From efa19f8660bca027b977a57db0e5f35bdec643a4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Juan Marin Noguera Date: Wed, 14 Jun 2023 19:43:08 +0200 Subject: Revisión MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- ch2_funs.tex | 249 +++++++++++++++++++++++++---------------------------------- 1 file changed, 105 insertions(+), 144 deletions(-) (limited to 'ch2_funs.tex') diff --git a/ch2_funs.tex b/ch2_funs.tex index 45d0a15..4faae5f 100644 --- a/ch2_funs.tex +++ b/ch2_funs.tex @@ -1,8 +1,9 @@ Buena parte del poder de la teoría de categorías se deriva de su reflexividad: las categorías son estructuras algebraicas y, como tales, es posible estudiarlas usando teoría de categorías. Para ello primero debemos ver cuáles son los -morfismos entre categorías, los llamados \emph{funtores}. Este capítulo se -basa principalmente en \cite[pp. 21--32]{joyofcats} y \cite[pp. 13--15]{maclane}. +morfismos entre categorías, los llamados \emph{funtores}. Este capítulo se basa +principalmente en \cite[pp. 21--32 y cap. 7]{joyofcats} y +\cite[pp. 13--15]{maclane}. \begin{definition} Un \conc{funtor} entre dos categorías $\cC$ y $\cD$ es un par de funciones @@ -15,12 +16,11 @@ basa principalmente en \cite[pp. 21--32]{joyofcats} y \cite[pp. 13--15]{maclane} \end{enumerate} \end{definition} -Observamos que la última condición determina unívocamente la función sobre los -objetos a partir de la función sobre los morfismos, por lo que la primera es -redundante. Si $\cC$ y $\cD$ son categorías, escribimos $T:\cC\to\cD$ para decir -que $T$ es un funtor de $\cC$ a $\cD$, y usamos $T$ para referirnos -indistintamente al funtor, a la función sobre los objetos y a la función sobre -los morfismos. +La última condición determina unívocamente la función sobre los objetos a partir +de la función sobre los morfismos, por lo que la primera es redundante. Si $\cC$ +y $\cD$ son categorías, escribimos $T:\cC\to\cD$ para decir que $T$ es un funtor +de $\cC$ a $\cD$, y usamos $T$ para referirnos indistintamente al funtor, a la +función sobre los objetos y a la función sobre los morfismos. \begin{example}\label{ex:functors}\; \begin{enumerate} @@ -33,10 +33,10 @@ los morfismos. respectivamente. \item Si $\cB$ es una subcategoría de $\cC$, existe un \conc{funtor inclusión} $u:\cB\to\cC$ que envía cada objeto y morfismo de $\cB$ a sí mismo en $\cC$. - \item \label{enu:funct-power} La operación <> es - un funtor $\power:\bSet\to\bSet$, que lleva cada función - $f:A\to B$ a la función $(\power f)(S)\coloneqq f[S]$, que asocia - a cada subconjunto de $A$ su \emph{imagen} por $f$. + \item \label{enu:funct-power} La operación \emph{conjunto potencia} es un + funtor $\power:\bSet\to\bSet$, que lleva cada función $f:A\to B$ a la + función $(\power f)(S)\coloneqq f[S]$, que asocia a cada subconjunto de $A$ + su \emph{imagen} por $f$. \item \label{enu:funct-copower} De forma similar podemos definir el funtor \conc{conjunto potencia contravariante}, $\copower:\bSet\to\dual{\bSet}$, que lleva un conjunto $S$ a su @@ -59,16 +59,16 @@ los morfismos. \begin{proof} Primero vemos que la operación sobre morfismos está bien definida. Sea $f:(X,x)\to(Y,y)$ un morfismo en $\bTop_*$, y sean - $\gamma,\sigma:[0,1]\to X$ representantes de un mismo elemento - $\overline{\gamma}=\overline{\sigma}$ de $\pi(X,x)$, entonces existe una - homotopía $s:[0,1]\times[0,1]\to X$ de $\gamma$ a $\sigma$, con lo que - $f\circ s:[0,1]\times[0,1]\to Y$ es una homotopía de $f(\sigma)$ a - $f(\gamma)$ y $(\pi f)(\overline{\gamma})=(\pi f)(\overline{\sigma})$. - Además $\pi f$ es un morfismo de grupos, pues la composición con $f$ lleva - la curva constante en $x$ a la curva constante en $y$ y respeta la - concatenación de curvas. Finalmente, dados morfismos $f:(X,x)\to (Y,y)$ y - $g:(Y,y)\to(Z,z)$ en $\bTop_*$, es fácil ver que - $\pi(g\circ f)=\pi g\circ\pi f$ y que $\pi(1_{(X,x)})=1_{\pi(X,x)}$. + $\gamma,\sigma:[0,1]\to X$ representantes de un mismo elemento de + $\pi(X,x)$, entonces existe una homotopía $s:[0,1]\times[0,1]\to X$ de + $\gamma$ a $\sigma$, con lo que $f\circ s:[0,1]\times[0,1]\to Y$ es una + homotopía de $f(\sigma)$ a $f(\gamma)$ y + $(\pi f)(\overline{\gamma})=(\pi f)(\overline{\sigma})$. Además $\pi f$ + es un morfismo de grupos, pues la composición con $f$ lleva la curva + constante en $x$ a la curva constante en $y$ y respeta la concatenación de + curvas. Finalmente, dados morfismos $f:(X,x)\to (Y,y)$ y $g:(Y,y)\to(Z,z)$ + en $\bTop_*$, es fácil ver que $\pi(g\circ f)=\pi g\circ\pi f$ y que + $\pi(1_{(X,x)})=1_{\pi(X,x)}$. \end{proof} \item Los funtores se pueden componer. Dados dos funtores $S:\cB\to\cC$ y $T:\cC\to\cD$, el \conc{funtor composición} $T\circ S:\cB\to\cC$ viene dado @@ -97,7 +97,8 @@ ZFC para lidiar con estos casos. Mac Lane\cite[pp. 21--26]{maclane} propone una extensión basada en universos de Grothendieck. \begin{definition} - Un \conc{universo} (\conc{de Grothendieck}) es un conjunto $\UNIVERSE$ tal que: + Un \conc{universo} (\concsuffix{de Grothendieck}) es un conjunto $\UNIVERSE$ + tal que: \begin{enumerate} \item Si $x\in u\in\UNIVERSE$ entonces $x\in\UNIVERSE$. \item Si $u,v\in\UNIVERSE$ entonces $\{u,v\}\in\UNIVERSE$. @@ -108,9 +109,9 @@ extensión basada en universos de Grothendieck. \end{enumerate} \end{definition} -La idea es que un universo contendría todos los conjuntos con lo que uno -trataría trabajar normalmente dentro de ZFC, como ilustran las siguientes -propiedades fáciles de probar. +La idea es que un universo contendría todos los conjuntos con los que uno +trataría normalmente dentro de ZFC, como ilustran las siguientes propiedades +fáciles de probar. \begin{proposition} Sea $\UNIVERSE$ un universo: @@ -138,9 +139,9 @@ sencillo. Existe un universo de Grothendieck $\UNIVERSE$. \end{axiom} -Entonces basta considerar un universo $\UNIVERSE$ fijo y notar que, cuando -hablábamos de conjuntos, ahora hablamos de elementos de $\UNIVERSE$, y -cuando hablábamos de clases, ahora hablamos de subconjuntos de $\UNIVERSE$. +En adelante fijamos un universo $\UNIVERSE$ y notamos que, cuando hablábamos de +conjuntos, ahora hablamos de elementos de $\UNIVERSE$, y cuando hablábamos de +clases, ahora hablamos de subconjuntos de $\UNIVERSE$. \begin{definition} Un conjunto $x$ es \conc{pequeño} si $x\in\UNIVERSE$, es una \conc{clase} si @@ -185,34 +186,28 @@ y en general de todas las matemáticas, no basados en teoría de conjuntos. \section{Equivalencias de categorías} Un funtor en $\bCat_X$ es un isomorfismo si y sólo si es biyectivo sobre los -morfismos. Además, esta idea de isomorfismo es la que podríamos esperar. - -\begin{example}\; - \begin{enumerate} - \item Dos conjuntos, conjuntos preordenados o monoides vistos como categorías - son isomorfos en $\bCat$ si y sólo si lo son en $\bSet$, $\bPrord$ o - $\bMon$, respectivamente. - \item $\sInt\dash\bMod$ es isomorfo a $\bAb$ en $\bCAT$. - \end{enumerate} -\end{example} +morfismos. Esta idea de isomorfismo es la que podríamos esperar, ya que, por +ejemplo, dos conjuntos, conjuntos preordenados o monoides vistos como categorías +son isomorfos en $\bCat$ si y sólo si lo son en $\bSet$, $\bPrord$ o $\bMon$, +respectivamente, y en $\bCAT$ $\sInt\dash\bMod$ es isomorfo a $\bAb$. En ocasiones, sin embargo, esta definición de isomorfismo es demasiado -estricta. Por ejemplo, las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de -dimensión finita sobre un cuerpo no trivial $K$ se pueden representar mediante -matrices, pero en general $K\dash\bVecf$, la categoría de $K$-espacios -vectoriales de dimensión finita y las transformaciones lineales entre ellos, no -es isomorfa a $K\dash\bMat$, pues tiene muchos más objetos, y sin embargo a cada -objeto de $K\dash\bMat$ le corresponde una clase de isomorfía en $K\dash\bVecf$. - -Para estos casos es útil la noción de equivalencia. Una equivalencia entre +estricta. Por ejemplo, si $K\dash\bVecf$ es la subcategoría de $K\dash\bVec$ de +los espacios de dimensión finita, los morfismos de $K\dash\bVecf$ se pueden +representar mediante matrices, pero en general $K\dash\bVecf$ no es isomorfa a +$K\dash\bMat$ debido a que tiene muchos más objetos, y para obtener el +isomorfismo habría que sustituir $K\dash\bVecf$ por una subcategoría completa +formada por un conjunto irredundante de representantes de los objetos por +isomorfismo. + +En estos casos es útil la noción de equivalencia. Una equivalencia entre categorías viene a ser un funtor que respeta las clases de isomorfía de los objetos y que <> con los morfismos. Para caracterizar el significado de esto último, vemos que un funtor, al estar formado por una función sobre objetos y una sobre morfismos, puede ser inyectivo o suprayectivo sobre los objetos o sobre los morfismos. Serlo sobre los morfismos implica serlo -sobre los objetos, y no queremos obligar a que las categorías sean biyectivas -sobre los objetos, por lo que es preferible abordar esta cuestión en función de -los conjuntos hom de las categorías involucradas. +sobre los objetos, y no queremos obligar a que sean biyectivos sobre objetos, +por lo que es preferible abordar esta cuestión en función de los conjuntos hom. \begin{definition} Sea $T:\cC\to\cD$ un funtor: @@ -235,16 +230,16 @@ los conjuntos hom de las categorías involucradas. inmersiones no plenas. \item El funtor $u:\bMetc\to\bTop$ que lleva los espacios métricos a sus correspondientes espacios topológicos y los morfismos a ellos mismos es fiel - y pleno pero no es una inmersión. + y pleno, pero no es una inmersión. \item Los funtores \conc{espacio discreto} y \conc{espacio indiscreto} $D,N:\bSet\to\bTop$, que asocian a cada conjunto la topología discreta o indiscreta, respectivamente, y llevan cada función a ella misma, son inmersiones plenas pero no son isomorfismos. - \item $\bZero$ es un objeto inicial de $\bCat$, y el único funtor de $\bZero$ - a una cierta categoría $\cC$ es una inmersión pero en general no es pleno. - \item $\bOne$ es un objeto final de $\bCat$, y el único funtor de una cierta - categoría $\cC$ a $\bOne$ es pleno y suprayectivo en objetos pero en general - no es inyectivo en objetos, y es fiel si y sólo si $\cC$ es fina. + \item $\bZero$ es un objeto inicial de $\bCat$. El único funtor de $\bZero$ a + una cierta categoría $\cC$ es una inmersión, pero en general no es pleno. + \item $\bOne$ es un objeto final de $\bCat$. El único funtor de una cierta + categoría $\cC$ a $\bOne$ es pleno y suprayectivo en objetos, pero en + general no es inyectivo en objetos, y es fiel si y sólo si $\cC$ es fina. \end{enumerate} \end{example} @@ -271,10 +266,9 @@ Parece razonable entonces requerir que las equivalencias sean fieles y plenas. \end{definition} Estos requisitos son suficientes para satisfacer la noción intuitiva que hemos -descrito antes, pues los funtores llevan isomorfismos (de objetos) a -isomorfismos y, dados dos objetos isomorfos en $\Img{T}$, como $T$ es biyectiva -sobre los conjuntos hom, dos preimágenes cualesquiera de estos dos objetos serán -isomorfas en $\cC$. +descrito antes, pues los funtores llevan isomorfismos a isomorfismos y, dados +dos objetos isomorfos en $\Img{T}$, como $T$ es biyectiva sobre los conjuntos +hom, dos preimágenes cualesquiera de estos dos objetos serán isomorfas en $\cC$. \begin{example}\; \begin{enumerate} @@ -291,7 +285,7 @@ isomorfas en $\cC$. \end{enumerate} \end{example} -\begin{proposition}\; +\begin{proposition}\label{prop:cat-equiv}\; \begin{enumerate} \item La composición de equivalencias es una equivalencia. \begin{proof} @@ -309,7 +303,7 @@ isomorfas en $\cC$. equivalencia es reflexiva, y el apartado anterior prueba que es transitiva. Para ver que es simétrica, sea $T:\cC\to\cD$ una equivalencia, usando el axioma de elección, para cada objeto $d$ de $\cD$ tomamos un - objeto $Sd$ de $a$ con $T(Sd)\cong d$ y un isomorfismo $h_d:TSd\to d$. + objeto $Sd$ de $\cC$ con $T(Sd)\cong d$ y un isomorfismo $h_d:TSd\to d$. Como $T$ es biyectiva en conjuntos hom, para cada morfismo $g:a\to b$ en $\cD$ existe un único morfismo $Sg:Sa\to Sb$ para el que la figura \ref{fig:equiv-sym} conmuta. @@ -323,15 +317,15 @@ isomorfas en $\cC$. \draw[->] (IB) -- node[right]{$h_b$} (B); \draw[->] (A) -- node[below]{$g$} (B); \end{diagram} - \caption{Definición del <> $S$ sobre los morfismos} + \caption[Funtor <> de una equivalencia]{Actuación sobre los + morfismos del funtor <> $S$ de una equivalencia.} \label{fig:equiv-sym} \end{figure} - Es decir $Sg=(T|_{\hom(Sa,Sb)})^{-1}(h_b^{-1}\circ g\circ h_a)$. Usando - esta fórmula y que $T$ respeta las identidades y la composición se - concluye que $S$ también las respeta, por lo que $S$ es un funtor. $S$ es - fiel, pues para $g,g':a\to b$ en $\cD$ con $Sg=Sh$, por el diagrama, - $g=h_b\circ TSg\circ h_a^{-1}=h_b\circ TSg'\circ h_a^{-1}=g$'. Y $S$ es - plena, pues para $f:Sa\to Sb$ en $\cC$, + A partir de esta figura, de la unicidad de $Sg$ y de que $T$ respeta las + identidades y la composición, se concluye que $S$ también las respeta, por + lo que $S$ es un funtor. $S$ es fiel, pues para $g,g':a\to b$ en $\cD$ con + $Sg=Sh$, $g=h_b\circ TSg\circ h_a^{-1}=h_b\circ TSg'\circ h_a^{-1}=g$'. Y + $S$ es plena, pues para $f:Sa\to Sb$ en $\cC$, $g\coloneqq h_b\circ Tf\circ h_a^{-1}$ cumple $g\circ h_a=h_b\circ Tf$ y, por la unicidad de la figura \ref{fig:equiv-sym}, $Tf=TSg$ y $f=Sg$. @@ -362,18 +356,14 @@ objetos\cite[p. 42]{joyofcats}. \begin{enumerate} \item Toda categoría posee un esqueleto. \item Todo esqueleto de $\cC$ es equivalente a $\cC$. - \begin{proof} - La inclusión de un esqueleto de $\cC$ en $\cC$ es una - equivalencia. - \end{proof} \item Todos los esqueletos de una misma categoría son isomorfos. \begin{proof} - Sean $\cA$ y $\cB$ esqueletos de $\cC$, cada objeto de $\cC$, y - en particular cada objeto $a$ de $\cA$, es isomorfo en $\cC$ a - un único objeto $Ta$ de $\cB$ por un isomorfismo $h_a:a\to Ta$, - de forma que el funtor $T:\cA\to\cB$ definido sobre objetos de - esta forma y sobre morfismos $f:a_1\to a_2$ como en la figura - \ref{fig:skel-iso} es un isomorfismo de categorías. + Sean $\cA$ y $\cB$ esqueletos de $\cC$, cada objeto de $\cC$, y en + particular cada objeto $a$ de $\cA$, es isomorfo en $\cC$ a un único + objeto $Ta$ de $\cB$ por un isomorfismo $h_a:a\to Ta$, de forma que el + funtor $T:\cA\to\cB$ definido sobre objetos de esta forma y sobre + morfismos $f:a_1\to a_2$ como en la figura \ref{fig:skel-iso} es un + isomorfismo de categorías. \begin{figure}[H] \centering \begin{diagram} @@ -384,7 +374,7 @@ objetos\cite[p. 42]{joyofcats}. \draw[->] (A2) -- node[right]{$h_{a_2}$} (TA2); \draw[->] (A1) -- node[below]{$f$} (A2); \end{diagram} - \caption{Isomorfismo entre dos esqueletos de $\cC$} + \caption{Isomorfismo entre dos esqueletos de $\cC$.} \label{fig:skel-iso} \end{figure} \end{proof} @@ -393,7 +383,7 @@ objetos\cite[p. 42]{joyofcats}. \begin{example}\; \begin{enumerate} - \item El esqueleto de $\bSet$ es la categoría de todos los números cardinales. + \item El esqueleto de $\bSet$ es la subcategoría completa de los números cardinales. \item Si $K$ es un cuerpo no trivial, el esqueleto de $K\dash\bMat$ es el propio $K\dash\bMat$, y el de $K\dash\bVec$ está formado por los $K^m$ para todo cardinal $m$. @@ -443,30 +433,12 @@ fieles. \end{enumerate} \end{example} -% Los funtores olvidadizos no tienen por qué ser inyectivos en objetos, -% y de hecho normalmente no lo son, pero podemos estudiar lo que ocurre -% con los objetos de la categoría concreta que van a parar a la misma -% categoría base. - -% \begin{definition} -% Sean $(\cC,U)$ una categoría concreta sobre $\cB$ y $b\in\cB$: -% \begin{enumerate} -% \item La \conc{fibra} de $b$ es el conjunto de objetos -% $c\in\bOb{\cC}$ con $Uc=b$ con el preorden parcial $c\preceq d$ si -% y sólo si $1_x$ es la imagen por $U$ de un morfismo $id:c\to d$. -% \item Dos objetos $c,d\in U^{-1}(\{b\})$ son \conc{equivalentes} si -% $c\preceq d\preceq c$. -% \end{enumerate} -% \end{definition} - -% % TODO Ejemplos de la pág. 55 y el ejemplo de fibras de Mod->CRng - \section{Funtores contravariantes} -Si $T:\cC\to\cD$ es un funtor, entonces $T:\dual{\cC}\to\dual{\cD}$ -también es un funtor, y de hecho, al tomar el dual de una propiedad -con categorías y funtores, invertimos el sentido de los morfismos en -las categorías pero no entre los funtores entre dichas categorías. +Si $T:\cC\to\cD$ es un funtor, entonces $T:\dual{\cC}\to\dual{\cD}$ también es +un funtor, y de hecho, podemos tomar el dual de una propiedad sobre categorías y +funtores invirtiendo el sentido de los morfismos en las categorías pero no el de +los funtores entre dichas categorías. Sin embargo, es bastante común tener funtores de la forma $S:\dual{\cC}\to\cD$ o, equivalentemente, $S:\cC\to\dual{\cD}$. A los @@ -476,33 +448,26 @@ funtores $\dual{\cC}\to\cD$ los llamamos \conc{funtores \begin{example}\; \begin{enumerate} - \item Ya hemos visto el funtor covariante $\power:\bSet\to\bSet$ y - el funtor contravariante $\copower:\dual{\bSet}\to\bSet$ en los - apartados \ref{enu:funct-power} y \ref{enu:funct-copower} del - ejemplo \ref{ex:functors}. - \item Sea $K$ un cuerpo. $^*:\dual{K\dash\bVec}\to K\dash\bVec$ es - un funtor contravariante que a cada espacio vectorial $V$ le - asigna el \emph{espacio dual} $V^*$ de aplicaciones lineales - $V\to K$ y a cada morfismo $f:V\to U$ le asigna el morfismo - $f^*:U^*\to V^*$ dado por $f^*u\coloneqq u\circ f$. + \item Ya hemos visto el funtor covariante $\power:\bSet\to\bSet$ y el funtor + contravariante $\copower:\dual{\bSet}\to\bSet$ en los apartados + \ref{enu:funct-power} y \ref{enu:funct-copower} del ejemplo + \ref{ex:functors}. + \item Sea $K$ un cuerpo. $^*:\dual{K\dash\bVec}\to K\dash\bVec$ es un funtor + contravariante que a cada espacio vectorial $V$ le asigna el \emph{espacio + dual} $V^*$ de aplicaciones lineales $V\to K$ y a cada morfismo $f:V\to U$ + le asigna el morfismo $f^*:U^*\to V^*$ dado por $f^*u\coloneqq u\circ f$. \end{enumerate} \end{example} -% \section{Funtores hom} - -% Si $\cC$ es una categoría, podemos ver $\hom_{\cC}$ como un funtor. La -% clase de elementos de $\hom$ serán pares -% TODO Mac Lane 34, 38 - \section{Funtores hom} Si $\cC$ es una categoría con conjuntos hom pequeños, podemos intentar considerar $\hom_{\cC}:\cA\times\cB\to\bSet$ como un funtor, donde $\Ob{\cA}=\Ob{\cB}=\Ob{\cC}$. Queremos encontrar una forma <> de llevar los morfismos del dominio a los del codominio, y para ello una buena idea es -considerar primero los funtores parciales, en los que uno de los elementos de la -entrada está fijo. +fijar uno de los dos componentes y ver cómo podría ser el <> +respecto al otro. Si $\cB$ y $\cC$ son categorías cualesquiera, su producto $\cB\times\cC$ (en una categoría de categorías apropiada) es una categoría con @@ -551,28 +516,28 @@ Al primero lo llamamos \conc{funtor hom covariante}, y al segundo, \conc{funtor El producto en sí también es un bifuntor, y no solo en $\bCat$ o en $\bCAT$ sino en toda categoría que tenga productos de pares de objetos. En efecto, sea $\cC$ -tal categoría, y definimos el funtor $\times:\cC\times\cC\to\cC$ del siguiente +tal categoría, y definimos el funtor $\otimes:\cC\times\cC\to\cC$ del siguiente modo. Para objetos $a$ y $b$, $a\times b$ es un producto cualquiera de $a$ y $b$, aunque en general elegiremos un producto <>. Para morfismos $f:a\to a'$ y $g:b\to b'$, $f\times g:a\times b\to a'\times b'$ es el único -morfismo para el que la figura \ref{fig:prod-functor} conmuta, donde $p,q,p',q'$ -son las correspondientes proyecciones. +morfismo para el que la figura \ref{fig:prod-functor} conmuta, donde los +morfismos sin etiquetar son las proyecciones. \begin{figure} \centering \begin{diagram} \path (0,2) node(A){$a$} (2,2) node(AB){$a\times b$} (4,2) node(B){$b$} (0,0) node(AP){$a'$} (2,0) node(ABP){$a'\times b'$} (4,0) node(BP){$b'$}; - \draw[->] (AB) -- node[above]{$p$} (A); - \draw[->] (AB) -- node[above]{$q$} (B); - \draw[->] (ABP) -- node[below]{$p'$} (AP); - \draw[->] (ABP) -- node[below]{$q'$} (BP); + \draw[->] (AB) -- (A); + \draw[->] (AB) -- (B); + \draw[->] (ABP) -- (AP); + \draw[->] (ABP) -- (BP); \draw[->] (A) -- node[left]{$f$} (AP); \draw[->] (B) -- node[right]{$g$} (BP); \draw[->,dotted] (AB) -- node{$f\times g$} (ABP); \end{diagram} \caption[Producto de morfismos]{Morfismo producto de $f$ y $g$. Los morfismos - $p,q,p',q'$ son las proyecciones.} + sin etiquetar son las proyecciones.} \label{fig:prod-functor} \end{figure} @@ -604,17 +569,18 @@ preservación son distintas, pero podemos definirlas de forma abstracta. \item $T$ \conc{refleja} $P$ si, cuando $P((T(o_i))_i,(T(m_j))_j)$ se cumple en $\cD$ para ciertos $o_i$ y $m_j$ de $\cC$, entonces $P((o_i)_i,(m_j)_j)$ se cumple en $\cC$. - \item $T$ \conc{levanta} $P$ si, cuando $P((p_i)_i,(n_j)_j)$ se cumple en - $\cD$ para ciertos $p_i$ y $n_j$ de $\cD$, entonces existen $(o_i)_i$ y - $(m_j)_j$ de $\cC$ con cada $T(o_i)=p_i$, cada $T(m_j)=n_j$ y tal que - $P((o_i)_i,(m_j)_j)$ se cumple en $\cC$. + \item $T$ \conc{levanta} $P$ (\concsuffix{de forma única}) si, cuando + $P((p_i)_i,(n_j)_j)$ se cumple en $\cD$ para ciertos $p_i$ y $n_j$ de $\cD$, + entonces existen (únicos) $(o_i)_i$ y $(m_j)_j$ de $\cC$ con cada + $T(o_i)=p_i$, cada $T(m_j)=n_j$ y tal que $P((o_i)_i,(m_j)_j)$ se cumple en + $\cC$. \end{enumerate} \end{definition} El concepto de funtor, como el de función, es bastante general y por ello no es de esperar que haya muchas propiedades respetadas por todos los funtores. Sin -embargo, algunas propiedades son respetadas por todos o por muchos de ellos, -como vamos a ver. +embargo, algunas son respetadas por todos o por muchos de ellos, como vamos a +ver. \begin{proposition} Los funtores preservan isomorfismos, secciones y retracciones. @@ -645,18 +611,17 @@ Ambas condiciones de esta proposición son necesarias. Por ejemplo, la inclusió de monoides aditivos $\sNat\inTo\sInt$ vista como funtor es fiel pero no pleno, y el único morfismo de monoides $\sNat\epicTo\bOne$ es pleno pero no fiel, y ambos llevan una categoría en que la mayoría de morfismos no son secciones ni -retracciones (sólo el 0 lo es) a una en que todos los son. +retracciones (sólo el 0 lo es) a una en la que todos los son. \begin{proposition} - Los funtores hom covariantes reflejan monomorfismos y epimorfismos. + Los funtores hom covariantes reflejan monomorfismos. \end{proposition} \begin{proof} - Si $a$ un objeto de $\cC$ y $f:b\to c$ un morfismo tal que $\hom(a,f)$ es un - monomorfismo, si $f\circ h=f\circ k$, entonces $\hom(a,f)(h)=\hom(a,f)(k)$ y - por inyectividad $h=k$. + Si $a$ es un objeto de $\cC$ y $f:b\to c$ un morfismo tal que $\hom(a,f)$ es + un monomorfismo, si $f\circ h=f\circ k$, entonces $\hom(a,f)(h)=\hom(a,f)(k)$ + y por inyectividad $h=k$. \end{proof} -% TODO Todo funtor representable refleja monomorfismos y epimorfismos. \begin{proposition} Todo funtor fiel refleja monomorfismos y epimorfismos. \end{proposition} @@ -666,10 +631,6 @@ retracciones (sólo el 0 lo es) a una en que todos los son. $Tf\circ Th=Tf\circ Tk$ y $Th=Tk$, y por fidelidad $h=k$. Los epimorfismos son la propiedad dual. \end{proof} - -% TODO Preservación de -% monomorfismos/epimorfismos/secciones/retracciones por funtores, -% salvo que sea mejor hacerlo en el apartado de límites (JoC 96--103). %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "main" -- cgit v1.2.3