diff options
| -rw-r--r-- | ch5_adjoints.tex | 436 | ||||
| -rw-r--r-- | main.tex | 8 |
2 files changed, 442 insertions, 2 deletions
diff --git a/ch5_adjoints.tex b/ch5_adjoints.tex new file mode 100644 index 0000000..efa2813 --- /dev/null +++ b/ch5_adjoints.tex @@ -0,0 +1,436 @@ +La definición que hemos visto de objeto libre (\ref{def:free-object}) está +asociada a constructos y por tanto a la categoría $\bSet$. Sin embargo, no hay +razón para limitarse a este caso, y de hecho los objetos libres son un caso +particular de flecha universal en el que el codominio del funtor olvidadizo es +$\bSet$. Cuando todos los elementos de dicho codominio admiten una flecha +universal podemos definir un funtor libre asociado al funtor olvidadizo, y este +funtor tiene propiedades interesantes que conviene estudiar. Este capítulo se +basa principalmente en \cite[II.5, III.1--2 y IV.1]{maclane}.%TODO Citar todo + +\section{Flechas universales} + +\begin{definition} + Sean $U:\cC\to\cB$ un funtor y $b$ un objeto de $\cB$, una \conc{flecha + universal} de $b$ a $U$ es un par $(c,u)$ formado por un objeto $c$ de + $\cC$, el \conc{objeto libre}, y un morfismo $u:b\to Uc$ en $\cB$, tales que + para todo morfismo $f:b\to Ux$ en $\cB$ existe un único morfismo + $\hat f:c\to x$ en $\cC$ tal que $f=U\hat f\circ u$, como se muestra en la figura + \ref{fig:universal}. + \begin{figure} + \centering + \begin{diagram} + \path (0,2) node(B){$b$} (2,2) node(UC){$Uc$} (4,2) node(C){$c$}; + \path (2,0) node(UX){$Ux$} (4,0) node(X){$x$}; + \draw[->] (B) -- node[above]{$u$} (UC); + \draw[->] (B) -- node[left]{$f$} (UX); + \draw[->,dotted] (UC) -- node[right]{$U\hat f$} (UX); + \draw[->,dotted] (C) -- node[right]{$\hat f$} (X); + \end{diagram} + \caption{Flecha universal de un objeto a un funtor.} + \label{fig:universal} + \end{figure} +\end{definition} + +\begin{example} + Las flechas universales suelen representar inmersiones de objetos en un + cierto objeto completado o con estructura adicional. + \begin{enumerate} + \item Un objeto libre sobre un conjunto $X$ en un constructo es una flecha + universal de $X$ al constructo. + \item Si $U:\bField\inTo\bDom$ es el funtor inclusión de la subcategoría + completa de los cuerpos en la categoría de dominios, una flecha universal de + un dominio $D$ en $U$ es el conjunto cociente $Q(D)$ junto con la inclusión. + \item Consideremos la categoría $\bMGrph$ de los \conc{multigrafos}, los + grafos dirigidos (no necesariamente finitos) que admiten varios ejes entre + dos mismos vértices. Si $U:\bCat\to\bMGrph$ es el funtor que <<olvida>> la + composición y la identidad, un objeto libre de un multigrafo $M$ a $U$ es + una categoría cuyos objetos son los vértices de $M$ y cuyos morfismos entre + dos objetos son los caminos entre ellos en $M$, tomando como composición la + concatenación de caminos y como identidad el camino vacío. + \item Si $D:\cS\to\cC$ es un diagrama, un morfismo $f:D\to\Delta c$ en + $\cC^\cS$ es un sumidero con codominio $c$ que conmuta con $D$, de modo que + un colímite de $D$ es una flecha universal de $D$ a $\Delta:\cC\to\cC^\cS$. + \end{enumerate} +\end{example} + +Nos gustaría ver que las flechas universales son únicas salvo isomorfismo, pero +para ello primero tenemos que ver qué significa esto. Una forma de hacerlo es +definir la categoría en la que <<viven>> estas flechas. + +\begin{definition} + Si $U:\cC\to\cB$ es un funtor y $b$ es un objeto de $\cB$, la \conc{categoría + de objetos $U$-bajo $b$}, $(b\downarrow U)$, tiene como objetos los pares + $(c,f)$ formados por un objeto $c$ de $\cC$ y un morfismo $f:b\to Uc$; como + morfismos $h:(c,f)\to(c',f')$ los morfismos $h:c\to c'$ en $\cC$ tales que + $f'=Uh\circ f$, y como composición e identidad las correspondientes en $\cC$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + La flecha universal de un objeto $b$ de $\cB$ a un funtor $U:\cC\to\cB$, si + existe, es única salvo isomorfismo en $(b\downarrow U)$. +\end{proposition} +\begin{proof} + Es el objeto inicial de $(b\downarrow U)$. +\end{proof} + +El concepto dual al de flecha universal de un objeto a un funtor es el de flecha +universal de un funtor a un objeto. + +\begin{definition} + Sean $T:\cC\to\cB$ un funtor y $b$ un objeto de $\cB$, una \conc{flecha + universal} de $T$ a $b$ es un par $(c,v)$ formado por un objeto $c$ de $\cC$ + y un morfismo $v:Tc\to b$ en $\cB$, tales que para todo morfismo $f:Tx\to b$ + en $\cB$ existe un único morfismo $\hat f:x\to c$ tal que $f=v\circ T\hat f$, + como se muestra en la figura \ref{fig:couniversal}. + + \begin{figure} + \centering + \begin{diagram} + \path (0,-2) node(B){$b$} (-2,-2) node(UC){$Tc$} (-4,-2) node(C){$c$}; + \path (-2,0) node(UX){$Tx$} (-4,0) node(X){$x$}; + \draw[<-] (B) -- node[below]{$v$} (UC); + \draw[<-] (B) -- node[right]{$f$} (UX); + \draw[<-,dotted] (UC) -- node[left]{$T\hat f$} (UX); + \draw[<-,dotted] (C) -- node[left]{$\hat f$} (X); + \end{diagram} + \caption{Flecha universal de un funtor a un objeto.} + \label{fig:couniversal} + \end{figure} +\end{definition} + +\begin{example} + Si $D:\cS\to\cC$ es un diagrama, un morfismo $f:\Delta c\to D$ en $\cC^\cS$ es + una fuente con dominio $c$ que conmuta con $D$, con lo que un límite de $D$ es + una flecha universal de $\Delta$ a $D$. +\end{example} + +\begin{definition} + Si $T:\cC\to\cB$ es un funtor y $b$ es un objeto de $\cB$, la \conc{categoría + de objetos $T$-sobre $b$}, $(T\downarrow b)$, tiene como objetos los pares + $(c,f)$ formados por un objeto $c$ de $\cC$ y un morfismo $f:Tc\to b$; como + morfismos $h:(c,f)\to(c',f')$ los morfismos $h:c\to c'$ en $\cC$ tales que + $f=f'\circ Th$. +\end{definition} + +\begin{proposition} + La flecha universal de un objeto $b$ de $\cB$ a un funtor $T:\cC\to\cB$, si + existe, es única salvo isomorfismo en $(T\downarrow b)$. +\end{proposition} + +\section{Lema de Yoneda} + +El lema de Yoneda es un resultado clásico sobre transformaciones naturales que +permite relacionar las mismas con transformaciones naturales. Antes de verlo +conviene definir algunos funtores útiles. + +\begin{definition} + Si $\cC$ es una categoría con conjuntos hom pequeños, definimos el + \conc{bifuntor hom} $\hom_\cC:\dual{\cC}\times\cC$ sobre objetos $(a,b)$ como + $\hom_\cC(a,b)$, y sobre morfismos $(f,g):(a,b)\to(a',b')$ como + $\hom_\cC(f,g)(h)\coloneqq g\circ h\circ f$. Dados dos funtores $S:\cA\to\cC$ + y $T:\cB\to\cC$, definimos el bifuntor + $\hom_\cC(S-,T-):\dual{\cA}\times\cB\to\cC$ como $\hom_\cC\circ(S\times T)$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Dadas dos categorías $\cC$ y $\cD$, definimos el \conc{funtor de evaluación} + $E:\cD^\cC\times\cC\to\cD$ sobre objetos como $E(T,c)\coloneqq Tc$ y sobre + morfismos $(\tau,f):(T,c)\to(U,c')$ como + $E(\tau,f)\coloneqq \tau f\coloneqq\tau_{c'}\circ Tf=Uf\circ\tau_c$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Si $\cC$ es una categoría con conjuntos hom pequeños, llamamos \conc{funtor de + Yoneda} al funtor $Y:\dual{\cC}\to\bSet^\cC$ que lleva objetos $c$ a + funtores $\hom(c,-)$ y morfismos $f:a\to b$ en $\cC$ a transformaciones + naturales $\hom(f,-):\hom(b,-)\to\hom(a,-)$ dadas por + $\hom(f,-)_c(g)\coloneqq g\circ f$. +\end{definition} + +\begin{lemma}[Yoneda]\label{lem:yoneda} + Sea $\cC$ una categoría con conjuntos hom pequeños. Para cada funtor $T:\cC\to\bSet$ + y objeto $c$ de $\cC$, la función + \[ + \gamma_{T,c}:\hom_{\bSet^\cC}(\hom_\cC(c,-),T)\to Tc + \] + dada por $\gamma_{T,c}(\tau)\coloneqq\tau_c1_c$ es una biyección natural entre + el funtor $\hom(Y-,-)$ (con el orden de las entradas cambiado) y + el funtor de evaluación $\bSet^\cC\times\cC\to\bSet$. +\end{lemma} +\begin{proof} + \begin{figure} + \hfil + \begin{subfigure}{0.45\textwidth} + \centering + \begin{diagram} + \path (0,2) node(UL){$\hom_\cC(c,c)$} (3,2) node(UR){$Tc$}; + \path (0,0) node(BL){$\hom_\cC(c,x)$} (3,0) node(BR){$Tx$}; + \draw[->] (UL) -- node[above]{$\tau_c$} (UR); + \draw[->] (BL) -- node[above]{$\tau_x$} (BR); + \draw[->] (UL) -- node[left]{$\hom_\cC(c,f)$} (BL); + \draw[->] (UR) -- node[right]{$Tf$} (BR); + \end{diagram} + \end{subfigure} + \hfil + \begin{subfigure}{0.45\textwidth} + \centering + \begin{diagram} + \path (0,2) node(UL){$1_c$} (3,2) node(UR){$\tau_c1_c$}; + \path (0,0) node(BL){$f$} (3,0) node(BR){$\tau_xf=(Tf)(\tau_c1_c)$}; + \tikzsquig(UL)--(UR); \tikzsquig(BL)--(BR); + \tikzsquig(UL)--(BL); \tikzsquig(UR)--(BR); + \end{diagram} + \end{subfigure} + \hfil + + \caption{Representación del lema de Yoneda.} + \label{fig:yoneda} + \end{figure} + + Para la biyección basta observar la figura \ref{fig:yoneda}. Para la + naturalidad, fijado un morfismo $(\varphi,f):(S,a)\to(T,b)$ de + $\bSet^\cC\times\cC$, debemos comprobar que el siguiente diagrama conmuta. + + \begin{center} + \begin{diagram} + \path (0,2) node(UL){$\hom(\hom(a,-),S)$} (3,2) node(UR){$Sa$}; + \path (0,0) node(BL){$\hom(\hom(b,-),T)$} (3,0) node(BR){$Tb$}; + \draw[->] (UL) -- node[above]{$\gamma_{S,a}$} (UR); + \draw[->] (BL) -- node[above]{$\gamma_{T,b}$} (BR); + \draw[->] (UL) -- node[left]{$\hom(\hom(f,-),\varphi)$} (BL); + \draw[->] (UR) -- node[right]{$\varphi f$} (BR); + \end{diagram} + \end{center} + + Sea entonces $\tau:\hom(a,-)\to S$ una transformación natural, + \begin{multline*} + (\varphi f)(\gamma_{S,a}(\tau)) + = (\varphi f)(\tau_a1_a) + = \varphi_b((Sf)(\tau_a1_a)) + = \varphi_b(\tau_b\hom(a,f)(1_a)) + = \varphi_b\tau_bf = \\ + = \gamma_{T,b}(\varphi\cdot\tau\cdot\hom(f,-)) + = \gamma_{T,b}(\hom(\hom(f,-),\varphi)(\tau)). + \end{multline*} +\end{proof} + +Este lema permite demostrar la siguiente relación entre isomorfismos naturales y +flechas universales. + +\begin{proposition}\label{prop:yoneda-prop} + Dado un funtor $U:\cC\to\cB$ y un objeto $b$ de $\cB$, un par $(c,u:b\to Uc)$ + es una flecha universal de $b$ a $U$ si y sólo si, para cada objeto $x$ en + $\cC$, la función $\tau_x:\hom_\cC(c,x)\to\hom_\cB(b,Ux)$ dada por + $\tau_x(f)\coloneqq Uf\circ u$ es biyectiva, en cuyo caso $\tau$ es un + isomorfismo natural. Además, dados objetos $b$ de $\cB$ y $c$ de $\cC$, todo + isomorfismo natural \[ + \hom_\cC(c,-)\cong\hom_\cB(b,U-) + \] + es de esta forma para un único morfismo $u:b\to Uc$ para el que $(c,u)$ es una + flecha universal. +\end{proposition} +\begin{proof} + La definición de flecha universal equivale a esta biyección, que es natural ya + que, para cada morfismo $g:x\to y$ en $\cC$ y $f:c\to x$, + $\hom(b,Ug)(\tau_x(f))=Ug\circ Uf\circ u=U(g\circ f)\circ + u=U(\hom(c,g)(f))=\tau_y(\hom(c,g)(f))$. + + Para el recíproco, si $\tau:\hom_\cC(c,-)\to\hom_\cB(b,U-)$ es un isomorfismo + natural, por el lema de Yoneda y la biyectividad de $\tau_x$ se tiene que todo + morfismo $b\to Ux$ se expresa de forma única como + $\tau_xf=\hom(b,Uf)(\tau_c1_c)=Uf\circ\tau_c1_c$ para cierto $f:c\to x$, lo + que significa precisamente que $\tau_c1_c$ es universal de $b$ a $U$. +\end{proof} + +\section{Adjunciones} + +Sea $U:\cC\to\cB$ un funtor tal que todo objeto $b$ en $\cB$ admite una flecha +universal $(Fb,u_b)$ de $b$ a $U$. Para cada morfismo $f:b\to b'$ en $\cB$, +siguiendo la figura \ref{fig:universal} existe un único morfismo $Ff:Fb\to Fb'$ +en $\cC$ tal que $UFf\circ u_b=u_{b'}\circ f$, y además claramente $F1_b=1_{Cb}$ +y $Fg\circ Ff=F(g\circ f)$, de modo que $F:\cB\to\cC$ es un funtor y +$u:1_\cB\to U\circ F$ es una transformación natural. + +El que la imagen de $u$ esté formada por flechas universales permite obtener una +especie de inversa. Dados un objeto $b$ en $\cB$ y un objeto $c$ en $\cC$, para +cada morfismo $f:b\to Uc$ existe un único $\hat f:Fb\to c$ tal que +$f=U\hat f\circ u_b$, de modo que $\psi_{b,c}:\hom_\cC(Fb,c)\to\hom_\cB(b,Uc)$ +dada por $\psi_{b,c}(g)\coloneqq Ug\circ u_b$ es una biyección, y como $U$ es un +funtor y $u$ es natural, $\psi$ es un isomorfismo natural entre los funtores +$\hom_\cC\circ(F\times 1),\hom_\cB\circ(1\times U):\dual{\cB}\times\cC\to\bSet$ +(si los conjuntos hom no son siempre pequeños, basta sustituir $\bSet$ por una +clase de conjuntos más grande). Entonces $u_b\equiv\psi_{b,Fb}(1)$ y, del mismo +modo, podemos definir la transformación natural $e:F\circ U\to 1_\cC$ como +$e_c\coloneqq\psi_{Uc,c}^{-1}(1)$, de modo que para cada objeto $c$, $(Uc,e_c)$ +es una flecha universal de $F$ a $c$. + +La relación entre las transformaciones naturales $u$ y $e$ es más estrecha que +esto. Para un objeto $c$, $1_{Uc}=\psi(e_c)=Ue_c\circ u_{Uc}$, y de forma dual, +para un objeto $b$, +$\psi(e_{Fb}\circ Fu_b)=Ue_{Fb}\circ Ue_{Fb}\circ UFu_b\circ u_b=Ue_{Fb}\circ +u_{UFb}\circ u_b=1_{UFb}\circ u_b=u_b$ y por tanto +$1_{Fb}=\psi^{-1}(u_b)=e_{Fb}\circ Fu_b$. + +Esto motiva la siguiente definición. + +\begin{definition} + Una \conc{adjunción} entre dos categorías $\cB$ y $\cC$ es una tupla + $(F,G,\eta,\eps)$ formada por dos funtores $F:\cB\to\cC$ y $G:\cC\to\cB$ y dos + transformaciones naturales $\eta:1\to GF$ y $\eps:FG\to 1$, llamadas + respectivamente \conc{unidad} y \conc{co-unidad}, tales que + $G\eps\cdot\eta G=1_G$ y $\eps F\cdot F\eta=1_F$. +\end{definition} + +Cabe preguntarse si todas las adjunciones se pueden construir como en el +razonamiento anterior. La respuesta es que sí, como vemos a continuación. + +\begin{theorem}\label{thm:adjoint-elems} + Una adjunción $(F,G,\eta,\eps)$ entre $\cB$ y $\cC$ viene determinada por + cualquiera de las siguientes listas de elementos: + \begin{enumerate} + \item \label{enu:adj-canon} Funtores $F$ y $G$ y un isomorfismo natural + $\psi:\hom\circ(F\times 1)\to\hom\circ(1\times G)$. Entonces se definen + $\eta_b\coloneqq\psi_{b,Fb}(1)$ y $\eps_c\coloneqq\psi_{Uc,c}^{-1}(1)$. + \item \label{enu:adj-univ} El funtor $G$ y, para cada objeto $b$ en $\cB$, una + flecha universal $(c_b,\eta_b)$ de $b$ a $G$. Entonces $F$ se define sobre + cada objeto $b$ como $c_b$ y sobre cada morfismo $f:b\to b'$ como el único + $Ff$ tal que $GFf\circ\eta_b=\eta_{b'}\circ f$, y el isomorfismo + $\psi_{b,c}$ del apartado \ref{enu:adj-canon} se define como + $g\mapsto Gg\circ\eta_b$. + \item \label{enu:adj-couniv} El funtor $F$ y, para cada objeto $c$ en $\cC$, + una flecha universal $(b_c,\eps_c)$ de $F$ a $b$. Entonces $G$ se define + sobre cada objeto $c$ como $b_c$ y sobre cada morfismo $g:c\to c'$ como el + único $Gg$ tal que $\eps_c\circ FGg=g\circ\eps_{c'}$, y el isomorfismo + $\psi_{b,c}$ se define como el inverso de $f\mapsto\eps_c\circ Ff$. + \end{enumerate} + En particular, cada $(Fb,\eta_b)$ es una flecha universal de $b$ a $G$ y cada + $(Gc,\eps_c)$ es una flecha universal de $F$ a $u$. +\end{theorem} +\begin{proof} + Para (\ref{enu:adj-canon}), si $b$ es un objeto de $\cB$ y $c$ uno de $\cC$, + definimos $\psi:\hom(Fb,c)\to\hom(b,Gc)$ como $\psi(g)\coloneqq Gg\circ\eta_b$ + y $\theta:\hom(b,Gc)\to\hom(Fb,c)$ como $\theta(f)\coloneqq\eps_c\circ + Ff$. Entonces, como $\eta$ es natural, + \[ + \psi(\theta(f))=G\eps_c\circ GFf\circ\eta_b=G\eps_c\circ\eta_{Gc}\circ f=f, + \] + por lo que $\psi\circ\theta=1$, y análogamente $\theta\circ\psi=1$, por lo que + $\psi$ es un isomorfismo, claramente natural respecto a $b$ y $c$, y se tiene + $\psi(1)=\eta_b$ y $\theta(1)=\eps_c$. Para el recíproco, definiendo $\eta_b$ + y $\eps_c$ a partir de $\psi$ como en el enunciado, para todo morfismo + $f:Fb\to c$ podemos seguir flechas como sigue. + + \hfil + \begin{diagram} + \path (0,2) node(UL){$\hom(Fb,Fb)$} (3,2) node(UR){$\hom(b,GFb)$}; + \path (0,0) node(BL){$\hom(Fb,c)$} (3,0) node(BR){$\hom(b,Gc)$}; + \draw[->] (UL) -- node[above]{$\psi_{b,Fb}$} (UR); + \draw[->] (BL) -- node[above]{$\psi_{b,c}$} (BR); + \draw[->] (UL) -- node[left]{$\hom(Fb,f)$} (BL); + \draw[->] (UR) -- node[right]{$\hom(b,Gf)$} (BR); + \end{diagram} + \hfil + \begin{diagram} + \path (0,2) node(UL){$1$} (3,2) node(UR){$\eta_b$}; + \path (0,0) node(BL){$f$} (3,0) node(BR){$\psi_{b,c}(f)=Gf\circ\eta_b$}; + \tikzsquig (UL) -- (UR); \tikzsquig (BL) -- (BR); + \tikzsquig (UL) -- (BL); \tikzsquig (UR) -- (BR); + \end{diagram} + \hfil + + Con esto $1_{Gc}=\psi(\eps_c)=G\eps_c\circ\eta_{Gc}$, y la otra identidad es + dual a esta y se demuestra de forma análoga. + + Para (\ref{enu:adj-univ}), $(Fb,\eta_b)$ es una flecha universal, pues para + cada objeto $x$ en $\cC$, $\psi_{b,x}(g)=Gg\circ\eta_b$ es una biyección + $\hom(Fb,x)\to\hom(b,Ux)$ natural respecto a $x$ + (\ref{prop:yoneda-prop}). Recíprocamente, si sólo tenemos $G$ y las flechas + universales $(c_b,\eta_b)$, $F$ definido de esta forma es un funtor que hace a + $\eta$ natural y $\psi_{b,c}$ definido de esta forma es un isomorfismo por + (\ref{prop:yoneda-prop}) y es claramente natural. + + Finalmente, (\ref{enu:adj-couniv}) es dual a (\ref{enu:adj-univ}). +\end{proof} + +\begin{example} + Este teorema permite definir una gran variedad de adjunciones. + \begin{enumerate} + \item El caso más sencillo de adjunción se da cuando todos los conjuntos + admiten un objeto libre en un cierto constructo $\cC$. Entonces tenemos una + adjunción $(F,U,\eta,\eps)$, donde $U:\cC\to\bSet$ es el funtor olvidadizo, + $F:\bSet\to\cC$ es el funtor libre, $\eta_X:X\inTo UFX$ es la inclusión de + la base en el conjunto subyacente del objeto y $\eps_c:FUc\epicTo c$ es el + epimorfismo que aparece al describir un objeto como cociente de un cierto + objeto libre, que resulta ser el que tiene los propios elementos de $c$ como + generadores. Por ejemplo, en el caso de $R\dash\bMod$, $\eps_M$ lleva sumas + formales $\sum_{i=1}^ka_im_i$, con cada $a_i\in R$ y cada $m_i\in M$, a su + evaluación en el módulo $M$. + \item Entre $\bDom$ y $\bField$ hay una adjunción $(Q,U,\eta,\eps)$ formada + por la creación de cuerpos de fracciones $Q:\bDom\to\bField$, la inclusión + de categorías $U:\bField\inTo\bDom$, la inclusión canónica $\eta_D:D\to UQX$ + y la identidad $\eps_K:QUK\to K$ (recordemos que el cuerpo de fracciones de + un cuerpo es el propio cuerpo). + \item Si $\cC$ es una categoría que tiene colímites con diagrama $\cS$, entre + $\cC^\cS$ y $\cC$ hay una adjunción + $(\underrightarrow{\lim},\Delta,\eta,\eps)$, donde $\underrightarrow{\lim}$ + lleva cada diagrama a su objeto colímite, $\Delta:\cC\to\cC^\cS$ es el + funtor diagonal y $\eta_D:D\to\Delta\underrightarrow{\lim}D$ es el sumidero + colímite. Respecto a $\eps_c:\underrightarrow{\lim}\Delta c\to c$, el + colímite de $\Delta c$ es $^Ic$, siendo $I$ el número (cardinal) de + componentes conexas de $\cS$, y $\eps_c$ es el morfismo que <<une todas las + copias de $c$>>. + \item Análogamente, si $\cC$ tiene límites con diagrama $\cS$, tenemos una + adjunción $(\Delta,\underleftarrow{\lim},\eta,\eps)$ donde + $\underleftarrow{\lim}$ lleva cada diagrama a su límite, $\eta_c$ es el + límite de $\Delta c$ (una potencia de $c$) y $\eps_D$ es el límite como + fuente. + \end{enumerate} +\end{example} + +\section{Adjuntos laterales} + +\begin{definition} + Dada una adjunción $(F,G,\eta,\eps)$, decimos que $F$ es un \conc{adjunto + izquierdo} de $G$ y que $G$ es un \conc{adjunto derecho} de $F$. +\end{definition} + +\begin{example} + El funtor olvidadizo $U:\bTop\to\bSet$ tiene una adjunción por cada + lado:\cite[4.1]{riehl} + \begin{enumerate} + \item Por la izquierda tiene el funtor $D:\bSet\to\bTop$ que asocia a cada + conjunto su topología discreta. Entonces $\eta_X:X\to UDX$ es la identidad + en $X$ y $\eps_T:DUT\to T$ es la identidad hacia $T$ desde el mismo conjunto + pero con la topología discreta. + \item Por la derecha tiene el funtor $N:\bSet\to\bTop$ que asocia a cada + conjunto su topología discreta. Aquí $\eps_X:UNX\to X$ es la identidad en + $X$ y $\eta_T:T\to NUT$ es la identidad desde $T$ hacia el mismo conjunto + pero con la topología indiscreta. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{proposition} + El adjunto por la izquierda o por la derecha de un funtor es único salvo + isomorfismo natural. +\end{proposition} +\begin{proof} + El adjunto por la izquierda de un funtor $G:\cC\to\cB$ viene dado por una + flecha universal $(Fb,\eta_b)$ de $b$ a $G$ para cada objeto $b$ en $\cB$ + (\ref{thm:adjoint-elems}), pero estas flechas son únicas salvo + isomorfismo. Así, si $(Fb,\eta_b)_b$ y $(F'b,\eta'_b)_b$ son familias de estas + flechas, para cada $b$ existe un único isomorfismo $h_b:Fb\to F'b$ tal que + $\eta'_b=Gh_b\circ\eta_b$. Para ver que este es natural, para $f:b\to b'$, por + la construcción de $Ff$ en \ref{thm:adjoint-elems}, + \[ + G(h_{b'}\circ Ff\circ h_b^{-1})\circ\eta'_b = Gh_{b'}\circ GFf\circ\eta_b + = Gh_{b'}\circ GFf\circ\eta_b = Gh_{b'}\circ\eta_{b'}\circ f = \eta'_{b'}\circ f, + \] + y por la unicidad en dicha construcción, $F'f=h_{b'}\circ Ff\circ h_b^{-1}$. + + El concepto de adjunto por la derecha es el dual. +\end{proof} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "main" +%%% End: @@ -44,6 +44,7 @@ decorate, decoration={ \newtheorem{proposition}{Proposición}[chapter] \newtheorem{theorem}[proposition]{Teorema} \newtheorem{corollary}[proposition]{Corolario} +\newtheorem{lemma}[proposition]{Lema} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}[proposition]{Definición} \newtheorem{axiom}[proposition]{Axioma} @@ -57,6 +58,7 @@ decorate, decoration={ \newcommand{\dCat}[2]{\newcommand{#1}{{\bf #2}}} \newcommand{\conc}[1]{\emph{#1}} \newcommand{\concsuffix}[1]{\emph{#1}} +\newcommand{\eps}{\varepsilon} \dCat{\bAlg}{Alg} \dCat{\bSet}{Set} \dCat{\bRel}{Rel} @@ -64,6 +66,7 @@ decorate, decoration={ \dCat{\bOrd}{Ord} \dCat{\bLat}{Lat} \dCat{\bGrph}{Grph} +\dCat{\bMGrph}{MGrph} \dCat{\bMat}{Mat} \dCat{\bSmgrp}{Smgrp} \dCat{\bMon}{Mon} @@ -72,6 +75,7 @@ decorate, decoration={ \dCat{\bRing}{Rng} % Backwards compat \dCat{\bRng}{Rng} \dCat{\bCRng}{CRng} +\dCat{\bDom}{Dom} \dCat{\bField}{Field} \dCat{\bMod}{Mod} \dCat{\bVec}{Vec} @@ -118,7 +122,7 @@ decorate, decoration={ \newcommand{\inTo}{\hookrightarrow} \renewcommand{\mapsto}{\rightsquigarrow} \renewcommand{\Im}{\error{You probably meant \backslash{}Img}} -\newcommand{\dual}[1]{#1^{\text{op}}} +\newcommand{\dual}[1]{#1^{\mathrm{op}}} \newcommand{\power}{\mathcal{P}} \newcommand{\copower}{\mathcal{Q}} \newcommand{\UNIVERSE}{\mathcal{U}} @@ -185,7 +189,7 @@ decorate, decoration={ \input{ch4_trans} \chapter{Adjunciones} -% TODO +\input{ch5_adjoints} \chapter{Mónadas} \input{ch6_monads} |