From 6d05255a2d0936c025907c7b329de6a836ab7408 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Juan Marin Noguera <juan@mnpi.eu>
Date: Sun, 18 Jun 2023 13:42:00 +0200
Subject: Correcciones adjunciones y mónadas
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 ch5_adjoints.tex | 161 +++++++++++++++++++++++++++++--------------------------
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@@ -36,15 +36,15 @@ funtores libres y otras estructuras relacionadas, basándonos principalmente en
   Las flechas universales suelen representar inmersiones de objetos en un
   cierto objeto completado o con estructura adicional.
   \begin{enumerate}
-  \item Un objeto libre sobre un conjunto $X$ en un constructo es una flecha
-    universal de $X$ al constructo.
+  \item En el caso de constructos, esta definición de objeto libre coincide con
+    la vista en el capítulo 1.
   \item Si $U:\bField\inTo\bDom$ es el funtor inclusión de la subcategoría
     completa de los cuerpos en la categoría de dominios, una flecha universal de
-    un dominio $D$ en $U$ es el conjunto cociente $Q(D)$ junto con la inclusión.
+    un dominio $D$ a $U$ es el conjunto cociente $Q(D)$ junto con la inclusión.
   \item Consideremos la categoría $\bMGrph$ de los \conc{multigrafos}, los
     grafos dirigidos (no necesariamente finitos) que admiten varios ejes entre
     dos mismos vértices. Si $U:\bCat\to\bMGrph$ es el funtor que <<olvida>> la
-    composición y la identidad, un objeto libre de un multigrafo $M$ a $U$ es
+    composición y las identidades, un objeto libre de un multigrafo $M$ a $U$ es
     una categoría cuyos objetos son los vértices de $M$ y cuyos morfismos entre
     dos objetos son los caminos entre ellos en $M$, tomando como composición la
     concatenación de caminos y como identidad el camino vacío.
@@ -61,7 +61,7 @@ definir la categoría en la que <<viven>> estas flechas.
 \begin{definition}
   Si $U:\cC\to\cB$ es un funtor y $b$ es un objeto de $\cB$, la \conc{categoría
     de objetos $U$-bajo $b$}, $(b\downarrow U)$, tiene como objetos los pares
-  $(c,f)$ formados por un objeto $c$ de $\cC$ y un morfismo $f:b\to Uc$; como
+  $(c,f)$ formados por un objeto $c$ de $\cC$ y un morfismo $f:b\to Uc$, y como
   morfismos $h:(c,f)\to(c',f')$ los morfismos $h:c\to c'$ en $\cC$ tales que
   $f'=Uh\circ f$, y como composición e identidad las correspondientes en $\cC$.
 \end{definition}
@@ -121,15 +121,19 @@ universal de un funtor a un objeto.
 \section{Lema de Yoneda}
 
 El lema de Yoneda es un resultado clásico sobre transformaciones naturales que
-permite relacionar las mismas con transformaciones naturales. Antes de verlo
-conviene definir algunos funtores útiles.
+apunta a una relación entre estas y las flechas universales. Antes de verlo es
+conveniente definir algunos funtores útiles.
+
+En esta discusión a veces requeriremos que las categorías tengan conjuntos hom
+pequeños. Aunque este suele ser el caso, en general es posible obtener el mismo
+resultado sustituyendo $\bSet$ por una categoría de conjuntos más grande.
 
 \begin{definition}
   Si $\cC$ es una categoría con conjuntos hom pequeños, definimos el
   \conc{bifuntor hom} $\hom_\cC:\dual{\cC}\times\cC$ sobre objetos $(a,b)$ como
   $\hom_\cC(a,b)$, y sobre morfismos $(f,g):(a,b)\to(a',b')$ como
-  $\hom_\cC(f,g)(h)\coloneqq g\circ h\circ f$. Dados dos funtores $S:\cA\to\cC$
-  y $T:\cB\to\cC$, definimos el bifuntor
+  $\hom_\cC(f,g)(h)\coloneqq g\circ h\circ f$. Además, dados dos funtores
+  $S:\cA\to\cC$ y $T:\cB\to\cC$, definimos el bifuntor
   $\hom_\cC(S-,T-):\dual{\cA}\times\cB\to\cC$ como $\hom_\cC\circ(S\times T)$.
 \end{definition}
 
@@ -148,16 +152,18 @@ conviene definir algunos funtores útiles.
   $\hom(f,-)_c(g)\coloneqq g\circ f$.
 \end{definition}
 
-\begin{lemma}[Yoneda]\label{lem:yoneda}
-  Sea $\cC$ una categoría con conjuntos hom pequeños. Para cada funtor $T:\cC\to\bSet$
-  y objeto $c$ de $\cC$, la función
-  \[
-    \gamma_{T,c}:\hom_{\bSet^\cC}(\hom_\cC(c,-),T)\to Tc
-  \]
-  dada por $\gamma_{T,c}(\tau)\coloneqq\tau_c1_c$ es una biyección natural entre
-  el funtor $\hom(Y-,-)$ (con el orden de las entradas cambiado) y
-  el funtor de evaluación $\bSet^\cC\times\cC\to\bSet$.
-\end{lemma}
+\begin{samepage}
+  \begin{lemma}[Yoneda]\label{lem:yoneda}
+    Sea $\cC$ una categoría con conjuntos hom pequeños. Para cada funtor
+    $T:\cC\to\bSet$ y objeto $c$ de $\cC$, la función
+    \[
+      \gamma_{T,c}:\hom_{\bSet^\cC}(\hom_\cC(c,-),T)\to Tc
+    \]
+    dada por $\gamma_{T,c}(\tau)\coloneqq\tau_c1_c$ es una biyección natural
+    entre el funtor $\hom(Y-,-)$ (con el orden de las entradas cambiado) y el
+    funtor de evaluación $\bSet^\cC\times\cC\to\bSet$.
+  \end{lemma}
+\end{samepage}
 \begin{proof}
   \begin{figure}
     \hfil
@@ -234,10 +240,10 @@ flechas universales.
   La definición de flecha universal equivale a esta biyección, que es natural ya
   que, para cada morfismo $g:x\to y$ en $\cC$ y $f:c\to x$,
   $\hom(b,Ug)(\tau_x(f))=Ug\circ Uf\circ u=U(g\circ f)\circ
-  u=U(\hom(c,g)(f))=\tau_y(\hom(c,g)(f))$.
+  u=U(\hom(c,g)(f))\circ u=\tau_y(\hom(c,g)(f))$.
 
-  Para el recíproco, si $\tau:\hom_\cC(c,-)\to\hom_\cB(b,U-)$ es un isomorfismo
-  natural, por el lema de Yoneda y la biyectividad de $\tau_x$ se tiene que todo
+  Para la segunda parte, si $\tau:\hom_\cC(c,-)\to\hom_\cB(b,U-)$ es un
+  isomorfismo natural, por el lema de Yoneda y la biyectividad de $\tau_x$, todo
   morfismo $b\to Ux$ se expresa de forma única como
   $\tau_xf=\hom(b,Uf)(\tau_c1_c)=Uf\circ\tau_c1_c$ para cierto $f:c\to x$, lo
   que significa precisamente que $\tau_c1_c$ es universal de $b$ a $U$.
@@ -245,32 +251,35 @@ flechas universales.
 
 \section{Adjunciones}
 
-Sea $U:\cC\to\cB$ un funtor tal que todo objeto $b$ en $\cB$ admite una flecha
-universal $(Fb,u_b)$ de $b$ a $U$. Para cada morfismo $f:b\to b'$ en $\cB$,
-siguiendo la figura \ref{fig:universal} existe un único morfismo $Ff:Fb\to Fb'$
-en $\cC$ tal que $UFf\circ u_b=u_{b'}\circ f$, y además claramente $F1_b=1_{Cb}$
-y $Fg\circ Ff=F(g\circ f)$, de modo que $F:\cB\to\cC$ es un funtor y
-$u:1_\cB\to U\circ F$ es una transformación natural.
+Sea $U:\cC\to\cB$ un funtor entre categorías con conjuntos hom pequeños y tal
+que todo objeto $b$ en $\cB$ admite una flecha universal $(Fb,u_b)$ de $b$ a
+$U$. Para cada morfismo $f:b\to b'$ en $\cB$, siguiendo la figura
+\ref{fig:universal} existe un único morfismo $Ff:Fb\to Fb'$ en $\cC$ tal que
+$UFf\circ u_b=u_{b'}\circ f$, y además claramente $F1_b=1_{Cb}$ y
+$Fg\circ Ff=F(g\circ f)$, de modo que $F:\cB\to\cC$ así construido es un funtor
+y $u:1_\cB\to U\circ F$ es una transformación natural.
 
 El que la imagen de $u$ esté formada por flechas universales permite obtener una
-especie de inversa. Dados un objeto $b$ en $\cB$ y un objeto $c$ en $\cC$, para
-cada morfismo $f:b\to Uc$ existe un único $\hat f:Fb\to c$ tal que
-$f=U\hat f\circ u_b$, de modo que $\psi_{b,c}:\hom_\cC(Fb,c)\to\hom_\cB(b,Uc)$
-dada por $\psi_{b,c}(g)\coloneqq Ug\circ u_b$ es una biyección, y como $U$ es un
-funtor y $u$ es natural, $\psi$ es un isomorfismo natural entre los funtores
-$\hom_\cC\circ(F\times 1),\hom_\cB\circ(1\times U):\dual{\cB}\times\cC\to\bSet$
-(si los conjuntos hom no son siempre pequeños, basta sustituir $\bSet$ por una
-clase de conjuntos más grande).  Entonces $u_b\equiv\psi_{b,Fb}(1)$ y, del mismo
+especie de transformación inversa. Dados un objeto $b$ en $\cB$ y un objeto $c$
+en $\cC$, para cada morfismo $f:b\to Uc$ existe un único $\hat f:Fb\to c$ tal
+que $f=U\hat f\circ u_b$, de modo que
+$\psi_{b,c}:\hom_\cC(Fb,c)\to\hom_\cB(b,Uc)$ dada por
+$\psi_{b,c}(g)\coloneqq Ug\circ u_b$ es una biyección, y como $U$ es un funtor y
+$u$ es natural, $\psi$ es un isomorfismo natural entre los funtores
+$\hom_\cC\circ(F\times 1),\hom_\cB\circ(1\times
+U):\dual{\cB}\times\cC\to\bSet$. Entonces $u_b\equiv\psi_{b,Fb}(1)$ y, del mismo
 modo, podemos definir la transformación natural $e:F\circ U\to 1_\cC$ como
 $e_c\coloneqq\psi_{Uc,c}^{-1}(1)$, de modo que para cada objeto $c$, $(Uc,e_c)$
 es una flecha universal de $F$ a $c$.
 
 La relación entre las transformaciones naturales $u$ y $e$ es más estrecha que
-esto. Para un objeto $c$, $1_{Uc}=\psi(e_c)=Ue_c\circ u_{Uc}$, y de forma dual,
-para un objeto $b$,
-$\psi(e_{Fb}\circ Fu_b)=Ue_{Fb}\circ Ue_{Fb}\circ UFu_b\circ u_b=Ue_{Fb}\circ
-u_{UFb}\circ u_b=1_{UFb}\circ u_b=u_b$ y por tanto
-$1_{Fb}=\psi^{-1}(u_b)=e_{Fb}\circ Fu_b$.
+esto. Para un objeto $c$ en $\cC$, $1_{Uc}=\psi(e_c)=Ue_c\circ u_{Uc}$, y para
+un objeto $b$ en $\cB$,
+\[
+  \psi(e_{Fb}\circ Fu_b) = Ue_{Fb}\circ UFu_b\circ u_b
+  = Ue_{Fb}\circ u_{UFb}\circ u_b = 1_{UFb}\circ u_b = u_b,
+\]
+y por tanto $1_{Fb} = \psi^{-1}(u_b) = e_{Fb}\circ Fu_b$.
 
 Estas dos identidades se pueden expresar más elegantemente con la notación
 adecuada. Si $\tau:R\to S$ es una transformación natural entre dos funtores
@@ -278,10 +287,10 @@ $R,S:\cB\to\cC$ y $T:\cC\to\cD$ es otro funtor, podemos definir la
 transformación natural $T\tau:T\circ R\to T\circ S$ como
 $(T\tau)_b\coloneqq T(\tau_b)$ para cada objeto $b$ en $\cB$. Por otro lado, si
 $U:\cA\to\cB$ es otro funtor, podemos definir la transformación natural
-$\tau U:R\circ U\to G\circ U$ como $(\tau U)_a\coloneqq\tau_{Ka}$ para cada
+$\tau U:R\circ U\to G\circ U$ como $(\tau U)_a\coloneqq\tau_{Ua}$ para cada
 objeto $a$ en $\cA$.
 
-Con todo esto en mente, definimos las adjunciones como sigue.
+Con esto, podemos caracterizar la situación anterior como sigue.
 
 \begin{definition}
   Una \conc{adjunción} entre dos categorías $\cB$ y $\cC$ es una tupla
@@ -349,16 +358,16 @@ teorema.
   \end{diagram}
   \hfil
 
-  Con esto $1_{Gc}=\psi(\eps_c)=G\eps_c\circ\eta_{Gc}$, y la otra identidad es
-  dual a esta y se demuestra de forma análoga.
+  Esto permite probar las dos identidades en la definición de adjunción como en
+  el texto al principio de la sección.
 
   Para (\ref{enu:adj-univ}), $(Fb,\eta_b)$ es una flecha universal, pues para
   cada objeto $x$ en $\cC$, $\psi_{b,x}(g)=Gg\circ\eta_b$ es una biyección
   $\hom(Fb,x)\to\hom(b,Ux)$ natural respecto a $x$
   (\ref{prop:yoneda-prop}). Recíprocamente, si sólo tenemos $G$ y las flechas
   universales $(c_b,\eta_b)$, $F$ definido de esta forma es un funtor que hace a
-  $\eta$ natural y $\psi_{b,c}$ definido de esta forma es un isomorfismo por
-  (\ref{prop:yoneda-prop}) y es claramente natural.
+  $\eta$ natural, y $\psi_{b,c}$ es un isomorfismo por (\ref{prop:yoneda-prop})
+  y es claramente natural.
 
   Finalmente, (\ref{enu:adj-couniv}) es dual a (\ref{enu:adj-univ}).
 \end{proof}
@@ -366,21 +375,20 @@ teorema.
 \begin{example}
   Este teorema permite definir una gran variedad de adjunciones.
   \begin{enumerate}
-  \item El caso más sencillo de adjunción se da cuando todos los conjuntos
-    admiten un objeto libre en un cierto constructo $\cC$. Entonces tenemos una
-    adjunción $(F,U,\eta,\eps)$, donde $U:\cC\to\bSet$ es el funtor olvidadizo,
-    $F:\bSet\to\cC$ es el funtor libre, $\eta_X:X\inTo UFX$ es la inclusión de
-    la base en el conjunto subyacente del objeto y $\eps_c:FUc\epicTo c$ es el
-    epimorfismo que aparece al describir un objeto como cociente de un cierto
-    objeto libre, que resulta ser el que tiene los propios elementos de $c$ como
-    generadores. Por ejemplo, en el caso de $R\dash\bMod$, $\eps_M$ lleva sumas
-    formales $\sum_{i=1}^ka_im_i$, con cada $a_i\in R$ y cada $m_i\in M$, a su
-    evaluación en el módulo $M$.
+  \item Si $\cC$ es un constructo en el que todos los conjuntos admiten un
+    objeto libre, tenemos una adjunción $(F,U,\eta,\eps)$, donde $U:\cC\to\bSet$
+    es el funtor olvidadizo, $F:\bSet\to\cC$ es el funtor libre,
+    $\eta_X:X\inTo UFX$ es la inclusión de la base en el conjunto subyacente del
+    objeto y $\eps_c:FUc\epicTo c$ es el epimorfismo que aparece al describir un
+    objeto como cociente de un cierto objeto libre, en concreto del que tiene
+    los propios elementos de $c$ como generadores. Por ejemplo, en el caso de
+    $R\dash\bMod$, $\eps_M$ lleva sumas formales $\sum_{i=1}^ka_im_i$, con cada
+    $a_i\in R$ y cada $m_i\in M$, a su evaluación en el módulo $M$.
   \item Entre $\bDom$ y $\bField$ hay una adjunción $(Q,U,\eta,\eps)$ formada
     por la creación de cuerpos de fracciones $Q:\bDom\to\bField$, la inclusión
-    de categorías $U:\bField\inTo\bDom$, la inclusión canónica $\eta_D:D\to UQX$
-    y la identidad $\eps_K:QUK\to K$ (recordemos que el cuerpo de fracciones de
-    un cuerpo es el propio cuerpo).
+    $U:\bField\inTo\bDom$ de una subcategoría, la inclusión canónica
+    $\eta_D:D\to UQD$ y la identidad $\eps_K:QUK\to K$ (recordemos que el cuerpo
+    de fracciones de un cuerpo es el propio cuerpo).
   \item Si $\cC$ es una categoría que tiene colímites con diagrama $\cS$, entre
     $\cC^\cS$ y $\cC$ hay una adjunción
     $(\underrightarrow{\lim},\Delta,\eta,\eps)$, donde $\underrightarrow{\lim}$
@@ -392,9 +400,9 @@ teorema.
     copias de $c$>>.
   \item Análogamente, si $\cC$ tiene límites con diagrama $\cS$, tenemos una
     adjunción $(\Delta,\underleftarrow{\lim},\eta,\eps)$ donde
-    $\underleftarrow{\lim}$ lleva cada diagrama a su límite, $\eta_c$ es el
-    límite de $\Delta c$ (una potencia de $c$) y $\eps_D$ es el límite como
-    fuente.
+    $\underleftarrow{\lim}$ lleva cada diagrama a su límite, $\eps_D$ es el
+    límite como fuente y $\eta_c$ tiene un codominio de la forma $c^I$ para
+    cierto conjunto $I$ y actúa como <<morfismo diagonal>>.
   \end{enumerate}
 \end{example}
 
@@ -414,7 +422,7 @@ teorema.
     en $X$ y $\eps_T:DUT\to T$ es la identidad hacia $T$ desde el mismo conjunto
     pero con la topología discreta.
   \item Por la derecha tiene el funtor $N:\bSet\to\bTop$ que asocia a cada
-    conjunto su topología discreta. Aquí $\eps_X:UNX\to X$ es la identidad en
+    conjunto su topología indiscreta. Aquí $\eps_X:UNX\to X$ es la identidad en
     $X$ y $\eta_T:T\to NUT$ es la identidad desde $T$ hacia el mismo conjunto
     pero con la topología indiscreta.
   \end{enumerate}
@@ -452,19 +460,20 @@ teorema.
 
 \begin{proposition}\label{prop:adj-transform}
   Dadas dos adjunciones $(F,G,\eta,\eps)$ de $\cB$ a $\cC$ y
-  $(F',G',\eta',\eps')$ de $\cB'$ a $\cC'$ y dos funtores $B:\cB\to\cB'$ y
-  $C:\cC\to\cC'$ con $C\circ F=F'\circ B$ y $B\circ G=G'\circ C$, son
+  $(F',G',\eta',\eps')$ de $\cB'$ a $\cC'$, y dados dos funtores $B:\cB\to\cB'$
+  y $C:\cC\to\cC'$ con $C\circ F=F'\circ B$ y $B\circ G=G'\circ C$, son
   equivalentes:
   \begin{enumerate}
   \item \label{enu:adjtr-true} $(B,C)$ es una transformación de la primera
     adjunción a la segunda.
   \item \label{enu:adjtr-eta} $B\eta=\eta'B$.
   \item \label{enu:adjtr-eps} $\eps'C=C\eps$.
-  \item \label{enu:adjtr-psi} Si $\psi:\hom(F-,-)\to\hom(-,G-)$ es la
-    transformación natural asociada a la primera adjunción por el teorema
-    \ref{thm:adjoint-elems} y $\psi':\hom(F'-,-)\to\hom(-,G'-)$ la
+  \item \label{enu:adjtr-psi} Si $\psi:\hom(F-,-)\to\hom(-,G-)$ es el
+    isomorfismo natural asociado a la primera adjunción por el teorema
+    \ref{thm:adjoint-elems} y $\psi':\hom(F'-,-)\to\hom(-,G'-)$ es el
     correspondiente a la segunda adjunción, para cada objeto $b$ de $\cB$ y $c$
-    de $\cC$, $B|_{hom(b,Gc)}\circ\psi_{b,c}=\psi'_{Bb,Cc}\circ C|_{\hom(Fb,c)}$.
+    de $\cC$,
+    $B|_{hom(b,Gc)}\circ\psi_{b,c}=\psi'_{Bb,Cc}\circ C|_{\hom(Fb,c)}$.
   \end{enumerate}
 \end{proposition}
 \begin{proof}
@@ -479,19 +488,19 @@ teorema.
   lo que nos da (\ref{enu:adjtr-psi}). Análogamente
   (\ref{enu:adjtr-eps})$\implies$(\ref{enu:adjtr-psi}). Para el recíproco,
   usando las fórmulas de $\eta$ y $\eta'$ en función de $\psi$ y $\psi'$ y
-  aplicando la fórmula en (\ref{enu:adjtr-psi}) a $1_{Fb}$,
+  aplicando (\ref{enu:adjtr-psi}) a $1_{Fb}$,
   \[
     B\eta_b = B(\psi(1_{Fb})) = \psi'(C1_{Fb}) = \psi'(1_{CFb}) =
     \psi'(1_{F'Bb}) = \eta'_{Bb},
   \]
-  con lo que se tiene (\ref{enu:adjtr-eta}) y, análogamente,
-  (\ref{enu:adjtr-eps}), y estas condiciones equivalen a
-  (\ref{enu:adjtr-true}).
+  con lo que (\ref{enu:adjtr-psi})$\implies$(\ref{enu:adjtr-eta}) y,
+  análogamente, (\ref{enu:adjtr-psi})$\implies$(\ref{enu:adjtr-eps}), y estas
+  condiciones equivalen a (\ref{enu:adjtr-true}).
 \end{proof}
 
 Esto nos da una categoría cuyos objetos son adjunciones entre categorías de un
-cierto conjunto universal y cuyos morfismos son transformaciones de mónadas, que
-se componen de la forma evidente.
+cierto conjunto universal y cuyos morfismos son transformaciones de adjunciones,
+que se componen de la forma evidente.
 
 %%% Local Variables:
 %%% mode: latex
-- 
cgit v1.2.3

