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diff --git a/ch1_cats.tex b/ch1_cats.tex index 32036ee..48a93ef 100644 --- a/ch1_cats.tex +++ b/ch1_cats.tex @@ -332,7 +332,7 @@ Llamamos entonces $f^{-1}$ a la inversa de $f$. \item En $\bTop$ y $\bMetc$, los isomorfismos son los homeomorfismos. \item En $\bBanb$, los isomorfismos son los isomorfismos topológicos, es decir, los isomorfismos vectoriales que son homeomorfismos. - \item En $\bMet$ los isomorfismos son las isomorfías, mientras que en $\bBan$ + \item En $\bMet$ los isomorfismos son las isometrías, mientras que en $\bBan$ son los isomorfismos isométricos. \item En $\bSet$, los isomorfismos son las funciones biyectivas. \item Un \conc{grupoide} es una categoría en la que todos los morfismos son @@ -496,7 +496,7 @@ objeto. Dados un conjunto graduado $\Omega=\{s_1,\dots,s_k\}$ donde cada $s_i$ tiene aridad $n_i$ y un conjunto finito $E$ de identidades en $\Omega$, el \conc{objeto libre} de $(\Omega,E)\dash\bAlg$ sobre el conjunto $X$ es el - objeto construído tomando el conjunto de los árboles con raíz cuyos nodos se + objeto construido tomando el conjunto de los árboles con raíz cuyos nodos se etiquetan con un $s_i$ y tienen $n_i$ hijos, o con un $x\in X$ y tienen 0 hijos, haciendo el conjunto cociente por reescritura según las identidades en $E$, y definiendo las operaciones por construcción de árboles. @@ -590,16 +590,17 @@ correspondiente para epimorfismos. $f(\frac xy)=\frac{f(x)}{f(y)}=\frac{(f\circ u)(x)}{(f\circ u)(y)}$, y lo mismo ocurre con $g$. \item En $\bMet$ y $\bMetc$, los epimorfismos son precisamente las - funciones con imagen densa. En efecto, si $f:X\to Y$ es un - morfismo con imagen densa y $g,h:Y\to Z$ son morfismos con - $g\circ f=h\circ f$, para $y\in Y$ existe una sucesión - $\{x_n\}_n\subseteq X$ con $y=\lim_nf(x_n)$, y por unicidad del - límite y continuidad, $g(y)=\lim_ng(f(x_n))=\lim_nh(f(x_n))=h(y)$. - Recíprocamente, si $f:X\to Y$ no tiene imagen densa, existen - $y_0\in Y$ y $r>0$ con $B(y_0,r)\cap\Img{f}=\emptyset$, por lo que - $g,h:Y\mapsto\sReal$ dadas por $g(y)\coloneqq r$ y - $h(y)\coloneqq\min\{d(y_0,y),r\}$ son retracciones continuas - distintas con $g\circ f=h\circ f$. + funciones con imagen densa. + \begin{proof} + Si $f:X\to Y$ es un morfismo con imagen densa y $g,h:Y\to Z$ son morfismos + con $g\circ f=h\circ f$, para $y\in Y$ existe una sucesión + $\{x_n\}_n\subseteq X$ con $y=\lim_nf(x_n)$, y por unicidad del límite y + continuidad, $g(y)=\lim_ng(f(x_n))=\lim_nh(f(x_n))=h(y)$. Recíprocamente, + si $f:X\to Y$ no tiene imagen densa, existen $y_0\in Y$ y $r>0$ con + $B(y_0,r)\cap\Img{f}=\emptyset$, por lo que $g,h:Y\mapsto\sReal$ dadas por + $g(y)\coloneqq r$ y $h(y)\coloneqq\min\{d(y_0,y),r\}$ son retracciones + continuas distintas con $g\circ f=h\circ f$. + \end{proof} \end{enumerate} \end{example} @@ -626,7 +627,168 @@ vez monomorfismos y epimorfismos son isomorfismos. \end{enumerate} \end{example} +\section{Secciones y retracciones} + +Hemos estudiado los morfismos cancelables por uno de los lados, por lo que cabe +preguntarse qué ocurre con los morfismos invertibles por uno de los +lados. Claramente este es un concepto más fuerte, y de hecho es estrictamente +más fuerte. + +\begin{definition} + Una \conc{sección} es un morfismo con inverso por la izquierda, y + una \conc{retracción} es un morfismo con inverso por la derecha. Es + decir, si $f:a\to b$ y $g:b\to a$ son tales que $g\circ f=1_a$, + entonces $f$ es una sección y $g$ es una retracción. +\end{definition} + +Claramente las secciones son monomorfismos y las retracciones son +epimorfismos. Veamos algunos ejemplos. + +\begin{example}\; + \begin{enumerate} + \item En $\bSet$, las secciones son las funciones inyectivas salvo + las que van de un conjunto vacío a uno no vacío, y las + retracciones son las funciones suprayectivas. Es fácil ver que + esto último es equivalente al axioma de elección. + \item En $R\dash\bMod$, las secciones son los monomorfismos + $f:M\monicTo N$ en que $\Img{f}$ es un sumando directo de $N$, y + las retracciones son las proyecciones salvo isomorfismo, es decir, + los epimorfismos $f:M\epicTo N$ tales que existe un módulo $P$ y + un isomorfismo $h:M\cong N\times P$ con $f=p\circ h$, siendo + $p:N\times P\epicTo N$ la proyección (figura \ref{fig:mod-retract}). + \begin{figure} + \centering + \begin{tikzpicture} + \selectlanguage{english} + \draw[->] (0,2) node(M){$M$} + (1,2) node{$\cong$} node[above]{$h$} + (2,2) node(NP){$N\times P$} + (2,0) node(N){$N$} + (M) -- node[left]{$f$} (N); + \draw[->] (NP) -- node[right]{$p$} (N); + \end{tikzpicture} + \label{fig:mod-retract} + \caption{Retracción en $R\dash\bMod$ vista como proyección + compuesta con un isomorfismo.} + \end{figure} + \begin{proof} + Claramente los monomorfismos cuya imagen es un sumando directo son + secciones y las proyecciones son retracciones. Para el recíproco, sean + $f:M\monicTo N$ y $g:N\epicTo M$ con $g\circ f=1_M$. Se tiene + $N=\Img{f}\oplus\ker{g}$, pues para $n\in N$, + $n_1\coloneqq f(g(n))\in\Img{f}$ y $n_2\coloneqq n-f(g(n))\in\ker{g}$ + suman $n$ y, si $p_1\in\Img{f}$ y $p_2\in\ker{g}$ cumplen $n=p_1+p_2$, sea + $m_1\in M$ la preimagen de $p_1$ por $f$, entonces y + $g(n)=g(p_1+p_2)=g(f(m_1))+g(p_2)=m_1+0$ y $n_1=f(g(n))=g(m_1)=p_1$, con + lo que $n_2=p_2$. Entonces $\Img{f}$ es sumando directo de $N$ y, por ser + $f$ inyectiva, $f:M\to\Img{f}$ es un isomorfismo con inverso + $g|_{\Img{f}}$, con lo que + $n\mapsto(n_1,n_2)\mapsto (g(n_1), n_2)=(g(n),n_2)$ es un isomorfismo + $N\cong M\times\ker{g}$ que al componerlo con la proyección a $M$ se + obtiene $g$. + \end{proof} + \item En $K\dash\bVec$, como caso especial del apartando anterior, todos los + monomorfismos son secciones y todos los epimorfismos son retracciones. + \end{enumerate} +\end{example} + +Las secciones y retracciones se conservan por composición del mismo modo que +lo hacen los monomorfismos y epimorfismos: + +\begin{proposition}\; + \begin{enumerate} + \item La composición de secciones es una sección. + \begin{proof} + Si $f$ y $g$ son secciones con inversas por la izquierda respectivas + $\overline f$ y $\overline g$, entonces + $(\overline f\circ\overline g)\circ g\circ f=\overline f\circ f=1$. + \end{proof} + \item Si $g\circ f$ es una sección, $f$ es una sección. + \begin{proof} + Si $g\circ f$ es una sección con inversa por la izquierda $h$, entonces + $h\circ g\circ f=1$, y $h\circ g$ es inversa por la izquierda de $f$. + \end{proof} + \end{enumerate} +\end{proposition} + +De forma análoga se prueba la siguiente proposición. + +\begin{proposition}\; + \begin{enumerate} + \item La composición de retracciones es una retracción. + \item Si $g\circ f$ es una retracción, $g$ es una retracción. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +Cabe preguntarse si un morfismo que es a la vez sección y retracción es +invertible. La respuesta es que sí, y además esta condición se puede relajar. + +\begin{proposition} + Para un morfismo $f$, las siguientes afirmaciones son equivalentes: + \begin{enumerate} + \item \label{enu:sr-iso} $f$ es un isomorfismo. + \item \label{enu:sr-both} $f$ es una sección y una retracción. + \item \label{enu:sr-relax-left} $f$ es un monomorfismo y una retracción. + \item \label{enu:sr-relax-right} $f$ es una sección y un epimorfismo. + \end{enumerate} +\end{proposition} +\begin{proof} + Las implicaciones + (\ref{enu:sr-iso})$\implies$(\ref{enu:sr-both})$\implies$(\ref{enu:sr-relax-left}), + (\ref{enu:sr-relax-right}) son obvias. + + Para (\ref{enu:sr-both})$\implies$(\ref{enu:sr-iso}), si $f:a\to b$ y + $g,h:b\to a$ son tales que $g\circ f=1_a$ y $f\circ h=1_b$, entonces + $g=g\circ 1_b=g\circ f\circ h=1_a\circ h=h$, y $g=h$ es la inversa de $f$. + + Para (\ref{enu:sr-relax-left})$\implies$(\ref{enu:sr-iso}), sea $g$ un + morfismo con $f\circ g=1$, entonces $f\circ g\circ f=1\circ f=f\circ 1$, y + como $f$ es un monomorfismo, cancelando, $g\circ f=1$ y $f$ es un + isomorfismo. + + De forma análoga (\ref{enu:sr-relax-right})$\implies$(\ref{enu:sr-iso}). +\end{proof} + +\section{Dualidad} + +La mayoría de las propiedades que hemos visto hasta ahora vienen en pares con +definiciones muy parecidas, y de hecho, cada vez que demostrábamos algo sobre +una de los propiedades, la misma idea servía para demostrar algo similar sobre +la otra. Esto ocurre mucho en teoría de categorías, y para sacar ventaja de esto +definimos el concepto de dualidad. + +\begin{definition} + Dada una categoría $\cC$, su \conc{categoría dual} es una categoría + $\dual{\cC}$ con los mismos objetos y morfismos que $\cC$ y la misma función + identidad pero tal que, para todo morfismo $f$, + $\dom_{\dual{\cC}}{f}=\cod_{\cC}{f}$ y $\cod_{\dual{\cC}}{f}=\dom_{\cC}{f}$, y + la composición se define como $f\circ_{\dual{\cC}}g\coloneqq g\circ_{\cC}f$. +\end{definition} + +\begin{example} + \begin{enumerate} + \item Si $(X,\preceq)$ es un conjunto preordenado, su dual visto como + categoría es $(X,\succeq)$. + \item El dual de una categoría discreta es ella misma. + \end{enumerate} +\end{example} + +La principal utilidad de la categoría dual está en definir el dual de un +concepto o propiedad. + +\begin{definition} + Si $P$ es un predicado aplicable a una o más categorías $\cC_1,\dots,\cC_n$, + su \conc{dual} es + $\dual{P}(\cC_1,\dots,\cC_n)\equiv P(\dual{\cC_1},\dots,\dual{\cC_n})$, y + decimos que $P$ es \conc{auto-dual} si $P\equiv\dual{P}$. +\end{definition} +En esencia, tomar la categoría dual consiste en invertir el sentido de las +flechas en la categoría, y tomar el predicado dual consiste en invertir el +sentido de los morfismos que se mencionan. En general al tratar un concepto +categórico es conveniente fijarse en el dual del concepto, ya que suele ser un +concepto relevante y, además, las propiedades de dicho concepto se derivan +directamente de las del concepto original, sin necesidad de demostración aparte. % - Ejemplos Set, Prord, Ord % - Subcategorías |