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\begin_body

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
transformación ortogonal
\series default
 de un espacio vectorial euclídeo 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 es una aplicación 
\begin_inset Formula $f:V\rightarrow V$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\vec{v}\cdot\vec{w}=f(\vec{v})\cdot f(\vec{w})$
\end_inset

 para cualesquiera 
\begin_inset Formula $\vec{v},\vec{w}\in V$
\end_inset

, y el conjunto de estas transformaciones se conoce como 
\series bold
grupo ortogonal
\series default
 de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula ${\cal O}(V)$
\end_inset

).
 Si la aplicación es entre espacios distintos hablamos de una 
\series bold
aplicación ortogonal
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una aplicación 
\begin_inset Formula $f:V\rightarrow V$
\end_inset

 es una transformación ortogonal si y sólo si es lineal y conserva normas.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si se conservan productos escalares se conservan normas.
 Sean 
\begin_inset Formula $r\in\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\vec{v},\vec{w}\in V$
\end_inset

.
 Para ver que 
\begin_inset Formula $f(r\vec{v})=rf(\vec{v})$
\end_inset

, vemos que
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\Vert f(r\vec{v})-rf(\vec{v})\Vert^{2}=\Vert f(r\vec{v})\Vert^{2}+\Vert rf(\vec{v})\Vert^{2}-2f(r\vec{v})\cdot(rf(\vec{v}))=\\
=\Vert r\vec{v}\Vert^{2}+r^{2}\Vert f(\vec{v})\Vert^{2}-2r(f(r\vec{v})\cdot f(\vec{v}))=r^{2}\Vert\vec{v}\Vert^{2}+r^{2}\Vert\vec{v}\Vert^{2}-2r(r\vec{v}\cdot\vec{v})=0
\end{multline*}

\end_inset

Para ver que 
\begin_inset Formula $f(\vec{v}+\vec{w})=f(\vec{v})+f(\vec{w})$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\Vert f(\vec{v}+\vec{w})-f(\vec{v})-f(\vec{w})\Vert^{2}=\\
=\Vert f(\vec{v}+\vec{w})\Vert^{2}+\Vert f(\vec{v})\Vert^{2}+\Vert f(\vec{w})\Vert^{2}+2(f(\vec{v})\cdot f(\vec{w})-f(\vec{v}+\vec{w})\cdot f(\vec{v})-f(\vec{v}+\vec{w})\cdot f(\vec{w}))=\\
=\Vert\vec{v}+\vec{w}\Vert^{2}+\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}+2(\vec{v}\cdot\vec{w}-(\vec{v}+\vec{w})\cdot\vec{v}-(\vec{v}+\vec{w})\cdot\vec{w})=\\
=\Vert\vec{v}+\vec{w}\Vert^{2}+(\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}+2\vec{v}\cdot\vec{w})-2\Vert\vec{v}+\vec{w}\Vert^{2}=0
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $\Vert\vec{v}+\vec{w}\Vert^{2}=\Vert\vec{v}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}+2\vec{v}\cdot\vec{w}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\vec{v}\cdot\vec{w}=\frac{1}{2}(\Vert\vec{v}+\vec{w}\Vert^{2}-\Vert\vec{v}\Vert^{2}-\Vert\vec{w}\Vert^{2})$
\end_inset

 y por tanto si una aplicación lineal conserva normas también conserva productos
 escalares.
\end_layout

\begin_layout Standard
Propiedades de las transformaciones ortogonales:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $U\bot W\implies f(U)\bot f(W)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Su composición es ortogonal.
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset Formula $\Vert g(f(\vec{v}))\Vert=\Vert f(\vec{v})\Vert=\Vert\vec{v}\Vert$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Son inyectivas.
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset Formula $(f(\vec{v})=\vec{0}\implies\Vert\vec{v}\Vert=\Vert f(\vec{v})\Vert=0\implies\vec{v}=\vec{0})\implies\text{Nuc}(f)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
La inversa de una transformación ortogonal biyectiva es ortogonal.
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset Formula $\Vert f^{-1}(\vec{v})\Vert=\Vert f(f^{-1}(\vec{v}))\Vert=\Vert\vec{v}\Vert$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 tiene dimensión finita, sus transformaciones ortogonales son biyectivas
 y 
\begin_inset Formula ${\cal O}(V)$
\end_inset

 con la composición de aplicaciones es un grupo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 un espacio vectorial de dimensión finita y 
\begin_inset Formula ${\cal B}=\{\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{n}\}$
\end_inset

 una base ortonormal de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Otra base 
\begin_inset Formula ${\cal B}'$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 es ortonormal si 
\begin_inset Formula $M_{{\cal B}{\cal B}'}$
\end_inset

 es ortogonal.
 
\begin_inset Formula $f:V\rightarrow V$
\end_inset

 es ortogonal si y sólo si 
\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)$
\end_inset

 es ortogonal.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $A=M_{{\cal B}}(f)$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es ortogonal, 
\begin_inset Formula $A^{t}\cdot A=(f(\vec{v}_{i})\cdot f(\vec{v}_{j}))_{ij}=(\vec{v}_{i}\cdot\vec{v}_{j})_{ij}=(\delta_{ij})_{ij}=I_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $A^{t}\cdot A=(f(\vec{v}_{i})\cdot f(\vec{v}_{j}))_{ij}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es ortogonal, 
\begin_inset Formula $f(\vec{v}_{i})\cdot f(\vec{v}_{j})=\delta_{ij}$
\end_inset

, por lo que si 
\begin_inset Formula $\vec{v}=\sum_{i}r_{i}\vec{v}_{i}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f(\vec{v})=\sum_{i}r_{i}f(\vec{v}_{i})$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $\Vert f(\vec{v})\Vert^{2}=(\sum_{i}r_{i}f(\vec{v}_{i}))(\sum_{j}r_{j}f(\vec{v}_{j}))=\sum_{i}\sum_{j}r_{i}r_{j}f(\vec{v}_{i})\cdot f(\vec{v}_{j})=\sum_{i}\sum_{j}r_{i}r_{j}\delta_{ij}=\sum_{i}r_{i}^{2}=\Vert\vec{v}\Vert^{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
El determinante de una transformación ortogonal solo puede ser 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $-1$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $1=\det(I_{n})=\det(A^{t})\det(A)=\det(A)^{2}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $f\in{\cal O}(V)$
\end_inset

 es 
\series bold
positiva
\series default
 o 
\series bold
directa
\series default
 (
\begin_inset Formula $f\in{\cal O}^{+}(V)$
\end_inset

) si 
\begin_inset Formula $\det(f)=1$
\end_inset

, y es 
\series bold
negativa
\series default
 o 
\series bold
inversa
\series default
 (
\begin_inset Formula $f\in{\cal O}^{-}(V)$
\end_inset

) si 
\begin_inset Formula $\det(f)=-1$
\end_inset

.
 Claramente 
\begin_inset Formula ${\cal O}(V)={\cal O}^{+}(V)\dot{\cup}{\cal O}^{-}(V)$
\end_inset

.
 Se cumple la 
\series bold
regla de los signos
\series default
: La composición de transformaciones del mismo signo es positiva, y la de
 transformaciones de distinto signo es negativa.
\end_layout

\begin_layout Standard
Los únicos valores propios que puede tener 
\begin_inset Formula $f\in{\cal O}(V)$
\end_inset

 son 
\begin_inset Formula $\pm1$
\end_inset

, y los subespacios 
\begin_inset Formula $\text{Inv}(f)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{Opp}(f)$
\end_inset

, que pueden ser nulos, son ortogonales.
 Además, si 
\begin_inset Formula $\dim(V)$
\end_inset

 es impar, al menos uno de estos subespacios es no nulo.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 El polinomio característico de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene pues grado impar y por tanto al menos una raíz real, que por lo anterior
 debe ser 
\begin_inset Formula $\pm1$
\end_inset

, y el correspondiente subespacio propio es no nulo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 es un subespacio invariante de 
\begin_inset Formula $f\in{\cal O}(V)$
\end_inset

, también lo es 
\begin_inset Formula $U^{\bot}$
\end_inset

, y de hecho, 
\begin_inset Formula $f(U)=U$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(U^{\bot})=U^{\bot}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f|_{U}\in{\cal O}(U)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f|_{U^{\bot}}\in{\cal O}(U^{\bot})$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es inyectiva y la dimensión finita, 
\begin_inset Formula $f(U)\subseteq U$
\end_inset

 implica 
\begin_inset Formula $f(U)=U$
\end_inset

, y por la conservación del producto escalar, 
\begin_inset Formula $f(U^{\bot})\bot f(U)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f(U^{\bot})\subseteq U^{\bot}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $f(U^{\bot})=U^{\bot}$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 conserva el producto escalar, también lo conservan 
\begin_inset Formula $f|_{U}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f|_{U^{\bot}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dadas 
\begin_inset Formula $g\in{\cal O}(U)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $h\in{\cal O}(U^{\bot})$
\end_inset

, existe una única 
\begin_inset Formula $f\in{\cal O}(V)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f|_{U}=g$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f|_{U^{\bot}}=h$
\end_inset

.
 Se cumple entonces que si 
\begin_inset Formula ${\cal B}_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal B}_{2}$
\end_inset

 son bases ortonormales respectivas de 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $U^{\bot}$
\end_inset

 entonces
\begin_inset Formula 
\[
M_{{\cal B}}(f)=\left(\begin{array}{c|c}
M_{{\cal B}_{1}}(g) & 0\\
\hline 0 & M_{{\cal B}_{2}}(h)
\end{array}\right)
\]

\end_inset

 
\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $V=U\oplus W$
\end_inset

 y tenemos 
\begin_inset Formula $g:U\rightarrow U$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $h:W\rightarrow W$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f:V\rightarrow V$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\vec{v}=\vec{u}+\vec{w}\mapsto g(\vec{u})+h(\vec{w})$
\end_inset

 es lineal y el único endomorfismo con 
\begin_inset Formula $f|_{U}=g$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f|_{W}=h$
\end_inset

.
 Si además 
\begin_inset Formula $W=U^{\bot}$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 son ortogonales, entonces por el teorema de Pitágoras, 
\begin_inset Formula $\Vert f(\vec{u}+\vec{w})\Vert^{2}=\Vert g(\vec{u})+h(\vec{w})\Vert^{2}=\Vert g(\vec{u})\Vert^{2}+\Vert h(\vec{w})\Vert^{2}=\Vert\vec{u}\Vert^{2}+\Vert\vec{w}\Vert^{2}=\Vert\vec{u}+\vec{w}\Vert^{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
En adelante llamamos 
\begin_inset Formula ${\cal E}_{n}$
\end_inset

 a cualquier espacio vectorial euclídeo isomorfo a 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 con el producto escalar ordinario, pues todos los de igual dimensión sobre
 el mismo cuerpo son isomorfos.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dos bases 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal B}'$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula ${\cal E}_{n}$
\end_inset

 son 
\series bold
equivalentes
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\det(M_{{\cal B}{\cal B}'})>0$
\end_inset

.
 
\series bold
Orientar
\series default
 el espacio 
\begin_inset Formula ${\cal E}_{n}$
\end_inset

 es elegir en él una base, de modo que las bases equivalentes a esta son
 
\series bold
positivas
\series default
 o 
\series bold
directas
\series default
 y el resto son 
\series bold
negativas
\series default
 o 
\series bold
inversas
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Section
Transformaciones ortogonales en 
\begin_inset Formula ${\cal E}_{1}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un vector en 
\begin_inset Formula ${\cal E}_{1}$
\end_inset

 solo puede ser llevado por una transformación ortogonal a sí mismo y su
 inverso, luego 
\begin_inset Formula ${\cal O}^{+}({\cal E}_{1})=\{id_{{\cal E}_{1}}\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal O}^{-}({\cal E}_{1})=\{-id_{{\cal E}_{1}}\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Transformaciones ortogonales en 
\begin_inset Formula ${\cal E}_{2}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $M=M_{{\cal B}}(f)$
\end_inset

 para una base 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 arbitraria.
 Si 
\begin_inset Formula $M=\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}\right)$
\end_inset

 es ortogonal positiva, entonces 
\begin_inset Formula $M^{-1}=M^{t}=\left(\begin{array}{cc}
d & -c\\
-b & a
\end{array}\right)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $d=a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c=-b$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula 
\[
M=\left(\begin{array}{cc}
a & -b\\
b & a
\end{array}\right)
\]

\end_inset

con 
\begin_inset Formula $a^{2}+b^{2}=1$
\end_inset

.
 Escribimos 
\begin_inset Formula ${\cal O}^{+}(2,\mathbb{R})\coloneqq {\cal O}^{+}({\cal E}_{2})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $b=0$
\end_inset

 se tiene 
\begin_inset Formula $a^{2}=1$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $a=\pm1$
\end_inset

 y se obtienen las transformaciones 
\begin_inset Formula $\pm id_{{\cal E}_{2}}$
\end_inset

.
 En particular, 
\begin_inset Formula $id_{{\cal E}_{2}}$
\end_inset

 cumple 
\begin_inset Formula $\dim(\text{Inv}(f))=2$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\dim(\text{Opp}(f))=0$
\end_inset

, mientras que 
\begin_inset Formula $-id_{{\cal E}_{2}}$
\end_inset

 cumple lo contrario.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $b\neq0$
\end_inset

, el polinomio característico tiene raíces complejas, luego
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset Formula $\dim(\text{Inv}(f))=\dim(\text{Opp}(f))=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dadas 
\begin_inset Formula $f,g\in{\cal O}^{+}({\cal E}_{2})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f\circ g=g\circ f$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{cc}
a & -b\\
b & a
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
c & -d\\
d & c
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
ac-bd & -ad-bc\\
ad+bc & ac-bd
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
c & -d\\
d & c
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
a & -b\\
b & a
\end{array}\right)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos a la aplicación 
\begin_inset Formula $g_{\theta}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(g_{\theta})=\left(\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{array}\right)$
\end_inset

 la 
\series bold
rotación
\series default
 o 
\series bold
giro
\series default
 de ángulo 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

.
 Se cumple que 
\begin_inset Formula $g_{\theta'}\circ g_{\theta}=g_{\theta+\theta'}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g_{\theta}^{-1}=g_{-\theta}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $M=\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}\right)$
\end_inset

 es ortogonal negativa, entonces 
\begin_inset Formula $M^{-1}=M^{t}=\left(\begin{array}{cc}
-d & c\\
b & -a
\end{array}\right)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $a=-d$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b=c$
\end_inset

.
 Por tanto
\begin_inset Formula 
\[
M=\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
b & -a
\end{array}\right)
\]

\end_inset

con 
\begin_inset Formula $a^{2}+b^{2}=1$
\end_inset

.
 Por el polinomio característico hallamos que 
\begin_inset Formula $\text{Inv}(f)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{Opp}(f)$
\end_inset

 son rectas ortogonales, y decimos que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es la 
\series bold
simetría axial
\series default
 sobre 
\begin_inset Formula $\text{Inv}(f)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Toda rotación puede expresarse como composición de 2 simetrías axiales,
 y una de ellas puede elegirse arbitrariamente.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 la rotación y 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 una simetría axial, entonces 
\begin_inset Formula $\sigma'\coloneqq \sigma\circ f$
\end_inset

 es negativa y por tanto una simetría axial.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\sigma\circ\sigma'=\sigma\circ\sigma\circ f=f$
\end_inset

.
 Si queremos que 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 aparezca a la derecha, hacemos un razonamiento análogo con 
\begin_inset Formula $\sigma''\coloneqq f\circ\sigma$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Transformaciones ortogonales en 
\begin_inset Formula ${\cal E}_{3}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $f\in{\cal O}({\cal E}_{3})$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $\dim(\text{Inv}(f))=3$
\end_inset

, todo vector de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 es invariante y por tanto 
\begin_inset Formula $f=id_{{\cal E}_{3}}$
\end_inset

, una transformación positiva.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\dim(\text{Inv}(f))=2$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $H=\text{Inv}(f)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f|_{H^{\bot}}$
\end_inset

 es una transformación ortogonal de la recta 
\begin_inset Formula $H^{\bot}$
\end_inset

 que no puede tener invariantes, luego 
\begin_inset Formula $H^{\bot}=\text{Opp}(f)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\dim(\text{Opp}(f))=1$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $f=\sigma_{H}$
\end_inset

 es la 
\series bold
simetría especular
\series default
 sobre 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

, una transformación negativa.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\dim(\text{Inv}(f))=1$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $\ell=\text{Inv}(f)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f|_{\ell^{\bot}}$
\end_inset

 es una transformación ortogonal del plano 
\begin_inset Formula $\ell^{\bot}$
\end_inset

 sin vectores invariantes, luego es una rotación distinta de la identidad,
 de ángulo 
\begin_inset Formula $\theta\neq0$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es la 
\series bold
rotación
\series default
 de eje 
\begin_inset Formula $\ell$
\end_inset

 y ángulo 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

, una transformación positiva.
 En particular, si 
\begin_inset Formula $\theta=\pi$
\end_inset

 (
\series bold
simetría axial
\series default
), entonces 
\begin_inset Formula $f|_{\ell^{\bot}}=-id_{\ell^{\bot}}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\dim(\text{Opp}(f))=2$
\end_inset

, mientras que en otro caso 
\begin_inset Formula $\dim(\text{Opp}(f))=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\dim(\text{Inv}(f))=0$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\text{Opp}(f)\neq0$
\end_inset

.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $\vec{v}\in\text{Opp}(f)$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\ell\coloneqq <\vec{v}>\subseteq\text{Opp}(f)$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $f|_{\ell}=-id_{\ell}$
\end_inset

, mientras que 
\begin_inset Formula $f|_{\ell^{\bot}}$
\end_inset

 es una transformación ortogonal del plano 
\begin_inset Formula $\ell^{\bot}$
\end_inset

 sin vectores invariantes y por tanto una rotación distinta de la identidad,
 de ángulo 
\begin_inset Formula $\theta\neq0$
\end_inset

.
 Decimos que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es una 
\series bold
rotación con simetría
\series default
 de eje 
\begin_inset Formula $\ell$
\end_inset

 y ángulo 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

, una transformación negativa.
 En particular, si 
\begin_inset Formula $\theta=\pi$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f|_{\ell^{\bot}}=-id_{\ell^{\bot}}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $f=-id_{{\cal E}_{3}}$
\end_inset

, con 
\begin_inset Formula $\dim(\text{Opp}(f))=3$
\end_inset

, mientras que si 
\begin_inset Formula $\theta\neq\pi$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\text{Opp}(f|_{\ell^{\bot}})=0$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\dim(\text{Opp}(f))=1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así pues, en general, 
\begin_inset Formula ${\cal O}^{+}({\cal E}_{3})$
\end_inset

 son las rotaciones (incluyendo de ángulo 0) y 
\begin_inset Formula ${\cal O}^{-}({\cal E}_{3})$
\end_inset

 son las rotaciones con simetría.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para construir la matriz de una transformación en 
\begin_inset Formula ${\cal E}_{3}$
\end_inset

, tomamos una base 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

cómoda
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 
\begin_inset Formula ${\cal B}=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}$
\end_inset

 y aplicamos la fórmula de cambio de base.
 Entonces:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="4" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Rotación (eje 
\begin_inset Formula $<\vec{v}_{1}>$
\end_inset

, ángulo 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

)
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Rotación con simetría (ídem)
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Matriz
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\theta & -\sin\theta\\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{array}\right)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0\\
0 & \cos\theta & -\sin\theta\\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{array}\right)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Traza
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1+2\cos\theta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $-1+2\cos\theta$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Det.
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $1$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $-1$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Aquí se incluyen la identidad, menos identidad y simetrías axiales y especulares
 como casos especiales de estos dos.
 La traza de un endomorfismo (suma de los elementos de la diagonal de la
 matriz) no depende de la base, pues 
\begin_inset Formula $\text{tr}(M')=\text{tr}(P^{-1}MP)=\text{tr}(MPP^{-1})=\text{tr}(M)$
\end_inset

, pudiendo servir para determinar el ángulo de una transformación dada su
 matriz en cualquier base.
\end_layout

\begin_layout Standard
Toda rotación se expresa como composición de 2 simetrías especulares, de
 las que una se puede elegir arbitrariamente siempre que su base contenga
 al eje de la rotación.
 Por tanto toda rotación con simetría se expresa como composición de tres
 simetrías especulares.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 una rotación de eje 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 la simetría especular sobre un plano que contiene a 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\sigma'\coloneqq \sigma\circ f$
\end_inset

 es negativa con vectores invariantes y por tanto otra simetría especular,
 y entonces 
\begin_inset Formula $\sigma\circ\sigma'=\sigma\circ\sigma\circ f=f$
\end_inset

.
 Si queremos que 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 aparezca a la derecha basta hacer lo mismo con 
\begin_inset Formula $\sigma''\coloneqq f\circ\sigma$
\end_inset

.
\end_layout

\end_body
\end_document