#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
Una aplicación 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 es 
\series bold
continua
\series default
 en 
\begin_inset Formula $p\in X$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall V\in{\cal E}(f(p)),\exists U\in{\cal E}(p):f(U)\subseteq V$
\end_inset

.
 Equivalentemente, si 
\begin_inset Formula ${\cal B}(p)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal B}(f(p))$
\end_inset

 son bases de entornos de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(p)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall V\in{\cal B}(f(p)),\exists U\in{\cal B}(p):f(U)\subseteq V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, dado 
\begin_inset Formula $V\in{\cal B}(f(p))$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $U\in{\cal E}(p)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(U)\subseteq V$
\end_inset

, pero entonces existe 
\begin_inset Formula $U'\in{\cal B}(p)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $U'\subseteq U$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f(U')\subseteq f(U)\subseteq V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Dado 
\begin_inset Formula $V\in{\cal E}(f(p))$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $V'\in{\cal B}(f(p))$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $V'\subseteq V$
\end_inset

, pero existe 
\begin_inset Formula $U\in{\cal B}(p)\subseteq{\cal E}(p)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(U)\subseteq V'\subseteq V$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
De aquí que 
\begin_inset Formula $f:(X,d)\rightarrow(Y,d')$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 respecto a las topologías métricas 
\begin_inset Formula ${\cal T}_{d}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal T}_{d'}$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x\in X,(d(x,p)<\delta\implies d'(f(x),f(p))<\varepsilon)$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Tomando 
\begin_inset Formula ${\cal B}(p)=\{B(p;\delta)\mid \delta>0\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal B}(f(p))=\{B(f(p);r)\}_{r>0}$
\end_inset

, la equivalencia es consecuencia de lo anterior y de que 
\begin_inset Formula $x\in B(p;\delta)\iff d(x,p)<\delta$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(p)\in B(f(p);\varepsilon)\iff d(f(x),f(p))<\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

 es 1AN, 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p\in X$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq X,(x_{n}\rightarrow p\implies f(x_{n})\rightarrow f(p))$
\end_inset

.
 Además, la implicación a la derecha se cumple para espacios topológicos
 arbitrarios.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, dada una sucesión 
\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq X$
\end_inset

 que converge a 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $V\in{\cal E}(f(p))$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $U\in{\cal E}(p)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(U)\subseteq V$
\end_inset

, y por la convergencia de 
\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
\end_inset

, existe un 
\begin_inset Formula $n_{U}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $n>n_{U}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $x_{n}\in U$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $f(x_{n})\in f(U)\subseteq V$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f(x_{n})\rightarrow f(p)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula ${\cal B}(p)$
\end_inset

 una base de entornos de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 numerable, si suponemos que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 no es continua, entonces 
\begin_inset Formula $\exists V\in{\cal B}(f(p)):\forall U\in{\cal B}(p),f(U)\nsubseteq V$
\end_inset

.
 Sea ahora 
\begin_inset Formula $U_{1}\in{\cal B}(p)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $V_{1}$
\end_inset

 un entorno de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 que no contiene a 
\begin_inset Formula $U_{1}$
\end_inset

.
 Podemos tomar 
\begin_inset Formula $V'_{1}\coloneqq V_{1}\cap U_{1}\in{\cal E}(p)$
\end_inset

 y existirá 
\begin_inset Formula $U_{2}\in{\cal B}(p)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $U_{2}\subseteq V'_{1}$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula ${\cal B}(p)$
\end_inset

 es numerable, podemos hacer esto sucesivamente ordenando así sus elementos
 en una sucesión 
\begin_inset Formula $\{U_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
\end_inset

 de entornos con 
\begin_inset Formula $U_{1}\supseteq U_{2}\supseteq\dots$
\end_inset

.
 Con esto formamos una sucesión 
\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x_{i}\in U_{i}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(x_{i})\notin V$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $x_{n}\rightarrow p$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 mientras que 
\begin_inset Formula $f(x_{n})\not\rightarrow f(p)$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

, lo que contradice la hipótesis.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})\overset{f}{\rightarrow}(Y,{\cal T}')\overset{g}{\rightarrow}(Z,{\cal T}'')$
\end_inset

 aplicaciones continuas en 
\begin_inset Formula $p\in X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(p)$
\end_inset

, respectivamente, entonces 
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Dado 
\begin_inset Formula $W\in{\cal E}(g(f(p)))$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $f(p)$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $V\in{\cal E}(f(p))$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $g(V)\subseteq W$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $U\in{\cal E}(p)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(U)\subseteq V$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $g(f(U))\subseteq g(V)\subseteq W$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado 
\begin_inset Formula $S\subseteq X$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p\in\overline{S}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f(p)\in\overline{f(S)}$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $V\in{\cal E}(f(p))$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $U\in{\cal E}(p)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(U)\subseteq V$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $p\in\overline{S}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $U\cap S\neq\emptyset$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\emptyset\neq f(U\cap S)\subseteq f(U)\cap f(S)\subseteq V\cap f(S)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Continuidad global
\end_layout

\begin_layout Standard
Una aplicación 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 es continua si lo es en cualquier punto de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
 Equivalentemente, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall A\in{\cal T}',f^{-1}(A)\in{\cal T}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 continua, 
\begin_inset Formula $A\in{\cal T}'$
\end_inset

.
 Dado 
\begin_inset Formula $p\in f^{-1}(A)$
\end_inset

 arbitrario, entonces 
\begin_inset Formula $f(p)\in A\in{\cal E}(f(p))$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua, existe 
\begin_inset Formula $V_{p}\in{\cal E}(p)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(V_{p})\subseteq A$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $V_{p}\subseteq f^{-1}(A)$
\end_inset

.
 Pero entonces 
\begin_inset Formula $\bigcup_{p\in f^{-1}(A)}V_{p}=f^{-1}(A)\in{\cal T}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $p\in X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A\in{\cal E}(f(p))$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $p\in f^{-1}(A)$
\end_inset

, y como por hipótesis 
\begin_inset Formula $f^{-1}(A)\in{\cal T}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f^{-1}(A)\in{\cal E}(p)$
\end_inset

 es pues el entorno de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 buscado para que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 sea continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 es continua si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall p\in X,V\in{\cal E}(f(p));f^{-1}(V)\in{\cal E}(p)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Trivial.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Cada 
\begin_inset Formula $A\in{\cal T}'$
\end_inset

 se puede escribir como 
\begin_inset Formula $A=\bigcup_{q\in A}V_{q}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $V_{q}\in{\cal E}(q)$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $f^{-1}(A)=f^{-1}(\bigcup_{q\in A}V_{q})=\bigcup_{q\in A}f^{-1}(V_{q})$
\end_inset

.
 Por tanto, si los 
\begin_inset Formula $f^{-1}(V_{q})$
\end_inset

 son abiertos, 
\begin_inset Formula $f^{-1}(A)$
\end_inset

 también lo es por ser unión arbitraria de abiertos.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 es continua si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall C\in{\cal C}_{{\cal T}'},f^{-1}(C)\in{\cal C_{T}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua y 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 es cerrado en 
\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $X\backslash f^{-1}(C)=f^{-1}(Y\backslash C)\in{\cal T}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f^{-1}(C)\in{\cal C_{T}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Análoga.
\end_layout

\begin_layout Standard
Algunas aplicaciones continuas:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $id:(X,{\cal T})\rightarrow(X,{\cal T}')$
\end_inset

 es continua si y sólo si 
\begin_inset Formula ${\cal T}'\subseteq{\cal T}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Una aplicación constante siempre es continua.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Toda 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T}_{D})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 es continua.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Toda 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}_{T})$
\end_inset

 es continua.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f,g:(X,{\cal T})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
\end_inset

 son continuas entonces 
\begin_inset Formula $f+g,fg:(X,{\cal T})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
\end_inset

 también lo son.
 Si además 
\begin_inset Formula $g(x)\neq0\forall x\in X$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\frac{f}{g}:(X,{\cal T})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
\end_inset

 es continua.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Las proyecciones 
\begin_inset Formula $\pi_{i}:(\mathbb{R}^{n},d_{u})\rightarrow(\mathbb{R},d_{u})$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\pi_{i}(x_{1},\dots,x_{n})=x_{i}$
\end_inset

 son continuas.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Sea 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(\mathbb{R}^{n},{\cal T}_{u})$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $f(x)=(f_{1}(x),\dots,f_{n}(x))$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $f_{1},\dots,f_{n}:(X,{\cal T})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
\end_inset

 las llamadas 
\series bold
funciones coordenadas
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua si y sólo si 
\begin_inset Formula $f_{1},\dots,f_{n}$
\end_inset

 lo son.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Las funciones polinómicas 
\begin_inset Formula $f:(\mathbb{R}^{n},{\cal T}_{u})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
\end_inset

 sobre una o varias variables son siempre continuas.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para toda aplicación continua 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 y todo 
\begin_inset Formula $S\subseteq X$
\end_inset

 se tiene que 
\begin_inset Formula $f(\overline{S})\subseteq\overline{f(S)}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Homeomorfismos
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
homeomorfismo
\series default
 es una aplicación 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 biyectiva, continua y con aplicación inversa continua.
 Dos espacios topológicos son 
\series bold
homeomorfos
\series default
 si existe un homeomorfismo entre ellos, y una 
\series bold
propiedad topológica
\series default
 es una propiedad de los espacios topológicos invariante por homomorfismos.
 Ejemplos:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Dos espacios topológicos triviales, o dos discretos, son homeomorfos si
 y sólo si existe una aplicación biyectiva entre ellos.
\end_layout

\begin_layout Itemize
En 
\begin_inset Formula $(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
\end_inset

, son homeomorfos todos los intervalos de la forma 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $[c,d]$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $(a,b)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(c,d)$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $(a,+\infty)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(b,+\infty)$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $(-\infty,a)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(-\infty,b)$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $(a,+\infty)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(-\infty,b)$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 es homeomorfo a cualquier intervalo abierto y acotado, por ejemplo, por
 
\begin_inset Formula $\tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dada una aplicación 
\emph on
biyectiva
\emph default
 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

, son equivalentes:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es un homeomorfismo.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A\in{\cal T}\iff f(A)\in{\cal T}'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $C\in{\cal C_{T}}\iff f(C)\in{\cal C}_{{\cal T}'}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $1\implies2]$
\end_inset

 Sea 
\begin_inset Formula $g\coloneqq f^{-1}:Y\rightarrow X$
\end_inset

 continua y 
\begin_inset Formula $A\in{\cal T}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f(A)=(f^{-1})^{-1}(A)=g^{-1}(A)\in{\cal T}'$
\end_inset

.
 Recíprocamente, si 
\begin_inset Formula $f(A)\in{\cal T}'$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f^{-1}(f(A))=A\in{\cal T}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $2\implies1]$
\end_inset

 Para ver que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua, dado 
\begin_inset Formula $A\subseteq X$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $f(A)\in{\cal T}'$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f^{-1}(f(A))=A\in{\cal T}$
\end_inset

.
 Para ver que 
\begin_inset Formula $g\coloneqq f^{-1}$
\end_inset

 es continua, dado 
\begin_inset Formula $A\subseteq X$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $A\in{\cal T}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $g^{-1}(A)=f(A)\in{\cal T}'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $1\iff3]$
\end_inset

 Análogo usando la caracterización de continuidad por cerrados.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una aplicación 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 es 
\series bold
abierta
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall A\in{\cal T},f(A)\in{\cal T}'$
\end_inset

, y es 
\series bold
cerrada
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall C\in{\cal C_{T}},f(C)\in{\cal C}_{{\cal T}'}$
\end_inset

.
 Así, una aplicación biyectiva es un homeomorfismo si y sólo si es continua
 y abierta (o continua y cerrada).
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 es abierta si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall S\subseteq X,f(\mathring{S})\subseteq\mathring{\overbrace{f(S)}}$
\end_inset

, es un homeomorfismo si y sólo si es biyectiva y 
\begin_inset Formula $\forall S\subseteq X,f(\mathring{S})=\mathring{\overbrace{f(S)}}$
\end_inset

, y es cerrada si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall S\subseteq X,\overline{f(S)}\subseteq f(\overline{S})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Continuidad en subespacios
\end_layout

\begin_layout Standard
La aplicación inclusión 
\begin_inset Formula $i:(H,{\cal T}_{H})\looparrowright(X,{\cal T})$
\end_inset

 es continua.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $A\in{\cal T}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $i^{-1}(A)=A\cap H\in{\cal T}_{H}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una aplicación 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(X)\subseteq H\subseteq Y$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p\in X$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\hat{f}:(X,{\cal T})\rightarrow(H,{\cal T}_{H})$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\hat{f}(x)=f(x)$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
 En particular, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua si y sólo si 
\begin_inset Formula $\hat{f}$
\end_inset

 es continua.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, dado 
\begin_inset Formula $V'\in{\cal E}_{{\cal T}'_{H}}(f(p))$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $V\in{\cal E}_{{\cal T}'}(f(p))$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $V'=V\cap H$
\end_inset

, luego existe 
\begin_inset Formula $U\in{\cal E}_{{\cal T}}(p)$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $f(U)\subseteq V$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $f'(U)=f(U)=f(U)\cap H\subseteq V\cap H=V'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(H,{\cal T}'_{H})$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, como la inclusión es continua en 
\begin_inset Formula $f(p)$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f=i\circ\hat{f}$
\end_inset

 es también continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p\in H\subseteq X$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f|_{H}:(H,{\cal T}_{H})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 también es continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
 En particular, si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua también lo es 
\begin_inset Formula $f|_{H}$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Como la inclusión es continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f|_{H}=f\circ i$
\end_inset

 también lo es.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p\in X$
\end_inset

 si y sólo si existe 
\begin_inset Formula $U\in{\cal E}(p)$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $f|_{U}$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Basta tomar 
\begin_inset Formula $U=X$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $f|_{U}:(U,{\cal T}_{U})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $V\in{\cal E}(f(p))$
\end_inset

, por la continuidad de 
\begin_inset Formula $f|_{U}$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $U'\in{\cal E}(p)$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $f|_{U}(U')\subseteq V$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $f(U')=f|_{U}(U')\subseteq V$
\end_inset

, lo que prueba la continuidad de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$
\end_inset

 una familia de abiertos de 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $X=\bigcup_{i\in I}A_{i}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $f|_{A_{i}}$
\end_inset

 es continua para todo 
\begin_inset Formula $i\in I$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Dado 
\begin_inset Formula $p\in X$
\end_inset

, existe un 
\begin_inset Formula $i_{0}\in I$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $p\in A_{i_{0}}\in{\cal E}(p)$
\end_inset

 y por la propiedad anterior, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\{C_{1},\dots,C_{n}\}$
\end_inset

 una familia finita de cerrados de 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $X=\bigcup_{i=1}^{n}C_{i}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $f|_{C_{i}}$
\end_inset

 es continua para todo 
\begin_inset Formula $i\in1,\dots,n$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Dado 
\begin_inset Formula $C'\in(Y,{\cal T}')$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f^{-1}(C')=f^{-1}(C')\cap X=f^{-1}(C')\cap\left(\bigcup_{i=1}^{n}C_{i}\right)=\bigcup_{i=1}^{n}(C_{i}\cap f^{-1}(C'))=\bigcup_{i=1}^{n}f|_{C_{i}}^{-1}(C')$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $f|_{C_{i}}$
\end_inset

 es continua para cualquier 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f|_{C_{i}}^{-1}(C')$
\end_inset

 es cerrado en 
\begin_inset Formula $(C_{i},{\cal T}_{C_{i}})$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $C_{i}$
\end_inset

 es cerrado en 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f|_{C_{i}}^{-1}(C')$
\end_inset

 es cerrado en 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $f^{-1}(C')$
\end_inset

 es cerrado en 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua.
\end_layout

\begin_layout Section
Continuidad uniforme e isometrías
\end_layout

\begin_layout Standard
Definimos la 
\series bold
oscilación
\series default
 de una función 
\begin_inset Formula $f:D\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
\end_inset

 en un intervalo 
\begin_inset Formula $I\subseteq D$
\end_inset

 como
\begin_inset Formula 
\[
\theta(f,J)=\begin{cases}
\sup\{f(I)\}-\inf\{f(I)\} & \text{si }f(I)\text{ está acotado}\\
+\infty & \text{si }f(I)\text{ no está acotado}
\end{cases}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Una aplicación 
\begin_inset Formula $f:(X,d)\rightarrow(Y,d')$
\end_inset

 es 
\series bold
uniformemente continua
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x_{1},x_{2}\in X,(d(x_{1},x_{2})<\delta\implies d'(f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon)$
\end_inset

.
 Toda aplicación uniformemente continua es continua.
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
isometría
\series default
 a una aplicación 
\begin_inset Formula $f:(X,d)\rightarrow(Y,d')$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall x_{1},x_{2}\in X,(d(x_{1},x_{2})=d'(f(x_{1}),f(x_{2})))$
\end_inset

.
 Toda isometría es inyectiva y uniformemente continua.
 Finalmente, una aplicación 
\begin_inset Formula $f:(X,d)\rightarrow(X,d')$
\end_inset

 es 
\series bold
lipschitziana
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\exists M>0:\forall x,y\in X,d'(f(x),f(y))\leq Md(x,y)$
\end_inset

, y es además 
\series bold
contráctil
\series default
 si podemos encontrar un 
\begin_inset Formula $M<1$
\end_inset

 para el que se cumpla la propiedad.
\end_layout

\end_body
\end_document