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diff --git a/ch3_limits.tex b/ch3_limits.tex index fb7723a..a6ab56b 100644 --- a/ch3_limits.tex +++ b/ch3_limits.tex @@ -568,11 +568,266 @@ análogamente se define tener colímites, coproductos, conúcleos, etc. retículo completo. Análogamente, si $C$ es una categoría cocompleta, también es un retículo completo. \end{proof} - \item La subcategoría de $\bSet$ de los conjuntos finitos es finitamente - completa y cocompleta, pero no es completa ni cocompleta. + \item La subcategoría completa de $\bSet$ de los conjuntos finitos es + finitamente completa y cocompleta, pero no es completa ni cocompleta. \end{enumerate} \end{example} +\section{Preservación por funtores} + +En esta sección estudiamos si los funtores conservan los límites y colímites, o +más precisamente, qué funtores preservan qué límites y qué colímites, y qué nos +dice eso. + +El concepto de <<conservar límites>> se puede entender de varias formas. Una es +que la imagen conserve el límite, es decir, que al aplicar el funtor a un límite +de un diagrama, se obtiene uno de la composición del diagrama con el funtor. Sin +embargo, el que la preimagen lo conserve no es tan fácil de definir. Por +ejemplo, se puede hablar de que, si la composición del diagrama con el funtor +tiene un límite, entonces todas las preimágenes del límite son límites, o al +menos una lo es, o si simplemente esto implica que el diagrama original tiene +límite pero este no tiene que estar en la preimagen. + +A continuación formalizamos estos conceptos y estudiamos su relación. Por +brevedad, nos enfocamos en los conceptos relativos a límites, pero los conceptos +duales se obtienen fácilmente. + +\begin{definition} + Un funtor $F:\cC\to\cD$ \conc{preserva} un límite $(f_i:L\to Di)_i$ de un + diagrama $D:\cS\to\cC$ si $(Ff_i:FL\to FDi)_i$ es un límite de $F\circ D$, y + preserva los límites de cierto tipo (los de diagramas con cierto tipo de + esquema) si preserva todos los límites de dicho tipo. +\end{definition} + +\begin{example}\; + \begin{enumerate} + \item Los funtores identidad preservan todos los límites. + \item La composición de dos funtores que preserva un tipo de límite también + preserva ese tipo de límite. + \item En $\bTop$ y $\bGrph$, los funtores olvidadizos preservan límites y + colímites. + \begin{proof} + Claramente la conmutatividad de la fuente respecto al diagrama se + preserva. Si $(f_i:l\to Di)_i$ es un límite de $D:\cS\to\bTop$ y + $(g_i:x\to FDi)_i$ es una fuente conmutativa al diagrama $F\circ D$, donde + $F:\bTop\to\bSet$ es el funtor olvidadizo, dotando a $x$ de la topología + discreta se obtiene una fuente en $\bTop$ que conmuta con $D$ y por tanto + una única función continua $h:x\to l$ con cada $g_i=f_i\circ h$. La + unicidad de $h$ como función en $\bSet$ se debe a que todas las funciones + $x\to l$ son continuas. Para los colímites la prueba es análoga pero + usando la topología indiscreta. En $\bGrph$ hacemos lo mismo considerando + el grafo completo (incluyendo ejes reflexivos) y el grafo vacío. + \end{proof} + \item Si $\cC$ es un constructo con objetos libres para todos los conjuntos + pequeños, su funtor olvidadizo conserva límites. + \begin{proof} + Sea $(f_i:l\to Di)_i$ un límite de $D:\cS\to\cC$, y sea $(g_i:x\to FDi)_i$ + una fuente conmutativa al diagrama $F\circ D$, donde $F:\cC\to\bSet$ es el + funtor olvidadizo. Si $\hat x\in\Ob{\cC}$ es el objeto libre asociado a + $x$ y $u:x\to F\hat x$ es la función asociada, entonces para cada $i$ + existe ${\hat g}_i:\hat x\to Di$ con $g_i=F{\hat g}_i\circ u$, pero por + hipótesis existe un único $h:\hat x\to l$ con cada + ${\hat g}_i=f_i\circ h$, con lo que $g_i=Ff_i\circ(Fh\circ u)$. La + unicidad de $Fh\circ u$ es clara si $u$ es inyectiva, lo que ocurre si + $\cC$ tiene algún objeto que, como conjunto, tiene al menos 2 elementos, + pero si este no es el caso sólo hay como mucho una función $x\to l$. + \end{proof} + \item En $\bGrp$, $\bRing$ y $\bVec$, los funtores + olvidadizos preservan límites pero no coproductos ni conúcleos. + \begin{proof} + La preservación de límites es por el apartado anterior. Para los + coproductos, el coproducto en estas categorías es la suma directa y en + $\bSet$ es la unión disjunta, que en general es estrictamente más + pequeña. Para los conúcleos, en $\bRng$, si $f,g:\sInt_5[X]\to\sInt_5[X]$ + son respectivamente la identidad y la función $p(X)\mapsto p(-X)$, el + conúcleo de $f$ y $g$ en $\bSet$ es el conjunto cociente resultante de + identificar cada polinomio con el resultante de negar sus coeficientes + impares, que es infinito, pero en $\bRng$ es + $\frac{\sInt_5[X]}{(X)}\cong\sInt_5$, que es finito. Del mismo modo, en + $\bVec$, si $f,g:\sReal\to\sReal$ son la identidad y el producto por $-1$, + el conúcleo de $f$ y $g$ es 0 en $\bVec$ pero es infinito en $\bSet$. Algo + parecido ocurre en $\bGrp$ restringiendo $f$ y $g$ a $\sInt\to\sInt$. + \end{proof} + \item Los funtores hom preservan límites. + \begin{proof} + Sean $F=\hom(c,-):\cC\to\bSet$ un funtor hom, $(f_i:l\to Di)_i$ un límite + de $D:\cS\to\cC$ y $(g_i:X\to\hom(c,Di))_i$ una fuente en $\bSet$ que + conmuta con $F\circ D$. Para cada $x\in X$, $(g_i(x):c\to Di)_i$ es una + fuente en $\cC$ que conmuta con $D$, por lo que existe un único morfismo + $\hat g(x):c\to l$ con cada $g_i(x)=f_i\circ\hat g(x)$ y así + $\hat g:X\to\hom(c,l)$ es la única función con $g_i=f_i\circ\hat g$. + \end{proof} + \item El funtor potencia $\power:\bSet\to\bSet$ no preserva productos, + coproductos, núcleos ni conúcleos. + \end{enumerate} +\end{example} + +Las propiedades de completitud y cocompletitud se pueden usar a la hora de +determinar si un determinado funtor preserva límites. + +\begin{proposition} + Si $\cC$ es finitamente completa, un funtor $F:\cC\to\cD$ preserva límites + finitos si y sólo si preserva productos finitos y núcleos, si y sólo si + preserva productos fibrados y objetos terminales. +\end{proposition} + +\begin{proposition} + Si $\cC$ es finitamente completa, un funtor $F:\cC\to\cD$ preserva límites + pequeños si y sólo si preserva productos y núcleos. +\end{proposition} + +\begin{proposition} + Un funtor que preserva límites finitos preserva también monomorfismos y + monomorfismos regulares. +\end{proposition} +\begin{proof} + Claramente conserva monomorfismos regulares ya que conserva núcleos, y + claramente un morfismo $f$ es un monomorfismo si y sólo si $(1,1)$ es producto + fibrado de $(f,f)$ como se muestra en la figura \ref{fig:monic-pullback}. + \begin{figure} + \centering + \begin{diagram} + \path (0,0) node(I1){$a$} (2,2) node(I2){$a$} (0,2) node(I0){$a$}; + \path (2,0) node(B){$b$}; + \draw[->] (I0) -- node[left]{$1$} (I1); + \draw[->] (I0) -- node[above]{$1$} (I2); + \draw[->] (I1) -- node[below]{$f$} (B); + \draw[->] (I2) -- node[right]{$f$} (B); + \end{diagram} + \caption{Caracterización de un monomorfismo por producto fibrado} + \label{fig:monic-pullback} + \end{figure} +\end{proof} + +\begin{definition} + Un funtor $F:\cC\to\cD$ \conc{levanta} un tipo de límites (\emph{de forma + única}) si para todo diagrama $D:\cS\to\cC$ de dicho tipo y todo límite + $(g_i)_i$ de $F\circ D$, existe un (único) límite $(f_i)_i$ de $D$ con cada + $g_i=Ff_i$. Del mismo modo, $F$ \conc{crea} un tipo de límites si para todo + diagrama $D:\cS\to\cC$ y todo límite $(g_i)_i$ de $F\circ D$ existe una única + fuente $(f_i:l\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ en $\cC$ con cada $g_i=Ff_i$, y además + esta fuente es un límite de $D$. +\end{definition} + +Claramente todo funtor que crea un tipo de límite lo levanta de forma única, y +todo funtor que lo levanta de forma única, lo levanta, pero los recíprocos no +son ciertos, como vemos a continuación. + +\begin{example}\; + \begin{enumerate} + \item Los funtores olvidadizos $(\Omega,E)\dash\bAlg\to\bSet$ y + $R\dash\bMod\to\bSet$ crean límites. + \begin{proof} + Sean $F:(\Omega,E)\dash\bAlg\to\bSet$ el funtor olvidadizo, + $D:\cS\to(\Omega,E)\dash\bAlg$ un diagrama, $(f_i:L\to FDi)_i$ un límite + de $F\circ D$ y $(f_i:(L,\mu)\to Di)_i$ una fuente arbitraria preimagen + por $F$ de dicho límite, y queremos ver que esta fuente existe, es única y + es un límite. Si $\Omega$ tiene operadores $(i_1,\dots,i_k)$ con aridades + $(n_1,\dots,n_k)$, para cada $p\in\{1,\dots,k\}$ e $i\in\Ob{\cS}$ + definimos $t_{pi}:L^{n_p}\to Di$ como + $t_{pi}(x_1,\dots,x_n)\coloneqq\nu_{pi}(f_i(x_1),\dots,f_i(x_n))$, donde + $\nu_{pi}$ es el $p$-ésimo operador en $Di$. Entonces para cada $p$ existe + una fuente $(t_{pi}:L^{n_p}\to Di)_i$ y por tanto una única función + $\mu_p:L^{n_p}\to L$ con cada + $f_i\circ\mu_p=t_{pi}=\nu_p\circ(f_i\times\dots\times f_i)$. Pero esta es + precisamente la condición para que cada $f_i$ sea un homomorfismo + $(L,(\mu_1,\dots,\mu_n))\to Di$, con lo que la fuente existe y es + única. Que las operaciones $\mu_p$ respetan las igualdades se debe, al + componerlas con cada $f_i$, las operaciones resultantes en términos de las + $\nu_{pi}$ las respetan, y por la unicidad en la definición del límite en + $\bSet$. + + Para ver que es un límite, si $(g_i:(X,\gamma)\to Di)_i$ es otra fuente + que conmuta con $D$, $(Fg_i)_i$ conmuta con $F\circ D$ y por tanto existe + una única función $h:X\to L$ con cada $g_i=f_i\circ h$, y queda ver que + $h$ es un homomorfismo. Pero para cada $p$ y cada $i$, usando que los + $g_i$ son homomorfismos, + \begin{multline*} + f_i\circ h\circ\gamma_p = g_i\circ\gamma_p + = \nu_{pi}\circ(g_i\times\dots\times g_i) = \\ + = \nu_{pi}\circ(f_i\times\dots\times f_i)\circ(h\times\dots\times h) + = f_i\circ\mu_p\circ(h\times\dots\times h), + \end{multline*} + y como $(f_i)_i$ es un límite, + $h\circ\gamma_p=\mu_p\circ(h\times\dots\times h)$, lo que termina la + prueba. El caso de $R\dash\bMod$ se puede reducir a este último + convirtiendo el producto por elementos de $R$ una cantidad potencialmente + infinita de operaciones de aridad 1 en el módulo y convirtiendo cada + instancia de una propiedad de este producto en una igualdad en la lista de + igualdades, y usando que esta prueba no depende de que el número de + operaciones e igualdades sea finito. + \end{proof} + \item Los funtores olvidadizos de $\bTop$ y $\bGrph$ a $\bSet$ levantan + límites y colímites de forma única, pero no los crean. + \begin{proof} + Para ver que los crean, en $\bTop$ tomamos respectivamente la topología + inicial respecto al límite en $\bSet$ y la final respecto al colímite, y + en $\bGrph$ tomamos respectivamente la intersección de las preimágenes de + los ejes por las funciones del límite en $\bSet$ y la unión de las + imágenes de los ejes por las del colímite. Esto nos da los únicos límites + o colímites que son preimagen del correspondiente en $\bSet$ por el + funtor, pero en general hay más fuentes o sumideros que también son + preimagen, por ejemplo tomando la topología discreta, la indiscreta, el + grafo discreto y el grafo total (completo con ejes reflexivos), + respectivamente. + \end{proof} + \item El funtor olvidadizo de $\bMetc$ levanta límites finitos, pero no de + forma única. + \begin{proof} + Sean $F$ el funtor olvidadizo, $D:\cS\to\bMetc$ un diagrama finito y + $(f_i:L\to FDi)_i$ un límite de $F\circ D$, llamando $d_i$ a la distancia + de $Di$ para cada $i$, + $\hat d(x,y)\coloneqq\max_{i\in\Ob{\cS}}d_i(f_i(x),f_i(y))$ es una + distancia en $L$, pues cumple con la simetría y desigualdad triangular y + si $\hat d(x,y)=0$, entonces $f_i(x)=f_i(y)$ para todo $i$ y por la + definición de límite es $x=y$. Además, si $(g_i:X\to Di)_i$ es una fuente + en $\bTop$, $(g_i:X\to FDi)_i$ lo es en $\bSet$ y existe $h:X\to L$ con + cada $g_i=f_i\circ h$, pero para $x\in X$ y $\varepsilon>0$, para cada $i$ + existe $\delta_i>0$ tal que + $g_i(B(x,\delta_i))\subseteq B(g_i(x),\varepsilon)$, y tomando + $\delta'\coloneqq\min_i\delta_i$, para cada $i$, + $f_i(h(B(x,\delta'))\subseteq B(f_i(h(x)),\varepsilon)$, con lo que + $h(B(x,\delta'))\subseteq f_i^{-1}(B(f_i(h(x)),\varepsilon))$ y por tanto + $h(B(x,\delta'))\subseteq\bigcap_i f_i^{-1}(B(f_i(h(x))),\varepsilon)= + B(h(x),\varepsilon)$, de modo que $h$ es continua. El levantamiento no es + único porque multiplicando la métrica por una constante positiva se + obtiene otra equivalente. + \end{proof} + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{theorem} + Si $F:\cC\to\cD$ levanta límites y $\cD$ es completa, entonces $\cC$ es + completa y $F$ preserva límites pequeños. +\end{theorem} +\begin{proof} + Si $D$ es un diagrama pequeño, $F\circ D$ tiene límite y este tiene una + preimagen que es un límite de $D$ y que $F$ preserva. Como los límites son + únicos salvo isomorfismo, $F$ preserva el resto de límites al preservar + isomorfismos. +\end{proof} + +\begin{definition} + Un funtor $F:\cC\to\cD$ \conc{refleja} un tipo de límites si para todo + diagrama $D:\cS\to\cC$ de este tipo, toda fuente + $(f_i:c\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ tal que $(Ff_i)_i$ es límite de $F\circ D$ es + límite de $D$. $F$ \conc{detecta} un tipo de límites si todo diagrama + $D:\cS\to\cC$ tal que $F\circ D$ tiene un límite tiene un límite. +\end{definition} + +\begin{proposition}\; + \begin{enumerate} + \item Todo funtor que levanta un tipo de límite lo detecta. + \item Un funtor crea un tipo de límite si y sólo si lo levanta de forma única + y lo refleja. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +Otros tipos de relaciones no tienen por qué darse. Por ejemplo, el funtor +olvidadizo $\bTop\to\bSet$ levanta límites de forma única pero no los refleja, y +un funtor biyectivo en objetos que lleva una categoría discreta a una no +discreta refleja límites pero no los levanta ni los detecta. + %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "main" |