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\ No newline at end of file diff --git a/ch1_cats.tex b/ch1_cats.tex new file mode 100644 index 0000000..bd6b1a3 --- /dev/null +++ b/ch1_cats.tex @@ -0,0 +1,126 @@ +Al estudiar distintas ramas de las matemáticas de manera formal es inevitable +notar que existen ciertos patrones que se repiten. Todas empiezan con los +axiomas que caracterizan los objetos de estudio, como pueden ser los grupos, +espacios vectoriales, espacios topológicos, variedades, etc., y pese a que estos +se definen de forma muy diferente, en la mayoría se pueden definir de manera +natural conceptos como subobjetos, objetos producto u objetos cociente, entre +otros. Además, estos objetos no se suelen estudiar de forma aislada, sino que se +estudian funciones entre los objetos que cumplen ciertas propiedades, como +pueden ser las aplicaciones lineales en el álgebra lineal, las aplicaciones +continuas en la topología, las derivables en análisis y los homomorfismos del +álgebra abstracta. + +Estos patrones no son una coincidencia, pues las propiedades generales que +exhiben son las mismas en todos los casos. Por ejemplo, la clase de funciones +<<destacables>> entre objetos es cerrada para la composición, y el producto de +subobjetos de dos objetos es un subobjeto del producto de los objetos +originales. Esto motiva el estudio de dichos patrones como otra área de las +matemáticas, con el fin de obtener propiedades aplicables a muchas de las áreas +de las matemáticas existentes o, incluso, a áreas desarrolladas posteriormente, +como veremos que ocurre con la teoría de la computación. Así, en este área de +las matemáticas los objetos de estudio son representaciones de los conceptos +fundamentales de otras áreas, que podemos representar como la clase de los +objetos de estudio junto con la clase de funciones destacables entre ellos, +llamadas \emph{morfismos}, lo que da lugar al concepto de \emph{categoría}. +Este capítulo introduce las categorías y estudia sus propiedades de manera +general, y se basa principalmente en \cite[caps. 3, 4 y 7]{joyofcats}. + +\begin{definition} + Una \emph{categoría} es una tupla $\cC$ formada por los siguientes elementos: + \begin{enumerate} + \item Una clase $\Ob{\cC}$ de \emph{objetos}. + \item Una clase $\Mor{\cC}$ de \emph{morfismos}. + \item Dos funciones $\dom,\cod:\Mor{\cC}\to\Ob{\cC}$, llamadas + respectivamente \emph{dominio} y \emph{codominio}. + + Para $f\in\Mor{\cC}$, escribimos $f:a\to b$ si $\dom{f}=a$ y $\cod{f}=b$, y + llamamos $\hom_{\cC}(a, b)$ o simplemente $\hom(a, b)$ a la clase de + morfismos $f:a\to b$, que generalmente requeriremos que sea un conjunto. + \item Una función + $\circ:\bigcup_{a,b,c}(\hom(b,c)\times\hom(a,b))\to\Mor{\cC}$ que a cada + $f:a\to b$ y $g:b\to c$ le asigna su \emph{composición} $g\circ f:a\to c$, y + que debe ser asociativa, es decir, para $f:a\to b$, $g:b\to c$ y $h:c\to d$, + $h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f$. + \item Una función $1:\Ob{\cC}\to\Mor{\cC}$ que a cada objeto $a$ le asigna la + \emph{identidad} $1_a:a\to a$, que cumple que, para $f:a\to b$, + $f=1_b\circ f=f\circ 1_a$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{example} + Quizá el ejemplo <<real>> más sencillo de categoría es $\bSet$, que tiene como + objetos todos los conjuntos y como morfismos todas las funciones, cualificadas + por su dominio y codominio, con la composición e identidad obvias. + + En el álgebra encontramos muchas categorías que se definen de manera similar: + \begin{enumerate} + \item $\bSmgrp$, la categoría de los semigrupos con las funciones que + conservan su operación. + \item $\bMon$, la categoría de los monoides con las funciones que conservan su + operación y elemento identidad. + \item $\bGrp$, la categoría de grupos y homomorfismos de grupos. + \item $\bAb$, la categoría de grupos abelianos y sus homomorfismos. + \item $\bRing$, la categoría de anillos y sus homomorfismos. + \end{enumerate} + En todas estas los objetos son conjuntos con una serie de operaciones y los + morfismos son funciones que conmutan con dichas operaciones. Esta idea es + captada por la siguiente definición. +\end{example} + +\begin{definition} + + + \begin{enumerate} + \item Un \emph{conjunto graduado} es un conjunto $I$ de \emph{operadores} junto con + una función $a:I\to\sNat$ llamada \emph{aridad}. + \item El conjunto de \emph{operadores derivados} + de $I$ es el conjunto graduado $\Lambda$ formado por las siguientes expresiones: + \begin{enumerate} + \item La \emph{identidad}, $1$, de aridad 1. + \item Todos los operadores de $I$ con su aridad en $I$. + \item Para $\omega\in\Lambda$ de aridad $n$ e $i_1,\dots,i_n\in\Lambda$ de aridades $a_1,\dots,a_n$, + $\omega(i_1,\dots,i_n)$ de aridad $a_1+\dots+a_n$. + \item Para $\lambda\in \Lambda$ de aridad $n$ y $f:\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,m\}$, + $\lambda_f$ de aridad $m$. + \end{enumerate} + \item Una \emph{acción} de $I$ en un conjunto $S$ es una familia + $\{\mu_i : S^{a(i)} \to S\}_{i\in I}$ de operaciones en $S$ asociadas a los + operadores de $I$, y se puede extender a una acción de $\Lambda$ definiendo + $\mu_1(x)\coloneqq x$, + $\mu_{\omega(i_1,\dots,i_n)}(x_{11},\dots,x_{1a_1},\dots,x_{n1},\dots,x_{na_n})\coloneqq\mu_\omega(\mu_{i_1}(x_{11},\dots,x_{1a_1}),\dots,\mu_{i_n}(x_{n1},\dots,x_{na_n}))$ + y + $\mu_{\lambda_f}(x_1,\dots,x_m)\coloneqq\mu_\lambda(x_{f(1)},\dots,x_{f(n)})$. + \item Una \emph{identidad} sobre $I$ es un par $(\lambda,\sigma)$ de + operadores derivados de los de $I$ con la misma aridad, y decimos que una + acción $\mu$ sobre $I$ \emph{satisface} la identidad $(\lambda, \sigma)$ si + $\mu_\lambda=\mu_\sigma$. + \item Dados un conjunto graduado finito $\Omega$ y un conjunto finito de igualdades + $E$, una \emph{variedad algebraica} es una categoría $(\Omega,E)\dash\bAlg$ cuyos + objetos son \emph{$(\Omega,E)$-álgebras}, o pares $(S,\mu)$ formados por un conjunto + $S$ y una acción $\mu$ de $\Omega$ sobre $S$ que satisface las igualdades en $E$, y cuyos morfismos + $(S,\mu)\to(S',\mu')$ son funciones $f:S\to S'$ tales que, para $\omega\in\Omega$ de + aridad $n$ y $x_1,\dots,x_n\in S$, $f(\mu_\omega(x_1,\dots,x_n))=\mu'_\omega(f(x_1),\dots,f(x_n))$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +%% TODO Cambiar esto a una sección sobre categorías algebraicas para así separar la +%% definición en varias y poder hacer comentarios en medio y con suerte que la definición +%% de las acciones derivadas quepa, y poder poner ejemplos detrás. Quedaría como sigue: +% - Ejemplos Set, Prord, Ord +% - Subcategorías +% 1.1 Categorías algebraicas +% - Ejemplos de variedades +% - Definiciones con comentarios +% - Aplicación de la definición +% - Categorías algebraicas que no son variedades +% 1.2 Categorías topológicas +% 1.3 Categorías puramente abstractas +% 1.4 Objetos iniciales y finales +% 1.5 Monomorfismos y epimorfismos (y secciones y retractos) +% 1.6 Isomorfismos (y bimorfismos) +% 1.7 Dualidad + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "main" +%%% End: @@ -1,4 +1,6 @@ \documentclass[11pt,twoside]{amsbook} + +% Style \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[spanish]{babel} \usepackage{microtype} @@ -7,9 +9,51 @@ \pagestyle{fancy} % \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} % \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} + +% Bibliography \usepackage[autolang=hyphen]{biblatex} \addbibresource{ref.bib} +% Math packages +\usepackage{mathtools} +\usepackage{amsthm} + +% Theorem styles +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{definition}{Definición} +\theoremstyle{remark} +\newtheorem{example}{Ejemplo} + +% Math macros +\def\dash{\text{-}} +\def\dCat#1#2{\outer\def#1{{\mathbf{#2}}}} +\dCat{\bAlg}{Alg} +\dCat{\bSet}{Set} +\dCat{\bSmgrp}{Smgrp} +\dCat{\bMon}{Mon} +\dCat{\bGrp}{Grp} +\dCat{\bAb}{Ab} +\dCat{\bRing}{Ring} +\dCat{\bDom}{Dom} +\dCat{\bField}{Field} +\dCat{\bVec}{Vec} +\def\cC{\mathcal{C}} +\def\cD{\mathcal{D}} +\def\dKey#1#2{\outer\def#1{\text{#2}}} +\def\dKeyPar#1#2{\outer\def#1##1{\text{#2}({##1})}} +\dKeyPar{\Ob}{Ob} +\dKeyPar{\Mor}{Mor} +\dKey{\dom}{dom} +\dKey{\cod}{cod} +\def\dStdSet#1#2{\outer\def#1{{\mathbb{#2}}}} +\dStdSet{\sNat}{N} +\dStdSet{\sInt}{Z} +\dStdSet{\sRat}{Q} +\dStdSet{\sReal}{R} +\dStdSet{\sComplex}{C} +\dStdSet{\sCirc}{S} +\dStdSet{\sTorus}{T} + \begin{document} \begin{titlepage} \begin{center} @@ -51,7 +95,7 @@ \end{otherlanguage} \chapter{Categorías} -% TODO +\input{ch1_cats} \chapter{Funtores} % TODO |