#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 544 \begin_document \begin_header \save_transient_properties true \origin unavailable \textclass book \use_default_options true \maintain_unincluded_children false \language spanish \language_package default \inputencoding auto \fontencoding global \font_roman "default" "default" \font_sans "default" "default" \font_typewriter "default" "default" \font_math "auto" "auto" \font_default_family default \use_non_tex_fonts false \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 100 \font_tt_scale 100 100 \use_microtype false \use_dash_ligatures true \graphics default \default_output_format default \output_sync 0 \bibtex_command default \index_command default \paperfontsize default \spacing single \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_package amsmath 1 \use_package amssymb 1 \use_package cancel 1 \use_package esint 1 \use_package mathdots 1 \use_package mathtools 1 \use_package mhchem 1 \use_package stackrel 1 \use_package stmaryrd 1 \use_package undertilde 1 \cite_engine basic \cite_engine_type default \biblio_style plain \use_bibtopic false \use_indices false \paperorientation portrait \suppress_date false \justification true \use_refstyle 1 \use_minted 0 \index Index \shortcut idx \color #008000 \end_index \secnumdepth 3 \tocdepth 3 \paragraph_separation indent \paragraph_indentation default \is_math_indent 0 \math_numbering_side default \quotes_style swiss \dynamic_quotes 0 \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \tracking_changes false \output_changes false \html_math_output 0 \html_css_as_file 0 \html_be_strict false \end_header \begin_body \begin_layout Section Espacios topológicos \end_layout \begin_layout Standard Un \series bold espacio topológico \series default es un par \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset en el que \begin_inset Formula ${\cal T}\subseteq{\cal P}(X)$ \end_inset y cumple que: \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $X,\emptyset\in{\cal T}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\{A_{1},\dots,A_{n}\}\subseteq{\cal T}\implies\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\in{\cal T}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}\subseteq{\cal T}\implies\bigcup_{i\in I}A_{i}\in{\cal T}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Decimos que \begin_inset Formula ${\cal T}$ \end_inset es una \series bold topología \series default para \begin_inset Formula $X$ \end_inset y sus elementos son \series bold conjuntos abiertos \series default , o simplemente \series bold abiertos \series default , de \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset . Llamamos \series bold cerrados \series default a los complementarios de los abiertos: \begin_inset Formula ${\cal C_{T}}\coloneqq {\cal C}\coloneqq \{X\backslash A\}_{A\in{\cal T}}$ \end_inset . Un \series bold entorno \series default de \begin_inset Formula $p\in X$ \end_inset es un abierto que contiene a \begin_inset Formula $p$ \end_inset , y llamamos \begin_inset Formula ${\cal E}(p)$ \end_inset a la familia de todos los entornos de \begin_inset Formula $p$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula $A\in{\cal T}$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $\forall p\in A,\exists{\cal U}\in{\cal E}(p):{\cal U}\subseteq A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Dado \begin_inset Formula $x\in A$ \end_inset , \begin_inset Formula ${\cal U}=A$ \end_inset es un entorno de \begin_inset Formula $x$ \end_inset en \begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Para cada \begin_inset Formula $x\in A$ \end_inset , sea \begin_inset Formula ${\cal U}_{x}\in{\cal E}(x)$ \end_inset tal que \begin_inset Formula ${\cal U}_{x}\subseteq A$ \end_inset , se afirma que \begin_inset Formula $\bigcup_{x\in A}{\cal U}_{x}=A$ \end_inset . \end_layout \begin_deeper \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\subseteq]$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Formula ${\cal U}_{x}\subseteq A\forall x\in A\implies\bigcup_{x\in A}{\cal U}_{x}\subseteq A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\supseteq]$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Formula $\forall x\in A,x\in{\cal U}_{x}\subseteq\bigcup_{x\in A}{\cal U}_{x}\implies A\subseteq\bigcup_{x\in A}{\cal U}_{x}$ \end_inset . \end_layout \end_deeper \begin_layout Standard Propiedades de los cerrados: \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Formula $X,\emptyset\in{\cal C_{T}}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Formula $\{C_{1},\dots,C_{n}\}\subseteq{\cal C_{T}}\implies\bigcup_{i=1}^{n}C_{i}\in{\cal C_{T}}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Formula $\{C_{i}\}_{i\in I}\subseteq{\cal C_{T}}\implies\bigcap_{i\in I}C_{i}\in{\cal C_{T}}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un abierto y \begin_inset Formula $C$ \end_inset un cerrado, entonces \begin_inset Formula $A\backslash C$ \end_inset es abierto y \begin_inset Formula $C\backslash A$ \end_inset es cerrado. \series bold Demostración: \series default \begin_inset Formula $X\backslash C$ \end_inset es abierto, por lo que \begin_inset Formula $A\backslash C=A\cap(X\backslash C)$ \end_inset también. Por otro lado, \begin_inset Formula $X\backslash(C\backslash A)=(X\backslash C)\cup A$ \end_inset , que es abierto, por lo que \begin_inset Formula $C\backslash A$ \end_inset es cerrado. \end_layout \begin_layout Standard Algunas topologías: \end_layout \begin_layout Itemize La \series bold topología discreta \series default : \begin_inset Formula ${\cal T}_{D}\coloneqq {\cal P}(X)$ \end_inset , la topología más grande que se puede definir sobre \begin_inset Formula $X$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize La \series bold topología trivial \series default o \series bold indiscreta \series default : \begin_inset Formula ${\cal T}_{T}=\{\emptyset,X\}$ \end_inset , la topología más pequeña que se puede definir sobre \begin_inset Formula $X$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize La \series bold topología cofinita \series default : \begin_inset Formula ${\cal T}_{CF}=\{\emptyset\}\cup\{A\subseteq X\mid X\backslash A\text{ es finito}\}$ \end_inset . Esta se define sobre conjuntos infinitos, pues de lo contrario es \begin_inset Formula ${\cal T}_{CF}={\cal T}_{D}$ \end_inset . \begin_inset Newline newline \end_inset Sean \begin_inset Formula $A,B\in{\cal T}$ \end_inset no vacíos, \begin_inset Formula $X\backslash A$ \end_inset y \begin_inset Formula $X\backslash B$ \end_inset son finitos, por lo que \begin_inset Formula $(X\backslash A)\cup(X\backslash B)=X\backslash(A\cap B)$ \end_inset también lo es y \begin_inset Formula $A\cap B\in{\cal T}$ \end_inset . Si, por ejemplo, \begin_inset Formula $B=\emptyset$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $A\cap B=\emptyset\in{\cal T}$ \end_inset . Por otro lado, si \begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}\subseteq{\cal T}$ \end_inset es tal que \begin_inset Formula $\bigcup_{i\in I}A_{i}\neq\emptyset$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $X\backslash\bigcup_{i\in I}A_{i}=\bigcap_{i\in I}(X\backslash A_{i})$ \end_inset es finito. \end_layout \begin_layout Standard Dado el espacio topológico \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset , definimos la \series bold topología inducida \series default por \begin_inset Formula ${\cal T}$ \end_inset en \begin_inset Formula $H\subseteq X$ \end_inset , \series bold topología relativa \series default o \series bold topología de subespacio \series default como \begin_inset Formula ${\cal T}|_{H}\coloneqq {\cal T}_{H}\coloneqq \{A\cap H\}_{A\in{\cal T}}$ \end_inset . Los abiertos de \begin_inset Formula ${\cal T}_{H}$ \end_inset se llaman \series bold abiertos relativos \series default , y \begin_inset Formula $(H,{\cal T}_{H})$ \end_inset es un \series bold subespacio topológico \series default de \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset . Todo subespacio topológico es un espacio topológico. \series bold Demostración: \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\emptyset=\emptyset\cap H$ \end_inset y \begin_inset Formula $H=X\cap H$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Sean \begin_inset Formula $A',B'\in{\cal T}_{H}$ \end_inset , existen \begin_inset Formula $A,B\in{\cal T}$ \end_inset tales que \begin_inset Formula $A'=A\cap H$ \end_inset y \begin_inset Formula $B'=B\cap H$ \end_inset , por lo que \begin_inset Formula $A'\cap B'=A\cap B\cap H\in{\cal T}_{H}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Sea \begin_inset Formula $\{A'_{i}\}_{i\in I}\subseteq{\cal T}_{H}$ \end_inset , para cada \begin_inset Formula $i\in I$ \end_inset existe un \begin_inset Formula $A_{i}\in{\cal T}$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $A'_{i}=A_{i}\cap H$ \end_inset , de modo que \begin_inset Formula $\bigcup_{i\in I}A'_{i}=\bigcup_{i\in I}(A_{i}\cap H)=\left(\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)\cap H\in{\cal T}_{H}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es abierto en \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset entonces todo abierto relativo \begin_inset Formula $A'\in{\cal T}_{H}$ \end_inset también es abierto en el total. \series bold Demostración: \series default Sea \begin_inset Formula $A\in{\cal T}$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $A'=A\cap H$ \end_inset , como \begin_inset Formula $A,H\in{\cal T}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $A'\in{\cal T}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dado \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset , un subconjunto \begin_inset Formula $C'\subseteq H\subseteq X$ \end_inset es cerrado relativo ( \begin_inset Formula $C'\in{\cal C}_{H})$ \end_inset si y sólo si existe \begin_inset Formula $C\in{\cal C}$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $C'=C\cap H$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Si \begin_inset Formula $C'\in{\cal C}_{H}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $H\backslash C'\in{\cal T}_{H}$ \end_inset , por lo que existe \begin_inset Formula $A\in{\cal T}$ \end_inset con \begin_inset Formula $H\backslash C'=A\cap H$ \end_inset . Pero si \begin_inset Formula $C\coloneqq X\backslash A$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $C'=H\backslash(H\backslash C')=H\backslash(A\cap H)=H\backslash A=H\cap(X\backslash A)=H\cap C$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sea \begin_inset Formula $C'=C\cap H$ \end_inset con \begin_inset Formula $C\in{\cal C}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $H\backslash C'=H\backslash(C\cap H)=H\backslash C=H\cap(X\backslash C)$ \end_inset , y como \begin_inset Formula $X\backslash C\in{\cal T}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $H\backslash C'\in{\cal T}_{H}$ \end_inset , por lo que \begin_inset Formula $C'\in{\cal C}_{H}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Primer axioma de numerabilidad y condición de Hausdorff \end_layout \begin_layout Standard Una \series bold base de entornos \series default de \begin_inset Formula $p\in X$ \end_inset es una subfamilia \begin_inset Formula ${\cal B}(p)\subseteq{\cal E}(p)$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\forall V\in{\cal E}(p),\exists U\in{\cal B}(p):U\subseteq V$ \end_inset . A partir de aquí, un espacio topológico \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset satisface el \series bold primer axioma de numerabilidad \series default , o es \series bold 1AN \series default , si todo punto posee una base de entornos numerable, es decir, si \begin_inset Formula $\forall p\in X,\exists{\cal B}(p)\text{ base de }p:|{\cal B}(p)|\leq|\mathbb{N}|$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Así, \begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{T})$ \end_inset es 1AN, pues cada punto posee la base \begin_inset Formula ${\cal B}(p)=\{X\}$ \end_inset . Sin embargo, \begin_inset Formula $(\mathbb{R},{\cal T}_{CF})$ \end_inset no es 1AN. \series bold Demostración: \series default Si lo fuera, tendríamos \begin_inset Formula ${\cal B}(0)=\{U_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ \end_inset , pero entonces \begin_inset Formula $U_{n}=\mathbb{R}\backslash F_{n}$ \end_inset , con \begin_inset Formula $F_{n}$ \end_inset finito, para cada \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset . Ahora bien, como la unión numerable de conjuntos finitos es numerable y \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset no lo es, podemos elegir un punto \begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}\backslash\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_{n}\right)=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(\mathbb{R}\backslash F_{n})=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}U_{n}$ \end_inset con \begin_inset Formula $x\neq0$ \end_inset . Sea \begin_inset Formula $A=\mathbb{R}\backslash\{x\}\in{\cal E}(0)$ \end_inset , existirá un \begin_inset Formula $U_{i}\subseteq A$ \end_inset , pero entonces \begin_inset Formula $x\in U_{i}\subseteq A=\mathbb{R}\backslash\{x\}\#$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard La propiedad 1AN es hereditaria, es decir, si \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset es 1AN, también lo es cualquier \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout subes \backslash -pa \backslash -cio \end_layout \end_inset topológico de este. \series bold Demostración: \series default Debemos probar que si \begin_inset Formula $Y\subseteq X$ \end_inset , dado \begin_inset Formula $y\in Y$ \end_inset y \begin_inset Formula ${\cal B}(y)$ \end_inset una base de entornos de \begin_inset Formula $y$ \end_inset en \begin_inset Formula $X$ \end_inset , debemos probar que \begin_inset Formula ${\cal B}_{Y}(y)=\{B\cap Y\}_{B\in{\cal B}(y)}$ \end_inset es base de entornos de \begin_inset Formula $y$ \end_inset en \begin_inset Formula $Y$ \end_inset , pues entonces \begin_inset Formula $|{\cal B}_{Y}(y)|\leq|{\cal B}(y)|\leq|\mathbb{N}|$ \end_inset . Para ello, vemos que todo \begin_inset Formula $A\in{\cal B}_{Y}(y)$ \end_inset es entorno de \begin_inset Formula $y$ \end_inset en \begin_inset Formula $Y$ \end_inset , pues \begin_inset Formula $A=B\cap Y\in{\cal T}_{Y}$ \end_inset con \begin_inset Formula $B$ \end_inset un entorno de \begin_inset Formula $y$ \end_inset en \begin_inset Formula $X$ \end_inset . Ahora, si \begin_inset Formula $V$ \end_inset es un entorno de \begin_inset Formula $y$ \end_inset en \begin_inset Formula $Y$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $V$ \end_inset es abierto en \begin_inset Formula $Y$ \end_inset , por lo que existe un \begin_inset Formula $A\in{\cal T}$ \end_inset abierto en \begin_inset Formula $X$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $V=A\cap Y$ \end_inset , y como \begin_inset Formula $A$ \end_inset es entorno de \begin_inset Formula $y$ \end_inset en \begin_inset Formula $X$ \end_inset , existe un \begin_inset Formula $B\in{\cal B}(y)$ \end_inset con \begin_inset Formula $B\subseteq A$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $y\in B\cap Y\subseteq A\cap Y=V$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Un espacio topológico \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset es \series bold de Hausdorff \series default o \begin_inset Formula $T_{2}$ \end_inset si \begin_inset Formula $\forall p,q\in X,p\neq q;\exists U\in{\cal E}(p),V\in{\cal E}(q):U\cap V=\emptyset$ \end_inset . Así, por ejemplo, \begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{T})$ \end_inset no es de Hausdorff para \begin_inset Formula $|X|\geq2$ \end_inset , pues dados \begin_inset Formula $x,y\in X$ \end_inset con \begin_inset Formula $x\neq y$ \end_inset , el único entorno de \begin_inset Formula $x$ \end_inset es \begin_inset Formula $X$ \end_inset y contiene a \begin_inset Formula $y$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Espacios métricos \end_layout \begin_layout Standard Un \series bold espacio métrico \series default es un par \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset formado por un conjunto \begin_inset Formula $X\neq\emptyset$ \end_inset y una aplicación \begin_inset Formula $d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$ \end_inset que cumple que \begin_inset Formula $\forall x,y,z\in X:$ \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $d(x,y)\geq0\land(d(x,y)=0\iff x=y)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Simetría: \series default \begin_inset Formula $d(y,x)=d(x,y)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Desigualdad triangular: \series default \begin_inset Formula $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Decimos que \begin_inset Formula $d$ \end_inset es una \series bold métrica \series default o \series bold distancia \series default sobre \begin_inset Formula $X$ \end_inset . Ejemplos de métricas: \end_layout \begin_layout Itemize \series bold Métrica usual \series default sobre \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset : \begin_inset Formula $d_{u}(x,y)=d_{|\,|}(x,y)=|x-y|$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \series bold Métrica del ascensor \series default sobre \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$ \end_inset \series bold : \series default \begin_inset Formula \[ d((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))=\begin{cases} |x_{2}-y_{2}| & \text{si }x_{1}=y_{1}\\ |x_{1}-y_{1}|+|x_{2}|+|y_{2}| & \text{si }x_{1}\neq y_{1} \end{cases} \] \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize \series bold Métrica discreta \series default : \begin_inset Formula $d_{D}(x,y)=\begin{cases} 0 & \text{si }x=y\\ 1 & \text{si }x\neq y \end{cases}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \series bold Espacios métricos producto \series default : Dados los espacios métricos \begin_inset Formula $(X_{1},d_{1}),\dots,(X_{n},d_{n})$ \end_inset , sean \begin_inset Formula $x=(x_{1},\dots,x_{n}),y=(y_{1},\dots,y_{n})\in\prod_{i=1}^{n}X_{i}$ \end_inset : \end_layout \begin_deeper \begin_layout Itemize \series bold Métrica del taxi: \series default \begin_inset Formula $d_{T}(x,y)=\sum_{i=1}^{n}d_{i}(x_{i},y_{i})$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \series bold Métrica euclídea: \series default \begin_inset Formula $d_{E}(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}d_{i}(x_{i},y_{i})^{2}}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \series bold Métrica del ajedrez: \series default \begin_inset Formula $d_{\infty}(x,y)=\max\{d_{i}(x_{i},y_{i})\}_{1\leq i\leq n}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Formula $d_{k}(x,y)=(\sum_{i=1}^{n}d_{i}(x_{i}y_{i})^{k})^{\frac{1}{k}}$ \end_inset . Entonces se tiene que \begin_inset Formula $d_{T}=d_{1}$ \end_inset , \begin_inset Formula $d_{E}=d_{2}$ \end_inset y \begin_inset Formula $d_{\infty}$ \end_inset tiene un nombre apropiado. \end_layout \end_deeper \begin_layout Itemize \series bold Métrica estándar acotada \series default : \begin_inset Formula $\overline{d}(x,y)=\min\{1,d(x,y)\}$ \end_inset . En general, obtenemos las mismas propiedades cambiando el 1 por cualquier otro número real positivo. \end_layout \begin_layout Itemize \series bold Métrica estándar acotada (bis) \series default : \begin_inset Formula $d'(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \series bold Métrica inducida \series default por \begin_inset Formula $d$ \end_inset en \begin_inset Formula $H\subseteq X$ \end_inset \series bold : \series default \begin_inset Formula $d_{H}:H\times H\rightarrow\mathbb{R}$ \end_inset con \begin_inset Formula $d_{H}(x,y)=d(x,y)$ \end_inset para cualesquiera \begin_inset Formula $x,y\in H$ \end_inset . Decimos que \begin_inset Formula $(H,d_{H})$ \end_inset es un \series bold subespacio métrico \series default de \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{sloppypar} \end_layout \end_inset Se define la distancia de un punto \begin_inset Formula $p\in X$ \end_inset a un subconjunto \begin_inset Formula $S\subseteq X$ \end_inset como \begin_inset Formula $d(p,S)=\inf\{d(p,x)\}_{x\in S}$ \end_inset . Así, si \begin_inset Formula $p\in S$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $d(p,S)=0$ \end_inset , si bien el recíproco no es cierto. \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{sloppypar} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Círculos y bolas \end_layout \begin_layout Standard El \series bold círculo \series default en \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset centrado en \begin_inset Formula $p$ \end_inset con radio \begin_inset Formula $r$ \end_inset es el conjunto \begin_inset Formula $C_{d}(p;r)\coloneqq C(p;r)\coloneqq \{x\in X\mid d(p,x)=r\}$ \end_inset . Del mismo modo, la \series bold bola abierta \series default en \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset centrada en \begin_inset Formula $p$ \end_inset con radio \begin_inset Formula $r$ \end_inset es el conjunto \begin_inset Formula $B_{d}(p;r)\coloneqq B(p;r)\coloneqq \{x\in X\mid d(p,x)0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset es \series bold acotado \series default si \begin_inset Formula $\exists k>0:\forall x,y\in X,d(x,y)\leq k$ \end_inset , y decimos entonces que \begin_inset Formula $d$ \end_inset es una \series bold métrica acotada \series default . Esto sucede si y sólo si \begin_inset Formula $\exists k>0,x_{0}\in X:B(x_{0};k)=X$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sea \begin_inset Formula $x_{0}\in X$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $\forall x\in X,d(x_{0},x)\leq k0,x_{0}\in X:H\subseteq B_{d}(x_{0};k)$ \end_inset . Por tanto las bolas son subconjuntos acotados, pues \begin_inset Formula $B(p;r)$ \end_inset está acotado por \begin_inset Formula $r$ \end_inset y \begin_inset Formula $\overline{B}_{d}(x;r)$ \end_inset por (al menos) \begin_inset Formula $2r$ \end_inset . Definimos el \series bold diámetro \series default de un espacio métrico acotado \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset como \begin_inset Formula $\text{diám}(X)=\sup\{d(x,y)\}_{x,y\in X}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Subconjuntos abiertos y cerrados \end_layout \begin_layout Standard En un espacio métrico \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset , \begin_inset Formula $A\subseteq X$ \end_inset es un \series bold subconjunto abierto \series default , o simplemente un \series bold abierto \series default , si \begin_inset Formula $\forall x\in A,\exists r_{x}>0:B(x;r_{x})\subseteq A$ \end_inset . Toda bola abierta es un abierto. \series bold Demostración: \series default Sea \begin_inset Formula $B(x;r)$ \end_inset una bola abierta en \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset e \begin_inset Formula $y\in B(x;r)$ \end_inset , si tomamos \begin_inset Formula $\delta$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $0<\delta\leq r-d(x,y)$ \end_inset y \begin_inset Formula $z\in B(y;\delta)$ \end_inset , por la desigualdad triangular, \begin_inset Formula $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)0$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $B(p;r_{i})\subseteq A_{i}$ \end_inset . Ahora bien, si tomamos \begin_inset Formula $r\coloneqq \min\{r_{1},\dots,r_{n}\}$ \end_inset , vemos que \begin_inset Formula $B(p;r)\subseteq B(p;r_{i})\subseteq A_{i}$ \end_inset , por lo que \begin_inset Formula $B(p;r)\subseteq\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dada la familia \begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$ \end_inset de abiertos en \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $\bigcup_{i\in I}A_{i}$ \end_inset también es un abierto. \series bold Demostración: \series default Sea \begin_inset Formula $p\in\bigcup_{i\in I}A_{i}$ \end_inset arbitrario. Entonces existe un \begin_inset Formula $i_{0}\in I$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $p\in A_{i_{0}}$ \end_inset , y como \begin_inset Formula $A_{i_{0}}$ \end_inset es abierto, existe un \begin_inset Formula $r>0$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $B(p;r)\subseteq A_{i_{0}}$ \end_inset . Entonces \begin_inset Formula $B(p;r)\subseteq A_{i_{0}}\subseteq\bigcup_{i\in I}A_{i}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Así pues, todo espacio métrico \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset lleva asociado un espacio topológico \begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{d})$ \end_inset , donde \begin_inset Formula ${\cal T}_{d}$ \end_inset es el conjunto de abiertos de \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Espacios metrizables \end_layout \begin_layout Standard Un espacio topológico \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset es \series bold metrizable \series default si existe una métrica \begin_inset Formula $d$ \end_inset en \begin_inset Formula $X$ \end_inset tal que \begin_inset Formula ${\cal T}={\cal T}_{d}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize La métrica discreta lleva asociada la topología discreta ( \begin_inset Formula ${\cal T}_{D}={\cal T}_{d_{D}}$ \end_inset ). \begin_inset Newline newline \end_inset Todo subconjunto de \begin_inset Formula $X$ \end_inset es abierto en \begin_inset Formula $(X,d_{D})$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize La topología indiscreta solo es metrizable si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es \series bold unipuntual \series default ( \begin_inset Formula $|X|=1$ \end_inset ). \begin_inset Newline newline \end_inset De lo contrario tendríamos \begin_inset Formula $p,q\in X$ \end_inset con \begin_inset Formula $p\neq q$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $d(p,q)=r>0$ \end_inset , y entonces \begin_inset Formula $q\notin B(p;\frac{r}{2})$ \end_inset , pero esta bola sería un abierto distinto del vacío y del total, lo que no existe en \begin_inset Formula ${\cal T}_{T}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dado el espacio métrico \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset y \begin_inset Formula $H\subseteq X$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula ${\cal T}_{d}|_{H}={\cal T}_{d_{H}}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\subseteq]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sea \begin_inset Formula $A'\in{\cal T}_{d}|_{H}$ \end_inset , existe \begin_inset Formula $A\in{\cal T}_{d}$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $A'=A\cap H$ \end_inset . Entonces para todo \begin_inset Formula $p\in A'\subseteq A$ \end_inset existe un \begin_inset Formula $r>0$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $B_{d}(p;r)\subseteq A$ \end_inset , por lo que \begin_inset Formula $B_{d}(p;r)\cap H\subseteq A'$ \end_inset , pero como \begin_inset Formula $B_{d}(p;r)\cap H=B_{d_{H}}(p;r)$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $A'\in{\cal T}_{d_{H}}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\supseteq]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sea \begin_inset Formula $A'\in{\cal T}_{d_{H}}$ \end_inset , entonces para todo \begin_inset Formula $p\in A'$ \end_inset existe un \begin_inset Formula $r>0$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $B_{d_{H}}(p;r)=B_{d}(p;r)\cap H\subseteq A'$ \end_inset , y si llamamos \begin_inset Formula $A=\bigcup_{p\in A'}B_{d}(p;r)$ \end_inset , se tiene que \begin_inset Formula $A'\subseteq A\cap H=\left(\bigcup_{p\in A'}B_{d}(p;r)\right)\cap H=\bigcup_{p\in A'}(B_{d}(p;r)\cap H)=\bigcup_{p\in A'}B_{d_{H}}(p;r)\subseteq A'$ \end_inset y \begin_inset Formula $A'=A\cap H$ \end_inset con \begin_inset Formula $A\in{\cal T}_{d}$ \end_inset , por lo que \begin_inset Formula $A'\in{\cal T}_{d}|_{H}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Todo espacio metrizable es 1AN, pues cada punto \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset posee la base de entornos \begin_inset Formula ${\cal B}(x)=\{B(x;\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}}$ \end_inset . También es \begin_inset Formula $T_{2}$ \end_inset , pues dados \begin_inset Formula $p,q\in X$ \end_inset con \begin_inset Formula $p\neq q$ \end_inset , si \begin_inset Formula $r=d(p,q)>0$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $B(p;\frac{r}{2})\cap B(q;\frac{r}{2})=\emptyset$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Métricas equivalentes \end_layout \begin_layout Standard Dos métricas \begin_inset Formula $d$ \end_inset y \begin_inset Formula $d'$ \end_inset sobre \begin_inset Formula $X$ \end_inset son \series bold equivalentes \series default si \begin_inset Formula ${\cal T}_{d}={\cal T}_{d'}$ \end_inset . Equivalentemente, lo son si \begin_inset Formula $\forall p\in X,r>0;(\exists\delta>0:B_{d}(p;\delta)\subseteq B_{d'}(p;r)\land\exists\delta'>0:B_{d'}(p;\delta')\subseteq B_{d}(p;r))$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sean \begin_inset Formula $d$ \end_inset y \begin_inset Formula $d'$ \end_inset equivalentes, dados \begin_inset Formula $p\in X$ \end_inset y \begin_inset Formula $r>0$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $B_{d'}(p;r)$ \end_inset es un abierto en \begin_inset Formula ${\cal T}_{d'}$ \end_inset y por tanto en \begin_inset Formula ${\cal T}_{d}$ \end_inset , por lo que \begin_inset Formula $\exists\delta>0:B_{d}(p;\delta)\subseteq B_{d'}(p;r)$ \end_inset . La otra condición se prueba de forma análoga. \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sea \begin_inset Formula $A$ \end_inset un abierto de \begin_inset Formula ${\cal T}_{d}$ \end_inset y \begin_inset Formula $p\in A$ \end_inset , existe pues un \begin_inset Formula $r>0$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $B_{d}(p;r)\subseteq A$ \end_inset y por tanto un \begin_inset Formula $\delta'>0$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $B_{d'}(p;\delta')\subseteq B_{d}(p;r)$ \end_inset , por lo que \begin_inset Formula $A$ \end_inset es abierto en \begin_inset Formula ${\cal T}_{d'}$ \end_inset . El otro contenido se prueba de forma análoga. \end_layout \begin_layout Standard Dadas dos métricas \begin_inset Formula $d$ \end_inset y \begin_inset Formula $d'$ \end_inset sobre \begin_inset Formula $X$ \end_inset , si existen \begin_inset Formula $m,M>0$ \end_inset tales que \begin_inset Formula $\forall x,y\in X,md(x,y)\leq d'(x,y)\leq Md(x,y)$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $d$ \end_inset y \begin_inset Formula $d'$ \end_inset son equivalentes. \series bold Demostración: \series default Dados \begin_inset Formula $p\in X$ \end_inset y \begin_inset Formula $r>0$ \end_inset , tomando \begin_inset Formula $\delta=\frac{r}{M}$ \end_inset , se tiene que si \begin_inset Formula $d(p,q)\leq\delta$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $d'(p,q)\leq Md(p,q)\leq M\delta=r$ \end_inset , por lo que \begin_inset Formula $B_{d}(p;\delta)\subseteq B_{d'}(p;r)$ \end_inset . Análogamente, tomando \begin_inset Formula $\delta'=mr$ \end_inset , se tiene que \begin_inset Formula $B_{d'}(p;\delta')\subseteq B_{d}(p;r)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Así, las métricas \begin_inset Formula $d_{E}$ \end_inset , \begin_inset Formula $d_{T}$ \end_inset y \begin_inset Formula $d_{\infty}$ \end_inset sobre un mismo conjunto \begin_inset Formula $X=X_{1}\times\dots\times X_{n}$ \end_inset y métricas \begin_inset Formula $d_{1},\dots,d_{n}$ \end_inset son equivalentes, y si un subconjunto es acotado para alguna de las tres métricas también lo es para las otras dos. \series bold Demostración: \series default Se deduce de que \begin_inset Formula $\frac{1}{n}d_{T}(x,y)\leq d_{\infty}(x,y)\leq d_{T}(x,y)$ \end_inset y \begin_inset Formula $\frac{1}{\sqrt{n}}d_{E}(x,y)\leq d_{\infty}(x,y)\leq d_{E}(x,y)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard No obstante, las métricas euclídea y discreta no tienen por qué ser equivalentes , pues en \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\{(0,0)\}$ \end_inset es abierto en la discreta pero no en la euclídea. Llamamos \begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{n},d_{u})=(\mathbb{R}^{n},d_{E})$ \end_inset con \begin_inset Formula $d_{E}$ \end_inset definido sobre \begin_inset Formula $d_{|\,|}$ \end_inset en \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset , y \begin_inset Formula ${\cal T}_{u}$ \end_inset a la topología asociada a \begin_inset Formula $d_{u}$ \end_inset . \end_layout \end_body \end_document