From 0a2e4cbff1b9f957dabf41f81aac9549da9b7043 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Juan Marin Noguera Date: Wed, 12 Apr 2023 17:51:30 +0200 Subject: Isomorfismos, objetos iniciales y finales --- ch1_cats.tex | 151 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 148 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'ch1_cats.tex') diff --git a/ch1_cats.tex b/ch1_cats.tex index ab54e17..2f659a4 100644 --- a/ch1_cats.tex +++ b/ch1_cats.tex @@ -290,13 +290,158 @@ topológicos y las funciones continuas entre ellos. que dos caminos $f$ y $g$ de $x$ a $y$ son homotópicamente equivalentes si existe $F:[0,1]\times[0,1]\to X$ tal que, para $s,t\in[0,1]$, $F(t,0)=f(t)$, $F(t,1)=g(t)$, $F(0,s)=x$ y $F(1,s)=y$. Entonces el \conc{grupoide - fundamental}\cite[p. 20]{maclane} de $X$ es una categoría $\pi(X)$ cuyos + fundamental}\cite[p. 20]{maclane} de $X$ es una categoría $\pi(X)$ cuyos objetos son los puntos de $X$ y tal que $\hom(x,y)$ es el conjunto cociente de - caminos de $x$ a $y$ por equivalencia homotópica. + caminos de $x$ a $y$ por equivalencia homotópica, tomando la concatenación de + (clases de) caminos como composición y la clase del camino constante como + morfismo identidad. + + Para $x\in X$, $\hom(x,x)$ es un grupo con la composición, y si existe un + camino $f:x\to y$, $\hom(x,x)$ y $\hom(y,y)$ son isomorfos por el isomorfismo + $g\mapsto fgf^{-1}$, definiendo $f^{-1}$ de la forma obvia, con lo que si $X$ + es conexo por arcos, $\hom(x,x)$ es el mismo para todo $x$ salvo + isomorfismo, y se llama \conc{grupo fundamental} de $X$. Esto permite tratar + espacios topológicos de manera algebraica. +\end{example} + +\section{Isomorfismos} + +Ya hemos visto las categorías más importantes de distintas áreas, por lo que +pasamos a ver algunas propiedades de sus objetos y morfismos. Un primer ejemplo +es el de isomorfismo, que se suele definir como un homomorfismo biyectivo cuya +inversa también es un homomorfismo. En topología tenemos también el concepto +de homeomorfismo, que viene a ser lo mismo salvo por el cambio de terminología. - % TODO Relevancia +\begin{definition} + Un morfismo $f:a\to b$ es un \conc{isomorfismo}, si existe otro morfismo + $g:b\to a$ tal que $g\circ f=1_a$ y $f\circ g=1_b$, en cuyo caso escribimos + $f:a\cong b$ y decimos que $a$ y $b$ son \conc{isomorfos}, $a\cong b$. +\end{definition} + +Claramente el inverso de un isomorfismo es único, pues si $f:a\to b$ tiene +inversos $g,h:b\to a$, entonces $g=g\circ 1_b=g\circ f\circ h=1_a\circ h=h$. +Llamamos entonces $f^{-1}$ a la inversa de $f$. + +\begin{example} + Algunos isomorfismos: + \begin{enumerate} + \item En $\bSmgrp$, $\bMon$, $\bGrp$, $\bAb$, $\bRing$ y $R\dash\bMod$, el + concepto de isomorfismo categórico se corresponde con el concepto usual de + isomorfismo. + \item En $\bTop$ y $\bMetc$, los isomorfismos son los homeomorfismos. + \item En $\bBanb$, los isomorfismos son los isomorfismos topológicos, es + decir, los isomorfismos vectoriales que son homeomorfismos. + \item En $\bMet$ los isomorfismos son las isomorfías, mientras que en $\bBan$ + son los isomorfismos isométricos. + \item En $\bSet$, los isomorfismos son las funciones biyectivas. + \item Un \conc{grupoide} es una categoría en la que todos los morfismos son + isomorfismos. Esto ocurre, por ejemplo, en el grupoide fundamental. + \item En un conjunto preordenado visto como categoría, dos objetos $a$ y $b$ + son isomorfos si y sólo si $a\preceq b\preceq a$, por lo que en particular + un conjunto (parcialmente) ordenado visto como categoría no tiene + isomorfismos salvo la identidad. + \item En un monoide visto como categoría, los isomorfismos son los elementos + invertibles. + \item En $R\dash\bMat$, los isomorfismos son las matrices invertibles. + \end{enumerate} \end{example} +\section{Objetos iniciales y finales} + +En álgebra, muchas categorías tienen un objeto trivial, como el cuerpo trivial, +el grupo trivial o el espacio vectorial trivial. Sin embargo, a la hora de +intentar definir la topología trivial nos encontramos que hay dos candidatos +posibles, la topología vacía y la unipuntual, y ninguna es enteramente +satisfactoria. Esto se debe a que, al hablar de un objeto trivial estamos +juntando dos propiedades: por un lado, el objeto trivial está contenido en todos +los demás, y por otro, siempre es posible pasar de un objeto al objeto trivial +por un morfismo. + +\begin{definition} + Un objeto $a$ es \conc{inicial} si para cualquier otro objeto $x$ existe un + único morfismo $f_x:a\to x$, es \conc{final} si para cualquier otro objeto $x$ + existe un único morfismo $g_x:x\to a$, y es \conc{cero} si es inicial y final. +\end{definition} + +\begin{example} + Veamos los objetos iniciales y finales de algunas categorías típicas. + \begin{enumerate} + \item En $\bMon$, $\bGrp$ y $\bAb$, el grupo trivial es un objeto cero; en + $\bRing$ y $\bField$ lo es el cuerpo trivial, y en $R\dash\bMod$ lo es el + módulo trivial. + \item En $\bSet$, el conjunto vacío $\emptyset$ es inicial, mientras que los + conjuntos unipuntuales $\{*\}$ son finales. Lo mismo ocurre en $\bTop$ y en + $\bOrd$ dotando a $\emptyset$ y $\{*\}$ de la única estructura posible en + cada caso. + \item En un conjunto ordenado visto como categoría, un objeto inicial es un + mínimo y un objeto final es un máximo. En particular el único conjunto + ordenado con un cero es el unipuntual. + \item En $R\dash\bMat$, el 0 es un cero, pues para cada $m$ hay una única + matriz de tamaño $0\times m$ y una de tamaño $m\times 0$. + \end{enumerate} +\end{example} + +Podríamos preguntarnos si categorías como $\bSet$ o $\bTop$ tienen un cero. +La respuesta es que no, como se deduce de las siguientes proposiciones. + +\begin{proposition} + Los objetos iniciales son únicos salvo isomorfismo: + \begin{enumerate} + \item Si $a$ y $b$ son objetos iniciales (de la misma categoría), entonces son + isomorfos. + \begin{proof} + Por hipótesis existen $f:a\to b$ y $g:b\to a$, pero como sólo hay un morfismo + $a\to a$, este debe ser $1_a$ y por tanto $g\circ f=1_a$, y análogamente + $f\circ g=1_b$, con lo que $f$ es un isomorfismo. + \end{proof} + \item Si $a\cong b$ y $a$ es inicial, entonces $b$ es inicial. + \begin{proof} + Sea $f:b\to a$ un isomorfismo y $x$ un objeto cualquiera, existe un único + $h:a\to x$ y por tanto $h\circ f$ es un morfismo de $b$ a $x$, que es + único ya que, para $k:b\to x$, $k\circ f^{-1}:a\to x$ y así + $k\circ f^{-1}=h$, con lo que $k=h\circ f$. + \end{proof} + \end{enumerate} +\end{proposition} + +La siguiente proposición se prueba de forma análoga. + +\begin{proposition} + Los objetos finales son únicos salvo isomorfismo: + \begin{enumerate} + \item Si $a$ y $b$ son objetos finales, entonces son isomorfos. + \item Si $a\cong b$ y $a$ es final, entonces $b$ es final. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +Así, como $\emptyset$ y $\{*\}$ no son isomorfos en $\bSet$, $\bTop$ ni $\bOrd$ +(ni en ningún otro constructo), estas categorías no tienen objetos cero. En +general diremos que un objeto con una cierta propiedad es \conc{único salvo + isomorfismo} si los objetos que tienen esa propiedad son precisamente los que +son isomorfos a dicho objeto. + +\begin{corollary} + En los grupoides no vacíos, las siguientes condiciones son equivalentes: + \begin{enumerate} + \item \label{enu:goid-initial} Existe un objeto inicial. + \item \label{enu:goid-final} Existe un objeto final. + \item \label{enu:goid-zero} Existe un objeto cero. + \item \label{enu:goid-all} Todos los objetos son cero. + \end{enumerate} + En particular, en el grupoide fundamental $\pi(X)$ (con $X$ no vacío), esto + ocurre si y sólo si $X$ es simplemente conexo. +\end{corollary} +\begin{proof} + La equivalencia (\ref{enu:goid-initial}$\iff$\ref{enu:goid-final}) se debe a + que, por unicidad del isomorfismo inverso, $\hom(a,b)=\hom(b,a)$ para + cualesquiera $a$ y $b$, y esto prueba la equivalencia con + (\ref{enu:goid-zero}). Ahora bien, si $a$ es cero y $x$ es otro objeto, el + único morfismo $a\to x$ es un isomorfismo, por lo que $x$ es cero y queda + probado (\ref{enu:goid-zero}$\iff$\ref{enu:goid-all}). La última + observación es por definición. +\end{proof} + + %% TODO Cambiar esto a una sección sobre categorías algebraicas para así separar la %% definición en varias y poder hacer comentarios en medio y con suerte que la definición %% de las acciones derivadas quepa, y poder poner ejemplos detrás. Quedaría como sigue: -- cgit v1.2.3