#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Section
Complejos simpliciales
\end_layout

\begin_layout Standard
Los puntos 
\begin_inset Formula $\{v_{0},\dots,v_{k}\}\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 son 
\series bold
afínmente independientes
\series default
 o están en 
\series bold
posición general
\series default
 si no están contenidos en ningún subespacio afín de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 de dimensión menor que 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\{v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{1},\dots,v_{k}-v_{k-1}\}$
\end_inset

 son linealmente independientes, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\{v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\dots,v_{k}-v_{0}\}$
\end_inset

 son linealmente independientes.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies3]$
\end_inset

 Si existieran 
\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}\in\mathbb{R}$
\end_inset

 no todos nulos con 
\begin_inset Formula $\alpha_{1}(v_{1}-v_{0})+\dots+\alpha_{k}(v_{k}-v_{0})=0$
\end_inset

, si, por ejemplo, 
\begin_inset Formula $\alpha_{1}\neq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $v_{1}-v_{0}=\frac{1}{\alpha_{1}}(\alpha_{2}(v_{2}-v_{0})+\dots+\alpha_{k}(v_{k}-v_{0}))$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $v_{1}-v_{0}\in\langle v_{2}-v_{0},\dots,v_{k}-v_{0}\rangle$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $v_{0},\dots,v_{k}\in v_{0}+\langle v_{2}-v_{0},\dots,v_{k}-v_{0}\rangle\#$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies2]$
\end_inset

 Podemos expresar una combinación lineal de 
\begin_inset Formula $\{v_{1}-v_{0},\dots,v_{k}-v_{k-1}\}$
\end_inset

 para el 0 como 
\begin_inset Formula $(\alpha_{1}+\dots+\alpha_{k})(v_{1}-v_{0})+(\alpha_{2}+\dots+\alpha_{k})(v_{2}-v_{1})+\dots+\alpha_{k}(v_{k}-v_{k-1})=0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}\in\mathbb{R}$
\end_inset

, que será la combinación nula si y sólo si 
\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}=0$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $v_{i}-v_{0}=(v_{i}-v_{i-1})+\dots+(v_{1}-v_{0})$
\end_inset

, esto equivale a que 
\begin_inset Formula $\alpha_{1}(v_{1}-v_{0})+\dots+\alpha_{k}(v_{k}-v_{0})=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}=0$
\end_inset

 y los vectores 
\begin_inset Formula $v_{1}-v_{0},\dots,v_{k}-v_{k-1}$
\end_inset

 son linealmente independientes.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies1]$
\end_inset

 Si 
\begin_inset Formula $v_{0},\dots,v_{k}$
\end_inset

 estuvieran contenidos en un espacio afín 
\begin_inset Formula $x+W$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\dim W<k$
\end_inset

, cada diferencia de puntos 
\begin_inset Formula $v_{i}-v_{j}$
\end_inset

 estaría en el espacio vectorial 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\dim\langle v_{1}-v_{0},\dots,v_{k}-v_{k-1}\rangle<k$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $v_{1}-v_{0},\dots,v_{k}-v_{k-1}$
\end_inset

 no serían linealmente independientes.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset

 
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
envoltura convexa
\series default
 de un conjunto 
\begin_inset Formula $W\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{conv}W$
\end_inset

, es el menor conjunto convexo que contiene a 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

, la intersección de todos ellos.
 Si 
\begin_inset Formula $W=:\{v_{1},\dots,v_{k}\}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $k>0$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\text{conv}W=\left\{ t_{1}v_{1}+\dots+t_{k}v_{k}\;\middle|\;\sum_{i=1}^{k}t_{i}=1,t_{i}\in[0,1]\right\} .
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\subseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

 El conjunto dado es un convexo que contiene a 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

, luego contiene a 
\begin_inset Formula $\text{conv}W$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\supseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 un convexo que contiene a 
\begin_inset Formula $\{v_{0},\dots,v_{k}\}$
\end_inset

, queremos ver que 
\begin_inset Formula $[v_{1},\dots,v_{k}]\subseteq C$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $v\coloneqq t_{1}v_{1}+\dots+t_{k}v_{k}\in[v_{1},\dots,v_{k}]$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $k=1$
\end_inset

, esto es obvio.
 Sea 
\begin_inset Formula $k>1$
\end_inset

 y supongamos probada la propiedad para 
\begin_inset Formula $k-1$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $t_{k}=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $v=v_{k}\in C$
\end_inset

.
 En otro caso, 
\begin_inset Formula $w\coloneqq \frac{t_{1}}{1-t_{k}}v_{1}+\dots+\frac{t_{k-1}}{1-t_{k}}v_{k-1}\in\text{conv}\{v_{1},\dots,v_{k-1}\}\subseteq\text{conv}\{v_{1},\dots,v_{k}\}\subseteq C$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $v=(1-t_{k})w+t_{k}v_{k}\in C$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold

\begin_inset Formula $k$
\end_inset

-símplice
\series default
 o 
\series bold
símplice 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

-dimensional
\series default
 es la envoltura conexa de un conjunto de 
\begin_inset Formula $k+1$
\end_inset

 puntos 
\begin_inset Formula $v_{0},\dots,v_{k}$
\end_inset

, llamados 
\series bold
vértices
\series default
, en posición general, 
\begin_inset Formula $[v_{0},\dots,v_{k}]\coloneqq \text{conv}\{v_{0},\dots,v_{k}\}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $v\coloneqq t_{0}v_{0}+\dots+t_{k}v_{k}\in[v_{0},\dots,v_{k}]$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $t_{i}\in[0,1]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sum_{i}t_{i}=1$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
coordinadas baricéntricas
\series default
 de 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 a los 
\begin_inset Formula $(t_{0},\dots,t_{k})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $W\coloneqq \{v_{0},\dots,v_{k}\}$
\end_inset

 determina un 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

-símplice 
\begin_inset Formula $[v_{0},\dots,v_{k}]$
\end_inset

, todo subconjunto 
\begin_inset Formula $A\subseteq W$
\end_inset

 determina un símplice, y decimos que 
\begin_inset Formula $\text{conv}A$
\end_inset

 es un 
\series bold
subsímplice
\series default
 de 
\begin_inset Formula $\text{conv}W$
\end_inset

.
 Un subsímplice es una 
\series bold
cara
\series default
 si solo omite un vértice, y la unión de las caras es la 
\series bold
frontera
\series default
 del símplice.
 Si 
\begin_inset Formula $k>0$
\end_inset

, el 
\series bold
interior
\series default
 de un 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

-símplice es el complementario de la frontera, y si 
\begin_inset Formula $k=0$
\end_inset

, su 
\series bold
interior
\series default
 es él mismo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
complejo simplicial
\series default
 es un 
\series bold
poliedro
\series default
 
\begin_inset Formula $K\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 junto a una lista de símplices 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $K=\bigcup_{i}L_{i}$
\end_inset

, cada 
\begin_inset Formula $x\in K$
\end_inset

 está en el interior de un único símplice y cada cara de cada 
\begin_inset Formula $L_{i}$
\end_inset

 también está en la lista.
 La 
\series bold
dimensión
\series default
 de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es la máxima dimensión de sus símplices.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Ejemplos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Una 
\series bold
circunferencia simplicial
\series default
 es un complejo formado por 3 0-símplices y 3 1-símplices, el borde de un
 triángulo.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Un 
\series bold
cuadrado simplicial
\series default
 es un complejo formado por 4 0-símplices, 5 1-símplices y 2 2-símplices,
 un cuadrilátero.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Una 
\series bold
corona simplicial
\series default
 es un complejo formado por 6 0-símplices, 12 1-símplices y 6 2-símplices,
 una corona de triángulo.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Un 
\series bold
toro simplicial
\series default
 es un complejo formado por 9 0-símplices, 27 1-símplices y 18 2-símplices,
 una corona tridimensional de un triángulo donde cada sección de cada lado
 de la corona es un triángulo.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Un 
\series bold
tetraedro
\series default
 es un complejo formado por 4 0-símplices, 6 1-símplices y 4 2-símplices.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Añadir dibujos.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Número de Euler
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es un complejo simplicial 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-dimensional con 
\begin_inset Formula $i_{k}$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

-símplices para cada 
\begin_inset Formula $k\in\{0,\dots,n\}$
\end_inset

, el 
\series bold
número
\series default
 o 
\series bold
característica de Euler
\series default
 de 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\chi(T)\coloneqq i_{0}-i_{1}+\dots+(-1)^{n}i_{n}$
\end_inset

.
 Así, la circunferencia, la corona y el toro tienen índice 0, y el cuadrado
 tiene índice 1.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
triangulación
\series default
 de un espacio topológico 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es un complejo simplicial 
\begin_inset Formula $K\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 junto a un homomorfismo 
\begin_inset Formula $H:K\to X$
\end_inset

, y si existe, 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es 
\series bold
triangulable
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así, 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

 es triangulable al complejo formado por los puntos 
\begin_inset Formula $(0,2)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(\sqrt{3},-1)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(-\sqrt{3},-1)$
\end_inset

 y los 3 1-símplices entre ellos, al complejo formado por los 4 puntos 
\begin_inset Formula $(\pm2,\pm2)$
\end_inset

 y los 4 1-símplices entre ellos, con el homomorfismo 
\begin_inset Formula $(x,y)\mapsto\frac{(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{2}$
\end_inset

 es triangulable a un tetraedro.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
En efecto, sean 
\begin_inset Formula $a\coloneqq (0,0,1)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b\coloneqq (0,1,-1)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c\coloneqq (-1,-1,-1)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d\coloneqq (1,-1,-1)$
\end_inset

, entonces el complejo simplicial dado por 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\{\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d\},\{a,b\},\{a,c\},\\
\{a,d\},\{b,c\},\{b,d\},\{c,d\},\{a\},\{b\},\{c\},\{d\}\}
\end{multline*}

\end_inset

junto con el homeomorfismo 
\begin_inset Formula $h(x,y,z)\coloneqq \frac{(x,y,z)}{|(x,y,z)|}$
\end_inset

 forman una triangulación de 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, si 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K'$
\end_inset

 son triangulaciones de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\chi(K)=\chi(K')$
\end_inset

.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Demostración.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Con esto, el 
\series bold
número de Euler
\series default
 de un espacio triangulable 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\chi(X)$
\end_inset

, es el de cualquier complejo simplicial cuyo poliedro es homeomorfo a 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, y es un invariante topológico.
\end_layout

\begin_layout Section
Presentaciones poligonales
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $S\coloneqq \overline{B_{d_{1}}}(0;1)$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{2}$
\end_inset

 es homeomorfa a 
\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{2}/\sim$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula 
\[
x\sim y:\iff x=y\lor(x,y\in\mathbb{S}^{1}\land y=\overline{x}),
\]

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $\overline{x}$
\end_inset

 es el conjugado complejo de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, y también lo es a 
\begin_inset Formula $S/\sim$
\end_inset

 con
\begin_inset Formula 
\[
x\sim y:\iff x=y\lor(x,y\in\partial S\land y=\overline{x}).
\]

\end_inset


\begin_inset Formula $\mathbb{P}^{2}$
\end_inset

 es homeomorfo a 
\begin_inset Formula $\mathbb{D}^{2}/\sim$
\end_inset

 con
\begin_inset Formula 
\[
x\sim y:\iff x=y\lor(x,y\in\mathbb{S}^{1}\land x=-y),
\]

\end_inset

y también lo es a 
\begin_inset Formula $S/\sim$
\end_inset

 con
\begin_inset Formula 
\[
x\sim y:\iff x=y\lor(x,y\in\partial S\land x=-y).
\]

\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Demostración.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
presentación poligonal
\series default
 es una expresión de la forma 
\begin_inset Formula ${\cal P}\coloneqq \langle S\mid W_{1},\dots,W_{k}\rangle$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 un conjunto finito de letras 
\begin_inset Formula $\{a_{1,}\dots,a_{n}\}$
\end_inset

 llamadas 
\series bold
aristas
\series default
 y 
\begin_inset Formula $W_{1},\dots,W_{k}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $k\geq1$
\end_inset

 son palabras en 
\begin_inset Formula $\{a_{1},\dots,a_{n},a_{1}^{-1},\dots,a_{n}^{-1}\}^{*}$
\end_inset

 con longitud mínima 2 llamadas 
\series bold
caras
\series default
.
 Una presentación poligonal 
\begin_inset Formula ${\cal P}$
\end_inset

 determina un espacio topológico 
\begin_inset Formula $|{\cal P}|$
\end_inset

 salvo isomorfismo, la 
\series bold
realización geométrica
\series default
 de 
\begin_inset Formula ${\cal P}$
\end_inset

, de la siguiente forma:
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Lo siguiente es especulativo: en los apuntes de clase hay una explicación
 mucho más informal.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para cada palabra 
\begin_inset Formula $W_{i}$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $n_{i}\coloneqq |W_{i}|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $n_{i}\geq3$
\end_inset

, tomamos 
\begin_inset Formula $n_{i}$
\end_inset

 vértices 
\begin_inset Formula $v_{i1},\dots,v_{in_{i}}\in\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

 no alineados de forma que todo 
\begin_inset Formula $v_{ij}\in\partial\text{conv}\{v_{ij}\}_{j=1}^{n_{i}}$
\end_inset

; los 
\begin_inset Formula $n_{i}$
\end_inset

 caminos 
\begin_inset Formula $a_{i1},\dots,a_{in_{i}}$
\end_inset

 dados por 
\begin_inset Formula $a_{ij}\coloneqq [v_{ij},v_{i(j+1)}]$
\end_inset

 entendiendo 
\begin_inset Formula $v_{i(n_{i}+1)}=v_{i1}$
\end_inset

, y el polígono 
\begin_inset Formula $P_{i}\coloneqq \text{conv}\{v_{i1},\dots,v_{in_{i}}\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $n_{i}=2$
\end_inset

, tomamos dos vértices 
\begin_inset Formula $v_{i1},v_{i2}\in\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

 distintos; caminos 
\begin_inset Formula $a_{i1}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $v_{i1}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $v_{i2}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a_{i2}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $v_{i2}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $v_{i1}$
\end_inset

 disjuntos (salvo en los puntos inicial y final), y 
\begin_inset Formula $P_{i}\coloneqq \text{conv}\{a_{ij}(s)\}_{s\in[0,1]}^{j\in\{1,2\}}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Sea 
\begin_inset Formula $W_{i}=e_{i1}\cdots e_{in_{i}}$
\end_inset

.
 Tomamos el espacio topológico 
\begin_inset Formula $X\coloneqq (P_{1}\amalg\dots\amalg P_{k})/\sim$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $x\sim y$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $x=y$
\end_inset

 o, para ciertos 
\begin_inset Formula $i,j,i',j',t$
\end_inset

, bien 
\begin_inset Formula $e_{ij}=e_{i'j'}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x=a_{ij}(t)$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y=a_{i'j'}(t)$
\end_inset

, bien 
\begin_inset Formula $e_{ij}=e_{i'j'}^{-1}$
\end_inset

 (o al revés), 
\begin_inset Formula $x=a_{ij}(t)$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y=a_{i'j'}(1-t)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $|{\cal P}|$
\end_inset

 es cualquier espacio homeomorfo al subespacio de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 de los puntos que no tienen un entorno en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 homeomorfo a un intervalo de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $Y=|{\cal P}|$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula ${\cal P}$
\end_inset

 es una 
\series bold
presentación
\series default
 (
\series bold
poligonal
\series default
) de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula ${\cal P}$
\end_inset

 tiene una sola cara, 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es conexo.
 Ejemplos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{2}=|\langle a\mid aa^{-1}\rangle|=|\langle a,b\mid abb^{-1}a^{-1}\rangle|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathbb{RP}^{2}=|\langle a\mid aa\rangle|=|\langle a,b\mid abab\rangle|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathbb{T}^{2}=|\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
La botella de Klein 
\begin_inset Formula $K=|\langle a,b\mid abab^{-1}\rangle|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
región poligonal
\series default
 es un subespacio compacto de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

 cuya frontera es una concatenación de segmentos, llamados 
\series bold
aristas
\series default
.
 Si 
\begin_inset Formula $P_{1},\dots,P_{k}$
\end_inset

 son regiones poligonales, 
\begin_inset Formula $P\coloneqq P_{1}\amalg\dots\amalg P_{k}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\sim$
\end_inset

 es una relación de equivalencia en 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 que identifica cada arista de cada 
\begin_inset Formula $P_{i}$
\end_inset

 con exactamente una arista de algún 
\begin_inset Formula $P_{j}$
\end_inset

 (que puede ser la misma), entonces 
\begin_inset Formula $P/\sim$
\end_inset

 es una superficie compacta.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Demostración.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Orientación
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 un camino 
\begin_inset Formula ${\cal C}^{1}$
\end_inset

 cerrado sobre una superficie 
\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $e_{1},e_{2}:[0,1]\to\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 campos de vectores unitarios tangentes a 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $e_{1}(s)$
\end_inset

 es tangente a 
\begin_inset Formula $\alpha(s)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $e_{2}(s)$
\end_inset

 es perpendicular a 
\begin_inset Formula $e_{1}(s)$
\end_inset

.
 Entonces
\series bold
 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 preserva la orientación
\series default
 si la orientación de 
\begin_inset Formula $e_{1}(1)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $e_{2}(1)$
\end_inset

 es la misma que la de 
\begin_inset Formula $e_{1}(0)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $e_{2}(0)$
\end_inset

, e 
\series bold
invierte la orientación
\series default
 en caso contrario.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
¿Qué es la orientación?
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Una superficie es 
\series bold
orientable
\series default
 si todo camino 
\begin_inset Formula ${\cal C}^{1}$
\end_inset

 cerrado sobre ella preserva la orientación, y es 
\series bold
no orientable
\series default
 en caso contrario.
 Para una superficie 
\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{R}^{3}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es orientable si y sólo si existe un campo unitario normal a 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 definido en todo 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Demostración.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Por ejemplo, son orientables 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{2}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{1}\times(0,1)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\mathbb{T}^{2}$
\end_inset

, pero no lo son la banda de Möbius, la botella de Klein y 
\begin_inset Formula $\mathbb{RP}^{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Suma conexa
\end_layout

\begin_layout Standard
Dadas dos superficies 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 con subespacios respectivos 
\begin_inset Formula $X_{0}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y_{0}$
\end_inset

 y homeomorfos a un disco en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$
\end_inset

, dado un homeomorfismo 
\begin_inset Formula $h:\partial X_{0}\cong\mathbb{S}^{1}\to\partial Y_{0}\cong\mathbb{S}^{1}$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
suma conexa
\series default
 de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X\sharp Y$
\end_inset

, a 
\begin_inset Formula $((X\setminus\text{\ensuremath{\mathring{X}_{0}}})\amalg(Y\setminus\mathring{Y}_{0}))/\sim$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $x\sim y$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $x=y$
\end_inset

, o bien 
\begin_inset Formula $x\in X_{0}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y\in Y_{0}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $y=h(x)$
\end_inset

, o bien al revés.
 Como 
\series bold
teorema
\series default
, el grupo fundamental del 
\series bold
doble toro
\series default
, 
\begin_inset Formula $\mathbb{T}\sharp\mathbb{T}$
\end_inset

, no es abeliano.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Demostración.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dadas dos superficies 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X\sharp Y$
\end_inset

 es una superficie.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Demostración.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X\sharp Y$
\end_inset

 es independiente de 
\begin_inset Formula $X_{0}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y_{0}$
\end_inset

 salvo por homeomorfismo.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Demostración.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X\sharp Y$
\end_inset

 es orientable si y sólo si lo son 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Demostración.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 son triangulables, 
\begin_inset Formula $X\sharp Y$
\end_inset

 también lo es y 
\begin_inset Formula $\chi(X\sharp Y)=\chi(X)+\chi(Y)-2$
\end_inset

.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sea $K_1$ una triangulación de $S_1$ y $K_2$ una de $S_2$, y suponemos que
 el disco que quitamos es homeomorfo a una cara, por lo que quitamos una
 cara.
 Entonces al unir, quitamos un 2-simplicial, 3 1-simpliciales y 3 0-simpliciales
, por lo que el n.
 de Euler total disminuye en 2.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Entonces:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\chi(\mathbb{S}^{2})=2$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Por triangulación con un tetraedro.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\chi(\mathbb{T}^{2})=0$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $a_{0}\coloneqq (0,1,0)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a_{1}\coloneqq (0,3,1)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a_{2}\coloneqq (0,3,-1)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b_{0}\coloneqq (-1,-1,0)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b_{1}\coloneqq (-3,-3,1)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b_{2}\coloneqq (-3,-3,-1)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c_{0}\coloneqq (1,-1,0)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c_{1}\coloneqq (3,-3,1)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c_{2}\coloneqq (3,-3,-1)$
\end_inset

.
 Usamos el complejo simplicial cuyas caras son
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\{\{a_{0},b_{0},a_{1}\},\{a_{1},b_{0},b_{1}\},\{a_{1},b_{1},a_{2}\},\{a_{2},b_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{2},a_{0}\},\{a_{0},b_{2},b_{0}\},\\
\{c_{0},b_{0},c_{1}\},\{c_{1},b_{0},b_{1}\},\{c_{1},b_{1},c_{2}\},\{c_{2},b_{1},b_{2}\},\{c_{2},b_{2},c_{0}\},\{c_{0},b_{2},b_{0}\},\\
\{a_{0},c_{0},a_{1}\},\{a_{1},c_{0},c_{1}\},\{a_{1},c_{1},a_{2}\},\{a_{2},c_{1},c_{2}\},\{a_{2},c_{2},a_{0}\},\{a_{0},c_{2},c_{0}\}\},
\end{multline*}

\end_inset

y cuyas aristas y vértices son los subsímplices de estas caras.
 Entonces, si 
\begin_inset Formula $r\coloneqq \frac{29}{20}$
\end_inset

, la circunferencia 
\begin_inset Formula $r\mathbb{S}^{1}\times\{0\}$
\end_inset

 está contenida en el interior del complejo, pues este contiene a 
\begin_inset Formula $([(0,3),(-3,-3),(3,-3)]\setminus[(0,1),(-1,-1),(1,-1)])$
\end_inset

, pero el punto más alejado del origen del triángulo interior (uno de ellos)
 es 
\begin_inset Formula $(-1,1)$
\end_inset

 con norma 
\begin_inset Formula $\sqrt{2}<r$
\end_inset

 y el más cercano al origen del triángulo exterior (uno de ellos) es 
\begin_inset Formula $\frac{(0,3)+(-3,-3)}{2}=(-\frac{3}{2},0)$
\end_inset

 con norma 
\begin_inset Formula $\frac{3}{2}>r$
\end_inset

.
 Entonces, si 
\begin_inset Formula $p(x,y)\coloneqq r(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},0)$
\end_inset

, la función 
\begin_inset Formula $h(x,y,z)\coloneqq r(x,y)+\frac{(x,y,z)-r(x,y)}{|(x,y,z)-r(x,y)|}$
\end_inset

 es un homeomorfismo del complejo al toro con circunferencia interior 
\begin_inset Formula $r\mathbb{S}^{1}\times\{0\}$
\end_inset

 y exterior de radio 1.
 El complejo tiene 18 caras, 27 aristas y 9 vértices, por lo que 
\begin_inset Formula $\chi(\mathbb{T}^{2})=9-27+18=0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\chi(\mathbb{RP}^{2})=1$
\end_inset

.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Demostración.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $T_{1},\dots,T_{n}$
\end_inset

 son toros, 
\begin_inset Formula $\chi(T_{1}\sharp\dots\sharp T_{n})=2-2n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $P_{1},\dots,P_{n}$
\end_inset

 son planos proyectivos, 
\begin_inset Formula $\chi(P_{1}\sharp\dots\sharp P_{n})=2-n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Clasificación de superficies
\end_layout

\begin_layout Standard
Dos presentaciones 
\begin_inset Formula ${\cal P}_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal P}_{2}$
\end_inset

 son 
\series bold
topológicamente equivalentes
\series default
 si 
\begin_inset Formula $|{\cal P}_{1}|\cong|{\cal P}_{2}|$
\end_inset

.
 Cada una de las siguientes transformaciones sobre una presentación, llamadas
 
\series bold
transformaciones elementales
\series default
, produce otra presentación topológicamente equivalente:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Reetiquetado
\series default
: Cambiar el nombre de una arista (el nuevo nombre no puede ser el de otra
 arista).
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Subdivisión
\series default
: Cambiar una arista 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 por aristas 
\begin_inset Formula $a_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a_{2}$
\end_inset

, y cambiar cada aparición de 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $a_{1}a_{2}$
\end_inset

 y cada una de 
\begin_inset Formula $a^{-1}$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $a_{2}^{-1}a_{1}^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Consolidación
\series default
: Si 
\begin_inset Formula $a_{1}$
\end_inset

 aparece siempre seguida de 
\begin_inset Formula $a_{2}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a_{2}^{-1}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $a_{1}^{-1}$
\end_inset

, contando que la última letra de una palabra va seguida de la primera,
 cambiar las aristas 
\begin_inset Formula $a_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a_{2}$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, cada aparición de 
\begin_inset Formula $a_{1}a_{2}$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 y cada una de 
\begin_inset Formula $a_{2}^{-1}a_{1}^{-1}$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $a^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Reflejo
\series default
 o 
\series bold
simetría
\series default
: 
\begin_inset Formula $\langle S\mid a_{1}\cdots a_{m},\dots\rangle\Rightarrow\langle S\mid a_{m}^{-1}\cdots a_{1}^{-1},\dots\rangle$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Rotación
\series default
: 
\begin_inset Formula $\langle S\mid a_{1}\cdots a_{m},\dots\rangle\Rightarrow\langle S\mid a_{2}\cdots a_{m}a_{1},\dots\rangle$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Corte
\series default
: 
\begin_inset Formula $\langle S\mid W_{1}W_{2},\dots\rangle\Rightarrow\langle S,e\mid W_{1}e,e^{-1}W_{2},\dots\rangle$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Pegado
\series default
: 
\begin_inset Formula $\langle S,e\mid W_{1}e,e^{-1}W_{2},\dots\rangle\Rightarrow\langle S\mid W_{1}W_{2},\dots\rangle$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Doblado
\series default
: 
\begin_inset Formula $\langle S,e\mid Wee^{-1},\dots\rangle\Rightarrow\langle S\mid W,\dots\rangle$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Desdoblado
\series default
: 
\begin_inset Formula $\langle S\mid W,\dots\rangle\Rightarrow\langle S,e\mid Wee^{-1},\dots\rangle$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dadas superficies 
\begin_inset Formula $M_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M_{2}$
\end_inset

 con presentaciones poligonales respectivas 
\begin_inset Formula $\langle S_{1}\mid W_{1}\rangle$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\langle S_{2}\mid W_{2}\rangle$
\end_inset

 de una sola cara con 
\begin_inset Formula $S_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S_{2}$
\end_inset

 disjuntos, entonces 
\begin_inset Formula $\langle S_{1},S_{2}\mid W_{1}W_{2}\rangle$
\end_inset

 es una presentación de 
\begin_inset Formula $M_{1}\sharp M_{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, toda superficie compacta admite una presentación poligonal.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de clasificación:
\series default
 Toda superficie compacta y conexa es homeomorfa a una esfera, una suma
 conexa de toros o una suma conexa de planos proyectivos.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
Demostración
\end_layout

\end_inset

La demostración usa como lema que 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}\cong\mathbb{P}^{2}\sharp\mathbb{P}^{2}$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

 es la botella de Klein) y 
\begin_inset Formula $\mathbb{T}^{2}\sharp\mathbb{P}^{2}\cong\mathbb{P}^{2}\sharp\mathbb{P}^{2}\sharp\mathbb{P}^{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Con esto, dos superficies compactas son homeomorfas si y sólo si tiene el
 mismo número de Euler y la misma orientabilidad.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
género
\series default
 de una superficie compacta 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, o el número de 
\series bold
agujeros
\series default
, es
\begin_inset Formula 
\[
g(M):=\begin{cases}
\frac{1}{2}(2-\chi(M)), & M\text{ orientable};\\
2-\chi(M), & M\text{ no orientable}.
\end{cases}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Tenemos 
\begin_inset Formula $g(\mathbb{S}^{2})=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $g(\mathbb{T}^{2})=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g(\mathbb{RP}^{2})=1$
\end_inset

, luego si 
\begin_inset Formula $T_{1},\dots,T_{n}$
\end_inset

 son toros, 
\begin_inset Formula $g(T_{1}\sharp\dots\sharp T_{n})=n$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $P_{1},\dots,P_{n}$
\end_inset

 son planos proyectivos, 
\begin_inset Formula $g(P_{1}\sharp\dots\sharp P_{n})=n$
\end_inset

.
\end_layout

\end_body
\end_document