#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
Dada una superficie regular 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, un 
\series bold
campo de vectores
\series default
 sobre 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es una función 
\begin_inset Formula $\xi:S\to\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

, y es 
\series bold
tangente
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\xi(p)\in T_{p}S$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $p\in S$
\end_inset

, 
\series bold
normal
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\xi(p)\in(T_{p}S)^{\bot}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $p\in S$
\end_inset

 y 
\series bold
unitario
\series default
 si 
\begin_inset Formula $|\xi(p)|=1$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $p\in S$
\end_inset

.
 Llamamos 
\begin_inset Formula $\mathfrak{X}(S)$
\end_inset

 al conjunto de campos de vectores tangentes sobre 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\mathfrak{X}(S)^{\bot}$
\end_inset

 al conjunto de campos de vectores normales sobre 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
orientación
\series default
 de una superficie regular 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es un campo de vectores diferenciable, normal y unitario sobre 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es 
\series bold
orientable
\series default
 si admite una orientación, si y sólo si existe un campo 
\begin_inset Formula $\xi$
\end_inset

 normal y diferenciable sobre 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 que no se anula en ningún punto, pues las orientaciones son de esta forma
 y, dado 
\begin_inset Formula $\xi$
\end_inset

, basta tomar la orientación 
\begin_inset Formula $N(p):=\xi(p)/|\xi(p)|$
\end_inset

.
 Una orientación 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 da a cada 
\begin_inset Formula $p\in S$
\end_inset

 un sentido de giro para 
\begin_inset Formula $T_{p}S$
\end_inset

 dado por el producto vectorial en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 está orientada cuando se ha escogido una orientación concreta.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dos cartas 
\begin_inset Formula $(U,X)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(U',X')$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 son 
\series bold
compatibles
\series default
 si 
\begin_inset Formula $V:=X(U)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $V':=X'(U')$
\end_inset

 son disjuntos o 
\begin_inset Formula $\det(Jh)>0$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $h:X^{-1}(V')\to(X')^{-1}(V)$
\end_inset

 es el cambio de coordenadas de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $V'$
\end_inset

.
 Un 
\series bold
atlas
\series default
 para 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es una familia 
\begin_inset Formula $\{(U_{i},X_{i})\}_{i\in I}$
\end_inset

 de cartas tales que 
\begin_inset Formula $\bigcup_{i\in I}X_{i}(U_{i})=S$
\end_inset

.
 Entonces una superficie es orientable si y sólo si existe un atlas cuyas
 cartas son compatibles.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula ${\cal A}:=\{(U_{i},X_{i})\}_{i\in I}$
\end_inset

 un atlas de cartas compatibles en 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p\in S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(U,X)\in{\cal A}(I)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p\in X(U)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $N:X(U)\to\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula 
\[
N(X(u,v)):=N(u,v):=\frac{X_{u}\wedge X_{v}}{|X_{u}\wedge X_{v}|}(u,v),
\]

\end_inset

 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 está bien definido y es diferenciable, normal y unitario.
 Sean ahora 
\begin_inset Formula $(\overline{U},\overline{X})\in{\cal A}(I)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p\in\overline{X}(\overline{U})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\overline{N}(\overline{X}(u,v)):=\overline{N}(u,v):=\frac{\overline{X}_{u}\cap\overline{X}_{v}}{|\overline{X}_{u}\cap\overline{X}_{v}|}(u,v)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 el cambio de coordenadas de 
\begin_inset Formula $(U,X)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $(\overline{U},\overline{X})$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $(u,v)\in X^{-1}(V_{0})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
dX(u,v)=d(\overline{X}\circ h)(u,v)=d\overline{X}(h(u,v))\circ dh(u,v),
\]

\end_inset

 luego
\begin_inset Formula 
\[
N(u,v)=\frac{X_{u}\wedge X_{v}}{|X_{u}\wedge X_{v}|}=\frac{\det(Jh(u,v))}{|\det(Jh(u,v))|}\frac{\overline{X}_{u}\wedge\overline{X}_{v}}{|\overline{X}_{u}\wedge\overline{X}_{v}|}(h(u,v))\overset{Jh(u,v)>0}{=}\overline{N}(u,v),
\]

\end_inset

 de modo que 
\begin_inset Formula $N(p)$
\end_inset

 es diferenciable, normal, unitario y no depende de la carta del atlas escogida.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 una orientación de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, para toda carta 
\begin_inset Formula $(U,X)$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $N(X(q))=\pm\frac{X_{u}\wedge X_{v}}{|X_{u}\wedge X_{v}|}(q)$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $q\in U$
\end_inset

.
 Entonces, para 
\begin_inset Formula $p\in S$
\end_inset

, podemos tomar una carta 
\begin_inset Formula $(U_{p},X_{p})$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $N(X(q))=\frac{(X_{p})_{u}\wedge(X_{p})_{v}}{|(X_{p})_{u}\wedge(X_{p})_{v}|}(q)$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $q\in U$
\end_inset

, pues si el normal fuese el opuesto basta cambiar 
\begin_inset Formula $X_{p}(u,v)$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $X_{p}(v,u)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $U_{p}$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $\{(u,v)\}_{(v,u)\in U}$
\end_inset

, y el resultado se tiene por la antisimetría del producto vectorial.
 Con esto, dados 
\begin_inset Formula $a,b\in S$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $V:=X_{a}(U_{a})\cap X_{b}(U_{b})\neq\emptyset$
\end_inset

, queremos ver que el determinante del cambio de coordenadas 
\begin_inset Formula $h:X_{a}^{-1}(V)\to X_{b}^{-1}(V)$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $(U_{a},X_{a})$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $(U_{b},X_{b})$
\end_inset

 tiene jacobiano con determinante positivo.
 En efecto, 
\begin_inset Formula $\det(Jh)$
\end_inset

 debe ser no nulo, pero si fuera negativo, para un 
\begin_inset Formula $p\in V$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $q_{a}:=X_{a}^{-1}(p)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q_{b}:=X_{b}^{-1}(p)$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
N(p)=\frac{X_{au}\wedge X_{av}}{|X_{au}\wedge X_{av}|}(q_{a})=\frac{\det(Jh)}{|\det(Jh)|}\frac{X_{bu}\wedge X_{bv}}{|X_{bu}\wedge X_{bv}|}(q_{b})=-N(p),
\]

\end_inset

luego 
\begin_inset Formula $N(p)=0\#$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $\det(Jh)>0$
\end_inset

 y las cartas del atlas 
\begin_inset Formula $\{(U_{p},X_{p})\}_{p\in S}$
\end_inset

 son compatibles.
\end_layout

\begin_layout Standard
En adelante, cuando consideremos una parametrización 
\begin_inset Formula $(U,X)$
\end_inset

, escribiremos 
\begin_inset Formula $N(u,v):=N(X(u,v))$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N_{u}(u,v):=\frac{\partial(N\circ X)}{\partial u}(u,v)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $N_{v}(u,v):=\frac{\partial(N\circ X)}{\partial v}(u,v)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ejemplos:
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Enumerate
La banda de Möbius se puede expresar como la imagen de 
\begin_inset Formula $X:\mathbb{R}\times(-1,1)\to\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
X(u,v):=\left((2-v\sin\tfrac{u}{2})\sin u,(2-v\sin\tfrac{u}{2})\cos u,v\cos\tfrac{u}{2}\right).
\]

\end_inset

Esta es una superficie regular no orientable.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Plain Layout
Claramente 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es diferenciable, y es inyectiva en 
\begin_inset Formula $U_{1}:=(0,2\pi)\times(-1,1)$
\end_inset

 y en 
\begin_inset Formula $U_{2}:=(-\pi,\pi)\times(-1,1)$
\end_inset

.
 Su diferencial es
\begin_inset Formula 
\[
dX(u,v)\equiv\begin{pmatrix}-\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\sin u+(2-v\sin\frac{u}{2})\cos u & -\sin\frac{u}{2}\sin u\\
-\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\cos u-(2-v\sin\frac{u}{2})\sin u & -\sin\frac{u}{2}\cos u\\
-\frac{v}{2}\sin\frac{u}{2} & \cos\frac{u}{2}
\end{pmatrix},
\]

\end_inset

y el determinante de las dos primeras filas es
\begin_inset Formula 
\[
-\sin\frac{u}{2}\left(-\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\begin{vmatrix}\sin u & \sin u\\
\cos u & \cos u
\end{vmatrix}+\left(2-v\sin\frac{u}{2}\right)\begin{vmatrix}\cos u & \sin u\\
-\sin u & \cos u
\end{vmatrix}\right)=-\sin\frac{u}{2}\left(2-v\sin\frac{u}{2}\right),
\]

\end_inset

lo que solo se anula cuando 
\begin_inset Formula $u\in\{2k\pi\}_{k\in\mathbb{Z}}$
\end_inset

, pero en tal caso
\begin_inset Formula 
\[
dX(u,v)\equiv\begin{pmatrix}2 & 0\\
-\frac{v}{2} & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]

\end_inset

y el determinante de la submatriz resultante de quitar la segunda fila es
 
\begin_inset Formula $2\neq0$
\end_inset

.
 Esto prueba que la banda de Möbius es una superficie.
 
\end_layout

\end_deeper
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
El plano 
\begin_inset Formula $p_{0}+\langle v\rangle^{\bot}\subseteq\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

 admite la orientación 
\begin_inset Formula $N(p):=v/|v|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dados 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 
\begin_inset Formula ${\cal C}^{2}$
\end_inset

 y un valor regular 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, la superficie de nivel 
\begin_inset Formula $S:=f^{-1}(c)$
\end_inset

 admite la orientación 
\begin_inset Formula 
\[
N(p):=\frac{\nabla f(p)}{|\nabla f(p)|},
\]

\end_inset

 donde 
\begin_inset Formula $\nabla f(p):=(\frac{\partial f}{\partial x}(p),\frac{\partial f}{\partial y}(p),\frac{\partial f}{\partial z}(p))$
\end_inset

 es el 
\series bold
gradiente
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $p\in S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha:=(x,y,z):I\to S$
\end_inset

 una curva diferenciable con 
\begin_inset Formula $\alpha(0)=p$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $v:=\alpha'(0)\in T_{p}S$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $t\in I$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $f(\alpha(t))=c$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $\alpha(t)\in S$
\end_inset

, luego derivando, 
\begin_inset Formula $\frac{\partial f}{\partial x}(\alpha(t))x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}(\alpha(t))y'(t)+\frac{\partial f}{\partial z}(\alpha(t))z'(t)=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\nabla f(p)\bot v$
\end_inset

.
 Además, 
\begin_inset Formula $\nabla f(p)\neq0$
\end_inset

 porque 
\begin_inset Formula $p\in S=f^{-1}(c)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 es un valor regular de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, y claramente 
\begin_inset Formula $\nabla f$
\end_inset

 es diferenciable.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{2}$
\end_inset

 admite la orientación 
\begin_inset Formula $N(p):=p$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $f(x,y,z):=x^{2}+y^{2}+z^{2}$
\end_inset

, 1 es un valor regular de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{2}$
\end_inset

 es la superficie de nivel 
\begin_inset Formula $\{p:f(p)=1\}$
\end_inset

, luego admite la orientación 
\begin_inset Formula 
\[
N(x,y,z)=\frac{\nabla f(x,y,z)}{|\nabla f(x,y,z)|}=\frac{(2x,2y,2z)}{|(2x,2y,2z)|}=\frac{(x,y,z)}{|(x,y,z)|}=(x,y,z).
\]

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Dada 
\begin_inset Formula $f:U\subseteq\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 diferenciable en el abierto 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

, el grafo 
\begin_inset Formula $S:=\{(x,y,f(x,y))\}_{x,y\in U}$
\end_inset

 admite la orientación
\begin_inset Formula 
\[
N(u,v)=\frac{(-f_{u},-f_{v},1)}{\sqrt{1+f_{u}^{2}+f_{v}^{2}}}(u,v).
\]

\end_inset

Dada la parametrización 
\begin_inset Formula $(U,X)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $X(u,v):=(u,v,f(u,v))$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X_{u}=(1,0,f_{u})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $X_{v}=(0,1,f_{v})$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $X_{u}\wedge X_{v}=(-f_{u},-f_{v},1)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\end_layout

\end_body
\end_document