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diff --git a/ch1_cats.tex b/ch1_cats.tex index c74ea54..32036ee 100644 --- a/ch1_cats.tex +++ b/ch1_cats.tex @@ -277,7 +277,8 @@ topológicos y las funciones continuas entre ellos. \begin{enumerate} \item $\bMetc$, con las funciones continuas. \item $\bMetu$, con las funciones uniformemente continuas. - \item $\bMet$, con las contracciones, funciones que \emph{acercan} los puntos. + \item $\bMet$, con las contracciones, funciones continuas que + \emph{acercan} los puntos. \end{enumerate} Asimismo tenemos la categoría $\bBanb$ de los espacios de Banach con las formas lineales acotadas y $\bBan$ con las contracciones lineales. @@ -529,7 +530,103 @@ objeto. finalmente, $x=y$. \end{proof} -% TODO Motivar y explicar epimorfismos +\begin{proposition}\label{prop:mono-comp}\; + \begin{enumerate} + \item La composición de monomorfismos es un monomorfismo. + \begin{proof} + Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$ monomorfismos y $h,k:D\to A$ con + $g\circ f\circ h=g\circ f\circ k$, entonces $f\circ h=f\circ k$ + y por tanto $h=k$. + \end{proof} + \item Si $g\circ f$ es un monomorfismo, $f$ también lo es. + \begin{proof} + Si $g\circ f$ es un monomorfismo y $f\circ h=f\circ k$, entonces + $g\circ f\circ h=g\circ f\circ k$ y por tanto $h=k$. + \end{proof} + \end{enumerate} +\end{proposition} + +Para caracterizar los epimorfismos vemos que, en $\bSet$, si $f:A\to B$ no +es suprayectiva, sea $y\in B\setminus\Img{f}$, es posible crear dos funciones +$g,h:B\to\{0,1\}$ con $g\circ f=h\circ f$ pero $g(y)=0$ y $h(y)=1$, mientras +que fuera suprayectiva, $g\circ f=h\circ f$ implica claramente $g=h$. + +\begin{definition} + Un morfismo $f:a\to b$ es un \conc{epimorfismo}, $f:a\epicTo b$, si + es cancelable por la derecha, es decir, si para $g,h:b\to c$ con + $g\circ f=h\circ f$ se tiene $g=h$. +\end{definition} + +La siguiente proposición se demuestra de forma similar que la +correspondiente para epimorfismos. + +\begin{proposition}\label{prop:epi-comp}\; + \begin{enumerate} + \item La composición de epimorfismos es un epimorfismo. + \item Si $g\circ f$ es un epimorfismo, $g$ también lo es. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{example}\; + \begin{enumerate} + \item En los constructos, las funciones suprayectivas son + epimorfismos, por el mismo argumento que en $\bSet$. + \item En $\bSet$ los epimorfismos son precisamente las funciones + suprayectivas, pues para $f:A\to B$ no suprayectiva es fácil + encontrar $g,h:B\to\{0,1\}$ distintas con $g\circ f=h\circ f$. Lo + mismo ocurre en $\bTop$ dotando a $\{0,1\}$ de la topología + indiscreta y en $\bGrph$ usando el grafo completo de dos + elementos. + \item En $R\dash\bMod$, si $f:M\to N$ es un epimorfismo, sean + $p,z:N\to\frac{N}{\Img{f}}$ la proyección canónica y la función + constante en 0, respectivamente, entonces $p\circ f=z\circ f$, + luego $p=z$, $\frac{N}{\Img{f}}\cong0$ y así $\Img{f}=N$, con lo + que los epimorfismos son suprayectivos. + \item No en todas las variedades algebraicas los epimorfismos son + son suprayectivos. Por ejemplo, en $\bRing$, la inclusión + $u:\sInt\to\sRat$ es suprayectiva, pues si $f,g:\sRat\to R$ + cumplen que $f\circ u=g\circ u:\sInt\to R$, entonces $f=g$ ya que + para $x,y\in\sInt$, + $f(\frac xy)=\frac{f(x)}{f(y)}=\frac{(f\circ u)(x)}{(f\circ + u)(y)}$, y lo mismo ocurre con $g$. + \item En $\bMet$ y $\bMetc$, los epimorfismos son precisamente las + funciones con imagen densa. En efecto, si $f:X\to Y$ es un + morfismo con imagen densa y $g,h:Y\to Z$ son morfismos con + $g\circ f=h\circ f$, para $y\in Y$ existe una sucesión + $\{x_n\}_n\subseteq X$ con $y=\lim_nf(x_n)$, y por unicidad del + límite y continuidad, $g(y)=\lim_ng(f(x_n))=\lim_nh(f(x_n))=h(y)$. + Recíprocamente, si $f:X\to Y$ no tiene imagen densa, existen + $y_0\in Y$ y $r>0$ con $B(y_0,r)\cap\Img{f}=\emptyset$, por lo que + $g,h:Y\mapsto\sReal$ dadas por $g(y)\coloneqq r$ y + $h(y)\coloneqq\min\{d(y_0,y),r\}$ son retracciones continuas + distintas con $g\circ f=h\circ f$. + \end{enumerate} +\end{example} + +Los dos últimos ejemplos muestran que, al contrario de lo que ocurre +en muchos campos del álgebra, no siempre los morfismos que son a la +vez monomorfismos y epimorfismos son isomorfismos. + +\begin{definition} + Un \conc{bimorfismo} es un morfismo que es a la vez un monomorfismo + y un epimorfismo. Una categoría es \conc{equilibrada} si todo + bimorfismo es un isomorfismo. +\end{definition} + +\begin{example}\; + \begin{enumerate} + \item En una categoría fina, todos los morfismos son bimorfismos, + pero en general no son isomorfismos. + \item En un monoide visto como categoría, los bimorfismos son los + elementos cancelables por ambos lados. + \item Las identidades son bimorfismos, y en particular los + isomorfismos son bimorfismos sin más que aplicar las proposiciones + \ref{prop:mono-comp} y \ref{prop:epi-comp} a la composición de un + isomorfismo con su inverso por ambos lados. + \end{enumerate} +\end{example} + + % - Ejemplos Set, Prord, Ord % - Subcategorías @@ -49,7 +49,8 @@ \dCat{\bMon}{Mon} \dCat{\bGrp}{Grp} \dCat{\bAb}{Ab} -\dCat{\bRing}{Ring} +\dCat{\bRing}{Rng} % Backwards compat +\dCat{\bRng}{Rng} \dCat{\bField}{Field} \dCat{\bMod}{Mod} \dCat{\bVec}{Vec} @@ -73,6 +74,7 @@ \dKeyPar{\Mor}{Mor} \dKey{\dom}{dom} \dKey{\cod}{cod} +\dKey{\Img}{Im} \newcommand{\dStdSet}[2]{\newcommand{#1}{\mathbb{#2}}} \dStdSet{\sNat}{N} \dStdSet{\sInt}{Z} @@ -84,6 +86,7 @@ \newcommand{\monicTo}{\rightarrowtail} \newcommand{\epicTo}{\twoheadrightarrow} \renewcommand{\mapsto}{\rightsquigarrow} +\renewcommand{\Im}{\error{You probably meant \backslash{}Im}} \begin{document} \begin{titlepage} |