^{r}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 es par si y sólo si es producto de un número par de transposiciones.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Un ciclo de longitud 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 tiene signo 
\begin_inset Formula $(-1)^{s-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
La paridad de una permutación coincide con la del número de componentes
 pares de su tipo.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $[s_{1},\dots,s_{k}]$
\end_inset

 el tipo de una 
\begin_inset Formula $\sigma\in S_{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 es producto de ciclos de longitudes 
\begin_inset Formula $s_{1}-1,\dots,s_{k}-1$
\end_inset

.
 Los ciclos con 
\begin_inset Formula $s_{i}$
\end_inset

 impar son pares y los de longitud par son impares, de donde se deduce el
 resultado.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
grupo alternado
\series default
 en 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 elementos a 
\begin_inset Formula $A_{n}\coloneqq \ker\text{sgn}$
\end_inset

, el subgrupo de 
\begin_inset Formula $S_{n}$
\end_inset

 de las permutaciones pares.
 
\begin_inset Formula $A_{n}$
\end_inset

 es un subgrupo normal de 
\begin_inset Formula $S_{n}$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $n\geq2$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\frac{S_{n}}{A_{n}}\cong\{-1,1\}\cong\mathbb{Z}_{2}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $[S_{n}:A_{n}]=2$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $|A_{n}|=\frac{n!}{2}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
En efecto, es normal por ser el núcleo de un homomorfismo, y el resto es
 consecuencia de que el signo es suprayectivo para 
\begin_inset Formula $n\geq2$
\end_inset

 y del primer teorema de isomorfía.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Son generadores de 
\begin_inset Formula $A_{n}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El conjunto de todos los productos de dos transposiciones.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Toda permutación par es producto de un número par de transposiciones.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
El conjunto de todos los 3-ciclos.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $(i\,j)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(k\,l)$
\end_inset

 dos transposiciones.
 Si son disjuntas, 
\begin_inset Formula $(i\,j)(k\,l)=(j\,l\,k)(i\,k\,j)$
\end_inset

.
 Si son iguales, el producto es 1.
 En otro caso podemos suponer 
\begin_inset Formula $i=k$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $j\neq l$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $(i\,j)(i\,l)=(i\,l\,j)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Section
Teorema de Abel
\end_layout

\begin_layout Standard
Un grupo 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 no trivial es 
\series bold
simple
\series default
 si sus únicos subgrupos normales son 1 y 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
 Así, un grupo abeliano es simple si y sólo si tiene orden primo.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Abel:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $n\geq5$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A_{n}$
\end_inset

 es un grupo simple.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $H\neq1$
\end_inset

 un subgrupo normal de 
\begin_inset Formula $A_{n}$
\end_inset

 y veamos que 
\begin_inset Formula $H=A_{n}$
\end_inset

.
 Supongamos primero que 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 contiene un 3-ciclo 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

, y veamos que cualquier otro 3-ciclo 
\begin_inset Formula $\sigma'$
\end_inset

 está en 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

.
 Sabemos que existe 
\begin_inset Formula $\alpha\in S_{n}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\sigma'=\sigma^{\alpha}$
\end_inset

, por tener 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma'$
\end_inset

 el mismo tipo.
 Si 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es par, 
\begin_inset Formula $\alpha\in A_{n}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\sigma'\in A_{n}$
\end_inset

 por la normalidad de 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $A_{n}$
\end_inset

.
 En otro caso, como 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 solo cambia 3 elementos y 
\begin_inset Formula $n\geq5$
\end_inset

, existe una transposición 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 disjunta con 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\sigma^{\beta}=\sigma$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\sigma^{\beta\alpha}=(\sigma^{\beta})^{\alpha}=\sigma^{\alpha}=\sigma'$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $\beta\alpha\in A_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Queda probar que 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 contiene un 
\begin_inset Formula $3$
\end_inset

-ciclo.
 Sea 
\begin_inset Formula $\sigma\in H\setminus1$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $r\coloneqq |M(\sigma)|$
\end_inset

 mínimo, y queremos ver que 
\begin_inset Formula $r=3$
\end_inset

.
 No puede ser 
\begin_inset Formula $r=1$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 es par, tampoco puede ser 
\begin_inset Formula $r=2$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $r\geq3$
\end_inset

.
 Si suponemos 
\begin_inset Formula $r>3$
\end_inset

, hay dos posibilidades:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Que en la factorización de 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 en ciclos disjuntos haya un ciclo de longitud al menos 3.
 Entonces 
\begin_inset Formula $M(\sigma)\geq5$
\end_inset

, pues de lo contrario, como en la factorización hay un ciclo de longitud
 al menos 3, 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 sería un 4-ciclo y no estaría en 
\begin_inset Formula $A_{n}\#$
\end_inset

.
 Podemos suponer 
\begin_inset Formula $1,2,3,4,5\in M(\sigma)$
\end_inset

 y que algún ciclo de la descomposición es de la forma 
\begin_inset Formula $(1\,2\,3\,\dots)$
\end_inset

 con longitud al menos 3.
 Sea 
\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq (3\,4\,5)\in A_{n}$
\end_inset

, por la normalidad de 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma^{\alpha}\in H$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \sigma^{-1}\sigma^{\alpha}\in H$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $\sigma(i)=i$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $i>5$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha(i)=i$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\beta(i)=i$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $M(\beta)\subseteq M(\sigma)$
\end_inset

, y la inclusión es estricta porque 
\begin_inset Formula $\sigma(1)=2$
\end_inset

 pero 
\begin_inset Formula $\beta(1)=1$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\beta\in H$
\end_inset

 cambia menos de 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 elementos, luego debe ser 
\begin_inset Formula $\beta=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma^{\alpha}=\sigma$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\alpha\sigma=\sigma\alpha$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $(\alpha\sigma)(2)=4$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(\sigma\alpha)(2)=3\#$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Que 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 sea un producto de 2 o más transposiciones disjuntas.
 Podemos suponer 
\begin_inset Formula $\sigma=(1\,2)(3\,4)\cdots$
\end_inset

 (puede haber más transposiciones o no.
 Sean 
\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq (3\,4\,5)\in A_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \sigma^{-1}\sigma^{\alpha}\in H$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $i\neq5$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma(i)=i$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $i\neq3,4,5$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\alpha(i)=i$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\beta(i)=i$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $M(\beta)\subseteq M(\sigma)\cup\{5\}$
\end_inset

.
 Pero 1 y 2 son fijados por 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 y movidos por 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 cambia menos de 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 elementos y por tanto 
\begin_inset Formula $\beta=1$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\sigma\alpha=\alpha\sigma$
\end_inset

, sin embargo 
\begin_inset Formula $(\sigma\alpha)(3)=3$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(\alpha\sigma)(3)=5\#$
\end_inset

.
\end_layout

\end_body
\end_document