#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
Dado un conjunto 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula ${\cal T}\subseteq{\cal P}(X)$
\end_inset

 es una 
\series bold
topología
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\emptyset,X\in{\cal T}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\forall{\cal A}\subseteq{\cal T},\bigcup{\cal A}\in{\cal T}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\forall A_{1},\dots,A_{n}\in{\cal T},\bigcap\{A_{1},\dots,A_{n}\}\in{\cal T}$
\end_inset

.
 Entonces llamamos 
\series bold
espacio topológico
\series default
 al par 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

, (
\series bold
conjuntos
\series default
) 
\series bold
abiertos
\series default
 a los elementos de 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

 y (
\series bold
conjuntos
\series default
) 
\series bold
cerrados
\series default
 a sus complementarios.
 Así, 
\begin_inset Formula $\emptyset$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 son cerrados, la intersección arbitraria de cerrados es un cerrado y la
 unión finita de cerrados es un cerrado.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado 
\begin_inset Formula $X\neq\emptyset$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
topología trivial
\series default
 o 
\series bold
indiscreta
\series default
 a 
\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{ind}}\coloneqq \{\emptyset,X\}$
\end_inset

 y 
\series bold
topología discreta
\series default
 a 
\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{dis}}\coloneqq {\cal P}(X)$
\end_inset

.
 Llamamos 
\series bold
espacio indiscreto
\series default
 a 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{\text{ind}})$
\end_inset

 y 
\series bold
espacio discreto
\series default
 a 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{\text{dis}})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Interior y clausura
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

 un espacio topológico y 
\begin_inset Formula $S\subseteq X$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
interior
\series default
 de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{int}S$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\mathring{S}$
\end_inset

 al mayor abierto contenido en 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, que es la unión de todos ellos, y 
\series bold
clausura
\series default
 de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{cl}S$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\overline{S}$
\end_inset

 al menor cerrado que lo contiene, que es la intersección de todos ellos.
 Así, 
\begin_inset Formula $\mathring{S}\subseteq S\subseteq\overline{S}$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es abierto si y sólo si 
\begin_inset Formula $S=\mathring{S}$
\end_inset

 y cerrado si y sólo si 
\begin_inset Formula $S=\overline{S}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
entorno
\series default
 de 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 es un elemento de 
\begin_inset Formula ${\cal E}(x)\coloneqq \{U\in{\cal T}\mid x\in{\cal U}\}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $x\in\mathring{S}$
\end_inset

 si y sólo si existe un entorno de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 contenido en 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $x\in\overline{S}$
\end_inset

 si y sólo si todo entorno de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 interseca con 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Espacios métricos
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
distancia
\series default
 en un conjunto 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es una función 
\begin_inset Formula $d:X\times X\to\mathbb{R}$
\end_inset

 tal que para cada 
\begin_inset Formula $x,y,z\in X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0\leq d(x,y)=d(y,x)\leq d(x,z)+d(z,y)$
\end_inset

.
 Decimos entonces que 
\begin_inset Formula $(X,d)$
\end_inset

 es un 
\series bold
espacio métrico
\series default
.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
En 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 tenemos la distancia usual 
\begin_inset Formula $d_{u}(x,y)\coloneqq |x-y|$
\end_inset

.
 Dado un espacio métrico en 
\begin_inset Formula $(X,d)$
\end_inset

, definimos en 
\begin_inset Formula $X^{n}$
\end_inset

 la distancia 
\begin_inset Formula 
\[
d_{p}(x,y):=\left(\sum_{k=1}^{n}d(x_{k},y_{k})^{p}\right)^{\frac{1}{p}}
\]

\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $p\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $d_{\infty}(x,y)\coloneqq \max_{k=1}^{n}d(x_{k},y_{k})$
\end_inset

.
 Llamamos 
\series bold
distancia Manhattan
\series default
 o 
\series bold
del taxi
\series default
 a 
\begin_inset Formula $d_{1}$
\end_inset

, 
\series bold
distancia euclídea
\series default
 a 
\begin_inset Formula $d_{2}$
\end_inset

 y 
\series bold
distancia del ajedrez
\series default
 a 
\begin_inset Formula $d_{\infty}$
\end_inset

.
 Además, en un conjunto 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 definimos la 
\series bold
distancia discreta
\series default
 como
\begin_inset Formula 
\[
d_{D}(x,y):=\left\{ \begin{aligned}1 & \text{si }x\neq y,\\
0 & \text{si }x=y.
\end{aligned}
\right.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $(X,d)$
\end_inset

 un espacio métrico, 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
bola
\series default
 (
\series bold
abierta
\series default
) en la distancia 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 de centro 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 y radio 
\begin_inset Formula $\delta$
\end_inset

 a
\begin_inset Formula 
\[
B_{d}(x,\delta):=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon\}.
\]

\end_inset

Llamamos 
\series bold
topología
\series default
 (
\series bold
métrica
\series default
) 
\series bold
inducida
\series default
 por 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 a la topología 
\begin_inset Formula ${\cal T}_{d}\coloneqq \{A\in X\mid \forall x\in A,\exists\delta>0\mid B_{d}(x,\delta)\subseteq A\}$
\end_inset

.
 Las bolas son abiertas en la topología inducida, por lo que en esta los
 abiertos son uniones de bolas.
\end_layout

\begin_layout Standard
La distancia discreta induce la topología discreta, y las distancias del
 taxi, euclídea y del ajedrez sobre 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 con la distancia usual en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 inducen una misma topología que llamamos 
\series bold
topología usual
\series default
 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $n\geq1$
\end_inset

).
 En 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

, los abiertos de esta topología son las uniones de intervalos abiertos.
\end_layout

\begin_layout Section
Subespacios topológicos
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados un espacio topológico 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y\subseteq X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula ${\cal T}_{Y}\coloneqq \{U\cap Y\}_{U\in{\cal T}}$
\end_inset

 es una topología sobre 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

, la 
\series bold
topología del subespacio
\series default
 o 
\series bold
inducida
\series default
 sobre 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

.
 Algunos subespacios topológicos importantes:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R}$
\end_inset

.
 En este caso, la topología inducida por la usual es la discreta.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
La 
\series bold

\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-esfera
\series default
, 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{n}(r)\coloneqq \{(x_{1},\dots,x_{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1}\mid x_{1}^{2}+\dots+x_{n+1}^{2}=r^{2}\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El 
\series bold
plano agujereado
\series default
 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}\setminus\{0\}\subseteq\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

 y el 
\series bold
espacio agujereado
\series default
 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\}\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El 
\series bold
intervalo cerrado
\series default
 
\begin_inset Formula $I\coloneqq [0,1]\subseteq\mathbb{R}$
\end_inset

 o el 
\series bold
cuadrado unidad
\series default
 
\begin_inset Formula $I\times I\subseteq\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El 
\series bold
cilindro
\series default
, 
\begin_inset Formula $C\coloneqq \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1,0\leq z\leq1\}$
\end_inset

, cono de rotación sobre el eje 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $\{(1,0,s)\}_{s\in[0,1]}$
\end_inset

, esto es, 
\begin_inset Formula $C=\{R_{\theta}(1,0,s)\}_{\theta\in[0,2\pi],s\in[0,1]}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula 
\[
R_{\theta}:=\left(\begin{array}{ccc}
\cos\theta & -\sin\theta & 0\\
\sin\theta & \cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
El 
\series bold
toro
\series default
, 
\begin_inset Formula $\mathbb{T}\coloneqq \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}-4\sqrt{x^{2}+y^{2}}+3=0\}$
\end_inset

, cono de rotación sobre el eje 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $\{(x,0,z)\mid (x-2)^{2}+z^{2}=1\}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\supseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Tenemos 
\begin_inset Formula $\{(x,0,z)\mid (x-2)^{2}+z^{2}=1\}=\{\alpha(s)\coloneqq (\cos s+2,0,\sin s)\}_{s\in[0,2\pi]}$
\end_inset

, luego el cono de rotación es 
\begin_inset Formula $\{(\cos\theta(\cos s+2),\sin\theta(\cos s+2),\sin s)\}_{s,\theta\in[0,2\pi]}$
\end_inset

.
 Sustituyendo en la ecuación implícita y teniendo en cuenta que 
\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}=(\cos s+2)^{2}$
\end_inset

, tenemos
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
(\cos s+2)^{2}+\sin^{2}s-4(\cos s+2)+3=\\
=\cos^{2}s+4\cos s+4+\sin^{2}s-4\cos s-8+3=0.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\subseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Dado 
\begin_inset Formula $(x,y,z)\in\mathbb{T}$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\sin s=z$
\end_inset

, concretamente, 
\begin_inset Formula $s\in[0,\frac{\pi}{2}]\cup[\frac{3\pi}{2},2\pi]$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}\geq4$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $s\in[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$
\end_inset

 en caso contrario.
 Esto es válido porque, si 
\begin_inset Formula $z^{2}>1$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}-4\sqrt{x^{2}+y^{2}}+4<0$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}-4\sqrt{x^{2}+y^{2}}+4=(x^{2}+y^{2}-2)^{2}\geq0\#$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}+\sin^{2}s-4\sqrt{x^{2}+y^{2}}+3=0\iff\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\frac{4\pm\sqrt{16-4\sin^{2}s-12}}{2}=2\pm\sqrt{1-\sin^{2}s}=2\pm\cos s$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}=(2\pm\cos s)^{2}$
\end_inset

, y por cómo hemos elegido 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

, es 
\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}=(2+\cos s)^{2}$
\end_inset

.
 Entonces basta tomar 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x}{\cos s+2}$
\end_inset

 (es claro que 
\begin_inset Formula $\cos s+2\neq0$
\end_inset

) y 
\begin_inset Formula $\sin\theta=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{y}{\cos s+2}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
La 
\series bold
cinta de Möbius
\series default
, 
\begin_inset Formula $M\coloneqq \{(\cos\theta(3-t\sin\frac{\theta}{2}),\sin\theta(3-t\sin\frac{\theta}{2}),t\cos\frac{\theta}{2})\}_{\theta\in[0,2\pi],t\in[-1,1]}$
\end_inset

.
 La idea es tener una varilla inicialmente paralela al eje 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 a longitud 3 que va girando alrededor del eje a la vez que gira alrededor
 de su punto medio a la mitad de velocidad angular de forma perpendicular
 al eje.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El 
\series bold
grupo lineal general
\series default
 
\begin_inset Formula ${\cal GL}(n,\mathbb{R})\subseteq{\cal M}_{n}(\mathbb{R})$
\end_inset

, compuesto por las matrices invertibles, con la topología para 
\begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(\mathbb{R})$
\end_inset

 dada por isomorfismo lineal con 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n^{2}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El 
\series bold
grupo ortogonal
\series default
 
\begin_inset Formula ${\cal O}(n)\subseteq{\cal GL}(n,\mathbb{R})$
\end_inset

, formado por las matrices cuya inversa es su traspuesta.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El 
\series bold
grupo ortogonal especial
\series default
 
\begin_inset Formula ${\cal SO}(n)\subseteq{\cal O}(n)$
\end_inset

, formado por las matrices ortogonales con determinante 1.
\end_layout

\begin_layout Section
Continuidad
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados dos espacios topológicos 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{X})$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}_{Y})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f:X\to Y$
\end_inset

, o 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T}_{X})\to(Y,{\cal T}_{Y})$
\end_inset

 si queremos resaltar la dependencia de las topologías, es 
\series bold
continua
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall V\in{\cal T}_{Y},f^{-1}(V)\in{\cal T}_{X}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados dos espacios topológicos 
\begin_inset Formula $X_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $X_{2}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f:X_{1}\to X_{2}$
\end_inset

 continua, si 
\begin_inset Formula $Y_{1}\subseteq X_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f|_{Y_{1}}:Y_{1}\to X_{2}$
\end_inset

 es continua, por lo que en particular la inclusión 
\begin_inset Formula $i:Y_{1}\to X_{1}$
\end_inset

 es continua, y si 
\begin_inset Formula $f(X_{1})\subseteq Y_{2}\subseteq X_{2}$
\end_inset

, la 
\series bold
restricción del rango
\series default
 
\begin_inset Formula $f':X_{1}\to Y_{2}$
\end_inset

, dada por 
\begin_inset Formula $f'(x)\coloneqq f(x)$
\end_inset

, es continua.
 Además, si 
\begin_inset Formula $X_{2}$
\end_inset

 es un subespacio topológico de 
\begin_inset Formula $X'$
\end_inset

, la 
\series bold
extensión de la imagen
\series default
 
\begin_inset Formula $f':X_{1}\to X'$
\end_inset

 es continua.
\end_layout

\begin_layout Standard
Son funciones continuas:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Las de forma 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T}_{\text{dis}})\to Y$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $f:X\to(Y,{\cal T}_{\text{ind}})$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Las constantes.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
La composición de aplicaciones continuas.
 No obstante, dadas 
\begin_inset Formula $f:X\to Y$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g:Y\to Z$
\end_inset

, que 
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset

 sea continua no significa que lo sean 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

, pues por ejemplo, si tomamos 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 constante, 
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset

 es continua aun si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es discontinua.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
La 
\series bold
suma
\series default
 
\begin_inset Formula $s:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $s(x,y)\coloneqq x+y$
\end_inset

, con la topología usual.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Como los abiertos en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 son uniones de intervalos abiertos, basta ver que, dado 
\begin_inset Formula $(a,b)\subseteq\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $s^{-1}((a,b))=\{(x,y)\mid a<s(x,y)=x+y<b\}=\{(x,y)\mid a-x<y<b-x\}$
\end_inset

.
 Sean 
\begin_inset Formula $(x_{0},y_{0})\in s^{-1}((a,b))$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $t\coloneqq s(x_{0},y_{0})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $B(t,\delta)\subseteq(a,b)$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $(x,y)\in B_{d_{1}}((x_{0},y_{0}),\delta)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
d(s(x,y),s(x_{0},y_{0}))=|x+y-x_{0}-y_{0}|=|(x-x_{0})-(y-y_{0})|\leq\delta
\]

\end_inset

y por tanto 
\begin_inset Formula $s(x,y)\in(a,b)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(x,y)\in s^{-1}((a,b))$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $B_{d_{1}}((x_{0},y_{0}),\delta)\subseteq s^{-1}((a,b))$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s^{-1}((a,b))$
\end_inset

 es abierto.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
El 
\series bold
producto
\series default
 
\begin_inset Formula $p:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p(x,y)\coloneqq xy$
\end_inset

, con la topología usual.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Dado 
\begin_inset Formula $(a,b)\subseteq\mathbb{R}$
\end_inset

, queremos ver que 
\begin_inset Formula $p^{-1}((a,b))=\{(x,y)\mid a<p(x,y)=xy<b\}$
\end_inset

 es abierto.
 Sean 
\begin_inset Formula $(x_{0},y_{0})\in p^{-1}((a,b))$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $t\coloneqq p(x_{0},y_{0})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $r>0$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $B(t,\delta)\subseteq(a,b)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\delta\coloneqq \min\{1,\frac{r}{|x_{0}|+|y_{0}|+1}\}$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $(x,y)\in B_{d_{\infty}}((x_{0},y_{0}),\delta)$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
|p(x,y)-p(x_{0},y_{0})|=|xy-x_{0}y_{0}|=|xy-xy_{0}+xy_{0}-x_{0}y_{0}|\leq\\
\leq|x||y-y_{0}|+|x-x_{0}||y_{0}|\leq(|x_{0}|+\delta)\delta+|y_{0}|\delta=\delta(|x_{0}|+|y_{0}|+\delta)\leq\\
\leq\delta(|x_{0}|+|y_{0}|+1)\leq r,
\end{multline*}

\end_inset

con lo que 
\begin_inset Formula $B_{d_{\infty}}((x_{0},y_{0}),\delta)\subseteq p^{-1}((a,b))$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p^{-1}((a,b))$
\end_inset

 es abierto.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
La 
\series bold
diagonal
\series default
 
\begin_inset Formula $d:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $d(x)\coloneqq (x,\dots,x)$
\end_inset

, con la topología usual.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Basta ver que, dada una bola 
\begin_inset Formula $B_{\infty}(y,r)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $y\in\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, su inversa es un abierto.
 Tenemos 
\begin_inset Formula $d^{-1}(B_{d_{\infty}}(y,r))=\{x\mid d_{\infty}((x,\dots,x),y)<r\}=\{t\mid|x-y_{1}|,\dots,|x-y_{n}|<r\}$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $|x-y_{k}|<r\iff-r<x-y_{k}<r\iff y_{k}-r<x<y_{k}+r\iff x\in B(y_{k},r)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $d^{-1}(B_{d_{\infty}}((x,y),r))=\bigcap_{k=1}^{n}B(y_{k},r)$
\end_inset

, que es abierto.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Una función 
\begin_inset Formula $f:X\to\prod_{i\in I}Y_{i}$
\end_inset

 es continua si y sólo si los componentes 
\begin_inset Formula $f_{i}(x)\coloneqq f(x)_{i}$
\end_inset

 lo son.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Los polinomios reales, con la topología usual.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Se pueden expresar como suma de restricciones del producto a una constante
 (el coeficiente) aplicados a una potencia de la incógnita, teniendo en
 cuenta el punto anterior, y ver que las potencias son continuas porque
 la potencia 
\begin_inset Formula $x\mapsto x^{0}=1$
\end_inset

 lo es y 
\begin_inset Formula $x^{n}=p(x^{n-1},x)=(p\circ((x\mapsto x^{n-1}),Id))(x)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
El determinante 
\begin_inset Formula $\det:{\cal M}_{n}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Es un polinomio.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
La inversa matricial 
\begin_inset Formula $\text{inv}:{\cal GL}(n,\mathbb{R})\to{\cal GL}(n,\mathbb{R})$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Es una función racional en cada componente.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset CommandInset label
LatexCommand label
name "enu:angle"

\end_inset

La aplicación suprayectiva 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{S}^{3}\to{\cal SO}(3)$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
f(w,x,y,z):=\left(\begin{array}{ccc}
w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2} & 2(xy-wz) & 2(wy+xz)\\
2(xy+wz) & w^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2} & 2(yz-wx)\\
2(xz-wy) & 2(yz+wx) & w^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}
\end{array}\right),
\]

\end_inset

que asocia a 
\begin_inset Formula $(\cos\theta,x,y,z)\in\mathbb{S}^{3}$
\end_inset

 la rotación de ángulo 
\begin_inset Formula $2\theta$
\end_inset

 alrededor de la recta 
\begin_inset Formula $\langle(x,y,z)\rangle$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
La función es continua porque lo es en cada componente, al serlo la suma
 y el producto.
 Dado 
\begin_inset Formula $u\coloneqq (\cos\theta,x,y,z)$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $v\coloneqq (x,y,z)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n\coloneqq \Vert v\Vert$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $n=0$
\end_inset

, la matriz es la identidad, que es lo que tendría sentido ya que el ángulo
 sería de 
\begin_inset Formula $2\theta=2k\pi$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{Z}$
\end_inset

, aunque realmente es un caso degenerado porque no hay recta.
 Supongamos 
\begin_inset Formula $n\neq0$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Rotamos sobre el eje 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 para situar a 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 en el plano 
\begin_inset Formula $XZ$
\end_inset

.
 El ángulo es aquel entre la proyección de 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 en el plano 
\begin_inset Formula $XY$
\end_inset

 y el eje 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, que es un 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $(1,0,0)\cdot(x,y,0)=|(1,0,0)||(x,y,0)|\cos\alpha\iff x=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\cos\alpha\iff x,y=0\lor\cos\alpha=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$
\end_inset

.
 Tenemos 
\begin_inset Formula 
\[
\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\pm\sqrt{1-\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\pm\sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\frac{\pm y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
\]

\end_inset

 pero como 
\begin_inset Formula $\alpha<0$
\end_inset

 cuando 
\begin_inset Formula $y>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sin\alpha=-\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$
\end_inset

 y la rotación es
\begin_inset Formula 
\[
A:=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\\
-\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\\
 &  & 1
\end{array}\right).
\]

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $(x,y)=(0,0)$
\end_inset

, esta matriz no está definida, pero entonces no es necesaria la rotación.
 Tras la transformación, 
\begin_inset Formula $x\geq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
Rotamos sobre el eje 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 para situar a 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 en el eje 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

.
 El ángulo es aquel entre el nuevo valor de 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 y el eje 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

, un 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $(0,0,1)\cdot Au=|(0,0,1)||Av|\cos\alpha=|v|\cos\alpha\iff z=n\cos\alpha\iff\cos\alpha=\frac{z}{n}$
\end_inset

.
 Tenemos 
\begin_inset Formula 
\[
\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\pm\sqrt{\frac{n^{2}-z^{2}}{n^{2}}}=\pm\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{n},
\]

\end_inset

 pero como 
\begin_inset Formula $\alpha<0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sin\alpha=-\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{n}$
\end_inset

, y la rotación es
\begin_inset Formula 
\[
B:=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{z}{n} &  & -\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{n}\\
 & 1\\
\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{n} &  & \frac{z}{n}
\end{array}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Hacemos la rotación de ángulo 
\begin_inset Formula $2\theta$
\end_inset

 sobre el eje 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

.
 Tenemos 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\cos(2\theta) & = & \cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=2\cos^{2}\theta-1=2w^{2}-1,\\
\sin(2\theta) & = & 2\sin\theta\cos\theta=2w\sqrt{1-w^{2}}=2w\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=2wn,
\end{eqnarray*}

\end_inset

luego la rotación es
\begin_inset Formula 
\[
C:=\left(\begin{array}{ccc}
2w^{2}-1 & -2wn\\
2wn & 2w^{2}-1\\
 &  & 1
\end{array}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Revertimos las dos rotaciones anteriores.
 Sea 
\begin_inset Formula $t\coloneqq \sqrt{x^{2}+y^{2}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
BA=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{z}{n} &  & -\frac{t}{n}\\
 & 1\\
\frac{t}{n} &  & \frac{z}{n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\frac{x}{t} & \frac{y}{t}\\
-\frac{y}{t} & \frac{x}{t}\\
 &  & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{xz}{nt} & \frac{yz}{nt} & -\frac{t}{n}\\
-\frac{y}{t} & \frac{x}{t}\\
\frac{x}{n} & \frac{y}{n} & \frac{z}{n}
\end{array}\right).
\]

\end_inset

Ahora bien, como todas estas matrices son rotaciones y por tanto son ortonormale
s especiales, su inversa es su traspuesta,
\begin_inset Formula 
\[
D:=(BA)^{-1}=(BA)^{t}=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{xz}{nt} & -\frac{y}{t} & \frac{x}{n}\\
\frac{yz}{nt} & \frac{x}{t} & \frac{y}{n}\\
-\frac{t}{n} &  & \frac{z}{n}
\end{array}\right).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Multiplicando todo, la matriz es
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
DCBA & = & \left(\begin{array}{ccc}
\frac{xz}{nt} & -\frac{y}{t} & \frac{x}{n}\\
\frac{yz}{nt} & \frac{x}{t} & \frac{y}{n}\\
-\frac{t}{n} &  & \frac{z}{n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
2w^{2}-1 & -2wn\\
2wn & 2w^{2}-1\\
 &  & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\frac{xz}{nt} & \frac{yz}{nt} & -\frac{t}{n}\\
-\frac{y}{t} & \frac{x}{t}\\
\frac{x}{n} & \frac{y}{n} & \frac{z}{n}
\end{array}\right)\\
 & \overset{\text{Maxima}}{=} & \left(\begin{array}{ccc}
1-2y^{2}-2z^{2} & 2(xy-wz) & 2(wy+xz)\\
2(xy+wz) & 1-2x^{2}-2z^{2} & 2(yz-wx)\\
2(xz-wy) & 2(yz-wx) & 1-2x^{2}-2y^{2}
\end{array}\right)\\
 & = & \left(\begin{array}{ccc}
w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2} & 2(xy-wz) & 2(wy+xz)\\
2(xy+wz) & w^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2} & 2(yz-wx)\\
2(xz-wy) & 2(yz-wx) & w^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}
\end{array}\right).
\end{eqnarray*}

\end_inset

Claramente esta matriz es ortogonal especial por ser producto de matrices
 ortogonales especiales.
 Vemos que, cuando 
\begin_inset Formula $(x,y)=(0,0)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $z^{2}=n^{2}$
\end_inset

 y tenemos la matriz 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

, que también es ortogonal especial.
 Por otro lado, como todo punto 
\begin_inset Formula $(x,y,z)\in\mathbb{S}^{2}$
\end_inset

 y ángulo 
\begin_inset Formula $\theta\in[0,\pi)$
\end_inset

 se pueden expresar como 
\begin_inset Formula $(\cos\theta,x\sin\theta,y\sin\theta,z\sin\theta)\in\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

 y los elementos de 
\begin_inset Formula ${\cal SO}(3)$
\end_inset

 son todos rotaciones, esta aplicación es suprayectiva.
\end_layout

\end_deeper
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
La aplicación 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{S}^{2}\to{\cal SO}(3)$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
f(x,y,z):=\left(\begin{array}{ccc}
2x^{2}-1 & 2xy & 2xz\\
2xy & 2y^{2}-1 & 2yz\\
2xz & 2yz & 2z^{2}-1
\end{array}\right),
\]

\end_inset

que asocia a cada punto de la esfera la rotación de 
\begin_inset Formula $180^{\text{o}}$
\end_inset

 alrededor de la recta que genera.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Se obtiene tomando 
\begin_inset Formula $w=0$
\end_inset

 en el punto 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand ref
reference "enu:angle"
plural "false"
caps "false"
noprefix "false"

\end_inset

 y simplificando.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Base de una topología
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un espacio topológico 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula ${\cal B}\subseteq{\cal T}$
\end_inset

 es una 
\series bold
base
\series default
 para 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall A\in{\cal T},\exists{\cal A}\subseteq{\cal B}:A=\bigcup{\cal A}$
\end_inset

, en cuyo caso llamamos 
\series bold
elementos básicos
\series default
 a los elementos de 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

.
 Vemos que 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 es una base para 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall U\in{\cal T},\forall x\in U,\exists B\in{\cal B}:x\in B\subseteq U$
\end_inset

, y entonces, si 
\begin_inset Formula ${\cal B}_{Y}$
\end_inset

 es base de 
\begin_inset Formula ${\cal T}_{Y}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T}_{X})\to(Y,{\cal T}_{Y})$
\end_inset

 es continua si y solo si 
\begin_inset Formula $\forall B\in{\cal B}_{Y},f^{-1}(B)\in{\cal T}_{X}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dadas dos topologías 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal T}'$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, decimos que 
\begin_inset Formula ${\cal T}'$
\end_inset

 es 
\series bold
más fina
\series default
 o 
\series bold
más grande
\series default
 que 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

, y que 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

 es 
\series bold
más gruesa
\series default
 o 
\series bold
más pequeña
\series default
 que 
\begin_inset Formula ${\cal T}'$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula ${\cal T}\subseteq{\cal T}'$
\end_inset

.
 Si la inclusión es estricta, decimos que 
\begin_inset Formula ${\cal T}'$
\end_inset

 es 
\series bold
estrictamente más fina
\series default
 o 
\series bold
estrictamente más grande
\series default
 que 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

 y que 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

 es 
\series bold
estrictamente más gruesa
\series default
 o 
\series bold
estrictamente más pequeña
\series default
 que 
\begin_inset Formula ${\cal T}'$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal T}'$
\end_inset

 son 
\series bold
comparables
\series default
 si 
\begin_inset Formula ${\cal T}\subseteq{\cal T}'$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula ${\cal T}'\subseteq{\cal T}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal B}'$
\end_inset

 bases respectivas para las topologías 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal T}'$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula ${\cal T}\subseteq{\cal T}'$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula ${\cal B}\subseteq{\cal T}'$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall B\in{\cal B},\forall x\in B,\exists B'\in{\cal B}':x\in B'\subseteq B$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $[1\implies2]$
\end_inset

 Obvio.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $[2\implies3]$
\end_inset

 Como 
\begin_inset Formula $B\in{\cal T}'$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 se puede expresar como unión de elementos de 
\begin_inset Formula ${\cal B}'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $[3\implies1]$
\end_inset

 Todo 
\begin_inset Formula $A\in{\cal T}$
\end_inset

 se puede expresar como unión de elementos 
\begin_inset Formula $B\in{\cal B}$
\end_inset

.
 Si para 
\begin_inset Formula $x\in B$
\end_inset

 llamamos 
\begin_inset Formula $B_{x}$
\end_inset

 a un elemento 
\begin_inset Formula $B'\in{\cal B}'$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x\in B'\subseteq B$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
A=\bigcup_{\begin{subarray}{c}
B\in{\cal B}\\
B\subseteq A
\end{subarray}}\bigcup_{x\in B}B_{x},
\]

\end_inset

una unión de elementos de 
\begin_inset Formula ${\cal B}'\subseteq{\cal T}'$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $A\in{\cal T}'$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula ${\cal B}\subseteq{\cal P}(X)$
\end_inset

 es una 
\series bold
base
\series default
 para una topología sobre 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall x\in X,\exists B\in{\cal B}:x\in B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\forall B_{1},B_{2}\in{\cal B},\forall x\in B_{1}\cap B_{2},\exists B_{3}\in{\cal B}:x\in B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}$
\end_inset

.
 En tal caso, llamamos 
\series bold
topología generada
\series default
 por 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula ${\cal T}_{{\cal B}}\coloneqq \{U\subseteq X\mid \forall x\in U,\exists B\in{\cal B}\mid x\in B\subseteq U\}$
\end_inset

, y se tiene que 
\begin_inset Formula ${\cal T}_{{\cal B}}$
\end_inset

 es una topología y 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 es base para 
\begin_inset Formula ${\cal T}_{{\cal B}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
topología del límite inferior
\series default
, 
\begin_inset Formula ${\cal T}_{\ell i}$
\end_inset

, a la topología 
\begin_inset Formula ${\cal T}_{\ell i}$
\end_inset

 generada por la base 
\begin_inset Formula ${\cal B}_{\ell i}\coloneqq \{[a,b)\}_{a,b\in\mathbb{R};a<b}$
\end_inset

.
 Para indicar que 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 está equipado con esta topología, escribimos 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}_{\ell i}$
\end_inset

.
 Esta topología es estrictamente más fina que la topología usual de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
En efecto, 
\begin_inset Formula $[a,b)$
\end_inset

 no es abierto con la topología usual de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

, pero tomando la base 
\begin_inset Formula ${\cal B}_{u}\coloneqq \{(a,b)\}_{a,b\in\mathbb{R},a<b}$
\end_inset

 de la topología usual de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

, dado 
\begin_inset Formula $(a,b)\subseteq{\cal B}_{u}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\in(a,b)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $[x,b)\in{\cal B}_{\ell i}$
\end_inset

 cumple 
\begin_inset Formula $x\in[x,b)\subseteq(a,b)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Axiomas de numerabilidad
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

 cumple el 
\series bold
segundo axioma de numerabilidad
\series default
 o es 
\begin_inset Formula $\mathbf{2A\mathbb{N}}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

 admite una base numerable.
 Ejemplos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es finito, toda topología es 2A
\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

 es base finita de 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{\text{dis}})$
\end_inset

 es 2A
\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es numerable, y 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T}_{\text{ind}})$
\end_inset

 siempre es 2A
\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 es 2A
\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Tomamos la base 
\begin_inset Formula $\{(p,q)\}_{p,q\in\mathbb{Q},p<q}$
\end_inset

.
 En efecto, la base usual es 
\begin_inset Formula $\{(a,b)\}_{a,b\in\mathbb{R},a<b}$
\end_inset

, pero dado 
\begin_inset Formula $(a,b)$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $n_{0}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $b-a>\frac{2}{n_{0}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(p_{n}\coloneqq \frac{\lceil an\rceil}{n})_{n\geq n_{0}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(q_{n}\coloneqq \frac{\lfloor bn\rfloor}{n})_{n\geq n_{0}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p_{n}<a+\frac{1}{n}\leq a+\frac{1}{n_{0}}<b-\frac{1}{n_{0}}\leq b-\frac{1}{n}\leq q_{n}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $((p_{n},q_{n}))_{n\geq n_{0}}$
\end_inset

 es una sucesión de intervalos de extremos racionales cuya unión es 
\begin_inset Formula $(a,b)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathbb{R}_{\ell i}$
\end_inset

 no es 2A
\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sea 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 una base de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}_{\ell i}$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $U_{x}\coloneqq [x,x+1)\in{\cal T}_{\ell i}$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $B_{x}\in{\cal B}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x\in B_{x}\subseteq U_{x}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\inf B_{x}=x$
\end_inset

.
 Así, para 
\begin_inset Formula $x\neq y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\inf B_{x}=x\neq y=\inf B_{y}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $B_{x}\neq B_{y}$
\end_inset

, luego hay al menos tantos elementos básicos como números reales y la base
 no es numerable.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}\subseteq{\cal E}(x)$
\end_inset

 es una 
\series bold
base de entornos
\series default
 de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall U\in{\cal E}(x),\exists B\in{\cal B}_{x}:B\subseteq U$
\end_inset

, en cuyo caso llamamos 
\series bold
entornos básicos
\series default
 en 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 a los elementos de 
\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

 satisface el 
\series bold
primer axioma de numerabilidad
\series default
 o es 
\begin_inset Formula ${\bf 1A\mathbb{N}}$
\end_inset

 si todo 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 tiene una base de entornos numerable.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage newpage
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Ejemplos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathbb{R}_{\ell i}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}\coloneqq \{[x,x+\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}^{*}}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo espacio métrico 
\begin_inset Formula $(X,d)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}\coloneqq \{B_{d}(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}^{*}}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo espacio 2A
\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Dada una base 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 numerable, 
\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}\coloneqq \{B\in{\cal B}\mid x\in B\}$
\end_inset

 es base de entornos de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, pues todo 
\begin_inset Formula $U\in{\cal E}(x)$
\end_inset

 puede expresarse como unión de elementos de 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 y basta tomar el elemento de esta unión que contenga a 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, que estará en 
\begin_inset Formula ${\cal B}_{x}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document