#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Section
Espacios afines
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset include
LatexCommand input
filename "n1b.lyx"

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Variedades afines
\end_layout

\begin_layout Standard
Un subconjunto 
\begin_inset Formula ${\cal L}\subseteq{\cal E}$
\end_inset

 es una 
\series bold
variedad (lineal) afín
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\exists P\in{\cal E},W\subseteq V:{\cal L}=P+W\coloneqq \{P+\vec{w}\}_{\vec{w}\in W}$
\end_inset

.
 Se dice que 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

 
\series bold
pasa por
\series default
 el punto 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 es la 
\series bold
dirección
\series default
 de 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $\text{dir}({\cal L})=W$
\end_inset

), y se define la dimensión de 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

 como
\begin_inset Formula 
\[
\dim({\cal L}):=\text{dim}(\text{dir}({\cal L}))=\dim_{K}(W)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Una variedad de dimensión 1 es una 
\series bold
recta (afín)
\series default
, determinada por cualquier 
\begin_inset Formula $P\in{\cal L}$
\end_inset

 y vector 
\begin_inset Formula $\vec{v}\in\text{dir}({\cal L})$
\end_inset

 no nulo, llamado 
\series bold
vector director
\series default
 de la recta.
 Una variedad de dimensión 2 es un 
\series bold
plano afín
\series default
, y una de dimensión 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

 (con 
\begin_inset Formula $n=\dim({\cal E})$
\end_inset

) es un 
\series bold
hiperplano afín
\series default
.
 Así, para todo 
\begin_inset Formula $P\in{\cal E}$
\end_inset

, se tiene que 
\begin_inset Formula $P+V={\cal E}$
\end_inset

.
 Propiedades: Sean 
\begin_inset Formula ${\cal L}=P+W$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal L}'=P'+W'$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $Q\in{\cal L}\iff\overrightarrow{PQ}\in W$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $Q\in{\cal L}\implies\exists\vec{w}\in W:Q=P+\vec{w}\implies\overrightarrow{PQ}=\vec{w}\in W$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ}\in W\implies Q=P+\overrightarrow{PQ}\in P+W={\cal L}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $W=\{\overrightarrow{PR}\}_{R\in{\cal L}}=\{\overrightarrow{QR}\}_{Q,R\in{\cal L}}$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 está unívocamente determinado por 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

).
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Vemos que 
\begin_inset Formula $W\subseteq\{\overrightarrow{PR}\}_{R\in{\cal L}}\subseteq\{\overrightarrow{QR}\}_{Q,R\in{\cal L}}\subseteq W$
\end_inset

.
 Primero, si 
\begin_inset Formula $\vec{w}\in W$
\end_inset

, podemos definir 
\begin_inset Formula $R\coloneqq P+\vec{w}\in{\cal L}$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $\vec{w}=\overrightarrow{PR}\in\{\overrightarrow{PR}\}_{R\in{\cal L}}$
\end_inset

.
 El segundo contenido es evidente, y para el tercero, dados 
\begin_inset Formula $Q,R\in{\cal L}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR}\in W$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}-\overrightarrow{PQ}\in W$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $P'\in{\cal L}\implies{\cal L}=P'+W$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula ${\cal L}'=P'+W$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $P'\in{\cal L}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{PP'}\in W$
\end_inset

, y así,
\begin_inset Formula 
\[
Q\in{\cal L}'\iff\overrightarrow{P'Q}\in W\iff\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PP'}+\overrightarrow{P'Q}\in W\iff Q\in{\cal L}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $({\cal L},W,\varphi|_{{\cal L}\times W})$
\end_inset

 es un espacio afín.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $Q\in{\cal L}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\vec{w}\in W$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $Q+\vec{w}\in Q+W={\cal L}$
\end_inset

.
 Las propiedades 
\begin_inset Formula $(P+\vec{v})+\vec{w}=P+(\vec{v}+\vec{w})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P+\overrightarrow{0}=P$
\end_inset

 se cumplen trivialmente, y si 
\begin_inset Formula $R,Q\in{\cal L}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{RQ}\in W$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula ${\cal L}\subseteq{\cal L}'\iff W\subseteq W'\land\overrightarrow{PP'}\in W'\iff W\subseteq W'\land P\in{\cal L}'$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula ${\cal L}={\cal L}'\iff W=W'\land\overrightarrow{PP'}\in W$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Basta ver la primera serie de equivalencias.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $[1\implies2]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula ${\cal L}\subseteq{\cal L}'\implies P\in{\cal L}'\implies\overrightarrow{PP'}\in W'$
\end_inset

.
 Además, 
\begin_inset Formula $W=\{\overrightarrow{QR}\}_{Q,R\in{\cal L}}\subseteq\{\overrightarrow{QR}\}_{Q,R\in{\cal L}'}=W'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $[2\implies3]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{PP'}\in W'\implies\overrightarrow{P'P}\in W'\implies P\in{\cal L}'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $[3\implies1]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $W\subseteq W'\land P\in{\cal L}'\implies{\cal L}=P+W\subseteq P+W'={\cal L}'$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Subsection
Paralelismo, intersección y cruce de variedades
\end_layout

\begin_layout Standard
Dos variedades 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal L}'$
\end_inset

 son 
\series bold
paralelas
\series default
 (
\begin_inset Formula ${\cal L}\parallel{\cal L}'$
\end_inset

) si tienen la misma dirección.
 Si solo se tiene que 
\begin_inset Formula $\text{dir}({\cal L})\subseteq\text{dir}({\cal L}')$
\end_inset

, se dice que 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

 es 
\series bold
débilmente paralela
\series default
 a 
\begin_inset Formula ${\cal L}'$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula ${\cal L}\ll{\cal L}'$
\end_inset

).
 Cuando no hay ambigüedad, a veces se omite el 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

débilmente
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

.
 Se trata de una relación reflexiva y transitiva en la que 
\begin_inset Formula ${\cal L}\ll{\cal L}'\land{\cal L}'\ll{\cal L}\implies{\cal L}\parallel{\cal L}'$
\end_inset

, pero no es antisimétrica.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
postulado de las paralelas de Euclides
\series default
 afirma que por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela
 a esta.
 Esto se puede generalizar a que, dados 
\begin_inset Formula $P\in{\cal E}$
\end_inset

 y una variedad afín 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

, existe una única variedad 
\begin_inset Formula ${\cal L}'$
\end_inset

 que pasa por 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 y es paralela a 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

, y esta es 
\begin_inset Formula ${\cal L}'=P+\text{dir}({\cal L})$
\end_inset

.
 Propiedades:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula ${\cal L}\ll{\cal L}'\implies{\cal L}\subseteq{\cal L}'\lor{\cal L}\cap{\cal L}'=\emptyset$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
W\subseteq W'\land\exists Q\in{\cal L}\cap{\cal L}'\implies{\cal L}=Q+W\subseteq Q+W'={\cal L}'
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula ${\cal L}\parallel{\cal L}'\implies{\cal L}={\cal L}'\lor{\cal L}\cap{\cal L}'=\emptyset$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
W=W'\land\exists Q\in{\cal L}\cap{\cal L}'\implies{\cal L}=Q+W=Q+W'={\cal L}'
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula ${\cal L}\ll{\cal L}'\iff\exists{\cal S}:{\cal L}\parallel{\cal S}\subseteq{\cal L}'\iff\exists{\cal S}':{\cal L}\subseteq{\cal S}'\parallel{\cal L}'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $[1\implies2,3]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $W\subseteq W'\implies{\cal L}=P+W\parallel P'+W\subseteq P'+W'={\cal L}'\land{\cal L}=P+W\subseteq P+W'\parallel P'+W'={\cal L}'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $[2\implies1]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula ${\cal L}\parallel{\cal S}\subseteq{\cal L}'\implies\text{dir}({\cal L})=\text{dir}({\cal S})\subseteq\text{dir}({\cal L}')\implies{\cal L}\ll{\cal L}'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $[3\implies1]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula ${\cal L}\subseteq{\cal S}'\parallel{\cal L}\implies\text{dir}({\cal L})\subseteq\text{dir}({\cal S}')=\text{dir}({\cal L}')\implies{\cal L}\ll{\cal L}'$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Se dice que dos variedades 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal L}'$
\end_inset

 
\series bold
se cortan
\series default
 o son 
\series bold
incidentes
\series default
 si 
\begin_inset Formula ${\cal L}\cap{\cal L}'\neq\emptyset$
\end_inset

, y que 
\series bold
se cruzan
\series default
 si ni se cortan ni ninguna es débilmente paralela a la otra.
 Propiedades:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\{{\cal L}_{i}\}_{i\in I}$
\end_inset

 es una familia de variedades afines de 
\begin_inset Formula ${\cal E}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula ${\cal L}_{i}=P+W_{i}\forall i\in I$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\bigcap_{i\in I}{\cal L}_{i}\neq\emptyset$
\end_inset

 entonces la intersección es una variedad afín con dirección 
\begin_inset Formula $\bigcap_{i\in I}W_{i}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula 
\[
Q\in P+\bigcap_{i\in I}W_{i}\iff\forall i\in I,\overrightarrow{PQ}\in W_{i}\iff\forall i\in I,Q\in P+W_{i}={\cal L}_{i}\iff Q\in\bigcap_{i\in I}{\cal L}_{i}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula ${\cal L}\cap{\cal L}'\neq\emptyset\iff\overrightarrow{PP'}\in W+W'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $Q\in{\cal L}\cap{\cal L}'\implies\overrightarrow{PP'}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QP'}\in W+W'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $\exists\vec{w}\in W,\vec{w}'\in W':\overrightarrow{PP'}=\vec{w}+\vec{w}'\implies P+\vec{w}=P+\overrightarrow{PP'}-\vec{w}'=P'-\vec{w}'\in{\cal L}\cap{\cal L}'$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Dos variedades 
\begin_inset Formula ${\cal L}=P+W$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal L}'=P'+W'$
\end_inset

 son 
\series bold
complementarias
\series default
 si lo son sus direcciones, es decir, si 
\begin_inset Formula $V=W\oplus W'$
\end_inset

.
 La intersección de dos variedades afines complementarias es un punto.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{PP'}\in V=W\oplus W'$
\end_inset

, luego se cortan, y 
\begin_inset Formula $W\cap W'=\{0\}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\dim({\cal L}\cap{\cal L}')=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Suma de variedades
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
variedad afín engendrada
\series default
 o 
\series bold
generada
\series default
 por 
\begin_inset Formula $X\subseteq{\cal E}$
\end_inset

 a la menor de las variedades que contienen a 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, es decir, la intersección de todas ellas, y se denota por 
\begin_inset Formula ${\cal V}(X)$
\end_inset

.
 Esta existe porque la intersección no es vacía (contiene a 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

) y al menos 
\begin_inset Formula ${\cal E}$
\end_inset

 es una variedad que contiene a 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
 Dados 
\begin_inset Formula $P_{1},\dots,P_{n}\in{\cal E}$
\end_inset

, se tiene que 
\begin_inset Formula ${\cal V}(P_{1},\dots,P_{n})=P_{1}+<\overrightarrow{P_{1}P_{2}},\dots,\overrightarrow{P_{1}P_{n}}>$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\subseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $P_{1}+<\overrightarrow{P_{1}P_{2}},\dots,\overrightarrow{P_{1}P_{n}}>$
\end_inset

 contiene a 
\begin_inset Formula $P_{1},P_{2},\dots,P_{n}$
\end_inset

, luego contiene a 
\begin_inset Formula ${\cal V}(X)$
\end_inset

 por ser una de las variedades que se intersecan.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\supseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula ${\cal V}(P_{1},\dots,P_{n})$
\end_inset

 pasa por 
\begin_inset Formula $P_{1}$
\end_inset

 y su dirección debe contener a los 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{P_{1}P_{j}}$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $2\leq j\leq n$
\end_inset

) y por tanto a 
\begin_inset Formula $<\overrightarrow{P_{1}P_{2}},\dots,\overrightarrow{P_{1}P_{n}}>$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
suma
\series default
 de 
\begin_inset Formula $\{{\cal L}_{i}\}_{i\in I}$
\end_inset

 es la variedad engendrada por su unión: 
\begin_inset Formula $\sum_{i\in I}{\cal L}_{i}\coloneqq {\cal V}\left(\bigcup_{i\in I}{\cal L}_{i}\right)$
\end_inset

.
 Se tiene que dadas 
\begin_inset Formula ${\cal L}=P+W$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal L}'=P'+W'$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula ${\cal L}+{\cal L}'=P+(W+W'+<\overrightarrow{PP'}>)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\subseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

La variedad a la derecha del igual contiene a 
\begin_inset Formula $P+W={\cal L}$
\end_inset

, y como en esta podemos cambiar 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $P'=P+\overrightarrow{PP'}$
\end_inset

, también contiene a 
\begin_inset Formula $P'+W'={\cal L}'$
\end_inset

, luego contiene a la suma.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\supseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Evidentemente, 
\begin_inset Formula $P\in{\cal L}+{\cal L}'$
\end_inset

.
 Ahora bien, como 
\begin_inset Formula ${\cal L},{\cal L}'\subseteq{\cal L}+{\cal L}'$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $W,W'\subseteq\text{dir}({\cal L}+{\cal L}')$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $P,P'\in{\cal L}+{\cal L}'$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{PP'}\in\text{dir}({\cal L}+{\cal L}')$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $W+W'+<\overrightarrow{PP'}>\subseteq\text{dir}({\cal L}+{\cal L}')$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Fórmulas de Grassmann:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula ${\cal L}\cap{\cal L}'\neq\emptyset\implies\dim({\cal L}+{\cal L}')=\dim({\cal L})+\dim({\cal L}')-\dim({\cal L}\cap{\cal L}')$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

En este caso, 
\begin_inset Formula $\text{dir}({\cal L}\cap{\cal L}')=W\cap W'$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{PP'}\in W+W'$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset Formula $W+W'+$
\end_inset


\begin_inset Formula $<\overrightarrow{PP'}>=W+W'$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
\dim({\cal L}+{\cal L}')=\dim(W+W')=\dim(W)+\dim(W')-\dim(W\cap W')=\\
=\dim({\cal L})+\dim({\cal L}')-\dim({\cal L}\cap{\cal L}')
\end{array}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula ${\cal L}\cap{\cal L}'=\emptyset\implies\dim({\cal L}+{\cal L}')=\dim({\cal L})+\dim({\cal L}')-\dim(W\cap W')+1$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

En este caso, 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{PP'}\notin W+W'$
\end_inset

, por lo que
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
\dim({\cal L}+{\cal L}')=\dim(W+W'+\overrightarrow{PP'})=\dim(W+W')+1=\\
=\dim(W)+\dim(W')-\dim(W\cap W')+1
\end{array}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Posición relativa de variedades
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula ${\cal L}_{i}=P_{i}+<\vec{v}_{i}>$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $i\in\{1,2\},\vec{v}_{i}\neq\vec{0}$
\end_inset

) dos rectas en un plano afín.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $\vec{v}_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\vec{v}_{2}$
\end_inset

 son proporcionales entonces 
\begin_inset Formula ${\cal L}_{1}\parallel{\cal L}_{2}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\in<\vec{v}_{1}>$
\end_inset

, son coincidentes; en otro caso son paralelas distintas.
\end_layout

\begin_layout Itemize
En otro caso son subespacios complementarios y por tanto se cortan en un
 punto.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si tenemos dos rectas en un espacio tridimensional, la discusión es similar
 a cuando estamos en el plano afín, pero si las rectas no son paralelas,
 sólo se cortan si 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\in<\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}>$
\end_inset

, de lo contrario se cruzan.
 Sean ahora tres rectas, sin ser dos de ellas coincidentes, en un plano
 afín.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si hay dos paralelas, digamos 
\begin_inset Formula ${\cal L}_{1}\parallel{\cal L}_{2}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $\vec{v}_{3}$
\end_inset

 es proporcional a 
\begin_inset Formula $\vec{v}_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\vec{v}_{2}$
\end_inset

 tenemos tres paralelas distintas, de lo contrario 
\begin_inset Formula ${\cal L}_{3}$
\end_inset

 corta en un punto a cada una de las otras.
\end_layout

\begin_layout Itemize
En otro caso, cada par de rectas se cortan en un punto.
 Si dos de estos coinciden, también coinciden con el tercero, y de lo contrario
 las rectas se cortan en puntos distintos dos a dos.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ahora, sean 
\begin_inset Formula ${\cal L}=P+<\vec{v}>$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $\vec{v}\neq\vec{0}$
\end_inset

) y 
\begin_inset Formula ${\cal P}=P'+W$
\end_inset

 una recta y plano en un espacio afín tridimensional:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $\vec{v}\in W$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula ${\cal L}\ll{\cal P}$
\end_inset

, y en particular, si 
\begin_inset Formula $P\in{\cal P}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula ${\cal L}\subseteq{\cal P}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $\vec{v}\notin W$
\end_inset

, las variedades son complementarias, luego se cortan en un punto.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula ${\cal P}_{i}=P_{i}+W_{i}$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $i\in\{1,2\},\dim(W_{i})=2$
\end_inset

) dos planos en un espacio afín tridimensional.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $W_{1}=W_{2}$
\end_inset

, los planos son paralelos.
 En particular, son coincidentes si 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\in W_{1}$
\end_inset

; de lo contrario son paralelos distintos.
\end_layout

\begin_layout Itemize
En otro caso, se tiene que 
\begin_inset Formula $\dim(W_{1}\cap W_{2})=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\dim(W_{1}+W_{2})=3$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\in W_{1}+W_{2}$
\end_inset

 y los planos se cortan en una recta de dirección 
\begin_inset Formula $W_{1}\cap W_{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si ahora consideramos tres planos ninguno coincidente con ningún otro, entonces:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si hay dos paralelos, digamos 
\begin_inset Formula ${\cal P}_{1}\parallel{\cal P}_{2}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $W_{3}=W_{1}$
\end_inset

 tenemos tres planos paralelos distintos; de lo contrario 
\begin_inset Formula ${\cal P}_{3}$
\end_inset

 corta en una recta a cada uno de los otros.
\end_layout

\begin_layout Itemize
En otro caso, sea 
\begin_inset Formula ${\cal L}={\cal P}_{1}\cap{\cal P}_{2}=P+W\neq\emptyset$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula ${\cal L}\subseteq{\cal P}_{3}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula ${\cal L}={\cal P}_{1}\cap{\cal P}_{2}\cap{\cal P}_{3}$
\end_inset

 y los tres planos se cortan en una recta.
 Si 
\begin_inset Formula ${\cal L}\ll{\cal P}_{3}$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $W\subseteq W_{3}$
\end_inset

) entonces 
\begin_inset Formula $W\subseteq W_{1}\cap W_{3}$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $\dim(W_{1}\cap W_{3})=\dim(W)=1$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $W=W_{1}\cap W_{3}$
\end_inset

 y del mismo modo 
\begin_inset Formula $W=W_{2}\cap W_{3}$
\end_inset

, luego los planos se cortan dos a dos en paralelas distintas.
 Finalmente, si 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal P}_{3}$
\end_inset

 se cortan en un punto, los tres planos se cortan en este.
\end_layout

\begin_layout Section
Ecuaciones de variedades afines
\end_layout

\begin_layout Standard
En esta sección asumimos 
\begin_inset Formula $\dim({\cal E})=n$
\end_inset

 e identificamos los vectores con sus coordenadas en 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 y los puntos con sus coordenadas en 
\begin_inset Formula $\Re\coloneqq (O,{\cal B})$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula ${\cal L}=P+W$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $W=<\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{m}>$
\end_inset

, los puntos de 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

 tienen la forma 
\begin_inset Formula $X=P+\lambda_{1}\vec{v}_{1}+\dots+\lambda_{m}\vec{v}_{m}$
\end_inset

, con cada 
\begin_inset Formula $\lambda_{i}\in K$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $[X]_{\Re}=(x_{1},\dots,x_{n})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $[P]_{\Re}=(p_{1},\dots,p_{n})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $[\vec{v}_{i}]_{{\cal B}}=(v_{1i},\dots,v_{ni})$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{array}{ccc}
x_{1} & = & p_{1}+\lambda_{1}v_{11}+\dots+\lambda_{m}v_{1m}\\
 & \vdots\\
x_{n} & = & p_{n}+\lambda_{1}v_{n1}+\dots+\lambda_{m}v_{nm}
\end{array}\right.
\]

\end_inset

Estas son las 
\series bold
ecuaciones paramétricas
\series default
 de 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\Re$
\end_inset

, y no son únicas.
 Si 
\begin_inset Formula $\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{m}$
\end_inset

 son li
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

ne
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

al
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

men
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

te independientes entonces el número de parámetros es la dimensión de 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 y de 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 viene dado por ecuaciones cartesianas en 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 representadas por un sistema homogéneo con matriz de coeficientes 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, es decir, si 
\begin_inset Formula $\vec{v}\in W\iff A\vec{v}=0$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $X\in{\cal L}\iff\overrightarrow{PX}\in W\iff A(X-P)=0\iff AX=AP$
\end_inset

.
 El resultado es un sistema de ecuaciones, denominadas 
\series bold
ecuaciones cartesianas
\series default
 o 
\series bold
implícitas
\series default
 de 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\Re$
\end_inset

, que no es único, y cuyas soluciones son los puntos de 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $r=\text{rg}A$
\end_inset

 (el rango del sistema), entonces 
\begin_inset Formula $\dim({\cal L})=\dim({\cal E})-r$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para obtener las paramétricas (o las implícitas) de 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 a partir de las correspondientes de 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

, basta anular los términos independientes en cada caso.
 Así, para obtener las paramétricas de la recta paralela a 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $P'$
\end_inset

, basta sustituir las coordenadas de 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{n}$
\end_inset

) por las de 
\begin_inset Formula $P'$
\end_inset

en las paramétricas de 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

.
 Para obtener las implícitas, si las de 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

 son 
\begin_inset Formula $\left(\begin{array}{c|c}
A & B\end{array}\right)$
\end_inset

, las de la paralela son 
\begin_inset Formula $\left(\begin{array}{c|c}
A & AP'\end{array}\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para obtener ecuaciones paramétricas a partir de implícitas, resolvemos
 el sistema 
\begin_inset Formula $(A|B)$
\end_inset

 en función de parámetros, y para pasar de paramétricas a implícitas (por
 ejemplo, el sistema de arriba), consideramos la matriz
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
v_{11} & \cdots & v_{1m} & x_{1}-p_{1}\\
\vdots &  & \vdots & \vdots\\
v_{n1} & \cdots & v_{nm} & x_{n}-p_{n}
\end{array}\right)
\]

\end_inset

y se trata de discutir el sistema que forma.
 Lo mejor en general es hacerlo por menores, pues si los 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 vectores iniciales son linealmente independientes, el rango de la matriz
 debe ser 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para obtener la intersección de dos variedades dadas sus ecuaciones implícitas,
 basta juntarlas.
 También, si conocemos las implícitas de una y las paramétricas de la segunda,
 podemos sustituir el 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

punto genérico
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 que nos dan las paramétricas de la segunda y sustituirlo en la primera,
 obteniendo como resultado las condiciones para que un punto de la segunda
 esté además en la primera.
 Por otro lado, si tenemos las paramétricas de dos variedades y queremos
 hallar su suma, basta recordar que 
\begin_inset Formula ${\cal L}+{\cal L}'=P+(W+W'+<\overrightarrow{PP'}>)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Ejemplos en dimensiones bajas
\end_layout

\begin_layout Standard
Una recta en un plano afín es un hiperplano, por lo que viene dada por una
 sóla ecuación 
\begin_inset Formula 
\[
\left|\begin{array}{cc}
v_{1} & x_{1}-p_{1}\\
v_{2} & x_{2}-p_{2}
\end{array}\right|=0
\]

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $(p_{1},p_{2})\neq(q_{1},q_{2})$
\end_inset

, la recta que los une tiene como ecuación
\begin_inset Formula 
\[
\left|\begin{array}{cc}
q_{1}-p_{1} & x_{1}-p_{1}\\
q_{2}-p_{2} & x_{2}-p_{2}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
p_{1} & q_{1} & x_{1}\\
p_{2} & q_{2} & x_{2}
\end{array}\right|=0
\]

\end_inset

lo que sirve para comprobar si tres puntos están alineados.
 Decimos que unos puntos son 
\series bold
coplanarios
\series default
 si existe un plano que los contiene a todos.
 Los planos en un espacio tridimensional son hiperplanos, y su ecuación
 implícita es
\begin_inset Formula 
\[
\left|\begin{array}{ccc}
v_{1} & w_{1} & x_{1}-p_{1}\\
v_{2} & w_{2} & x_{2}-p_{2}\\
v_{3} & w_{3} & x_{3}-p_{3}
\end{array}\right|=0
\]

\end_inset

Así, si tres puntos 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 no están alineados, forman un plano dado por
\begin_inset Formula 
\[
\left|\begin{array}{ccc}
q_{1}-p_{1} & r_{1}-p_{1} & x_{1}-p_{1}\\
q_{2}-p_{2} & r_{2}-p_{2} & x_{2}-p_{2}\\
q_{3}-p_{3} & r_{3}-p_{3} & x_{3}-p_{3}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1\\
p_{1} & q_{1} & r_{1} & s_{1}\\
p_{2} & q_{2} & r_{2} & s_{2}\\
p_{3} & q_{3} & r_{3} & s_{3}
\end{array}\right|=0
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
En un espacio tridimensional, el punto 
\begin_inset Formula $(x_{1},x_{2},x_{3})$
\end_inset

 está en la recta
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset Formula $\ell=(p_{1},p_{2},p_{3})+$
\end_inset


\begin_inset Formula $<(v_{1},v_{2},v_{3})>$
\end_inset

 cuando 
\begin_inset Formula $(v_{1},v_{2},v_{3})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(x_{1}-p_{1},x_{2}-p_{2},x_{3}-p_{3})$
\end_inset

 sean proporcionales, lo que nos lleva a las 
\series bold
ecuaciones continuas
\series default
:
\begin_inset Formula 
\[
\frac{x_{1}-p_{1}}{v_{1}}=\frac{x_{2}-p_{2}}{v_{2}}=\frac{x_{3}-p_{3}}{v_{3}}
\]

\end_inset

Si una de las coordenadas del vector director es 0, este caso debe ser tratado
 de forma especial.
 A partir de estas ecuaciones podemos obtener las implícitas.
 El 
\series bold
haz de planos
\series default
 que contienen a 
\begin_inset Formula $\ell$
\end_inset

 es el conjunto de todos los planos que la contienen.
 Así, si
\begin_inset Formula 
\[
\ell\equiv\left\{ \begin{array}{rcl}
ax+by+cz+d & = & 0\\
a'x+b'y+c'z+d' & = & 0
\end{array}\right.
\]

\end_inset

su haz de planos está formado por las combinaciones lineales de estas ecuaciones
, es decir, el plano 
\begin_inset Formula $a'x+b'y+c'z+d'=0$
\end_inset

 y los planos 
\begin_inset Formula $(ax+by+cz+d)+\mu(a'x+b'y+c'z+d)=0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\mu\in K$
\end_inset

.
\end_layout

\end_body
\end_document