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diff --git a/ch6_monads.tex b/ch6_monads.tex index b07996c..a728df7 100644 --- a/ch6_monads.tex +++ b/ch6_monads.tex @@ -71,7 +71,7 @@ en \cite[VI]{maclane}. \label{fig:monad} \end{figure} -\begin{example}\; +\begin{example}\label{ex:monads}\; \begin{enumerate} \item $\power:\bSet\to\bSet$ es una mónada, descrita en la introducción del capítulo. @@ -96,20 +96,22 @@ en \cite[VI]{maclane}. de) otros árboles y sustituiría las hojas por los subárboles que representan. Es fácil ver que estas transformaciones son naturales y forman una mónada. - \item Sean $\cC$ una categoría con coproductos finitos y $d$ un objeto de - $\cC$. Sea $E:\cC\to\cC$ un endofuntor que a cada objeto $c$ le asocia - $c\oplus d$ y a cada morfismo $f:b\to c$ el morfismo <<suma>> - $Ef=f\oplus 1_d:b\oplus d\to c\oplus d$. Si $\eta_c:c\monicTo c\oplus d$ es - la inclusión canónica y $\mu_c:c\oplus d\oplus d\epicTo c\oplus d$ es la - función que <<identifica>> las dos copias de $d$ en el sentido evidente, - entonces $(E,\eta,\mu)$ es una mónada. - \item Sean $s$ un conjunto y $S\coloneqq\hom(s,-\times s)$ un endofuntor en - $\bSet$ que lleva cada conjunto $X$ al conjunto de funciones - $s\to X\times s$ y cada función $f$ a $\hom(s,f\times 1_s)$. Entonces $S$ es - una mónada con las transformaciones naturales $\eta:1\to S$ y $\mu:S^2\to S$ - dadas por la formación de pares $\eta_X(x)(y)\coloneqq(x,y)$ y la <<doble - evaluación>> $\mu_X(f)(y)\coloneqq (p_1fy)(p_2fy)$, donde $p_1$ y $p_2$ son - las proyecciones canónicas de $\hom(X,s)\times s$. + \item \label{enu:monad-result} Sean $\cC$ una categoría con coproductos + finitos y $d$ un objeto de $\cC$. Sea $E:\cC\to\cC$ un endofuntor que a cada + objeto $c$ le asocia $c\oplus d$ y a cada morfismo $f:b\to c$ el morfismo + <<suma>> $Ef=f\oplus 1_d:b\oplus d\to c\oplus d$. Si + $\eta_c:c\monicTo c\oplus d$ es la inclusión canónica y + $\mu_c:c\oplus d\oplus d\epicTo c\oplus d$ es la función que <<identifica>> + las dos copias de $d$ en el sentido evidente, entonces $(E,\eta,\mu)$ es una + mónada. + \item \label{enu:monad-state} Sean $s$ un conjunto y + $S\coloneqq\hom(s,-\times s)$ un endofuntor en $\bSet$ que lleva cada + conjunto $X$ al conjunto de funciones $s\to X\times s$ y cada función $f$ a + $\hom(s,f\times 1_s)$. Entonces $S$ es una mónada con las transformaciones + naturales $\eta:1\to S$ y $\mu:S^2\to S$ dadas por la formación de pares + $\eta_X(x)(y)\coloneqq(x,y)$ y la <<doble evaluación>> + $\mu_X(f)(y)\coloneqq (p_1fy)(p_2fy)$, donde $p_1$ y $p_2$ son las + proyecciones canónicas de $\hom(X,s)\times s$. % \begin{proof} % Escribiendo $e(f,y)\coloneqq f(y)$, se tiene $\mu_X(f)(y)\equiv e(f(y))$ y % $\mu_X(f)\equiv e\circ f$ (por abuso de notación, $e$ no representa una |