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diff --git a/ch1_cats.tex b/ch1_cats.tex index 2f659a4..c74ea54 100644 --- a/ch1_cats.tex +++ b/ch1_cats.tex @@ -224,9 +224,9 @@ simplemente $\bVec$ si $K=\sReal$. Hasta ahora, en todas las categorías que hemos visto, los objetos son conjuntos con estructura y los morfismos son funciones entre ellos. Las categorías de esta -forma se llaman \emph{constructos}, concepto que formalizaremos más adelante, y -aunque son muy comunes, también hay muchas categorías relevantes que no son -constructos. +forma se llaman \emph{constructos}\footnote{Veremos una definición más abstracta + de constructo cuando veamos los funtores.}, y aunque son muy comunes, también +hay muchas categorías relevantes que no son constructos. \begin{example} Para un anillo $R$, la categoría $R\dash\bMat$ tiene como objetos los números @@ -441,10 +441,96 @@ son isomorfos a dicho objeto. observación es por definición. \end{proof} +\section{Monomorfismos y epimorfismos} + +En muchas ramas del álgebra llamamos monomorfismos a los morfismos inyectivos y +epimorfismos a los morfismos suprayectivos. Esta definición depende de que los +morfismos sean funciones, por lo que no nos sirve para categorías generales. + +Para los monomorfismos podemos basarnos en que, en $\bSet$, los elementos de un +conjunto $S$ se identifican con los morfismos $\{*\}\to S$, con lo que la +propiedad de que $f(x)=f(y)\implies x=y$ se puede traducir como sigue. + +\begin{definition} + Un morfismo $f:a\to b$ es un \conc{monomorfismo} (escrito $f:a\monicTo b$) si + es cancelable por la izquierda, es decir, si para cualesquiera $h,k:c\to a$ + con $f\circ h=f\circ k$ se tiene $h=k$. +\end{definition} + +\begin{example}[Monomorfismos en constructos]\; + % En el caso de $\bSet$, tomando $c=\{*\}$ se tiene por construcción que todo + % monomorfismo es inyectivo, y recíprocamente, si $f:X\to Y$ es una función + % inyectiva y $h,k:S\to X$ con $f\circ h=f\circ k$, entonces para $x\in S$ es + % $f(h(x))=f(k(x))$ y por tanto $h(x)=k(x)$, por lo que $h=k$ y $f$ es un + % monomorfismo. Veamos lo que ocurre en otros constructos. + \begin{enumerate} + \item En $\bSet$, por construcción, todo monomorfismo es inyectivo sin más que + tomar $c=\{*\}$ en la definición anterior. Lo mismo ocurre en $\bTop$, + $\bMet$, $\bOrd$ y otros constructos en que los elementos de un conjunto se + identifiquen con los morfismos $\{*\}\to S$. + \item En todos los constructos, los morfismos inyectivos son monomorfismos, + pues si $f:X\to Y$ es un morfismo inyectivo y $h,k:S\to X$ con + $f\circ h=f\circ k$, entonces para $x\in S$, $f(h(x))=f(k(x))$ y por tanto + $h(x)=k(x)$, de modo que $h=k$. + \item En $R\dash\bMod$, si $f:M\to N$ es un monomorfismo y $x,y\in M$ cumplen + $f(x)=f(y)$, los morfismos $R\to M$ dados por $a\mapsto ax$ y $a\mapsto ay$ + quedan iguales al componerlos con $f$ y por tanto son iguales, por lo que + $x=1x=1y=y$ y los monomorfismos son inyectivos. + \item Aunque en la mayoría de constructos relevantes los monomorfismos son + precisamente los morfismos inyectivos, esto no es siempre así, como muestra + el constructo con objetos $\{*\}$, $\{\$\}$ y $\{x,y\}$ y como morfismos las + identidades, las funciones con codominio $\{\$\}$ y el morfismo + $*\mapsto x$, en el cual el morfismo $\{x,y\}\to\{\$\}$ es un monomorfismo + pero no es inyectivo. + \end{enumerate} +\end{example} + +Hasta ahora para probar que los monomorfismos de un constructo son inyectivos +hemos tomado un objeto $D$ y un objeto $*\in D$ tal que, para cualquier otro +objeto $A$ y $a\in A$, podemos definir un morfismo $f:D\to A$ tal que $f(*)=a$. +Para las variedades algebraicas, sin embargo, no es inmediato ver cuál es este +objeto. + +\begin{definition} + Dados un conjunto graduado $\Omega=\{s_1,\dots,s_k\}$ donde cada $s_i$ tiene + aridad $n_i$ y un conjunto finito $E$ de identidades en $\Omega$, el + \conc{objeto libre} de $(\Omega,E)\dash\bAlg$ sobre el conjunto $X$ es el + objeto construído tomando el conjunto de los árboles con raíz cuyos nodos se + etiquetan con un $s_i$ y tienen $n_i$ hijos, o con un $x\in X$ y tienen 0 + hijos, haciendo el conjunto cociente por reescritura según las identidades en + $E$, y definiendo las operaciones por construcción de árboles. +\end{definition} + +\begin{example}[Objetos libres en variedades algebraicas comunes]\; + \begin{enumerate} + \item El monoide libre sobre $X$ está formado por las cadenas de elementos de + $X$ junto a la concatenación, mientras que el semigrupo libre es similar + pero excluyendo la cadena vacía. + \item El grupo libre sobre $X$ está formado por cadenas de símbolos de la + forma $x$ o $\overline x$ para $x\in X$, con la condición de que no aparecen + subsecuencias $x\overline x$ u $\overline xx$, y la operación es la + concatenación eliminando sucesivamente las subcadenas de esta forma. + \item El grupo abeliano libre sobre $X$ es $\mathbb{Z}^X$. + \item El anillo conmutativo libre sobre $\{x_1,\dots,x_n\}$ es el anillo de + polinomios $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]$. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{proposition} + En las variedades algebraicas, los monomorfismos son precisamente los + morfismos inyectivos. +\end{proposition} +\begin{proof} + Sean $f:A\to B$ un monomorfismo en $(\Omega,E)\dash\bAlg$ y $x,y\in A$ con + $f(x)=f(y)$. Si $F$ es la $(\Omega,E)$-álgebra libre sobre $\{*\}$, $h$ es el + único morfismo $F\to A$ con $h(*)=x$ y $k:F\to A$ es el único con $h(*)=y$, + para $c\in F$, $f(h(c))$ y $f(k(c))$ vienen dados por $f(h(*))$ y $f(k(*))$ + siguiendo la estructura de $c$, por lo que $f\circ h=f\circ k$, $h=k$ y, + finalmente, $x=y$. +\end{proof} + +% TODO Motivar y explicar epimorfismos -%% TODO Cambiar esto a una sección sobre categorías algebraicas para así separar la -%% definición en varias y poder hacer comentarios en medio y con suerte que la definición -%% de las acciones derivadas quepa, y poder poner ejemplos detrás. Quedaría como sigue: % - Ejemplos Set, Prord, Ord % - Subcategorías % 1.1 Categorías algebraicas |