#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 544
\begin_document
\begin_header
\save_transient_properties true
\origin unavailable
\textclass book
\use_default_options true
\maintain_unincluded_children false
\language spanish
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman "default" "default"
\font_sans "default" "default"
\font_typewriter "default" "default"
\font_math "auto" "auto"
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100 100
\font_tt_scale 100 100
\use_microtype false
\use_dash_ligatures true
\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_package amsmath 1
\use_package amssymb 1
\use_package cancel 1
\use_package esint 1
\use_package mathdots 1
\use_package mathtools 1
\use_package mhchem 1
\use_package stackrel 1
\use_package stmaryrd 1
\use_package undertilde 1
\cite_engine basic
\cite_engine_type default
\biblio_style plain
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\justification true
\use_refstyle 1
\use_minted 0
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\is_math_indent 0
\math_numbering_side default
\quotes_style french
\dynamic_quotes 0
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Standard
Cuando las derivadas de la solución están acotadas, se puede acotar e incluso
 predecir el error adecuadamente, y cuando la solución y su derivada crecen
 moderadamente, el error absoluto crece pero el relativo es estable.
 Si la derivada crece y la función no tenemos un 
\series bold
problema rígido
\series default
, en el que el error relativo se dispara.
 Un caso típico es el problema
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{aligned}\dot{x}(t) & =\lambda x(t),\\
x(0) & =\alpha,
\end{aligned}
\right.
\]

\end_inset

cuya solución es claramente 
\begin_inset Formula $x(t)=\alpha e^{\lambda t}$
\end_inset

 en todo 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 y, si 
\begin_inset Formula $\lambda\ll0$
\end_inset

, al iterar hacia delante, 
\begin_inset Formula $x(t)\to0$
\end_inset

 rápidamente y 
\begin_inset Formula $x^{(p)}(t)=\alpha\lambda^{p}e^{\lambda t}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
En este caso, con el método de Euler, para que la solución tienda a cero
 y para que el error no crezca, el paso debe ser 
\begin_inset Formula $h<\frac{2}{|\lambda|}$
\end_inset

.
 En efecto, 
\begin_inset Formula $\omega_{n}\to0\iff|1+h\lambda|<1\iff-1<1+h\lambda<1$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $h>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lambda<0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $1+h\lambda<1$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $h\lambda>-2\iff h|\lambda|<2$
\end_inset

, y si además hay error de redondeo 
\begin_inset Formula $\omega_{0}=\alpha+\varepsilon$
\end_inset

, el error en 
\begin_inset Formula $\omega_{n}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $(1+h\lambda)^{n}\varepsilon$
\end_inset

 y para que el error no crezca debe ser 
\begin_inset Formula $|1+h\lambda|<1\iff h<\frac{2}{|\lambda|}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
En general, con los métodos de un paso fijo en 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 existe un polinomio 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 tal que, para que la solución converja, debe ser 
\begin_inset Formula $|Q(h\lambda)|<1$
\end_inset

.
 Para un método de Taylor de orden 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, esto es 
\begin_inset Formula $Q(x)\coloneqq \sum_{i=0}^{n}\frac{x^{i}}{i!}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean ahora un método multipaso de paso fijo 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 con parámetros 
\begin_inset Formula $a_{0},\dots,a_{m-1},b_{0},\dots,b_{m}$
\end_inset

 y la ecuación de recurrencia asociada al método
\begin_inset Formula 
\[
(1-h\lambda b_{m})\omega_{i}=(a_{m-1}+h\lambda b_{m-1})\omega_{i-1}+\dots+(a_{0}+h\lambda b_{0})\omega_{i-m},
\]

\end_inset

si las raíces del polinomio característico son reales y distintas, 
\begin_inset Formula $\beta_{1},\dots,\beta_{n}$
\end_inset

, para que el método aproxime bien a la solución del problema debe ser cada
 
\begin_inset Formula $|\beta_{i}|<1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
región de estabilidad absoluta
\series default
 de un método es 
\begin_inset Formula $R\subseteq\mathbb{C}$
\end_inset

 tal que, si 
\begin_inset Formula $h\lambda\in R$
\end_inset

, el método converge.
 Para un método de un paso que converge cuando 
\begin_inset Formula $|Q(h\lambda)|<1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $R=\{z\in\mathbb{C}\mid |Q(z)|<1\}$
\end_inset

, y para uno multipaso que converge cuando cada 
\begin_inset Formula $|\beta_{i}|<1$
\end_inset

, es 
\begin_inset Formula $R=\{z\in\mathbb{C}\mid |\beta_{i}|<1,\forall i\}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Hay que tener en cuenta la región de estabilidad antes de considerar un
 método adaptativo, pues estos pueden aumentar 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 por convergencia y evitar la estabilidad.
 Para problemas rígidos queremos que 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 sea lo más grande posible.
 Un método es 
\series bold
A-estable
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\{z\in\mathbb{C}\mid \text{Re}z<0\}\subseteq R$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, los métodos explícitos de Runge-Kutta no son A-estables, y un método multipaso
 A-estable tiene orden de convergencia máximo 2.
 Algunos métodos implícitos son:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Método de Euler implícito
\series default
 o 
\series bold
hacia atrás:
\series default
 
\begin_inset Formula $\omega_{i}=\omega_{i-1}+hf(t_{i},\omega_{i})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
Es estable.
 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Como la relación de recurrencia es 
\begin_inset Formula $\omega_{i}=\omega_{i-1}$
\end_inset

, cumple la condición de raíz.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Es consistente cuando 
\begin_inset Formula $\ddot{x}$
\end_inset

 es acotada.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Existe 
\begin_inset Formula $\xi\in[t_{i},t_{i+1}]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\tau_{i+1}(h)=\frac{x(t_{i}+h)-x(t_{i})}{h}-f(t_{i}+h,x(t_{i}+h))=\dot{x}(t_{i}+h)+\frac{h}{2}\ddot{x}(\xi)-\dot{x}(t_{i}+h)=\frac{h}{2}\ddot{x}(\xi)$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $\Vert\ddot{x}\Vert$
\end_inset

 está acotado, como ocurre en el problema, 
\begin_inset Formula $\max_{i}\Vert\tau_{i+1}(h)\Vert\to0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Es A-estable.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
El polinomio 
\begin_inset Formula $(1-h\lambda)z-1$
\end_inset

 tiene como única raíz 
\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \frac{1}{1-h\lambda}$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $h\lambda=:a+bi$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a<0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|\beta|=\frac{1}{\sqrt{(1-a)^{2}+b^{2}}}\leq\frac{1}{1-a}<1$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Para implementarlo, sea 
\begin_inset Formula $F(\omega)\coloneqq \omega-\omega_{i-1}-hf(t_{i},\omega)$
\end_inset

, se trata de resolver 
\begin_inset Formula $F(\omega)=0$
\end_inset

, lo que podemos hacer, por ejemplo, por el método de Newton, que nos da
 una sucesión 
\begin_inset Formula $(\omega_{i}^{k})_{k\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 que converge a la raíz de 
\begin_inset Formula $F(\omega)=0$
\end_inset

, dada por 
\begin_inset Formula $\omega_{i}^{0}\coloneqq \omega_{i-1}$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
\omega_{i}^{k+1}:=\omega_{i}^{k}-\frac{\omega_{i}^{k}-\omega_{i-1}-hf(t_{i},\omega_{i}^{k})}{1-h\frac{\partial f}{\partial x}(t_{i},\omega)}.
\]

\end_inset

Si no conocemos 
\begin_inset Formula $\frac{\partial f}{\partial x}$
\end_inset

, podemos usar el método de la secante.
 Iteramos hasta que 
\begin_inset Formula $\Vert\omega_{i}^{k+1}-\omega_{i}^{k}\Vert$
\end_inset

 sea menor que una tolerancia, o si hemos llegado un máximo de iteraciones.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate

\series bold
Método del trapecio:
\series default
 
\begin_inset Formula $\omega_{i}=\omega_{i-1}+\frac{h}{2}(f(t_{i-1},\omega_{i-1})+f(t_{i},\omega_{i}))$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
Es estable.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Cumple la condición de raíz con una única raíz 1.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Es consistente y de orden 2 para 
\begin_inset Formula $\dddot{x}$
\end_inset

 acotada.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Para cierto 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 existen 
\begin_inset Formula $\xi,\mu\in[t,t+h]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
x(t+h)-x(t)-\frac{h}{2}(f(t,x(t))+f(t+h,x(t+h)))=\\
=\left(x(t)+h\dot{x}(t)+\frac{1}{2}h^{2}\ddot{y}(t)+\frac{1}{6}h^{3}\dddot{y}(\xi)\right)-x(t)-\frac{h}{2}\left(\dot{x}(t)+\left(\dot{x}(t)+h\ddot{x}(t)+\frac{h^{2}}{2}\dddot{x}(\mu)\right)\right)=\\
=\frac{1}{6}h^{3}\dddot{x}(\xi)-\frac{1}{4}h^{3}\dddot{x}(\mu),
\end{multline*}

\end_inset

y si 
\begin_inset Formula $\Vert\dddot{x}\Vert$
\end_inset

 es acotada por un cierto 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert\tau_{i+1}(h)\Vert\leq h^{2}(\frac{1}{6}C+\frac{1}{4}C)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Vert\tau(h)\Vert\leq\frac{5}{12}Ch^{2}\to0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Es A-estable.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
La recurrencia es 
\begin_inset Formula $Q_{h\lambda}(z)=(1-\frac{h\lambda}{2})z-(1+\frac{h\lambda}{2})$
\end_inset

 y el polinomio característico tiene una única raíz 
\begin_inset Formula $\beta=\frac{1+\frac{h\lambda}{2}}{1-\frac{h\lambda}{2}}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $\frac{h\lambda}{2}=:a+bi$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a<0$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
|\beta|=\frac{|1+a+bi|}{|1-a-bi|}=\sqrt{\frac{(1+a)^{2}+b^{2}}{(1-a)^{2}+b^{2}}}<1,
\]

\end_inset

pues 
\begin_inset Formula $(1+a)^{2}<(1-a)^{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\end_deeper
\begin_layout Standard
Dado un método a 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 pasos
\begin_inset Formula 
\[
\omega_{i}=a_{0}\omega_{i-m}+\dots+a_{m-1}\omega_{i-1}+h(b_{0}f(t_{i-m},\omega_{i-m})+\dots+b_{m}f(t_{i},\omega_{i})),
\]

\end_inset

llamamos 
\begin_inset Formula $\rho(z)\coloneqq z^{m}-a_{m-1}z^{m-1}-\dots-a_{1}z-a_{0}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma(z)\coloneqq b_{m}z^{m}+\dots+b_{1}z+b_{0}$
\end_inset

.
 Entonces el método es una 
\series bold
BDF
\series default
 (
\emph on
\lang english
Backwards Differentiation Formula
\emph default
\lang spanish
) si es de orden 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sigma(z)=\beta z^{m}$
\end_inset

 para algún 
\begin_inset Formula $\beta\neq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Todo método BDF cumple 
\begin_inset Formula $\beta=\left(\sum_{j=1}^{m}\frac{1}{j}\right)^{-1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\rho(z)=\beta\sum_{j=1}^{m}\frac{1}{j}z^{m-j}(z-1)^{j}$
\end_inset

.
 Así:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El BDF de orden 2 es 
\begin_inset Formula $\omega_{i}=\frac{4}{3}\omega_{i-1}-\frac{1}{3}\omega_{i-2}+\frac{2}{3}hf(t_{i},\omega_{i})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Se tiene 
\begin_inset Formula $\beta=\left(1+\frac{1}{2}\right)^{-1}=\frac{2}{3}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\rho(z)=\frac{2}{3}\left(z(z-1)+\frac{1}{2}(z-1)^{2}\right)=\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2}z^{2}-2z+\frac{1}{2}\right)=z^{2}-\frac{4}{3}z+\frac{1}{3}$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $a_{1}=\frac{4}{3}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a_{0}=-\frac{1}{3}$
\end_inset

.
 Además, 
\begin_inset Formula $b_{0},\dots,b_{m-1},b_{m}=0,\dots,0,\beta$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\omega_{i}=\frac{4}{3}\omega_{i-1}-\frac{1}{3}\omega_{i-2}+\frac{2}{3}hf(t_{i},\omega_{i})$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
El BDF de orden 3 es 
\begin_inset Formula $\omega_{i}=\frac{18}{11}\omega_{i-1}-\frac{9}{11}\omega_{i-2}+\frac{2}{11}\omega_{i-3}+\frac{6}{11}f(t_{i},\omega_{i})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\beta=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)^{-1}=\frac{6}{11}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\rho(z)=\frac{6}{11}\left(z^{2}(z-1)+\frac{1}{2}z(z-1)^{2}+\frac{1}{3}(z-1)^{3}\right)=\frac{6}{11}\left(z^{3}-z^{2}+\frac{1}{2}(z^{3}-2z^{2}+z)+\frac{1}{3}(z^{3}-3z^{2}+3z-1)\right)=z^{3}-\frac{18}{11}z^{2}+\frac{9}{11}z-\frac{2}{11}$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $\omega_{i}-\frac{18}{11}\omega_{i-1}+\frac{9}{11}\omega_{i-2}-\frac{2}{11}\omega_{i-3}=\frac{6}{11}f(t_{i},\omega_{i})$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Los métodos BDF tienen una región de estabilidad lineal grande, y como 
\series bold
teorema
\series default
, un método BDF cumple la condición de raíz y es convergente si y sólo si
 es de orden entre 1 y 6.
\end_layout

\end_body
\end_document