#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
A lo largo del capítulo, cuando no haya ambigüedad, identificamos el espacio
 afín 
\begin_inset Formula $({\cal E},V,\varphi)$
\end_inset

 con el conjunto 
\begin_inset Formula ${\cal E}$
\end_inset

.
 Un 
\series bold
espacio afín
\series default
 sobre un cuerpo 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es una terna 
\begin_inset Formula $({\cal E},V,\varphi)$
\end_inset

 formada por un conjunto 
\begin_inset Formula ${\cal E}\neq0$
\end_inset

, cuyos elementos llamamos 
\series bold
puntos
\series default
; un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-espacio vectorial 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, llamado 
\series bold
espacio vectorial asociado
\series default
 a o 
\series bold
de direcciones
\series default
 de 
\begin_inset Formula $({\cal E},V,\varphi)$
\end_inset

, y una aplicación 
\begin_inset Formula $\varphi:{\cal E}\times V\rightarrow{\cal E}$
\end_inset

, que escribimos como 
\begin_inset Formula $P+\vec{v}\coloneqq \varphi(P,\vec{v})$
\end_inset

, que cumplen que 
\begin_inset Formula $\forall P,Q\in{\cal E},\vec{v},\vec{w}\in V$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(P+\vec{v})+\vec{w}=P+(\vec{v}+\vec{w})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $P+\vec{0}=P$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\exists!\overrightarrow{PQ}\in V:P+\overrightarrow{PQ}=Q$
\end_inset

.
 Decimos que 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 es el 
\series bold
origen
\series default
 y 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 el 
\series bold
extremo
\series default
 del vector 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{P(P+\vec{v})}=\vec{v}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
dimensión
\series default
 de 
\begin_inset Formula ${\cal E}$
\end_inset

 a la de su espacio vectorial asociado, 
\begin_inset Formula $\dim({\cal E})=\dim_{K}(V)$
\end_inset

.
 Llamamos 
\series bold
rectas afines
\series default
 a los espacios afines de dimensión 1, 
\series bold
planos afines
\series default
 a los de dimensión 2 y 
\series bold
espacios (tridimensionales) afines
\series default
 a los de dimensión 3.
\end_layout

\begin_layout Standard
Tenemos que, dado 
\begin_inset Formula $O\in{\cal E}$
\end_inset

, las aplicaciones 
\begin_inset Formula $V\rightarrow{\cal E}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal E}\rightarrow V$
\end_inset

 dadas, respectivamente, por 
\begin_inset Formula $\vec{v}\mapsto O+\vec{v}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P\mapsto\overrightarrow{OP}$
\end_inset

 son biyecciones una inversa de la otra.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Formula $\vec{v}\mapsto O+\vec{v}\mapsto\overrightarrow{O(O+\vec{v})}=\vec{v}$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $P\mapsto\overrightarrow{OP}\mapsto O+\overrightarrow{OP}=P$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Esta biyección permite dar a 
\begin_inset Formula ${\cal E}$
\end_inset

 una estructura de espacio vectorial definida por 
\begin_inset Formula $P\hat{+}Q=O+(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lambda\cdot P=O+\lambda\overrightarrow{OP}$
\end_inset

, a la que llamamos 
\series bold
vectorialización
\series default
 de 
\begin_inset Formula ${\cal E}$
\end_inset

 respecto a 
\begin_inset Formula $O\in{\cal E}$
\end_inset

, que es isomorfa a 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 y cuyo elemento neutro es 
\begin_inset Formula $O$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Algunos espacios afines:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Espacio afín trivial:
\series default
 De dimensión 0, con un solo punto, pues dados 
\begin_inset Formula $P,Q\in{\cal E}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $Q=P+\overrightarrow{PQ}=P+\vec{0}=P$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Estructura afín de un espacio vectorial:
\series default
 Dado un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-espacio vectorial 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, existe un espacio afín 
\begin_inset Formula $(V,V,\varphi)$
\end_inset

 donde la suma es la suma usual de vectores.
 Podemos entonces escribir 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ}=Q-P$
\end_inset

.
 Llamamos 
\series bold
espacio afín numérico
\series default
 de dimensión 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula ${\cal E}^{n}(K)$
\end_inset

, a la estructura afín de 
\begin_inset Formula $K^{n}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula ${\cal E}^{2}(\mathbb{R})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal E}^{3}(\mathbb{R})$
\end_inset

 son pues el plano y el espacio afín usuales.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Propiedades
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ}=\vec{0}\iff P=Q$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{PP}=\vec{0}$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
\overrightarrow{PQ}=\vec{0}\implies Q=P+\overrightarrow{PQ}=P+\vec{0}=P\\
Q+\vec{0}=Q\implies\overrightarrow{QQ}=\vec{0}
\end{array}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Relación de Chasles:
\series default
 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{P_{1}P_{2}}+\overrightarrow{P_{2}P_{3}}+\dots+\overrightarrow{P_{n-1}P_{n}}=\overrightarrow{P_{1}P_{n}}$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
P+(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR})=(P+\overrightarrow{PQ})+\overrightarrow{QR}=Q+\overrightarrow{QR}=R
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{QP}$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{PP}=\overrightarrow{0}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Cancelación:
\series default
 
\begin_inset Formula $P+\vec{v}=P+\vec{w}\implies\vec{v}=\vec{w}$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $P+\vec{v}=Q+\vec{v}\implies P=Q$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PR}\iff Q=R\iff\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{RP}$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
P+\vec{v}=P+\vec{w}\implies\vec{v}=\overrightarrow{P(P+\vec{v})}=\overrightarrow{P(P+\vec{w})}=\vec{w}\\
P+\vec{v}=Q+\vec{v}\implies P=P+\vec{v}-\vec{v}=Q+\vec{v}-\vec{v}=Q\\
\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PR}\implies Q=P+\overrightarrow{PQ}=P+\overrightarrow{PR}=R
\end{array}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\overrightarrow{(P+\vec{v})(Q+\vec{w})}=\overrightarrow{PQ}+\vec{w}-\vec{v}$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{P(Q+\vec{w})}=\overrightarrow{PQ}+\vec{w}$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{(P+\vec{v})Q}=\overrightarrow{PQ}-\vec{v}$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{(P+\vec{v})P}=-\vec{v}$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
(P+\vec{v})+(\overrightarrow{PQ}+\vec{w}-\vec{v})=P+\overrightarrow{PQ}+\vec{w}=Q+\vec{w}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $P+\vec{v}=Q+\vec{w}\iff\overrightarrow{PQ}=\vec{v}-\vec{w}$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
P+\vec{v}=Q+\vec{w}\iff\overrightarrow{(P+\vec{v})(Q+\vec{w})}=\overrightarrow{PQ}+\vec{w}-\vec{v}=\overrightarrow{0}\iff\overrightarrow{PQ}=\vec{w}-\vec{v}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Regla del paralelogramo:
\series default
 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{P'Q'}\iff\overrightarrow{PP'}=\overrightarrow{QQ'}$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QQ'}=\overrightarrow{PQ'}=\overrightarrow{PP'}+\overrightarrow{P'Q'}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Sistemas de referencia y coordenadas
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
sistema de referencia
\series default
 (o 
\series bold
referencial
\series default
)
\series bold
 cartesiano
\series default
 de 
\begin_inset Formula ${\cal E}$
\end_inset

 es un par 
\begin_inset Formula $\Re=(O,{\cal B})$
\end_inset

 formado por un 
\series bold
origen
\series default
 
\begin_inset Formula $O\in{\cal E}$
\end_inset

 y una base 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Las 
\series bold
coordenadas (cartesianas)
\series default
 de 
\begin_inset Formula $P\in{\cal E}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\Re$
\end_inset

 son las del vector 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{OP}$
\end_inset

 respecto de la base 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

, y se denotan 
\begin_inset Formula $[P]_{\Re}\coloneqq [\overrightarrow{OP}]_{{\cal B}}$
\end_inset

.
 En particular 
\begin_inset Formula $[O]_{\Re}=(0,\dots,0)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $[P+\vec{v}]_{\Re}=[P]_{\Re}+[\vec{v}]_{{\cal B}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $[\overrightarrow{PQ}]_{{\cal B}}=[Q]_{\Re}-[P]_{\Re}$
\end_inset

.
 Cuando se trabaja con un único referencial, se omiten los subíndices 
\begin_inset Formula $\Re$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 en los corchetes, o incluso se pueden identificar los puntos y vectores
 con sus coordenadas, siempre que se indique esto al principio de trabajar
 con coordenadas, y podemos entonces escribir 
\begin_inset Formula $P=(p_{1},\dots,p_{n})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\vec{v}=(v_{1},\dots,v_{n})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para cambiar coordenadas entre dos referenciales 
\begin_inset Formula $\Re=(O,{\cal B})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Re'=(O',{\cal B}')$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula ${\cal E}$
\end_inset

, si llamamos 
\begin_inset Formula $X_{0}\coloneqq [O]_{\Re'}=[\overrightarrow{O'O}]_{{\cal B}'}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M\coloneqq M_{{\cal B}'{\cal B}}$
\end_inset

, se tiene que:
\begin_inset Formula 
\[
\left.\begin{array}{c}
X=[P]_{\Re}=[\overrightarrow{OP}]_{{\cal B}}\\
X'=[P]_{\Re'}=[\overrightarrow{O'P}]_{{\cal B}'}
\end{array}\right\} \implies X'=[\overrightarrow{O'P}]_{{\cal B}'}=[\overrightarrow{O'O}]_{{\cal B}'}+[\overrightarrow{OP}]_{{\cal B}'}=X_{0}+M\cdot[\overrightarrow{OP}]_{{\cal B}}=X_{0}+MX
\]

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $X=(x_{1},\dots,x_{n})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X'=(x'_{1},\dots,x'_{n})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X_{0}=(b_{1},\dots,b_{n})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M=(a_{ij})$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
ecuaciones de cambio de coordenadas
\series default
 a las siguientes:
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{array}{ccc}
x'_{1} & = & b_{1}+a_{11}x_{1}+\dots+a_{1n}x_{n}\\
 & \vdots\\
x'_{n} & = & b_{n}+a_{n1}x_{1}+\dots+a_{nn}x_{n}
\end{array}\right.
\]

\end_inset

Podemos emplear la expresión matricial equivalente:
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{c}
1\\
x'_{1}\\
\vdots\\
x'_{n}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \cdots & 0\\
b_{1} & a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b_{n} & a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
1\\
x_{1}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{array}\right)
\]

\end_inset

O simplificadamente
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{c}
1\\
\hline X'
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|c}
1 & 0\\
\hline X_{0} & M
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
1\\
\hline X
\end{array}\right)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Rectas y puntos alineados
\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
recta
\series default
 que pasa por 
\begin_inset Formula $P\in{\cal E}$
\end_inset

 con 
\series bold
dirección
\series default
 
\begin_inset Formula $<\vec{v}>$
\end_inset

, o 
\series bold
vector director
\series default
 
\begin_inset Formula $\vec{v}$
\end_inset

, es el conjunto 
\begin_inset Formula $P+<\vec{v}>=\{P+\lambda\vec{v}\}_{\lambda\in K}$
\end_inset

.
 Dos rectas 
\begin_inset Formula $l$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $l'$
\end_inset

 son 
\series bold
paralelas
\series default
 (
\begin_inset Formula $l\parallel l'$
\end_inset

) si sus vectores directores son proporcionales.
 Propiedades: 
\begin_inset Formula $\forall X\in{\cal E},l=P+<\vec{v}>$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X\in l\iff\exists\lambda\in K:\overrightarrow{PX}=\lambda\vec{v}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall r\neq0,l=P+<r\vec{v}>$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall P'\in l,l=P'+<\vec{v}>$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall Q\in{\cal E},\exists!r:Q\in r\parallel l$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $r\coloneqq Q+<\vec{v}>$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Recta que pasa por
\series default
 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $\forall A,B\in{\cal E},A\neq B,\exists!r:A,B\in r$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $r\coloneqq AB\coloneqq A+<\overrightarrow{AB}>$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una serie de puntos de 
\begin_inset Formula ${\cal E}$
\end_inset

 están 
\series bold
alineados
\series default
 si existe una recta que los contiene a todos.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Puntos medios y razón simple
\end_layout

\begin_layout Standard
Si en 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 se tiene que 
\begin_inset Formula $2=1+1\neq0$
\end_inset

, se define el 
\series bold
punto medio
\series default
 de 
\begin_inset Formula $A,B\in{\cal E}$
\end_inset

 como
\begin_inset Formula 
\[
\frac{A+B}{2}:=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}
\]

\end_inset

Esto es simplemente una notación, pues no hemos definido suma ni producto
 por escalares en 
\begin_inset Formula ${\cal E}$
\end_inset

.
 Propiedades: 
\begin_inset Formula $\forall A,B\in{\cal E}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $M=\frac{A+B}{2}\iff\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM}\iff B=A+2\overrightarrow{AM}\iff\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MM}=\vec{0}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\frac{A+B}{2}=\frac{B+A}{2}$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
\frac{A+B}{2}=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=B+\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=B+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\frac{B+A}{2}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\frac{A+B}{2}=\frac{A+B'}{2}\iff B=B'$
\end_inset

.
\begin_inset Formula 
\[
A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB'}\iff B=B'
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\frac{(A+\vec{v})+(B+\vec{w})}{2}=\frac{A+B}{2}+\frac{\vec{v}+\vec{w}}{2}$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
A+\vec{v}+\frac{1}{2}\overrightarrow{(A+\vec{v})(B+\vec{w})}=A+\vec{v}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\vec{w}-\vec{v})=\left(A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)+\frac{1}{2}(\vec{v}+\vec{w})
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dados tres puntos alineados 
\begin_inset Formula $A,B,C$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $A\neq B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $C\in AB$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
razón simple
\series default
 de 
\begin_inset Formula $A,B,C$
\end_inset

 al único 
\begin_inset Formula $\lambda\in K$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}$
\end_inset

, y escribimos 
\begin_inset Formula $\lambda=(A,B,C)$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $(A,B,A)=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(A,B,B)=1$
\end_inset

.
\end_layout

\end_body
\end_document