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\begin_body

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
método en 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 pasos
\series default
 es uno para el que existen 
\begin_inset Formula $a_{0},\dots,a_{m-1},b_{0},\dots,b_{m}\in\mathbb{R}$
\end_inset

 tales que, si 
\begin_inset Formula $(t_{i},\omega_{i})_{i=0}^{n}$
\end_inset

 es una solución aproximada de un problema por el método, para 
\begin_inset Formula $i\geq m$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\omega_{i}=a_{0}\omega_{i-m}+\dots+a_{m-1}\omega_{i-1}+(t_{i}-t_{i-1})(b_{0}f(t_{i-m},\omega_{i-m})+\dots+b_{m}f(t_{i},\omega_{i})).
\]

\end_inset

El método es 
\series bold
explícito
\series default
 si 
\begin_inset Formula $b_{m}=0$
\end_inset

 e 
\series bold
implícito
\series default
 si no.
 Estos métodos requieren usar otros métodos para calcular 
\begin_inset Formula $(t_{i},\omega_{i})_{i=0}^{m-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
El método es de paso fijo si 
\begin_inset Formula $t_{i}-t_{i-1}=h$
\end_inset

 para un cierto parámetro 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

.
 Para el problema 
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{aligned}\dot{x}(t) & =f(t,x(t)),\\
x(t_{0}) & =\omega_{0},
\end{aligned}
\right.
\]

\end_inset

algunos métodos multipaso de paso fijo son:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Método explícito de Adams-Bashford de 4 pasos:
\series default

\begin_inset Formula 
\[
\omega_{i}=\omega_{i-1}+\frac{h}{24}\left(55f(t_{i-1},\omega_{i-1})-59f(t_{i-2},\omega_{i-2})+37f(t_{i-3},\omega_{i-3})-9f(t_{i-4},\omega_{i-4})\right).
\]

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es lo suficientemente regular, 
\begin_inset Formula $\tau_{i}(h)=\frac{251}{720}x^{(5)}(\xi)h^{4}$
\end_inset

 para cierto 
\begin_inset Formula $\xi\in[t_{i-1},t_{i}]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Método implícito de Adams-Moulton de 3 pasos:
\series default

\begin_inset Formula 
\[
\omega_{i}=\omega_{i-1}+\frac{h}{24}\left(9f(t_{i},\omega_{i})+19f(t_{i-1},\omega_{i-1})-5f(t_{i-2},\omega_{i-2})+f(t_{i-3},\omega_{i-3})\right).
\]

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 suficientemente regular, 
\begin_inset Formula $\tau_{i}(h)=-\frac{19}{720}x^{(5)}(\xi)h^{4}$
\end_inset

 para cierto 
\begin_inset Formula $\xi\in[t_{i-1},t_{i}]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se tiene
\begin_inset Formula 
\[
x(t_{i+1})=x(t_{i})+\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}f(t,x(t))dt,
\]

\end_inset

pues
\begin_inset Formula 
\[
x(t_{i+1})-x(t_{i})=\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}\dot{x}=\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}f(t,x(t))dt.
\]

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Section
Teoría general de convergencia
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados un problema
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{aligned}\dot{x}(t) & =f(t,x(t)),\\
x(t_{0}) & =a
\end{aligned}
\right.
\]

\end_inset

y una solución aproximada 
\begin_inset Formula $(t_{i},\omega_{i})_{i=0}^{n}$
\end_inset

 por un método multipaso con paso 
\begin_inset Formula $h>0$
\end_inset

 y coeficientes 
\begin_inset Formula $a_{0},\dots,a_{m-1},b_{0},\dots,b_{m}$
\end_inset

, el 
\series bold
error local de truncamiento
\series default
 es
\begin_inset Formula 
\[
\tau_{i}(h)=\frac{x(t_{i})-a_{m-1}x(t_{i-1})-\dots-a_{0}x(t_{i-m})}{h}-\left(b_{m}f(t_{i},x(t_{i}))+\dots+b_{0}f(t_{i-m},x(t_{i-m}))\right),
\]

\end_inset

para 
\begin_inset Formula $i\in\{m,\dots,n\}$
\end_inset

, de forma que
\begin_inset Formula 
\[
x(t_{i})=\sum_{j=1}^{m}a_{m-j}x(t_{i-j})+h\sum_{j=0}^{m}b_{m-j}\dot{x}(t_{i-j})+h\tau_{i}(h).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Consideremos un método multipaso de paso fijo que, para un problema en un
 intervalo 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 da soluciones 
\begin_inset Formula $(t_{hi},\omega_{hi})_{i=0}^{n_{h}}$
\end_inset

 que cubren 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 con paso 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 en cierto intervalo 
\begin_inset Formula $[0,h_{\max}]$
\end_inset

 y con 
\begin_inset Formula $\omega_{hi}=x(t_{hi})$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $i<m$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $\tau:[0,h_{\max}]\to\mathbb{R}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\tau(h)\coloneqq \max_{i=0}^{n_{h}}\Vert\tau_{i}(h)\Vert$
\end_inset

, el método es 
\series bold
consistente
\series default
 o 
\series bold
compatible
\series default
 (en este problema e intervalo) si
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{h\to0}\tau(h)=0,
\]

\end_inset

es 
\series bold
de orden 
\begin_inset Formula $p\geq1$
\end_inset


\series default
 si 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es el mayor entero con 
\begin_inset Formula $\tau(h)=O(h^{p})$
\end_inset

, es 
\series bold
convergente
\series default
 si
\begin_inset Formula 
\[
\lim_{h\to0}\max_{i\in\{1,\dots,n_{h}\}}\Vert x(t_{hi})-\omega_{hi}\Vert=0,
\]

\end_inset

y 
\series bold
estable
\series default
 si existe 
\begin_inset Formula $M>0$
\end_inset

 tal que, para todo 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 y para ciertos 
\begin_inset Formula $\varepsilon_{m},\dots,\varepsilon_{n_{h}}\in\mathbb{R}$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $(t_{i},\omega_{i})_{i=0}^{n}\coloneqq (t_{hi},\omega_{hi})_{i=0}^{n_{h}}$
\end_inset

, si se puede generar una solución 
\begin_inset Formula $(t_{i},\tilde{\omega}_{i})_{i=0}^{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\tilde{\omega}_{i}\coloneqq \omega_{i}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $i<m$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula 
\[
\tilde{\omega}_{i}=\sum_{j=1}^{m}a_{m-j}\tilde{\omega}_{i-j}+h\sum_{j=0}^{m}b_{m-j}f(t_{i-j},\tilde{\omega}_{i-j})+\varepsilon_{i}
\]

\end_inset

para 
\begin_inset Formula $i\in\{m,\dots,n\}$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\max_{i\in\{m,\dots,n\}}\Vert\tilde{\omega}_{i}-\omega_{i}\Vert\leq M\left(\max_{i\in\{0,\dots,m-1\}}\Vert\tilde{\omega}_{i}-\omega_{i}\Vert+\sum_{i\in\{m,\dots,n\}}\Vert\varepsilon_{i}\Vert\right).
\]

\end_inset

El método de Euler es estable.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, si un método de 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 pasos de paso fijo es estable y consistente para un problema en un cierto
 dominio, entonces es convergente para el método en el dominio, y si además
 es de orden 
\begin_inset Formula $p\geq1$
\end_inset

, dada una solución aproximada 
\begin_inset Formula $(t_{i},\omega_{i})_{i=0}^{n}$
\end_inset

 de un problema con el e.d.o.
 con este método y paso 
\begin_inset Formula $h>0$
\end_inset

, existen 
\begin_inset Formula $M,K\in\mathbb{R}$
\end_inset

 tales que
\begin_inset Formula 
\[
\max_{i\in\{0,\dots,n\}}\Vert x(t_{i})-\omega_{i}\Vert\leq M\left(\max_{i\in\{0,\dots,m-1\}}\Vert x(t_{i})-\omega_{i}\Vert+Kh^{p}\right).
\]

\end_inset


\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $a_{0},\dots,a_{m-1},b_{0},\dots,b_{m}$
\end_inset

 los coeficientes del método y 
\begin_inset Formula $\varepsilon_{i}\coloneqq h\tau_{i}(h)$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $(t_{i},x(t_{i}))_{i=0}^{n}$
\end_inset

 se obtiene de añadir al método un error de 
\begin_inset Formula $\varepsilon_{i}$
\end_inset

 en cada paso 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, por la estabilidad,
\begin_inset Formula 
\[
\max_{i\in\{m,\dots,n\}}\Vert x(t_{i})-\omega_{i}\Vert\leq M\left(\max_{i\in\{0,\dots,m-1\}}\Vert x(t_{i})-\omega_{i}\Vert+\sum_{i=m}^{n}\Vert\varepsilon_{i}\Vert\right)=M\sum_{i=m}^{n}\Vert\varepsilon_{i}\Vert
\]

\end_inset

para cierto 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 que no depende de 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

, y si el intervalo es 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sum_{i=m}^{n}\Vert\varepsilon_{i}\Vert=\sum_{i=m}^{n}|h|\Vert\tau_{i}(h)\Vert\leq(n-m+1)|h|\max_{i\in\{m,\dots,n\}}\Vert\tau_{i}(h)\Vert\leq(b-a)\Vert\tau_{i}(h)\Vert$
\end_inset

, que tiende a 0 cuando 
\begin_inset Formula $h\to0$
\end_inset

 por la consistencia, y como 
\begin_inset Formula $\max_{i\in\{0,\dots,m-1\}}\Vert x(t_{i})-\omega_{i}\Vert=0$
\end_inset

, el método es convergente.
 Además, si 
\begin_inset Formula $\tau_{i}(h)=O(h^{p})$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\tau(h)\leq Kh^{p}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $h\in[0,h_{\max}]$
\end_inset

, cada 
\begin_inset Formula $\Vert\varepsilon_{i}\Vert=h\Vert\tau_{i}(h)\Vert\leq kh^{p+1}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\sum_{i=m}^{n}\Vert\varepsilon_{i}\Vert\leq\sum_{i=m}^{n}kh^{p+1}\leq\frac{b-a}{h}kh^{p+1}=(b-a)kh^{p}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Convergencia en un paso
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, dados 
\begin_inset Formula $h_{0}>0$
\end_inset

 y un método de un paso fijo 
\begin_inset Formula $h\in[0,h_{0}]$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\omega_{0}\coloneqq x(t_{0})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\omega_{i+1}\coloneqq \omega_{i}+hØ(t_{i},\omega_{i},h)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $Ø$
\end_inset

 continua y lipschitziana en la segunda variable:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El método es estable.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Fijado 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $(t_{i},\omega_{i})_{i=0}^{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(t_{i},\tilde{\omega}_{i})_{i=0}^{n}$
\end_inset

 dados por 
\begin_inset Formula $\omega_{i+1}\coloneqq \omega_{i}+hØ(t_{i},\omega_{i},h)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tilde{\omega}_{i+1}\coloneqq \tilde{\omega}_{i}+hØ(t_{i},\tilde{\omega}_{i},h)+\varepsilon_{i+1}$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $\varepsilon_{1},\dots,\varepsilon_{n}$
\end_inset

, queremos ver que para 
\begin_inset Formula $i\in\{0,\dots,n\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert\tilde{\omega}_{i}-\omega_{i}\Vert\leq(1+hL)^{i}(\Vert\tilde{\omega}_{0}-\omega_{0}\Vert+\sum_{j=1}^{i}\Vert\varepsilon_{j}\Vert)$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $i=0$
\end_inset

 esto es claro, y supuesto esto probado para un cierto 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $i+1$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\Vert\tilde{\omega}_{i+1}-\omega_{i+1}\Vert=\Vert\tilde{\omega}_{i}-\omega_{i}+hØ(t_{i},\omega_{i},h)-hØ(t_{i},\tilde{\omega}_{i},h)+\varepsilon_{i}\Vert\leq(1+hL)\Vert\tilde{\omega}_{i}-\omega_{i}\Vert+\Vert\varepsilon_{i}\Vert\leq\\
\leq(1+hL)^{i+1}\left(\Vert\tilde{\omega}_{0}-\omega_{0}\Vert+\sum_{j=1}^{i}\Vert\varepsilon_{j}\Vert\right)+\Vert\varepsilon_{i}\Vert\leq\\
\overset{(1+hL)^{i+1}\geq1}{\leq}(1+hL)^{i+1}\left(\Vert\tilde{\omega}_{0}-\omega_{0}\Vert+\sum_{j=1}^{i+1}\Vert\varepsilon_{j}\Vert\right).
\end{multline*}

\end_inset

Con esto, como 
\begin_inset Formula $(1+hL)^{i}\leq(1+hL)^{n}$
\end_inset

, llamando 
\begin_inset Formula $M\coloneqq (1+hL)^{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert\tilde{\omega}_{i}-\omega_{i}\Vert\leq M(\Vert\tilde{\omega}_{0}-\omega_{0}\Vert+\sum_{j=1}^{i}\Vert\varepsilon_{j}\Vert)$
\end_inset

 y el método es estable.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $Ø(t,x,0)\equiv f(t,x)$
\end_inset

, el método es consistente y por tanto convergente.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Existe 
\begin_inset Formula $\xi_{i}\in(t_{i-1},t_{i})$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\tau_{i}(h) & =\frac{x(t_{i})-x(t_{i-1})}{h}-Ø(t_{i},x(t_{i}),h)=\dot{x}(\xi_{i})-Ø(t_{i},x(t_{i}),h)=\\
 & =f(\xi_{i},x(\xi_{i}))-Ø(\xi_{i},x(\xi_{i}),0)+Ø(\xi_{i},x(\xi_{i}),0)-Ø(t_{i},x(t_{i}),h)=\\
 & =Ø(\xi_{i},x(\xi_{i}),0)-Ø(t_{i},x(t_{i}),h).
\end{align*}

\end_inset

Si el intervalo es 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

, por la continuidad de 
\begin_inset Formula $((t,h)\mapstoØ(t,x(t),h)):[a,b]\times[0,h_{0}]\to\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, para cada 
\begin_inset Formula $(t,h)\in[a,b]\times[0,h_{0}]$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $|t'-t|,|h'-h|<\delta$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\VertØ(t',x(t'),h')-Ø(t,x(t),h)\Vert<\varepsilon$
\end_inset

.
 En particular, si 
\begin_inset Formula $|h|<\delta$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $|\xi_{i}-t_{i}|<|h|<\delta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|Ø(\xi_{i},x(\xi_{i}),0)-Ø(t_{i},x(t_{i}),h)|<\varepsilon$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\tau(h)\to0$
\end_inset

 cuando 
\begin_inset Formula $h\to0$
\end_inset

 y el método es consistente, y es convergente por ser además estable.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Dado 
\begin_inset Formula $K>0$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $|\tau_{i}(h)|\leq K$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $h\in[0,h_{0}]$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $|x(t_{i})-\omega_{i}|\leq\frac{K}{L}e^{L(t_{i}-t_{0})}$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 es una constante de Lipschitz de 
\begin_inset Formula $Ø$
\end_inset

 en la segunda variable.
\end_layout

\begin_layout Section
Convergencia en métodos multipaso
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
ecuación de recurrencia
\series default
 es una de la forma
\begin_inset Formula 
\[
x_{i+m}=a_{0}x_{i}+a_{1}x_{i+1}+\dots+a_{m-1}x_{i+m-1},
\]

\end_inset

donde los 
\begin_inset Formula $a_{i}\in\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a_{0}\neq0$
\end_inset

 y la incógnita es la sucesión 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

.
 Las soluciones de la ecuación forman un espacio vectorial de dimensión
 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

, pues vienen dadas por los 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 primeros términos.
 El 
\series bold
polinomio característico
\series default
 de la ecuación es 
\begin_inset Formula $P(\lambda)\coloneqq \lambda^{m}-a_{m-1}\lambda^{m-1}-\dots-a_{1}\lambda-a_{0}$
\end_inset

.
 Si sus soluciones son todas reales, 
\begin_inset Formula $\lambda_{0},\dots,\lambda_{m-1}\in\mathbb{R}$
\end_inset

 donde cada una aparece tantas veces como su multiplicidad, las soluciones
 de la ecuación de recurrencia son los 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
\end_inset

 dados por 
\begin_inset Formula $\sum_{i=0}^{m-1}c_{i}\lambda_{i}$
\end_inset

, con 
\begin_inset Formula $c_{0},\dots,c_{m-1}\in\mathbb{R}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados un método multipaso de paso fijo
\begin_inset Formula 
\[
\omega_{i}:=a_{0}\omega_{i-m}+\dots+a_{m-1}\omega_{i-1}+hF(t_{i},h,\omega_{i-m},\dots,\omega_{i})
\]

\end_inset

y 
\begin_inset Formula $\omega_{i}\coloneqq \alpha_{i}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $i<m$
\end_inset

 y el problema
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{aligned}\dot{x}(t) & =0,\\
x(t_{0}) & =\alpha,
\end{aligned}
\right.
\]

\end_inset

entonces 
\begin_inset Formula $F(t_{i},h,\omega_{i-m},\dots,\omega_{i})=b_{0}f(t_{i}-hm,\omega_{i-m})+\dots+b_{m}f(t_{i},\omega_{i})=0$
\end_inset

, de donde obtenemos la ecuación de recurrencia 
\begin_inset Formula $\omega_{i}=a_{0}\omega_{i-m}+\dots+a_{m-1}\omega_{i-1}$
\end_inset

.
 Sean entonces 
\begin_inset Formula $\lambda_{0},\dots,\lambda_{m-1}$
\end_inset

 las soluciones de la ecuación de recurrencia, el método cumple la 
\series bold
condición de raíz
\series default
 si todo 
\begin_inset Formula $|\lambda_{i}|\leq1$
\end_inset

 y las raíces con 
\begin_inset Formula $|\lambda_{i}|=1$
\end_inset

 son simples.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, un método multipaso de paso fijo es estable si y solo si cumple la condición
 de raíz, en cuyo caso es consistente si y sólo si es convergente.
 Así:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Los métodos a un paso son estables.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
La ecuación de recurrencia es 
\begin_inset Formula $\omega_{i+1}=\omega_{i}$
\end_inset

, el polinomio característico es 
\begin_inset Formula $\lambda-1$
\end_inset

 y la única solución es 
\begin_inset Formula $\lambda=1$
\end_inset

 y es simple.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Los métodos de Adams-Bashford y Adams-Moulton son estables.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
En ambos casos la ecuación es 
\begin_inset Formula $\omega_{i}=\omega_{i-1}$
\end_inset

, la misma que en los métodos a un paso.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Section
Método predictor-corrector
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{sloppypar}
\end_layout

\end_inset

Dados un método implícito 
\begin_inset Formula $\omega_{i}\coloneqq F(t_{i},h,\omega_{i-1},\dots,\omega_{i-m})$
\end_inset

 y uno explícito 
\begin_inset Formula $\omega_{i}\coloneqq G(t_{i},h,\omega_{i},\dots,\omega_{i-m})$
\end_inset

, el 
\series bold
método predictor-corrector
\series default
 consiste en usar 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 como 
\series bold
predictor
\series default
 para obtener 
\begin_inset Formula $\omega_{i}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 como 
\series bold
corrector
\series default
 para obtener un valor mejor a 
\begin_inset Formula $\omega_{i}$
\end_inset

 a partir del calculado, de modo que
\begin_inset Formula 
\[
\omega_{i}=G(t_{i},h,F(t_{i},h,\omega_{i-1},\dots,\omega_{i-m}),\omega_{i-1},\dots,\omega_{i-m}).
\]

\end_inset


\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{sloppypar}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Así se combina la simplicidad de un método explícito con el menor error
 de uno implícito.
 Se podría repetir el paso corrector para obtener mejores cotas, pero es
 más eficiente reducir el paso.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $\beta_{i}$
\end_inset

 el 
\begin_inset Formula $\omega_{i}$
\end_inset

 obtenido con el paso predictor Adams-Bashford y 
\begin_inset Formula $\omega_{i}$
\end_inset

 el obtenido al aplicar el corrector Adams-Moulton, 
\begin_inset Formula $x(t_{i})-\omega_{i}\approx\frac{19}{270}(\beta_{i}-\omega_{i})$
\end_inset

.
 En efecto, como 
\begin_inset Formula $x(t_{i})-\beta_{i}\approx\frac{251}{720}x^{(5)}(\xi)h^{5}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x(t_{i})-\omega_{i}\approx-\frac{19}{720}x^{(5)}(\mu)h^{5}$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $\xi,\mu\in(t_{i-1},t_{i})$
\end_inset

, como para 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 pequeño es 
\begin_inset Formula $x^{(5)}(\xi)\approx x^{(5)}(\mu)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\omega_{i}-\beta_{i}=(x(t_{i})-\beta_{i})-(x(t_{i})-\omega_{i})\approx\frac{h^{5}}{720}(251x^{(5)}(\xi)+19x^{(5)}(\mu))\approx\frac{270}{720}h^{5}x^{(5)}(\xi)=\frac{3}{8}x^{(5)}(\mu)h^{5}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $x^{(5)}(\mu)\approx\frac{8}{3}h^{-5}(\omega_{i}-\beta_{i})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x(t_{i})-\omega_{i}\approx-\frac{19}{720}\frac{8}{3}h^{-5}(\omega_{i}-\beta_{i})h^{5}=\frac{19}{270}(\beta_{i}-\omega_{i})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
El método es de paso variable, ajustando el paso como en los métodos de
 paso fijo pero con error 
\begin_inset Formula $E\coloneqq \frac{19}{270}\Vert\beta_{i}-\omega_{i}\Vert$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es la tolerancia haríamos 
\begin_inset Formula $q\gets\left(\frac{Th}{E}\right)^{1/4}\cong2.48\left(\frac{Th}{\Vert\beta_{i}-\omega_{i}\Vert}\right)^{1/4}$
\end_inset

, pero como ajustar el paso conlleva repetir los pasos a partir de 
\begin_inset Formula $(t_{i-4},\omega_{i-4})$
\end_inset

 con un método de paso fijo para que el método funcione, se suele ser más
 conservador y usar 
\begin_inset Formula $1.5$
\end_inset

 en vez de 
\begin_inset Formula $2.48$
\end_inset

 o 2 y se ignora el cambio de paso cuando 
\begin_inset Formula $E\in(\frac{Th}{10},Th)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_body
\end_document