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\begin_body

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
grafo dirigido
\series default
 es un par 
\begin_inset Formula $(V,A)$
\end_inset

 formado por un conjunto de 
\series bold
vértices
\series default
 o 
\series bold
nodos
\series default
 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 y un subconjunto 
\begin_inset Formula $A\subseteq V\times V$
\end_inset

 de 
\series bold
arcos
\series default
.
 Un 
\series bold
grafo no dirigido
\series default
 es un par 
\begin_inset Formula $(V,E)$
\end_inset

 definido de forma similar, pero 
\begin_inset Formula $E\subseteq\{S\in{\cal P}(V)\mid |S|\in\{1,2\}\}$
\end_inset

 es un conjunto de 
\series bold
aristas
\series default
 o 
\series bold
ejes
\series default
, que representamos como pares de elementos no ordenados.
 Podemos equiparar un grafo no dirigido 
\begin_inset Formula $(V,E)$
\end_inset

 a uno dirigido 
\begin_inset Formula $(V,\{(i,j)\in V\times V\mid i,j\in E\})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un grafo 
\begin_inset Formula $G=(V,E)$
\end_inset

, ordenado o no, llamamos 
\series bold
orden
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $|V|$
\end_inset

 y 
\series bold
tamaño
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $|E|$
\end_inset

.
 Un 
\series bold
bucle
\series default
 es un par en 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 de la forma 
\begin_inset Formula $(i,i)$
\end_inset

.
 Un 
\series bold
multigrafo
\series default
 es un grafo en que el segundo elemento no es un conjunto sino un multiconjunto,
 en que puede aparecer el mismo elemento repetido un número finito de veces.
 Un grafo es 
\series bold
simple
\series default
 si no tiene bucles, y es 
\series bold
finito
\series default
 si tiene un número finito de nodos y aristas.
 Consideramos grafos no dirigidos finitos y simples.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados un grafo 
\begin_inset Formula $G=(V,E)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $e\coloneqq (i,j)\in E$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 son 
\series bold
vértices extremos
\series default
 de 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 es 
\series bold
incidente
\series default
 a 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 es 
\series bold
adyacente
\series default
 a 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Grafos y subgrafos
\end_layout

\begin_layout Standard
Un grafo 
\begin_inset Formula $G=(V,E)$
\end_inset

 es 
\series bold
completo
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall i,j\in V,(i\neq j\implies(i,j)\in E)$
\end_inset

, y es 
\series bold
bipartito
\series default
 si existe una partición 
\begin_inset Formula $\{V_{1},V_{2}\}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall e\in E,\exists a\in V_{1},b\in V_{2}:e=(a,b)$
\end_inset

.
 Llamamos 
\begin_inset Formula $K_{n}$
\end_inset

 al grafo completo de orden 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, que tiene tamaño 
\begin_inset Formula $\binom{n}{2}$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $K_{n,m}$
\end_inset

 al mayor grafo bipartito con partición 
\begin_inset Formula $\{V_{1},V_{2}\}$
\end_inset

 del conjunto de nodos tal que 
\begin_inset Formula $|V_{1}|=n$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $|V_{2}|=m$
\end_inset

, que tiene tamaño 
\begin_inset Formula $nm$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
grafo complementario
\series default
 a 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
G^{\complement}:=(V,E^{\complement}):=(V,\{S\in{\cal P}(V)\mid |S|=2,S\notin E\}).
\]

\end_inset

Un grafo 
\begin_inset Formula $G'\coloneqq (V',E')$
\end_inset

 es un 
\series bold
subgrafo
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G\coloneqq (V,E)$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $V'\subseteq V$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $E'\subseteq E$
\end_inset

.
 Si además 
\begin_inset Formula $V'=V$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $G'$
\end_inset

 es un 
\series bold
subgrafo generador
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
subgrafo
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 
\series bold
inducido
\series default
 por 
\begin_inset Formula $V'\subseteq V$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $G_{V'}\coloneqq (V',E_{V'})$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $E_{V'}\coloneqq \{S\in E\mid S\subseteq V'\}$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 es 
\series bold
independiente
\series default
 si 
\begin_inset Formula $E_{V'}=\emptyset$
\end_inset

.
 Dado un grafo 
\begin_inset Formula $G=(V,E)$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $V'\subseteq V$
\end_inset

, llamamos 
\begin_inset Formula $G-V'$
\end_inset

 al subgrafo de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 inducido por 
\begin_inset Formula $V\setminus V'$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $E'\subseteq E$
\end_inset

, llamamos 
\begin_inset Formula $G-E'$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $(V,E\setminus E')$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $v\in V$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $G-v\coloneqq G-\{v\}$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $e\in E$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $G-e\coloneqq G-\{e\}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
cliqué
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es un subgrafo completo de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, y es 
\series bold
maximal
\series default
 si no está contenido en otro cliqué de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Dos grafos 
\begin_inset Formula $G\coloneqq (V,E)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $G'\coloneqq (V',E')$
\end_inset

 son 
\series bold
isomorfos
\series default
 si existe una biyección 
\begin_inset Formula $\sigma:V\to V'$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall u,v\in V,((u,v)\in E\iff(\varphi(u),\varphi(v))\in E')$
\end_inset

, en cuyo caso 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 es un 
\series bold
isomorfismo de grafos
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Section
Grado de un nodo
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un grafo 
\begin_inset Formula $G\coloneqq (V,E)$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
entorno
\series default
 de 
\begin_inset Formula $v\in V$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N(v)$
\end_inset

, al conjunto de nodos adyacentes a 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

.
 Llamamos 
\series bold
grado
\series default
 de 
\begin_inset Formula $v\in V$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $o(v)$
\end_inset

, al número de ejes incidentes a 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

, más el número de bucles en 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 en grafos o multigrafos no simples para que los bucles 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

sumen 2 al grado
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

.
 Así, en un grafo simple, 
\begin_inset Formula $o(v)=|N(v)|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un nodo 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 es 
\series bold
aislado
\series default
 si 
\begin_inset Formula $o(v)=0$
\end_inset

, y es 
\series bold
hoja
\series default
 si 
\begin_inset Formula $o(v)=1$
\end_inset

, en cuyo caso el único eje incidente a 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 es un 
\series bold
eje colgante
\series default
.
 Llamamos 
\begin_inset Formula $\delta_{G}\coloneqq \min_{v\in V}o(v)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Delta_{G}\coloneqq \max_{v\in V}o(v)$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es 
\series bold
regular
\series default
 si todos sus vértices tienen el mismo grado, y 
\series bold

\begin_inset Formula $k$
\end_inset

-regular
\series default
 si este grado es 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
secuencia de grados
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es la secuencia formada por los grados de los vértices de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 puestos en orden decreciente.
 Como 
\series bold
teorema
\series default
, la suma de los grados de los vértices es el doble del tamaño del grafo,
 pues
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{v\in V}o(v)=\sum_{v\in V}|\{S\in E\mid v\in S\}|=\sum_{S\in E}|S|=2|E|.
\]

\end_inset

Si el grafo no es simple, es fácil ver que esto también se cumple.
 Así, todo grafo tiene un número par de nodos de grado impar, pues la suma
 de los grados es par.
\end_layout

\begin_layout Section
Secuencias gráficas
\end_layout

\begin_layout Standard
Dada una secuencia de naturales 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, una 
\series bold
subrealización
\series default
 de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es un grafo 
\begin_inset Formula $(\{1,\dots,n\},E)$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $o(i)\leq d_{i}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

, y el 
\series bold
índice crítico
\series default
 de la subrealización es el mayor 
\begin_inset Formula $h\in\{1,\dots,n+1\}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall i<h,o(i)=d_{i}$
\end_inset

.
 Una 
\series bold
secuencia gráfica
\series default
 es una secuencia de enteros que es la secuencia de grados de algún grafo.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Erdös y Gallai
\series default
 (1961)
\series bold
:
\series default
 Una secuencia 
\begin_inset Formula $S\coloneqq (d_{1},\dots,d_{n})$
\end_inset

 monótona decreciente de naturales es una secuencia gráfica si y sólo si
 
\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{n}d_{i}$
\end_inset

 es par y para 
\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n-1\}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{i=1}^{k}d_{i}\leq k(k-1)+\sum_{i=k+1}^{n}\min\{k,d_{i}\}.
\]

\end_inset

En tal caso, el algoritmo 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "alg:erdos-gallai"
plural "false"
caps "false"
noprefix "false"

\end_inset

 permite obtener un grafo con secuencia gráfica 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float algorithm
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
Entrada{Secuencia gráfica $S=(d_1,
\backslash
dots,d_n)$.}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
Salida{Grafo $G=(
\backslash
{1,
\backslash
dots,n
\backslash
},E)$ con $o(i)=d_i$ para cada $i$.}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$E
\backslash
gets
\backslash
emptyset$
\backslash
;
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
Para{$h
\backslash
gets 1$ 
\backslash
KwA $n$}{
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

	
\backslash
Mientras{$o(h)<d_h$}{
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

		
\backslash
uSSi{existe $i>h$ con $o(i)<d_i$ y $(h,i)
\backslash
notin E$}{
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

			Añadir $(h,i)$ a $E$
\backslash
;
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

		} 
\backslash
uEnOtroCasoSi{existe $i<h$ con $(h,i)
\backslash
notin E$}{
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

			Encontrar $u
\backslash
in N(i)
\backslash
setminus N(h)$ distinto de $h$
\backslash
;
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

			Añadir $(i,h),(h,u)$ a $E$ y quitar $(i,u)$
\backslash
;
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

			
\backslash
SSi{$d_h<o(h)$}{
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

				Encontrar $k>h$ con $o(k)
\backslash
leq d_k$
\backslash
;
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

				Quitar $(h,k)$ de $E$
\backslash
;
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

			}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

		} 
\backslash
uEnOtroCasoSi{existe $k>h$ con $o(k)<h,d_k$}{
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

			Encontrar $i<h$ con $i
\backslash
notin N(k)$ y
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

				$u
\backslash
in N(i)
\backslash
setminus N(h)$
\backslash
;
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

			Añadir $(h,u),(i,k)$ a $E$ y quitar $(u,i)$
\backslash
;
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

		} 
\backslash
EnOtroCaso{
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

			Encontrar $i,j<h$ distintos no adyacentes
\backslash
;
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

			Encontrar $u
\backslash
in N(i)
\backslash
setminus N(h)$ y
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

					  $w
\backslash
in N(j)
\backslash
setminus N(h)$ mayores que $h$
\backslash
;
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

			Añadir $(i,j),(h,u)$ a $E$ y quitar $(i,u),(j,w)$
\backslash
;
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

		}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

	}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "alg:erdos-gallai"

\end_inset

Obtención de un grafo con una secuencia de grados determinada.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $G=\{(1,\dots,n),E\}$
\end_inset

 un grafo tal que 
\begin_inset Formula $o(i)=d_{i}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

.
 Sabemos que la suma de los grados de los nodos es par.
 Por otro lado, la suma de los grados de los vértices 
\begin_inset Formula $\{1,\dots,k\}$
\end_inset

 es el doble del número de ejes en el subgrafo generado por 
\begin_inset Formula $\{1,\dots,k\}$
\end_inset

 más el número de vértices que conectan 
\begin_inset Formula $\{1,\dots,k\}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\{k+1,\dots,n\}$
\end_inset

, pero a lo sumo hay 
\begin_inset Formula $\binom{k}{2}$
\end_inset

 ejes en el subgrafo generado y el número de ejes de 
\begin_inset Formula $\{1,\dots,k\}$
\end_inset

 que conectan con un 
\begin_inset Formula $i>h$
\end_inset

 no puede ser mayor a 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 ni a 
\begin_inset Formula $d_{i}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{k}o(i)\leq2\binom{k}{2}+\sum_{i=k+1}^{n}\min\{k,d_{i}\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Queremos ver que el algoritmo funciona en estas condiciones.
 La idea es que, en cada iteración del bucle interno, 
\begin_inset Formula $o(h)$
\end_inset

 aumenta al menos en 1, y que este tiene como invariante que para 
\begin_inset Formula $i<h$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $o(i)=d_{i}$
\end_inset

 y que 
\begin_inset Formula $\{h+1,\dots,n\}$
\end_inset

 es un conjunto de nodos independiente, con lo que el algoritmo va aumentando
 
\begin_inset Formula $o(h)$
\end_inset

 hasta que llega a 
\begin_inset Formula $d_{h}$
\end_inset

, sin pasarse, y entonces pasa al siguiente 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

.
 Veamos los casos:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "enu:eg-igth"

\end_inset

Si existe 
\begin_inset Formula $i>h$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $o(i)<d_{i}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(h,i)\notin E$
\end_inset

, basta añadir 
\begin_inset Formula $(h,i)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "enu:eg-ilth"

\end_inset

Si existe 
\begin_inset Formula $i<h$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $(h,i)\notin E$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $o(i)=d_{i}\geq d_{h}>o(h)$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $u\in N(i)\setminus N(h)$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $u\neq h,i$
\end_inset

), y añadir 
\begin_inset Formula $(i,h)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(h,u)$
\end_inset

 y quitar 
\begin_inset Formula $(i,u)$
\end_inset

 conserva los invariantes salvo que, al añadir 2 a 
\begin_inset Formula $o(h)$
\end_inset

, podría ser 
\begin_inset Formula $o(h)=d_{h}+1$
\end_inset

.
 En tal caso, como 
\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{n}d_{i}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{n}o(i)$
\end_inset

 son pares, 
\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{n}(d_{i}-o(i))$
\end_inset

 es par, y como 
\begin_inset Formula $d_{h}-o(h)=-1$
\end_inset

, existe un 
\begin_inset Formula $k\neq h$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $o(k)\neq d_{k}$
\end_inset

, y será 
\begin_inset Formula $o(k)<d_{k}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $k>h$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $(h,k)\notin E$
\end_inset

 estaríamos en el caso 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "enu:eg-igth"
plural "false"
caps "false"
noprefix "false"

\end_inset

 (no lo hemos quitado después), luego 
\begin_inset Formula $(h,k)\in E$
\end_inset

 y basta quitar 
\begin_inset Formula $(h,k)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "enu:eg-ksmall"

\end_inset

Si existe 
\begin_inset Formula $k>h$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $o(k)<h,d_{k}$
\end_inset

, por ser 
\begin_inset Formula $o(k)<h$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,h\}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $(i,k)\notin E$
\end_inset

.
 Si fuera 
\begin_inset Formula $h=i$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $o(k)<d_{k}$
\end_inset

, estaríamos en el caso 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "enu:eg-igth"
plural "false"
caps "false"
noprefix "false"

\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $i<h$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $o(i)=d_{i}\geq d_{h}>o(h)$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $u\in N(i)\setminus N(h)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $u\neq h$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $u\neq i,k$
\end_inset

), y basta añadir 
\begin_inset Formula $(h,u)$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $(i,k)$
\end_inset

 y quitar 
\begin_inset Formula $(u,i)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
En otro caso, al no darse 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "enu:eg-ksmall"
plural "false"
caps "false"
noprefix "false"

\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $k>h$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $o(k)\leq h$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $\{h+1,\dots,n\}$
\end_inset

 independiente y 
\begin_inset Formula $o(k)\leq d_{k}$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 una subrealización de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $o(k)=\min\{h,d_{k}\}$
\end_inset

, y al no darse 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "enu:eg-ilth"
plural "false"
caps "false"
noprefix "false"

\end_inset

 se tiene 
\begin_inset Formula $1,\dots,h-1\in N(h)$
\end_inset

.
 Afirmo que existen 
\begin_inset Formula $i,j<h$
\end_inset

 distintos y adyacentes.
 En efecto, si no existieran, el subgrafo generado por 
\begin_inset Formula $\{1,\dots,h\}$
\end_inset

 sería completo, luego los ejes adyacentes a los 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,h\}$
\end_inset

 serían los de 
\begin_inset Formula $K_{h}$
\end_inset

 más lo que conectan con los 
\begin_inset Formula $j\in\{h+1,\dots,n\}$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{i=1}^{h}o(i)=h(h-1)+\sum_{i=h+1}^{n}o(i)=h(h-1)+\sum_{i=h+1}^{n}\min\{h,d_{i}\}\geq\sum_{i=1}^{h}d_{i},
\]

\end_inset

de modo que 
\begin_inset Formula $d_{h}=o(h)$
\end_inset

 y no se estaría ejecutando el interior del bucle.
 Entonces, como 
\begin_inset Formula $o(i)=d_{i}\geq d_{h}>o(h)$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $u\in N(i)\setminus N(h)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $u\neq h$
\end_inset

, y análogamente existe 
\begin_inset Formula $w\in N(j)\setminus N(h)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $w\neq h$
\end_inset

, y necesariamente 
\begin_inset Formula $u,w>h$
\end_inset

 al no conectar con 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

.
 Entonces, independientemente de si 
\begin_inset Formula $u=w$
\end_inset

 o no, añadir 
\begin_inset Formula $(i,j)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(h,u)$
\end_inset

 y eliminar 
\begin_inset Formula $(i,u)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(j,w)$
\end_inset

 mantiene los invariantes.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Havel
\series default
 (1955) 
\series bold
y Hakimi
\series default
 (1962)
\series bold
:
\series default
 Una secuencia 
\begin_inset Formula $S=(d_{1},\dots,d_{n})$
\end_inset

 decreciente de naturales con 
\begin_inset Formula $n\geq2$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d_{1}\geq1$
\end_inset

 es una secuencia gráfica si y sólo si lo es el resultado de ordenar de
 forma decreciente la secuencia
\begin_inset Formula 
\[
S':=(d_{2}-1,d_{3}-1,\dots,d_{d_{1}+1}-1,d_{d_{1}+2},\dots,d_{n}).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es un grafo con secuencia de grados 
\begin_inset Formula $S'$
\end_inset

, añadiendo a 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 un nodo y conectándolo a 
\begin_inset Formula $d_{1}$
\end_inset

 vértices con grados 
\begin_inset Formula $d_{2}-1,\dots,d_{d_{1}+1}-1$
\end_inset

, se obtiene un grafo con secuencia de grados 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $G\coloneqq (\{1,\dots,n\},E)$
\end_inset

 un grafo con 
\begin_inset Formula $o(i)=d_{i}$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 y tal que 
\begin_inset Formula $\sum_{i\in N(1)}d_{i}$
\end_inset

 es máximo entre los nodos que cumplen la propiedad.
 Entonces 1 es adyacente a nodos de grados 
\begin_inset Formula $d_{2},\dots,d_{d_{1}+1}$
\end_inset

.
 En efecto, si esto no fuera cierto, existirían 
\begin_inset Formula $i,j>1$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $1\in N(j)\setminus N(i)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d_{i}>d_{j}$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $o(i)>o(j)$
\end_inset

, existe un 
\begin_inset Formula $k\in N(i)\setminus N(j)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $k\neq j$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $(V,(E\cup\{(1,i),(k,j)\})\setminus\{(1,j),(k,i)\})$
\end_inset

 es un grafo que cumple la propiedad y tiene mayor 
\begin_inset Formula $\sum_{i\in N(1)}d_{i}\#$
\end_inset

.
 Por tanto la secuencia de grados de 
\begin_inset Formula $G-1$
\end_inset

 es la que resulta de ordenar 
\begin_inset Formula $S'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Float algorithm
wide false
sideways false
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
Entrada{Secuencia $S=(d_1,
\backslash
dots,d_n)$ decreciente de naturales.}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
Salida{Si $S$ es o no una secuencia gráfica.}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
lSSi{$n=0$}{
\backslash
Devolver{sí}}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
Mientras{$
\backslash
sum_{i=1}^nd_i$ es par y $d_1
\backslash
in[1,n-1]$}{
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

	$S
\backslash
gets(d_2-1,
\backslash
dots,d_{d_1+1}-1,d_{d_1+2},
\backslash
dots,d_n)$
\backslash
;
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

	Ordenar $S$
\backslash
;
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

	$n
\backslash
gets n-1$
\backslash
;
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
Devolver{$d_1=0$}
\backslash
;
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Caption Standard

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "alg:havel-hakimi"

\end_inset

Algoritmo de Havel-Hakimi.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
algoritmo de Havel-Hakimi
\series default
 (algoritmo 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "alg:havel-hakimi"
plural "false"
caps "false"
noprefix "false"

\end_inset

) permite determinar si una secuencia decreciente de naturales es gráfica.
\end_layout

\begin_layout Section
Caminos y ciclos
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un grafo 
\begin_inset Formula $G=(V,E)$
\end_inset

, una secuencia de la forma
\begin_inset Formula 
\[
v_{0}e_{1}v_{1}e_{2}\cdots v_{k-1}e_{k}v_{k}
\]

\end_inset

con cada 
\begin_inset Formula $v_{i}\in V$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $e_{i}=(v_{i-1},v_{i})$
\end_inset

 es un 
\series bold
paseo
\series default
 de 
\begin_inset Formula $v_{0}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $v_{k}$
\end_inset

, y normalmente lo representaremos como 
\begin_inset Formula $v_{0}v_{1}\cdots v_{k}$
\end_inset

 o como 
\begin_inset Formula $e_{1}e_{2}\cdots e_{k}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 es la 
\series bold
longitud
\series default
 del paseo.
 Un paseo es 
\series bold
simple
\series default
 si todos sus ejes son distintos y 
\series bold
cerrado
\series default
 si 
\begin_inset Formula $v_{0}=v_{k}$
\end_inset

.
 Un 
\series bold
circuito
\series default
 es un paseo cerrado, un 
\series bold
camino
\series default
 o 
\series bold
cadena
\series default
 es un paseo en que
\begin_inset Formula 
\[
\forall i,j\in\{0,\dots,k\},(i\neq j\land\{i,j\}\neq\{0,k\}\implies v_{i}\neq v_{j}),
\]

\end_inset

 y un 
\series bold
ciclo
\series default
 es un camino cerrado de longitud al menos 3.
\end_layout

\begin_layout Standard
Propiedades:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo paseo no trivial (de longitud no nula) entre dos vértices contiene
 un camino no trivial entre ellos.
 Por tanto todo paseo entre dos vértices contiene un camino entre ellos.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $v_{0}e_{1}v_{1}\cdots e_{k}v_{k}$
\end_inset

 un paseo no trivial.
 Sea 
\begin_inset Formula $p\in\{1,\dots,k\}$
\end_inset

 mínimo con 
\begin_inset Formula $v_{p}=v_{k}$
\end_inset

, nos quedamos con 
\begin_inset Formula $v_{0}e_{1}v_{1}\cdots e_{p}v_{p}$
\end_inset

.
 Entonces, si existen 
\begin_inset Formula $i,j\in\{0,\dots,p-1\}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $i<j$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $v_{i}=v_{j}$
\end_inset

, eliminamos 
\begin_inset Formula $e_{i+1}v_{i+1}\cdots e_{j}v_{j}$
\end_inset

 y repetimos hasta que esto no suceda.
 El resultado es claramente un camino, y es no trivial porque contiene al
 menos a 
\begin_inset Formula $e_{p}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Todo paseo cerrado de longitud impar contiene un ciclo.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Al tener longitud impar es no trivial, y como no tiene longitud 1 por ser
 cerrado, su longitud es al menos 3.
 Sea 
\begin_inset Formula $v_{0}v_{1}\cdots v_{k-1}v_{0}$
\end_inset

 su lista de vértices, si fuera 
\begin_inset Formula $\{v_{0},\dots,v_{k-1}\}=\{v_{0},v_{1}\}$
\end_inset

 el ciclo sería de la forma 
\begin_inset Formula $v_{0}v_{1}\cdots v_{1}v_{0}$
\end_inset

 y su longitud sería par, luego existe 
\begin_inset Formula $i\geq2$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $v_{i}\neq v_{0},v_{1}$
\end_inset

, que podemos tomar mínimo.
 Entonces los paseos 
\begin_inset Formula $v_{1}\cdots v_{i}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $v_{i}\cdots v_{k-1}v_{0}$
\end_inset

 contienen caminos no triviales respectivos 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 entre los mismos nodos, de modo que 
\begin_inset Formula $(v_{0},v_{1})PQ$
\end_inset

 es un ciclo.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Section
Representaciones matriciales
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un grafo no dirigido 
\begin_inset Formula $G\coloneqq (\{1,\dots,n\},E)$
\end_inset

, la 
\series bold
matriz de adyacencia
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es la matriz 
\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})_{ij}\in{\cal M}_{n}(\mathbb{Z})$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula 
\[
a_{ij}:=\left\{ \begin{aligned}1, & (i,j)\in E;\\
0, & \text{en otro caso}.
\end{aligned}
\right.
\]

\end_inset

Como 
\series bold
teorema
\series default
, para todo natural 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(A^{k})_{ij}$
\end_inset

 es el número de paseos de longitud 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 entre los vértices 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $k=0$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $k=1$
\end_inset

, esto es obvio.
 Sea 
\begin_inset Formula $k>1$
\end_inset

 y supongamos esto probado para 
\begin_inset Formula $k-1$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $(A^{k})_{ij}=(AA^{k-1})_{ij}=\sum_{h=1}^{n}A_{ih}(A^{k-1})_{hj}$
\end_inset

, que es la suma para 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 incidente a 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 del número de paseos de longitud 
\begin_inset Formula $k-1$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

, o lo que es lo mismo, el número de pasos de longitud 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $E=:\{e_{1},\dots,e_{m}\}$
\end_inset

, la 
\series bold
matriz de incidencia
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $(b_{ij})_{ij}\in{\cal M}_{n\times m}(\mathbb{Z})$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
b_{ij}:=\left\{ \begin{aligned}1, & i\in e_{j};\\
0, & \text{en otro caso}.
\end{aligned}
\right.
\]

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document