#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
Dos funciones 
\begin_inset Formula $f,g:X\to Y$
\end_inset

 son 
\series bold
homotópicas
\series default
, 
\begin_inset Formula $f\simeq g$
\end_inset

, si existe 
\begin_inset Formula $F:X\times[0,1]\to Y$
\end_inset

 continua tal que 
\begin_inset Formula $\forall x\in X,(F(x,0)=f(x)\land F(x,1)=g(x))$
\end_inset

, en cuyo caso 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es una 
\series bold
homotopía
\series default
.
 De la continuidad de 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 se obtiene la de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula ${\cal C}(X,Y)$
\end_inset

 es el espacio de las funciones continuas 
\begin_inset Formula $X\to Y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es un camino en 
\begin_inset Formula ${\cal C}(X,Y)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Lema del pegamiento:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $X:= A\cup B$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 cerrados en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f:X\to Y$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $f|_{A}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f|_{B}$
\end_inset

 son continuas con la topología de subespacio, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Dado un cerrado 
\begin_inset Formula $C\subseteq Y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f^{-1}(C)\cap X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f^{-1}(C)\cap Y$
\end_inset

 son continuas respectivamente en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 por hipótesis, luego también lo son en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 cerrados, y su unión, 
\begin_inset Formula $f^{-1}(C)$
\end_inset

, es cerrada.
 Por tanto, dado un abierto 
\begin_inset Formula $U\subseteq Y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f^{-1}(U)=X\setminus(X\setminus f^{-1}(U))=X\setminus f^{-1}(X\setminus U)$
\end_inset

, que es abierto.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La relación ser funciones homotópicas es de equivalencia, y llamamos 
\begin_inset Formula $[X,Y]:= {\cal C}(X,Y)\slash\simeq$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $f,g,h:X\to Y$
\end_inset

 continuas.
 
\begin_inset Formula $F(x,t):= f(x)$
\end_inset

 es una homotopía de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\simeq$
\end_inset

 es reflexiva.
 Si 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es una homotopía de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $G(x,t):= F(x,1-t)$
\end_inset

 lo es de 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\simeq$
\end_inset

 es simétrica.
 Si 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 son homotopías respectivas de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
H(x,t):=\begin{cases}
F(x,2t), & 0\leq t\leq\frac{1}{2};\\
G(x,2t-1), & \frac{1}{2}\leq t\leq1;
\end{cases}
\]

\end_inset

es una homotopía de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $H|_{X\times[0,\frac{1}{2}]}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $H|_{X\times[\frac{1}{2},1]}$
\end_inset

 son continuas y, por el lema del pegamento, 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 también, y que 
\begin_inset Formula $H(x,0)=f(x)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $H(x,1)=h(x)$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es obvio.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 un espacio topológico e 
\begin_inset Formula $Y\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 un subespacio convexo, todas las funciones continuas 
\begin_inset Formula $X\to Y$
\end_inset

 son homotópicas
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
, pues si 
\begin_inset Formula $f,g:X\to Y$
\end_inset

 son continuas, basta tomar la homotopía 
\begin_inset Formula $F:X\times[0,1]\to Y$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $F(x,t):= (1-t)f(x)+tg(x)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
 En particular 
\begin_inset Formula $[X,Y]$
\end_inset

 es unipuntual.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $f,g:X\to Y$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $h,j:Y\to Z$
\end_inset

 funciones continuas, 
\begin_inset Formula $F:X\times[0,1]\to Y$
\end_inset

 una homotopía entre 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 una homotopía de 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $(x,t)\mapsto H(F(x,t),t)$
\end_inset

 es una homotopía de 
\begin_inset Formula $h\circ f$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $j\circ g$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Equivalencia homotópica
\end_layout

\begin_layout Standard
Un subespacio 
\begin_inset Formula $Y\subseteq X$
\end_inset

 es un 
\series bold
retracto
\series default
 de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 si existe 
\begin_inset Formula $r:X\to Y$
\end_inset

 continua tal que 
\begin_inset Formula $r|_{Y}=1_{Y}$
\end_inset

, en cuyo caso 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 es una 
\series bold
retracción
\series default
.
 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es un 
\series bold
retracto de deformación
\series default
 de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 si existe una retracción 
\begin_inset Formula $r:X\to Y$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $i\circ r\simeq1_{X}$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $i:Y\to X$
\end_inset

 es la inclusión, y es un 
\series bold
retracto fuerte de deformación
\series default
 si podemos tomar 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 para el que exista una homotopía 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $i\circ r$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $1_{X}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall(y,t)\in Y\times[0,1],F(y,t)=y$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dos espacios 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 son 
\series bold
homotópicamente equivalentes
\series default
, 
\begin_inset Formula $X\simeq Y$
\end_inset

, si existen 
\begin_inset Formula $f:X\to Y$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g:Y\to X$
\end_inset

 continuas con 
\begin_inset Formula $g\circ f\simeq1_{X}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f\circ g\simeq1_{Y}$
\end_inset

, en cuyo caso llamamos 
\series bold
equivalencias homotópicas
\series default
 a 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado otro espacio 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Phi:[X,Z]\to[Y,Z]$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\Phi([h]):= [h\circ g]$
\end_inset

 es biyectiva con inversa 
\begin_inset Formula $\Phi^{-1}([j])=[j\circ f]$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $\Psi:[Z,X]\to[Z,Y]$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\Psi([h]):= [f\circ h]$
\end_inset

 es biyectiva con inversa 
\begin_inset Formula $\Psi^{-1}([j])=[g\circ j]$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $h\simeq j$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $h\circ g\simeq j\circ g$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\Phi$
\end_inset

 está bien definida y, análogamente, 
\begin_inset Formula $\Psi$
\end_inset

 está bien definida.
 Sean 
\begin_inset Formula $\Phi'([j])\coloneqq [j\circ f]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Psi'([j])=[g\circ j]$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $\Phi(\Phi'([h]))=\Phi([h\circ g])=[h\circ g\circ f]=[h\circ1_{X}]=[h]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Phi'(\Phi([j]))=\Phi'([j\circ f])=[j\circ f\circ g]=[j\circ1_{Y}]=[j]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Phi'=\Phi^{-1}$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $\Psi(\Psi'([h]))=\Psi([g\circ h])=[f\circ g\circ h]=[h]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Psi'(\Psi([h]))=\Psi'([f\circ h])=[g\circ f\circ h]=[h]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Psi'=\Psi^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 son homeomorfos, 
\begin_inset Formula $X\simeq Y$
\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
, pues si 
\begin_inset Formula $f:X\to Y$
\end_inset

 es el homeomorfismo y 
\begin_inset Formula $g\coloneqq f^{-1}:Y\to X$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $g\circ f=1_{X}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f\circ g=1_{Y}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 son equivalencias homotópicas
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
El recíproco no se cumple:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
La corona circular 
\begin_inset Formula $\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\in[0,1]\}$
\end_inset

 es homotópicamente equivalente, pero no homeomorfa, a 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sea 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 la corona.
 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 no es homeomorfa a 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 porque, al quitar un punto a cada una, 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 queda disconexa pero 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 no.
 Para la homotopía tomamos las funciones 
\begin_inset Formula $A\overset{f}{\to}\mathbb{S}^{1}\overset{g}{\to}A$
\end_inset

 dadas por 
\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq \frac{x}{\Vert x\Vert}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es la inclusión.
 Entonces 
\begin_inset Formula $F(x,t)\coloneqq (1-t)f(x)+tx$
\end_inset

 es una homotopía de 
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $1_{A}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f\circ g=1_{\mathbb{S}^{1}}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$
\end_inset

 es homotópicamente equivalente, pero no homeomorfo, a 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
No son homeomorfos porque 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{n}$
\end_inset

 es compacto pero 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$
\end_inset

 no.
 Para la homotopía tomamos 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}\overset{f}{\to}\mathbb{S}^{1}\overset{g}{\to}\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$
\end_inset

 dadas por 
\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq \frac{x}{\Vert x\Vert}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq x$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $F(x,t)\coloneqq (1-t)f(x)+tx$
\end_inset

 es una homotopía de 
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $1_{\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f\circ g=1_{\mathbb{S}^{1}}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es 
\series bold
contráctil
\series default
 si es homotópicamente equivalente a un espacio unipuntual, y es fácil ver
 que todo 
\begin_inset Formula $X\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 convexo es contráctil.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 espacios topológicos con 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 contráctil, todas las funciones continuas 
\begin_inset Formula $X\to Y$
\end_inset

 son homotópicas.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Basta ver que todas son homotópicas a una misma función constante.
 Sean 
\begin_inset Formula $\{p\}$
\end_inset

 el espacio unipuntual homotópicamente equivalente a 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $h:Y\to\{p\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $j:\{p\}\to Y$
\end_inset

 las equivalencias homotópicas, e 
\begin_inset Formula $y_{0}\coloneqq k(p)\in Y$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $f:X\to Y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f=1_{Y}\circ f\simeq j\circ h\circ f=(x\mapsto y_{0})$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Todo espacio contráctil es conexo por caminos.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 homotópicamente equivalente a 
\begin_inset Formula $\{p\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X\overset{f}{\to}\{p\}\overset{g}{\to}X$
\end_inset

 las equivalencias homotópicas, 
\begin_inset Formula $x_{0}\coloneqq g(p)=g(f(X))$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F:X\times[0,1]\to X$
\end_inset

 la homotopía de 
\begin_inset Formula $g\circ f$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $1_{X}$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

, definimos el camino 
\begin_inset Formula $\gamma_{x}(t)\coloneqq F(x,t)$
\end_inset

 que une 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, y entonces, para 
\begin_inset Formula $x,y\in X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(\dot{-}\gamma_{x}(t))\dot{+}\gamma_{y}(t)$
\end_inset

 es un camino de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
invariante homotópico
\series default
 es una propiedad que se conserva por equivalencias homotópicas.
 Son invariantes homotópicos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
La conexión.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $X\simeq Y$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 conexo e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 disconexo, sean 
\begin_inset Formula $\{U,V\}$
\end_inset

 una separación por abiertos de 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $X\overset{f}{\to}Y\overset{g}{\to}X$
\end_inset

 equivalencias homotópicas, como 
\begin_inset Formula $f(X)$
\end_inset

 es conexo, 
\begin_inset Formula $f(X)\subseteq U$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $f(X)\subseteq V$
\end_inset

.
 Si, por ejemplo, 
\begin_inset Formula $f(X)\subseteq U$
\end_inset

, dado 
\begin_inset Formula $y\in V$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(g(y))=U$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $f\circ g\simeq1_{X}$
\end_inset

, existe una homotopía 
\begin_inset Formula $F:Y\times[0,1]\to Y$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $f\circ g$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $1_{Y}$
\end_inset

 y por tanto un camino 
\begin_inset Formula $\gamma(t)\coloneqq F(y,t)$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $f(g(y))\in U$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $y\in V\#$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
La conexión por caminos.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $X\simeq Y$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 conexo por caminos, sean 
\begin_inset Formula $X\overset{f}{\to}Y\overset{g}{\to}X$
\end_inset

 las equivalencias homotópicas, 
\begin_inset Formula $x,y\in Y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\gamma:[0,1]\to X$
\end_inset

 un camino que une 
\begin_inset Formula $g(x)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $g(y)$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $f\circ\gamma$
\end_inset

 une 
\begin_inset Formula $f(g(x))$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(g(y))$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $F:Y\times[0,1]\to Y$
\end_inset

 la homotopía de 
\begin_inset Formula $f\circ g$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $1_{Y}$
\end_inset

 y, para cada 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sigma_{p}(t)\coloneqq F(p,t)$
\end_inset

 un camino que une 
\begin_inset Formula $f(g(p))$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $(\dot{-}\sigma_{x})\dot{+}(f\circ\gamma)\dot{+}\sigma_{y}$
\end_inset

 une 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La compacidad no es un invariante topológico
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
, pues 
\begin_inset Formula $[0,1]\simeq(0,1)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
 Tampoco lo es la propiedad Hausdorff.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Dados 
\begin_inset Formula $X\coloneqq \{0\}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y\coloneqq \{0,1\}$
\end_inset

 con sus topologías indiscretas y 
\begin_inset Formula $X\overset{f}{\to}Y\overset{g}{\to}X$
\end_inset

 dadas por 
\begin_inset Formula $f(0)=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g(x)=0$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
F(y,t):=\begin{cases}
0, & t\leq\frac{1}{2};\\
y, & t>\frac{1}{2};
\end{cases}
\]

\end_inset


\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es una homotopía de 
\begin_inset Formula $(g\circ f)(x)=0$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $1_{Y}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f\circ g=1_{X}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $X\simeq Y$
\end_inset

 pero 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es Hausdorff e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 no.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Circunferencia
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
aplicación recubridora
\series default
 es una función 
\begin_inset Formula $r:X\to Y$
\end_inset

 sobreyectiva tal que para todo 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $U\in{\cal E}(x)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $r:U\to r(U)$
\end_inset

 homeomorfismo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean un camino 
\begin_inset Formula $\alpha:[0,1]\to\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\theta_{0}\in\mathbb{R}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $e(\theta_{0})=\alpha_{0}$
\end_inset

, existe un único camino 
\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}:[0,1]\to\mathbb{R}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $e(\tilde{\alpha}(s))=\alpha(s)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(0)=\theta_{0}$
\end_inset

, llamado 
\series bold
levantamiento
\series default
 de 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 a través de 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 determinado por la condición inicial 
\begin_inset Formula $\theta_{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $r:X\to Y$
\end_inset

 una aplicación recubridora, 
\begin_inset Formula $\alpha:[0,1]\to Y$
\end_inset

 un camino, 
\begin_inset Formula $x_{0}\in X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y_{0}\coloneqq r(x_{0})$
\end_inset

, existe un único camino 
\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}:[0,1]\to X$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\alpha=r\circ\tilde{\alpha}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(0)=r_{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 un abierto de 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

, para cada 
\begin_inset Formula $x\in r^{-1}(V)$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $U_{x}\in{\cal E}(x)$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $r|_{U_{x}}$
\end_inset

 es un homeomorfismo, luego 
\begin_inset Formula $V_{x}\coloneqq V\cap f(U_{X})$
\end_inset

 es abierto, con lo que 
\begin_inset Formula $f^{-1}(V_{x})$
\end_inset

 es abierto con 
\begin_inset Formula $x\in f^{-1}(V_{x})\subseteq f^{-1}(V)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $r^{-1}(V)=\bigcup_{x\in r^{-1}(V)}V_{x}$
\end_inset

, que es abierto.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Para 
\begin_inset Formula $t\in[0,1]$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $U_{t}\in{\cal E}(t)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $r|_{U_{t}}$
\end_inset

 homeomorfismo, y como 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 es continua, existe 
\begin_inset Formula $I_{t}\subseteq[0,1]$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\alpha(I_{t})\subseteq r(U_{t})$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $\alpha([0,1])$
\end_inset

 es compacto, existe un subrecubrimiento finito 
\begin_inset Formula $\{I_{t_{1}},\dots,I_{t_{n}}\}$
\end_inset

 del recubrimiento 
\begin_inset Formula $\{I_{t}\}_{t\in[0,1]}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $[0,1]$
\end_inset

, y podemos suponer 
\begin_inset Formula $t_{1}<\dots<t_{n}$
\end_inset

.
 En cada 
\begin_inset Formula $I_{t_{k}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha(I_{t_{k}})\subseteq r(U_{k})$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $\alpha(I_{t_{k}})$
\end_inset

 estará en una componente conexa de 
\begin_inset Formula $r(U_{k})$
\end_inset

 y, por el homeomorfismo, si 
\begin_inset Formula $s\in I_{t_{k-1}}\cap I_{t_{k}}$
\end_inset

, existe una componente conexa de 
\begin_inset Formula $r^{-1}(r(U_{k}))$
\end_inset

 que contiene a la componente conexa de 
\begin_inset Formula $r^{-1}(\alpha(I_{t_{k}}))$
\end_inset

 donde se encuentra el elemento de 
\begin_inset Formula $r^{-1}(\alpha(s))$
\end_inset

 elegido al establecer un levantamiento de 
\begin_inset Formula $\alpha|_{I_{t_{k-1}}}$
\end_inset

 (si 
\begin_inset Formula $k=1$
\end_inset

, tomamos una componente arbitraria), luego en esta componente conexa definimos
 un levantamiento de 
\begin_inset Formula $\alpha|_{I_{t_{k}}}$
\end_inset

 que concatenamos a la anterior, y concatenando sucesivamente obtenemos
 un levantamiento de 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
aplicación exponencial
\series default
 es la aplicación recubridora 
\begin_inset Formula $e:\mathbb{R}\to\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $e(\theta)\coloneqq (\cos(2\pi\theta),\sin(2\pi\theta))$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
lazo
\series default
 es un camino en el que el punto inicial y el final coinciden.
 Si 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 es continua, 
\begin_inset Formula $\alpha_{f}\coloneqq f\circ e:[0,1]\to\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 es un lazo, y dado 
\begin_inset Formula $\theta_{0}\in e^{-1}\{f(1,0)\}$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}$
\end_inset

 el levantamiento de 
\begin_inset Formula $\alpha_{f}$
\end_inset

 a través de 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 determinado por 
\begin_inset Formula $\theta_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\theta_{1}\coloneqq \tilde{\alpha}_{f}(1)=:\theta_{0}+n$
\end_inset

 para algún 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}$
\end_inset

 que no depende de 
\begin_inset Formula $\theta_{0}$
\end_inset

.
 Llamamos 
\series bold
grado
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\deg f\coloneqq n=\tilde{\alpha}_{f}(1)-\tilde{\alpha}_{f}(0)$
\end_inset

.
 Así:
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\backslash
item $
\backslash
alpha_f(s)=f(e(s))=-e(s)$, $e({
\backslash
tilde
\backslash
alpha}_f(s))=
\backslash
alpha_f(s)=-e(s)=e(s+
\backslash
frac12)$, tomamos ${
\backslash
tilde
\backslash
alpha}_f(s):=s+
\backslash
frac12$, $
\backslash
deg(f)=(1+
\backslash
frac12)-(0+
\backslash
frac12)=1$.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\backslash
item $
\backslash
alpha_f(s)=f(e(s))=(
\backslash
cos^2(2
\backslash
pi s)-
\backslash
sin^2(2
\backslash
pi s),2
\backslash
cos(2
\backslash
pi s)
\backslash
sin(2
\backslash
pi s))=(
\backslash
cos(4
\backslash
pi s),
\backslash
sin(4
\backslash
pi s))=e(2s)$, $e({
\backslash
tilde
\backslash
alpha}_f(s)=e(2s)$, tomamos ${
\backslash
tilde
\backslash
alpha}_f(s):= 2s$, $
\backslash
deg(f)=2
\backslash
cdot1-2
\backslash
cdot0=2$.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\backslash
item $
\backslash
alpha_f(s)=f(e(s))=f(e^{2
\backslash
pi is})=e^{2
\backslash
pi ins}=e(ns)$, $e({
\backslash
tilde
\backslash
alpha}_f(s))=
\backslash
alpha_f(s)=e(ns)$, tomamos ${
\backslash
tilde
\backslash
alpha}_f(s):= ns$, $
\backslash
deg f={
\backslash
tilde
\backslash
alpha}_f(1)-{
\backslash
tilde
\backslash
alpha}_f(0)=n1-n0=n$.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\backslash
item $
\backslash
alpha_f(s)=f(e(s))=(
\backslash
cos(2
\backslash
pi s),-
\backslash
sin(2
\backslash
pi s))=(
\backslash
cos(-2
\backslash
pi s),
\backslash
sin(-2
\backslash
pi s))=e(-s)$, tomamos ${
\backslash
tilde
\backslash
alpha}_f(s):= -s$, $
\backslash
deg(f)={
\backslash
tilde
\backslash
alpha}_f(1)-{
\backslash
tilde
\backslash
alpha}_f(0)=-1-(-0)=-1$.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\backslash
item $
\backslash
alpha_f(s)=f(e(s))=(-
\backslash
cos(2
\backslash
pi s),
\backslash
sin(2
\backslash
pi s))=-(
\backslash
cos(2
\backslash
pi s),-
\backslash
sin(2
\backslash
pi s))=(
\backslash
cos(2
\backslash
pi s-
\backslash
pi),-
\backslash
sin(2
\backslash
pi s-
\backslash
pi))=(
\backslash
cos(
\backslash
pi-2
\backslash
pi s),
\backslash
sin(
\backslash
pi-2
\backslash
pi s))=e(
\backslash
frac12-s)$, tomamos ${
\backslash
tilde
\backslash
alpha}_f(s):=
\backslash
frac12-s$, $
\backslash
deg(f)={
\backslash
tilde
\backslash
alpha}_f(1)-{
\backslash
tilde
\backslash
alpha}_f(0)=
\backslash
frac12-1-
\backslash
frac12+0=-1$.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 no es sobreyectiva (por ejemplo, si es constante), 
\begin_inset Formula $\deg f=0$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 no es sobreyectiva, existe 
\begin_inset Formula $z_{0}\in\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $f(\mathbb{S}^{1})\subseteq\mathbb{S}^{1}\setminus\{z_{0}\}\cong(0,1)$
\end_inset

 con el homomorfismo 
\begin_inset Formula $h:(0,1)\to\mathbb{S}^{1}\setminus\{z_{0}\}$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $h(t)\coloneqq e(t+\theta_{0})$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $e(\theta_{0})\coloneqq z_{0}$
\end_inset

.
 Por tanto, si 
\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s)\coloneqq f(e(s))$
\end_inset

, existe un levantamiento de 
\begin_inset Formula $\alpha_{f}$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s)\coloneqq \theta_{0}+h^{-1}(\alpha_{f}(s))$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $e(\tilde{\alpha}_{f}(s))=e(\theta_{0}+e|_{\mathbb{S}^{1}\setminus\{z_{0}\}}^{-1}(\alpha_{f}(s))-\theta_{0})=\alpha_{f}(s)$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(1)-\tilde{\alpha}_{f}(0)=h^{-1}(\alpha_{f}(1))-h^{-1}(\alpha_{f}(0))\overset{\alpha_{f}(1)=\alpha_{f}(0)}{=}0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\deg1_{\mathbb{S}^{1}}=1$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sea 
\begin_inset Formula $\alpha_{f}(s)\coloneqq f(e(s))=e(s)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $e(\tilde{\alpha}_{f}(s))=\alpha(s)=e(s)$
\end_inset

, y tomamos 
\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}_{f}(s)\coloneqq s$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\deg f=\tilde{\alpha}_{f}(1)-\tilde{\alpha}_{f}(0)=1-0=1$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es la 
\series bold
función antípoda
\series default
, 
\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq -x$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\deg f=1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f(x,y)\coloneqq (x^{2}-y^{2},2xy)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\deg f=2$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dado 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $f(z)\coloneqq z^{n}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\deg f=n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f(x,y)=(x,-y)$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $f(x,y)=(-x,y)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\deg f=-1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $F:[0,1]\times[0,1]\to\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 es continua y 
\begin_inset Formula $\theta_{0}\in\mathbb{R}$
\end_inset

 cumple 
\begin_inset Formula $e(\theta_{0})=F(0,0)$
\end_inset

, existe una única 
\begin_inset Formula $\tilde{F}:[0,1]\times[0,1]\to\mathbb{R}$
\end_inset

 continua con 
\begin_inset Formula $e(\tilde{F}(s,t))=F(s,t)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tilde{F}(0,0)=\theta_{0}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Existe una partición $
\backslash
{I_a
\backslash
}
\backslash
subseteq[0,1]$ y una $
\backslash
{J_b
\backslash
}
\backslash
subseteq[0,1]$ tal que $F(I_a
\backslash
times I_b)
\backslash
subseteq:V_{ab}
\backslash
subsetneq
\backslash
mathbb{S}^1$.
 Para $I_0
\backslash
times J_0$, con lo que $e^{-1}(V_{ab})=:
\backslash
bigcup_iU_{abi}$.
 Entonces, para $I_1
\backslash
times J_1$ podemos hacer esto y, una vez hecho esto, lo extendemos por continuid
ad <<a la derecha>>, y luego hacemos lo mismo <<hacia arriba>>.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 no es contráctil.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
De serlo, habría $f:
\backslash
mathbb{S}^1
\backslash
to
\backslash
{z_0
\backslash
}$ y $g:
\backslash
{z_0
\backslash
}
\backslash
to
\backslash
mathbb{S}^1$ con $g
\backslash
circ f
\backslash
simeq 1_{
\backslash
mathbb{S}^1}$, pero $g
\backslash
circ f$ es constante y tiene pues grado 0 y $1_{
\backslash
mathbb{S}^1}$ tiene grado 1.$#$
\end_layout

\end_inset

 Como 
\series bold
teorema
\series default
, 
\begin_inset Formula $f,g:\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 son homotópicas si y sólo si 
\begin_inset Formula $\deg f=\deg g$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $z\mapsto z^{n}\simeq z\mapsto z^{m}\iff n=m$
\end_inset

: $f_n
\backslash
simeq f_m
\backslash
iff n=
\backslash
deg f_n=
\backslash
deg f_m=m$
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Ahora el teorema:
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\backslash
begin{itemize}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\backslash
item{$
\backslash
implies]$} Sea $I:= [0,1]$, existe una homotopía $H:
\backslash
mathbb{S}^1
\backslash
times I
\backslash
to
\backslash
mathbb{S}^1$ y podemos tomar $F:I
\backslash
times I
\backslash
to
\backslash
mathbb{S}^1$ como $F(s,t):= H(e(s),t)$.
 Sea $
\backslash
alpha_f:I
\backslash
to
\backslash
mathbb{S}^1$ dado por $
\backslash
alpha_f(s):= f(e(s))$, $
\backslash
deg f=
\backslash
tilde
\backslash
alpha_f(1)-
\backslash
tilde
\backslash
alpha_f(0)$.
 Queremos ver que $
\backslash
tilde
\backslash
alpha_f(1)-
\backslash
tilde
\backslash
alpha_f(0)=
\backslash
tilde
\backslash
alpha_g(1)-
\backslash
tilde
\backslash
alpha_g(0)$.
 Sea $
\backslash
tilde F:I
\backslash
times I
\backslash
to
\backslash
mathbb R$ el levantamento de $F$.
 Entonces $F(s,0)=H(e(s),0)=f(e(s))=
\backslash
alpha_f(s)$, y análogamente $F(s,1)=
\backslash
alpha_g(s)$, luego $F$ es una homotopía entre $
\backslash
alpha_f$ y $
\backslash
alpha_g$.
 Entonces $e(
\backslash
tilde F(s,0))=F(s,0)=
\backslash
alpha_f(s)$ y $e(
\backslash
tilde F(s,1))=
\backslash
alpha_g(s)$.
 Ahora bien, sea $
\backslash
tilde D(t):=
\backslash
tilde F(1,t)-
\backslash
tilde F(0,t)$, basta ver que $
\backslash
tilde D$ es constante, pues entonces $
\backslash
deg f=
\backslash
tilde D(0)$ y $
\backslash
deg g=
\backslash
tilde D(1)$.
 Para ello vemos que $
\backslash
tilde D(t)$ es entero, pues $e(
\backslash
tilde F(1,1))=F(1,t)=H(e(1),t)=H(e(0),t)=F(0,t)=e(
\backslash
tilde F(1,1))$, y al ser la exponencial la misma, la diferencia es entera.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\backslash
item[$
\backslash
impliedby]$] Si $f(1,0)=g(1,0)$, como $
\backslash
alpha_f(0)=
\backslash
alpha_g(0)=f(1,0)=:z_0
\backslash
in
\backslash
mathbb{S}^1$, sea $
\backslash
theta_0$ con $e(
\backslash
theta_0)=z_0$, tomando levantamientos con $
\backslash
tilde
\backslash
alpha_f(0)=
\backslash
tilde
\backslash
alpha_g(0)=
\backslash
theta_0$, como los grados coinciden, $
\backslash
tilde
\backslash
alpha_f(1)=
\backslash
tilde
\backslash
alpha_g(1)$.
 Sea $
\backslash
tilde F(s,t):=(1-t)
\backslash
tilde
\backslash
alpha_f(s)+t
\backslash
tilde
\backslash
alpha_g(s)$ la homotopía canónica entre $
\backslash
tilde
\backslash
alpha_f$ y $
\backslash
tilde
\backslash
alpha_g$.
 Defino $F(s,t):=e(
\backslash
tilde F(s,t))$, que claramente es continua con $F(s,0)=e(
\backslash
tilde F(s,0))=e(
\backslash
tilde
\backslash
alpha_f(s))=
\backslash
alpha_f(s)$ y análogamente $F(s,1)=
\backslash
alpha_g(s)$, luego es una homotopía.
 Sea $
\backslash
tilde H(e(s),t):=
\backslash
tilde F(s,t)$, que está bien definida porque $
\backslash
tilde F(0,t)=
\backslash
tilde F(1,t)$, y definimos $H:= e
\backslash
circ
\backslash
tilde H$, y $H$ es una homotopía entre $f$ y $g$.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Sea ahora $f(1,0)
\backslash
neq g(1,0)$.
 Sea $g':=R_{
\backslash
theta_0}
\backslash
circ g$, donde $R_
\backslash
theta$ es la rotación de ángulo $
\backslash
theta$ y $
\backslash
theta_0$ es tal que $R_{
\backslash
theta_0}(g(1,0))=f(1,0)$.
 Las funciones $f$ y $g'$ son homotópicas, y entre $g$ y $g'$ hay una homotopía
 $g$ y $g'$ dada por $G(z,t):= R_{
\backslash
theta_0t}(g(z))$.
 Esto completa la prueba.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\backslash
end{itemize}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Así, 
\begin_inset Formula $[\mathbb{S}^{1},\mathbb{S}^{1}]$
\end_inset

 es biyectivo con 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
, pues la clase de homotopía de una función continua 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 es la de todas las funciones continuas de igual grado
\end_layout

\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Section
Teorema del punto fijo de Brower
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 es continua, 
\begin_inset Formula $\deg f=0$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 admite una extensión continua a 
\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{2}:= B(0,1)\subseteq\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

, es decir, una función continua 
\begin_inset Formula $\hat{f}:\mathbb{D}^{2}\to\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\hat{f}(x)=f(x)$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x\in\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $\deg f=0$
\end_inset

, existe una homotopía 
\begin_inset Formula $F:\mathbb{S}^{1}\times[0,1]\to\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 de una función constante en 
\begin_inset Formula $z_{0}\in\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
 Entonces tomamos 
\begin_inset Formula $\hat{f}:\mathbb{D}^{2}\to\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $\hat{f}(re(\theta)):= F(e(\theta),r)$
\end_inset

, que está bien definida porque, si 
\begin_inset Formula $re(\theta)=r'e(\theta')$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $(r,\theta)\neq(r',\theta')$
\end_inset

, debe ser 
\begin_inset Formula $r=r'=0$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $F(e(\theta),r)=z_{0}=F(e(\theta'),r')$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Basta ver que 
\begin_inset Formula $F:\mathbb{S}^{1}\times[0,1]\to\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $F(z,t):= \hat{f}(zt)$
\end_inset

 es una homotopía de la función constante en 
\begin_inset Formula $\hat{f}(0)$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene el mismo grado que una función constante, 0.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Así, no existe una retracción de 
\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{2}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

, y por conexión tampoco existe una de 
\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{1}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{0}$
\end_inset

.
 
\series bold
Teorema del punto fijo de Brower:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Toda 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{D}^{1}\to\mathbb{D}^{1}$
\end_inset

 continua tiene algún punto fijo.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si $f(-1)=-1$ o $f(1)=1$ hemos terminado.
 De lo contrario $f(-1)>-1$ y $f(1)<1$, y definiendo $g(x):= f(x)-x$, $g(-1)>0$
 y $g(1)<0$, y basta aplicar el teorema de Bolzano.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Toda 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{D}^{2}\to\mathbb{D}^{2}$
\end_inset

 tiene un punto fijo.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Basta suponer que no lo tiene y construir $g:
\backslash
mathbb{D}^2
\backslash
to
\backslash
mathbb{S}^1$ continua tal que $g|_{
\backslash
mathbb{S}^1}=1_{
\backslash
mathbb{S}^1}$.
 Si no lo tiene, definimos $g$ como la función que a cada $z$ le asigna
 el punto de corte del segmento $[z,f(z)]$ con la circunferencia más próximo
 a $z$.
 Este punto está en la imagen de $
\backslash
gamma(t):= z+t(f(z)-z)$, para algún $t<0$.
 Entonces $
\backslash
gamma(t)
\backslash
in
\backslash
mathbb{S}^1
\backslash
iff
\backslash
Vert
\backslash
gamma(t)
\backslash
Vert^2=1$, pero 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
$$
\backslash
Vert
\backslash
gamma(t)
\backslash
Vert^2=
\backslash
langle
\backslash
gamma(t),
\backslash
gamma(t)
\backslash
rangle=
\backslash
Vert z
\backslash
Vert^2+2t
\backslash
langle z,f(z)-z
\backslash
rangle+t^2
\backslash
Vert f(z)-z
\backslash
Vert^2.$$ Llamando $a(z):= 
\backslash
Vert f(z)-z
\backslash
Vert^2$, $b(z):= 
\backslash
langle z,f(z)-z
\backslash
rangle$ y $c(z):= 
\backslash
Vert z
\backslash
Vert^2-1$, todas continuas, $t$ cumple $a(z)t^2+2b(z)t+c(z)=0$, luego
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
$$t(z)={-2b(z)-
\backslash
sqrt{4b(z)^2-4a(z)c(z)}
\backslash
over2a(z)}={-b(z)-
\backslash
sqrt{b(z)^2-a(z)c(z)}
\backslash
over a(z)}.$$
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Esto es correcto porque $a$ no se anula al no haber puntos fijos y porque,
 como $a(z)c(z)<0$, $
\backslash
sqrt{4b(z)^2-4a(z)b(z)}>2b(z)$ y el resultado para $t<0$ es único.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Teorema de la bola peluda
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
campo de vectores
\series default
 sobre 
\begin_inset Formula $X\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 es una función continua 
\begin_inset Formula $v:X\to\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, y es 
\series bold
tangente
\series default
 a 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 si para todo 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

, existen un camino 
\begin_inset Formula $\gamma:[a,b]\to X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $t_{0}\in[0,1]$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $\gamma(t_{0})=x$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\gamma'(t_{0})=v(x)$
\end_inset

.
 Un 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 es un 
\series bold
punto estacionario
\series default
 de 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $v(x)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, todo campo de vectores 
\begin_inset Formula $v:\mathbb{D}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

, bien tiene un punto estacionario, bien existen 
\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $v(p)$
\end_inset

 apunta directamente hacia fuera de 
\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{2}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 apunta directamente hacia dentro.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Supongamos que $v$ no tiene un punto estacionario, y sean $f(z):= {v(z)
\backslash
over
\backslash
Vert v(z)
\backslash
Vert}$ y $g(z):= -f(z)$.
 Entonces $f,g:
\backslash
mathbb{S}^1
\backslash
to
\backslash
mathbb{S}^1$ son continuas.
 Como $f$ admite una extensión continua a $
\backslash
mathbb{D}^2$ dada por $F(z,t):= {v(tz)
\backslash
over
\backslash
Vert v(tz)
\backslash
Vert$, tiene grado 0.
 Si no hubiera $p_0
\backslash
in
\backslash
mathbb{S}^1$ que apunte directamente hacia dentro, podríamos definir 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
$
\backslash
tilde F(z,t):={tz+(1-t)v(z)
\backslash
over
\backslash
Vert tz+(1-t)v(z)
\backslash
Vert$ en $
\backslash
mathbb{S}^1
\backslash
times[0,1]$, y esta función es continua y cumple $F(z,0)=f(z)$ y $F(z,1)=z$,
 luego la identidad es homotópica a $f$ y $f$ tiene grado 1.$#$.
 Análogamente y tomando $G(z,t):={tz-(1-t)v(z)
\backslash
over
\backslash
Vert tz-(1-t)v(z)
\backslash
Vert$ se obtiene el otro resultado.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un campo de vectores tangente a 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{2}$
\end_inset

 es una función continua 
\begin_inset Formula $v:\mathbb{S}^{2}\to\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $v(p)\in T_{p}\mathbb{S}^{2}:= \text{span}\{p\}^{\bot}$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $p\in\mathbb{S}^{2}$
\end_inset

.
 
\series bold
Teorema de la bola peluda:
\series default
 Todo campo de vectores tangente a 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{2}$
\end_inset

 tiene un punto estacionario.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Prueba basada en E.
 Curtim "Another proof of hairy ball theorem", AMS Monthly 125 (2018), 462--463.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Supongamos que podemos tener un campo de vectores tangencial de vectores
 unitarios.
 Describimos la esfera como la imagen de $p:[0,1]
\backslash
times[-1,1]
\backslash
to
\backslash
mathbb{S}^2$ dada por $p(
\backslash
theta,t):=(
\backslash
sqrt{1-t^2}
\backslash
cos(2
\backslash
pi
\backslash
theta),
\backslash
sqrt{1-t^2}
\backslash
sin(2
\backslash
pi
\backslash
theta),t)$.
 Sean $e(
\backslash
theta,t):=(-
\backslash
sin(2
\backslash
pi
\backslash
theta),
\backslash
cos(2
\backslash
pi
\backslash
theta),0)$ y $n(
\backslash
theta,t):=(-t(
\backslash
cos(2
\backslash
pi
\backslash
theta),-t
\backslash
sin(2
\backslash
pi
\backslash
theta),
\backslash
sqrt{1-t^2})$, $e$ y $n$ son campos tangenciales a $
\backslash
mathbb{S}^2$ en $p(
\backslash
theta,t)$ y forman una base ortonormal del plano tangente a $p(
\backslash
theta,t)$.
 Entonces $H:[0,1]
\backslash
times[-1,1]
\backslash
to
\backslash
mathbb{S}^1$ dada por $H(
\backslash
theta,t)=(
\backslash
langle v,e
\backslash
rangle,
\backslash
langle v,n
\backslash
rangle)(
\backslash
theta,t)$ se puede entender como una homotopía entre ciertos $H(
\backslash
theta,-1)=:
\backslash
alpha(
\backslash
theta)$ y $H(
\backslash
theta,1)=:
\backslash
beta(
\backslash
theta)$.
 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Sea $v(p(
\backslash
theta,t))=(a(
\backslash
theta,t),b(
\backslash
theta,t),c(
\backslash
theta,t))
\backslash
in
\backslash
mathbb{R}^3$.
 Para $
\backslash
alpha(
\backslash
theta)$, $
\backslash
langle v,e
\backslash
rangle(
\backslash
theta,-1)=-a(
\backslash
theta,-1)
\backslash
sin(2
\backslash
pi
\backslash
theta)+b(
\backslash
theta,-1)
\backslash
cos(2
\backslash
pi
\backslash
theta)=:-a_s
\backslash
sin(2
\backslash
pi
\backslash
theta)+b_s
\backslash
cos(2
\backslash
pi
\backslash
theta)=:-
\backslash
cos(2
\backslash
pi
\backslash
omega_s)
\backslash
sin(2
\backslash
pi
\backslash
theta)+
\backslash
sin(2
\backslash
pi
\backslash
omega_s)
\backslash
sin(2
\backslash
pi
\backslash
theta)=
\backslash
sin(2
\backslash
pi(-
\backslash
theta+
\backslash
omega_s))$, h análogamente, $
\backslash
langle v,n
\backslash
rangle(
\backslash
theta,-1)=
\backslash
cos(2
\backslash
pi(-
\backslash
theta+
\backslash
omega_s))$.
 Para $
\backslash
beta(
\backslash
theta)$, $
\backslash
langle v,e
\backslash
rangle(
\backslash
theta,1)=:
\backslash
sin(2
\backslash
pi(-
\backslash
theta+
\backslash
omega_r))$ y $
\backslash
langle v,n
\backslash
rangle(
\backslash
theta,1)=
\backslash
cos(2
\backslash
pi(-
\backslash
theta+
\backslash
omega_r))$.
 El primer seno de las 4 últimas fómulas se puede poner como $
\backslash
cos(2
\backslash
pi(
\backslash
theta+
\backslash
frac14-
\backslash
omega_s))$ y el primer coseno como $
\backslash
sin(2
\backslash
pi(
\backslash
theta+
\backslash
frac14-
\backslash
omega_s))$.
 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Nos queda que $
\backslash
alpha(
\backslash
theta)$ es la curva imagen asociada a la rotación $f$ de ángulo $2
\backslash
pi(
\backslash
frac14-
\backslash
omega_s)$.
 Al ser una rotación, $
\backslash
deg(f)=1$.
 La aplicación $g(e^{i2
\backslash
pi
\backslash
theta}):=e^{-i2
\backslash
pi
\backslash
theta}$ es una simetría de $
\backslash
mathbb{S}^1$ de grado $-1$, luego $g
\backslash
circ f$ es fácil ver que tiene grado $-1$.
 Entonces $H$ era una homotopía entre $
\backslash
alpha$ y $
\backslash
beta$, cuyos levantamientos deberían ser homotópicos, pero eso no puede
 ser porque cada uno representa una función con un grado diferente ($f$
 y $g
\backslash
circ f$, respectivamente).
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document