From efa19f8660bca027b977a57db0e5f35bdec643a4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Juan Marin Noguera Date: Wed, 14 Jun 2023 19:43:08 +0200 Subject: Revisión MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- ch3_limits.tex | 245 +++++++++++++++++++++++++++++++-------------------------- 1 file changed, 135 insertions(+), 110 deletions(-) (limited to 'ch3_limits.tex') diff --git a/ch3_limits.tex b/ch3_limits.tex index a6ab56b..3c4a32b 100644 --- a/ch3_limits.tex +++ b/ch3_limits.tex @@ -4,7 +4,8 @@ objetos y morfismos son los puntos y flechas del diagrama, y una instanciación de ese diagrama como un funtor de dicha categoría a la categoría que nos interesa. Este capítulo estudia una serie de conceptos que nos permitirán razonar sobre propiedades algebraicas en base a diagramas, y se basa -principalmente en \cite[caps. 11--13]{joyofcats} y \cite[cap. III]{maclane}. +principalmente en \cite[caps. 11--13]{joyofcats} y +\cite[cap. III.3--4]{maclane}. \section{Diagramas} @@ -118,7 +119,7 @@ razonamientos mediante el concepto de límite. \draw[->] (KP) -- (B); \draw[->,dotted] (KP) -- node[left]{$\tilde e$} (K); \end{diagram} - \caption{Límite de un diagrama $\bDDown\to\cC$} + \caption{Límite de un diagrama $\bDDown\to\cC$.} \label{fig:equ-diagram} \end{figure} @@ -170,7 +171,7 @@ El concepto dual al de límite es el de colímite. \end{enumerate} \end{definition} -\begin{example} +\begin{example}\; \begin{enumerate} \item El coproducto de una familia $(a_i)_{i\in I}$ en $\cC$ es el colímite de un diagrama $D:I\to\cC$ que a cada objeto del conjunto $I$ visto como @@ -200,7 +201,7 @@ diagrama identidad. los sumideros $(h\circ g_i:Di\to b)_i$ donde $h:c\to b$ es un isomorfismo. \end{proposition} -\section{Productos y coproductos fibrados} +\section{Productos fibrados} Los límites y colímites, al ser fuentes y sumideros, respectivamente, se pueden ver como diagramas que pueden tener a su vez un límite y un colímite. Claramente @@ -237,7 +238,7 @@ fuente. Empezamos con el primer caso, y vemos algunas definiciones. \draw[->] (X) -- (B); \draw[->,dotted] (X) -- (D); \end{diagram} - \caption[Producto fibrado]{Producto fibrado de $a$ y $b$ respecto a $f$ y $g$} + \caption[Producto fibrado]{Producto fibrado de $a$ y $b$ respecto a $f$ y $g$.} \label{fig:pullback} \end{figure} @@ -289,22 +290,24 @@ todas las categorías en las que dichos límites existen. \draw[->] (K) -- node[above]{$p_1\circ e$} (A); \draw[->] (K) -- node[left]{$p_2\circ e$} (B); \end{diagram} - \caption{Construcción canónica de productos fibrados} + \caption{Construcción canónica de productos fibrados.} \label{fig:pullback-canon} \end{figure} \end{proposition} \begin{proof} - Obviamente el cuadrado conmuta, y si $r:p\to b$ y $s:p\to a$ son tales que - $f\circ s=g\circ r$, entonces $f\circ p_1\circ(s,r)=g\circ p_2\circ(s,r)$ y - existe un único $h:p\to k$ tal que $(s,r)=e\circ h$ y así + Obviamente el cuadrado conmuta, y si $r:x\to b$ y $s:x\to a$ son + tales que $f\circ s=g\circ r$, existe $t:x\to a\times b$ con + $p_1\circ t=s$ y $p_2\circ t=r$, y entonces + $f\circ p_1\circ t=f\circ s=g\circ r=g\circ p_2\circ t$ y existe un + único $h:x\to k$ tal que $t=e\circ h$, con lo que $s=(p_1\circ e)\circ h$ y $r=(p_2\circ e)\circ h$. \end{proof} \begin{example} - La anterior proposición caracteriza el producto fibrado en la mayoría de - categorías como un subobjeto regular de un objeto producto. Así: + La anterior proposición permite calcular el producto fibrado en + muchas categorías comunes. \begin{enumerate} - \item En $\bRing$, $\bGrp$, $R\dash\bMod$ y $\bTop$, dados dos homomorfismos + \item En $\bCRng$, $\bGrp$, $R\dash\bMod$ y $\bTop$, dados dos homomorfismos $f:A\to C$ y $g:B\to C$, el producto fibrado de $A$ y $B$ por $C$ es el subanillo, subgrupo, submódulo o subespacio topológico, respectivamente, de $A\times B$ dado por $A\times_C B=\{ (a,b)\in A\times B\mid f(a)=g(b) \}$. @@ -345,7 +348,7 @@ inclusiones es la intersección de los dominios, lo cual podemos generalizar. \begin{proof} Sea $(b,n)$ una intersección de la familia $\{(a_i,m_i)\}_{i\in I}$ de subobjetos de $c$ y sea $(f_i:b\to a_i)_{i\in I\sqcup\{*\}}$ el producto - fibrado correspondiente, con $f_*=n$, para $g,h:d\to b$ con + fibrado correspondiente, con $f_*=n$. Para $g,h:d\to b$ con $n\circ g=n\circ h$, $m_i\circ f_i\circ g=m_i\circ f_i\circ h$ para cada $i\in I$ y por tanto $f_i\circ g=f_i\circ h$, y por la unicidad en la definición de límite es $g=h$, con lo que $n$ es un monomorfismo. @@ -361,6 +364,8 @@ inclusiones es la intersección de los dominios, lo cual podemos generalizar. \end{enumerate} \end{example} +\section{Coproductos fibrados} + El concepto dual al producto fibrado es el coproducto fibrado. \begin{definition}\; @@ -391,7 +396,8 @@ la figura \ref{fig:pushout}. \draw[<-] (X) -- (B); \draw[<-,dotted] (X) -- (D); \end{diagram} - \caption[Coproducto fibrado]{Coproducto fibrado de $a$ y $b$ respecto a $f$ y $g$} + \caption[Coproducto fibrado]{Coproducto fibrado de $a$ y $b$ respecto a $f$ y + $g$.} \label{fig:pushout} \end{figure} @@ -406,15 +412,15 @@ la figura \ref{fig:pushout}. \begin{diagram} \path (0,0) node(B){$b$} (-3,0) node(C){$d$} (-3,-3) node(A){$a$}; \path (-1.5,-1.5) node(AB){$a\oplus b$} (0,-3) node(K){$q$}; - \draw[->] (A) -- node[left]{$f$} (C); - \draw[->] (B) -- node[above]{$g$} (C); - \draw[->] (K) -- node[above]{$c$} (AB); - \draw[->] (AB) -- node[above]{$u_1$} (A); - \draw[->] (AB) -- node[left]{$u_2$} (B); - \draw[->] (K) -- node[below]{$u_1\circ c$} (A); - \draw[->] (K) -- node[right]{$u_2\circ c$} (B); + \draw[<-] (A) -- node[left]{$f$} (C); + \draw[<-] (B) -- node[above]{$g$} (C); + \draw[<-] (K) -- node[above]{$c$} (AB); + \draw[<-] (AB) -- node[above]{$u_1$} (A); + \draw[<-] (AB) -- node[left]{$u_2$} (B); + \draw[<-] (K) -- node[below]{$c\circ u_1$} (A); + \draw[<-] (K) -- node[right]{$c\circ u_2$} (B); \end{diagram} - \caption{Construcción canónica de coproductos fibrados} + \caption{Construcción canónica de coproductos fibrados.} \label{fig:pushout-canon} \end{figure} \end{proposition} @@ -425,8 +431,11 @@ la figura \ref{fig:pushout}. fibrado de $A$ y $B$ por $D$ es el conjunto cociente de $A\sqcup B$ por la menor relación de equivalencia que identifica $f(d)$ con $g(d)$ para cada $d\in D$. - \item En $\bRing$, $\bGrp$, $R\dash\bMod$ y $\bTop$, el coproducto se obtiene - de manera similar. + \item En $\bRing$, $\bGrp$, $R\dash\bMod$ y $\bTop$, el coproducto fibrado se + obtiene de manera similar. + \item La unión de espacios topológicos por un punto se puede expresar como el + coproducto fibrado respecto a $\{*\}$ en $\bTop$ o como el coproducto + convencional en $\bTop_*$. \item En una categoría fina, un coproducto fibrado es un coproducto convencional. \item El concepto dual de la intersección es el de \conc{cointersección} de @@ -441,14 +450,17 @@ la figura \ref{fig:pushout}. \section{Completitud} -Hemos visto que los límites y colímites, cuando existen, son únicos, pero -todavía no hemos estudiado su existencia. Sabemos que esta depende del caso; por -ejemplo, en $\bSet$ todos los productos existen, pero en una categoría discreta -no existe el producto de dos o más elementos distintos, y en conjuntos -parcialmente ordenados puede haber pares de elementos que tengan producto y -otros que no. Se podría pensar entonces que caracterizar la existencia de -límites de diagramas arbitrarios es una tarea excesivamente compleja, pero de -hecho esta se puede reducir a casos familiares, como veremos a continuación. +Hemos visto que los límites y colímites, cuando existen, son únicos salvo +isomorfismo, pero todavía no hemos estudiado su existencia. Sabemos que esta +depende del caso; por ejemplo, en $\bSet$ todos los productos existen, pero en +una categoría discreta no existe el producto de dos o más elementos distintos, y +en conjuntos parcialmente ordenados puede haber pares de elementos que tengan +producto y otros que no. Se podría pensar entonces que caracterizar la +existencia de límites de diagramas arbitrarios es una tarea excesivamente +compleja, pero de hecho esta se puede reducir a la existencia de ciertos tipos +de límites, como veremos a continuación. + +Por brevedad no vemos los casos duales, aunque estos se pueden deducir fácilmente. \begin{definition} Sea $\cC$ una categoría: @@ -467,6 +479,8 @@ hecho esta se puede reducir a casos familiares, como veremos a continuación. \end{enumerate} \end{definition} +El concepto dual de la completitud es la cocompletitud. + \begin{theorem} Para una categoría $\cC$, son equivalentes: \begin{enumerate} @@ -479,34 +493,41 @@ hecho esta se puede reducir a casos familiares, como veremos a continuación. (\ref{enu:lim-complete})$\implies$(\ref{enu:lim-prodint}) es obvio. Veamos (\ref{enu:lim-prodint})$\implies$(\ref{enu:lim-prodeq}). Si $\cC$ tiene - productos e intersecciones finitas, sean $f,g:a\to b$, existe $a\times b$ y - $(a,(1_a,f))$ y $(a,(1_a,g))$ son subobjetos de $a\times b$ con una cierta - intersección $(k,n)$. Sean entonces $p_1:a\times b\to a$ y - $p_2:a\times b\to b$ las proyecciones canónicas y $e_1,e_2:k\to a$ tales que - $n=(1_a,f)\circ e_1=(1_a,g)\circ e_2$, y queremos ver que $e_1=p_1\circ n=e_2$ - es un núcleo de $f$ y $g$. Pero $f\circ e_1=p_2\circ n=g\circ e_2=g\circ e_1$, - y si $e':k'\to a$ cumple $f\circ e'=g\circ e'$, entonces es fácil ver que - $(1_a,f)\circ e'=(1_a,g)\circ e'$, y por la definición de intersección existe + productos e intersecciones finitas, para $f,g:a\to b$, existe $a\times + b$. Sean entonces $p_1:a\times b\to a$ y $p_2:a\times b\to b$ las proyecciones + canónicas y $\hat f,\hat g:a\monicTo a\times b$ los únicos morfismos con + $p_1\circ\hat f=p_2\circ\hat f=1_a$, $p_2\circ\hat f=f$ y $p_2\circ\hat g=g$, + que claramente son monomorfismos, los subobjetos $(a,\hat f)$ y $(a,\hat g)$ + de $a\times b$ tienen una intersección $(k,n)$. Sean entonces $e_1,e_2:k\to a$ + tales que $n=\hat f\circ e_1=\hat g\circ e_2$, y queremos ver que + $e_1=p_1\circ\hat f\circ e_1=p_1\circ\hat g\circ e_2=e_2$ es un núcleo de $f$ + y $g$. Pero $f\circ e_1=p_2\circ n=g\circ e_2=g\circ e_1$, y si $e':k'\to a$ + cumple $f\circ e'=g\circ e'$, entonces es fácil ver que + $\hat f\circ e'=\hat g\circ e'$, y por la definición de intersección existe un único $h:k'\to k$ con $e'=e_1\circ h$. - Queda por probar (\ref{enu:lim-prodeq})$\implies$\ref{enu:lim-complete}. Si - $D:\cS\to\cC$ un diagrama pequeño y $\cC$ tiene productos y núcleos, existen - los productos $(p_j:O\coloneqq\prod_{i\in\Ob{\cS}}Di\to Dj)_{j\in\Ob{\cS}}$ y + Queda por probar (\ref{enu:lim-prodeq})$\implies$(\ref{enu:lim-complete}). Si + $D:\cS\to\cC$ es un diagrama pequeño y $\cC$ tiene productos y núcleos, + existen los productos + $(p_j:O\coloneqq\prod_{i\in\Ob{\cS}}Di\to Dj)_{j\in\Ob{\cS}}$ y $(\pi_s:C\coloneqq\prod_{t\in\Mor{\cS}}D(\cod t)\to D(\cod - s))_{s\in\Mor{\cS}}$. Además, si tomamos - $p_{\cod t},Dt\circ p_{\dom t}:O\to D(\cod t)$ para cada $t\in\Mor{\cS}$, el - par de morfismos - $\hat c\coloneqq(p_{\cod t})_{t\in\Mor{\cS}},\hat d\coloneqq(Dt\circ p_{\dom - t})_{t\in\Mor{\cS}}:O\to M$ tiene un núcleo $e:k\to O$, y queremos ver que - $(p_i\circ e:E\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ es límite de $D$. En primer lugar, para - cada $s:i\to j$ en $\cS$, - $p_i\circ e=p_{\cod s}\circ e=\pi_s\circ\hat c\circ e=\pi_s\circ\hat d\circ - e=Ds\circ p_{\dom t}\circ e=Ds\circ(p_i\circ e)$. En segundo lugar, si - $(f_i:x\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ es otra fuente tal que $f_j=Ds\circ f_i$ para - todo $s:i\to j$ en $\cS$, sea $\hat f\coloneqq(f_i)_{i\in\Ob{\cS}}:x\to O$, - para $s:i\to j$ en $\cS$, - $\pi_s\circ\hat c\circ\hat f=p_j\circ\hat f=f_j=Ds\circ f_i=Ds\circ - p_i\circ\hat f=\pi_s\circ\hat d\circ\hat f$, y como esto se da para todo $s$, + s))_{s\in\Mor{\cS}}$. Tomando $p_{\cod t},Dt\circ p_{\dom t}:O\to D(\cod t)$ + para cada $t\in\Mor{\cS}$, el par de morfismos $\hat c,\hat d:O\to M$ dados + por $\pi_t\circ\hat c\coloneqq p_{\cod t}$ y + $\pi_t\circ\hat d\coloneqq Dt\circ p_{\dom t}$ tiene un núcleo $e:k\to O$, y + queremos ver que $(p_i\circ e:E\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ es límite de $D$. En + primer lugar, para cada $s:i\to j$ en $\cS$, + \[ + p_j\circ e=\pi_s\circ\hat c\circ e=\pi_s\circ\hat d\circ e=Ds\circ p_i\circ e. + \] + En segundo lugar, si $(f_i:x\to Di)_{i\in\Ob{\cS}}$ es otra fuente tal que + $f_j=Ds\circ f_i$ para todo $s:i\to j$ en $\cS$, sea $\hat f:x\to O$ dada por + $p_i\circ\hat f\coloneqq f_i$, para $s:i\to j$ en $\cS$, + \[ + \pi_s\circ\hat c\circ\hat f=p_j\circ\hat f=f_j=Ds\circ f_i=Ds\circ + p_i\circ\hat f=\pi_s\circ\hat d\circ\hat f, + \] + y como esto se da para todo $s$, por definición de producto, $\hat c\circ\hat f=\hat d\circ\hat f$, pero por definición de núcleo, existe un único $g:x\to k$ con $\hat f=e\circ g$, de modo que $f_i=p_i\circ e\circ g$ para cada $i$ y $g$ es el único morfismo con @@ -536,23 +557,21 @@ Para el caso finito tenemos una propiedad similar. producto de una familia vacía es un objeto terminal, los de una unipuntual siempre existen y los de dos objetos son productos fibrados respecto a un objeto terminal, y basta usar la asociatividad del producto. Además, una - intersección de una familia vacía es un morfismo identidad, la de un sólo + intersección de una familia vacía es el subobjeto total, la de un sólo subobjeto es el propio subobjeto, la de dos subobjetos es un producto fibrado y es fácil ver que, si $(a_1,m_1),\dots,(a_n,m_n)$ son subobjetos de $c$ con $n>2$, $(b,q)$ es intersección de $(a_1,m_1),\dots,(a_{n-1},m_{n-1})$ y - $(b',q')$ es intersección de $(b,q)$ y $(a_n,m_n)$, entonces $(b',q')$ es + $(b',q')$ es intersección de $(b,q)$ y de $(a_n,m_n)$, entonces $(b',q')$ es intersección de $(a_1,m_1),\dots,(a_n,m_n)$. \end{proof} -El dual de una categoría completa es una categoría \emph{cocompleta}, y -análogamente se define tener colímites, coproductos, conúcleos, etc. - \begin{example}\; \begin{enumerate} \item Las categorías $\bSet$, $R\dash\bMod$, $\bTop$, $\bOrd$ y $\bGrp$ tienen - productos y núcleos, por lo que son completas. + productos y núcleos, por lo que son completas.\pagebreak \item Un conjunto pequeño parcialmente ordenado visto como categoría es - completo si y sólo si es un retículo completo, si y sólo si es cocompleto. + completo si y sólo si es un retículo completo, si y sólo si es + cocompleto.\nopagebreak \begin{proof} Sea $(C,\leq)$ este conjunto. Claramente, si $(C,\leq)$ es un retículo completo, es una categoría completa y cocompleta, pues tiene productos y @@ -575,22 +594,18 @@ análogamente se define tener colímites, coproductos, conúcleos, etc. \section{Preservación por funtores} -En esta sección estudiamos si los funtores conservan los límites y colímites, o +En esta sección estudiamos si los funtores respetan los límites y colímites, o más precisamente, qué funtores preservan qué límites y qué colímites, y qué nos dice eso. -El concepto de <> se puede entender de varias formas. Una es -que la imagen conserve el límite, es decir, que al aplicar el funtor a un límite -de un diagrama, se obtiene uno de la composición del diagrama con el funtor. Sin -embargo, el que la preimagen lo conserve no es tan fácil de definir. Por -ejemplo, se puede hablar de que, si la composición del diagrama con el funtor -tiene un límite, entonces todas las preimágenes del límite son límites, o al -menos una lo es, o si simplemente esto implica que el diagrama original tiene -límite pero este no tiene que estar en la preimagen. +Como sabemos, el concepto de respetar una propiedad es ambiguo, y podemos hablar +de que la preserva, la refleja, etc. A continuación formalizamos las formas en +que un funtor puede respetar un límite y estudiamos sus relaciones. Algunas de +estas definiciones son redundantes porque ya se han definido para propiedades, +pero las definimos también para límites por claridad. -A continuación formalizamos estos conceptos y estudiamos su relación. Por -brevedad, nos enfocamos en los conceptos relativos a límites, pero los conceptos -duales se obtienen fácilmente. +Por brevedad nos enfocamos en los conceptos relativos a límites, pero los +conceptos y las propiedades duales se deducen fácilmente. \begin{definition} Un funtor $F:\cC\to\cD$ \conc{preserva} un límite $(f_i:L\to Di)_i$ de un @@ -624,16 +639,16 @@ duales se obtienen fácilmente. Sea $(f_i:l\to Di)_i$ un límite de $D:\cS\to\cC$, y sea $(g_i:x\to FDi)_i$ una fuente conmutativa al diagrama $F\circ D$, donde $F:\cC\to\bSet$ es el funtor olvidadizo. Si $\hat x\in\Ob{\cC}$ es el objeto libre asociado a - $x$ y $u:x\to F\hat x$ es la función asociada, entonces para cada $i$ + $x$ por la función $u:x\to F\hat x$, entonces para cada $i$ existe ${\hat g}_i:\hat x\to Di$ con $g_i=F{\hat g}_i\circ u$, pero por hipótesis existe un único $h:\hat x\to l$ con cada ${\hat g}_i=f_i\circ h$, con lo que $g_i=Ff_i\circ(Fh\circ u)$. La unicidad de $Fh\circ u$ es clara si $u$ es inyectiva, lo que ocurre si $\cC$ tiene algún objeto que, como conjunto, tiene al menos 2 elementos, - pero si este no es el caso sólo hay como mucho una función $x\to l$. + pero si este no es el caso sólo existe una función $x\to l$ a lo sumo. \end{proof} \item En $\bGrp$, $\bRing$ y $\bVec$, los funtores - olvidadizos preservan límites pero no coproductos ni conúcleos. + olvidadizos preservan límites, pero no coproductos ni conúcleos. \begin{proof} La preservación de límites es por el apartado anterior. Para los coproductos, el coproducto en estas categorías es la suma directa y en @@ -650,12 +665,13 @@ duales se obtienen fácilmente. \end{proof} \item Los funtores hom preservan límites. \begin{proof} - Sean $F=\hom(c,-):\cC\to\bSet$ un funtor hom, $(f_i:l\to Di)_i$ un límite - de $D:\cS\to\cC$ y $(g_i:X\to\hom(c,Di))_i$ una fuente en $\bSet$ que - conmuta con $F\circ D$. Para cada $x\in X$, $(g_i(x):c\to Di)_i$ es una - fuente en $\cC$ que conmuta con $D$, por lo que existe un único morfismo - $\hat g(x):c\to l$ con cada $g_i(x)=f_i\circ\hat g(x)$ y así - $\hat g:X\to\hom(c,l)$ es la única función con $g_i=f_i\circ\hat g$. + Sean $c\in\Ob{\cC}$,$F\coloneqq\hom(c,-):\cC\to\bSet$, $(f_i:l\to Di)_i$ + un límite de $D:\cS\to\cC$ y $(g_i:X\to\hom(c,Di))_i$ una fuente en + $\bSet$ que conmuta con $F\circ D$. Para cada $x\in X$, + $(g_i(x):c\to Di)_i$ es una fuente en $\cC$ que conmuta con $D$, por lo + que existe un único morfismo $\hat g(x):c\to l$ con cada + $g_i(x)=f_i\circ\hat g(x)$ y así $\hat g:X\to\hom(c,l)$ es la única + función con $g_i=f_i\circ\hat g$. \end{proof} \item El funtor potencia $\power:\bSet\to\bSet$ no preserva productos, coproductos, núcleos ni conúcleos. @@ -663,7 +679,8 @@ duales se obtienen fácilmente. \end{example} Las propiedades de completitud y cocompletitud se pueden usar a la hora de -determinar si un determinado funtor preserva límites. +determinar si un determinado funtor preserva límites, como vemos en las +siguientes proposiciones fáciles de probar. \begin{proposition} Si $\cC$ es finitamente completa, un funtor $F:\cC\to\cD$ preserva límites @@ -682,8 +699,8 @@ determinar si un determinado funtor preserva límites. \end{proposition} \begin{proof} Claramente conserva monomorfismos regulares ya que conserva núcleos, y - claramente un morfismo $f$ es un monomorfismo si y sólo si $(1,1)$ es producto - fibrado de $(f,f)$ como se muestra en la figura \ref{fig:monic-pullback}. + claramente un morfismo $f$ es un monomorfismo si y sólo si la figura + \ref{fig:monic-pullback} muestra un producto fibrado. \begin{figure} \centering \begin{diagram} @@ -694,7 +711,7 @@ determinar si un determinado funtor preserva límites. \draw[->] (I1) -- node[below]{$f$} (B); \draw[->] (I2) -- node[right]{$f$} (B); \end{diagram} - \caption{Caracterización de un monomorfismo por producto fibrado} + \caption{Caracterización de un monomorfismo por producto fibrado.} \label{fig:monic-pullback} \end{figure} \end{proof} @@ -732,15 +749,15 @@ son ciertos, como vemos a continuación. $f_i\circ\mu_p=t_{pi}=\nu_p\circ(f_i\times\dots\times f_i)$. Pero esta es precisamente la condición para que cada $f_i$ sea un homomorfismo $(L,(\mu_1,\dots,\mu_n))\to Di$, con lo que la fuente existe y es - única. Que las operaciones $\mu_p$ respetan las igualdades se debe, al - componerlas con cada $f_i$, las operaciones resultantes en términos de las - $\nu_{pi}$ las respetan, y por la unicidad en la definición del límite en - $\bSet$. - - Para ver que es un límite, si $(g_i:(X,\gamma)\to Di)_i$ es otra fuente - que conmuta con $D$, $(Fg_i)_i$ conmuta con $F\circ D$ y por tanto existe - una única función $h:X\to L$ con cada $g_i=f_i\circ h$, y queda ver que - $h$ es un homomorfismo. Pero para cada $p$ y cada $i$, usando que los + única. Que las operaciones $\mu_p$ respetan las igualdades en $E$ se debe + a que, al componerlas con cada $f_i$, las operaciones resultantes en + términos de las $\nu_{pi}$ las respetan, y a la unicidad en la definición + del límite en $\bSet$. + + Para ver que la fuente es un límite, si $(g_i:(X,\gamma)\to Di)_i$ es otra + fuente que conmuta con $D$, $(Fg_i)_i$ conmuta con $F\circ D$ y por tanto + existe una única función $h:X\to L$ con cada $g_i=f_i\circ h$, y queda ver + que $h$ es un homomorfismo. Pero para cada $p$ y cada $i$, usando que los $g_i$ son homomorfismos, \begin{multline*} f_i\circ h\circ\gamma_p = g_i\circ\gamma_p @@ -750,12 +767,14 @@ son ciertos, como vemos a continuación. \end{multline*} y como $(f_i)_i$ es un límite, $h\circ\gamma_p=\mu_p\circ(h\times\dots\times h)$, lo que termina la - prueba. El caso de $R\dash\bMod$ se puede reducir a este último - convirtiendo el producto por elementos de $R$ una cantidad potencialmente - infinita de operaciones de aridad 1 en el módulo y convirtiendo cada - instancia de una propiedad de este producto en una igualdad en la lista de - igualdades, y usando que esta prueba no depende de que el número de - operaciones e igualdades sea finito. + prueba. + + El caso de $R\dash\bMod$ se puede reducir al anterior convirtiendo el + producto por elementos de $R$ una cantidad potencialmente infinita de + operaciones de aridad 1 en el módulo y convirtiendo cada instancia de una + propiedad de este producto en una igualdad en la lista de igualdades, y + usando que esta prueba no depende de que el número de operaciones e + igualdades sea finito. \end{proof} \item Los funtores olvidadizos de $\bTop$ y $\bGrph$ a $\bSet$ levantan límites y colímites de forma única, pero no los crean. @@ -768,8 +787,7 @@ son ciertos, como vemos a continuación. o colímites que son preimagen del correspondiente en $\bSet$ por el funtor, pero en general hay más fuentes o sumideros que también son preimagen, por ejemplo tomando la topología discreta, la indiscreta, el - grafo discreto y el grafo total (completo con ejes reflexivos), - respectivamente. + grafo discreto y el grafo completo, respectivamente. \end{proof} \item El funtor olvidadizo de $\bMetc$ levanta límites finitos, pero no de forma única. @@ -823,10 +841,17 @@ son ciertos, como vemos a continuación. \end{enumerate} \end{proposition} -Otros tipos de relaciones no tienen por qué darse. Por ejemplo, el funtor -olvidadizo $\bTop\to\bSet$ levanta límites de forma única pero no los refleja, y -un funtor biyectivo en objetos que lleva una categoría discreta a una no -discreta refleja límites pero no los levanta ni los detecta. +\begin{example} + No hay una relación de implicación entre los conceptos de levantar límites y + reflejarlos, como vemos en estos ejemplos. + \begin{enumerate} + \item El funtor olvidadizo $\bTop\to\bSet$ levanta límites de forma única pero + no los refleja. + \item Un funtor biyectivo en objetos que lleva una categoría discreta a una no + discreta refleja límites pero no los levanta ni los detecta. + \end{enumerate} +\end{example} + %%% Local Variables: %%% mode: latex -- cgit v1.2.3