Al estudiar distintas ramas de las matemáticas de manera formal es inevitable
notar que existen ciertos patrones que se repiten. Todas empiezan con los
axiomas que caracterizan los objetos de estudio, como pueden ser los grupos,
espacios vectoriales, espacios topológicos, variedades, etc., y pese a que estos
se definen de forma muy diferente, en la mayoría se pueden definir de manera
natural conceptos como subobjetos, objetos producto u objetos cociente, entre
otros. Además, estos objetos no se suelen estudiar de forma aislada, sino que se
estudian funciones entre los objetos que cumplen ciertas propiedades, como
pueden ser las aplicaciones lineales en el álgebra lineal, las aplicaciones
continuas en la topología, las derivables en análisis y los homomorfismos del
álgebra abstracta.

Estos patrones no son una coincidencia, pues las propiedades generales que
exhiben son las mismas en todos los casos. Por ejemplo, la clase de funciones
<<destacables>> entre objetos es cerrada para la composición, y el producto de
subobjetos de dos objetos es un subobjeto del producto de los objetos
originales. Esto motiva el estudio de dichos patrones como otra área de las
matemáticas, con el fin de obtener propiedades aplicables a muchas de las áreas
de las matemáticas existentes o, incluso, a áreas desarrolladas posteriormente,
como veremos que ocurre con la teoría de la computación. Así, en este área de
las matemáticas los objetos de estudio son representaciones de los conceptos
fundamentales de otras áreas, que podemos representar como la clase de los
objetos de estudio junto con la clase de funciones destacables entre ellos,
llamadas \emph{morfismos}, lo que da lugar al concepto de \emph{categoría}.
Este capítulo introduce las categorías y estudia sus propiedades de manera
general, y se basa principalmente en \cite[caps. 3, 4 y 7]{joyofcats}.

\begin{definition}
  Una \emph{categoría} es una tupla $\cC$ formada por los siguientes elementos:
  \begin{enumerate}
  \item Una clase $\Ob{\cC}$ de \emph{objetos}.
  \item Una clase $\Mor{\cC}$ de \emph{morfismos}.
  \item Dos funciones $\dom,\cod:\Mor{\cC}\to\Ob{\cC}$, llamadas
    respectivamente \emph{dominio} y \emph{codominio}.

    Para $f\in\Mor{\cC}$, escribimos $f:a\to b$ si $\dom{f}=a$ y $\cod{f}=b$, y
    llamamos $\hom_{\cC}(a, b)$ o simplemente $\hom(a, b)$ a la clase de
    morfismos $f:a\to b$, que generalmente requeriremos que sea un conjunto.
  \item Una función
    $\circ:\bigcup_{a,b,c}(\hom(b,c)\times\hom(a,b))\to\Mor{\cC}$ que a cada
    $f:a\to b$ y $g:b\to c$ le asigna su \emph{composición} $g\circ f:a\to c$, y
    que debe ser asociativa, es decir, para $f:a\to b$, $g:b\to c$ y $h:c\to d$,
    $h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f$.
  \item Una función $1:\Ob{\cC}\to\Mor{\cC}$ que a cada objeto $a$ le asigna la
    \emph{identidad} $1_a:a\to a$, que cumple que, para $f:a\to b$,
    $f=1_b\circ f=f\circ 1_a$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{example}
  Quizá el ejemplo <<real>> más sencillo de categoría es $\bSet$, que tiene como
  objetos todos los conjuntos y como morfismos todas las funciones, cualificadas
  por su dominio y codominio, con la composición e identidad obvias.

  En el álgebra encontramos muchas categorías que se definen de manera similar:
  \begin{enumerate}
  \item $\bSmgrp$, la categoría de los semigrupos con las funciones que
    conservan su operación.
  \item $\bMon$, la categoría de los monoides con las funciones que conservan su
    operación y elemento identidad.
  \item $\bGrp$, la categoría de grupos y homomorfismos de grupos.
  \item $\bAb$, la categoría de grupos abelianos y sus homomorfismos.
  \item $\bRing$, la categoría de anillos y sus homomorfismos.
  \end{enumerate}
  En todas estas los objetos son conjuntos con una serie de operaciones y los
  morfismos son funciones que conmutan con dichas operaciones. Esta idea es
  captada por la siguiente definición.
\end{example}

\begin{definition}

  
  \begin{enumerate}
  \item  Un \emph{conjunto graduado} es un conjunto $I$ de \emph{operadores} junto con
    una función $a:I\to\sNat$ llamada \emph{aridad}.
  \item    El conjunto de \emph{operadores derivados}
    de $I$ es el conjunto graduado $\Lambda$ formado por las siguientes expresiones:
    \begin{enumerate}
    \item La \emph{identidad}, $1$, de aridad 1.
    \item Todos los operadores de $I$ con su aridad en $I$.
    \item Para $\omega\in\Lambda$ de aridad $n$ e $i_1,\dots,i_n\in\Lambda$ de aridades $a_1,\dots,a_n$,
      $\omega(i_1,\dots,i_n)$ de aridad $a_1+\dots+a_n$.
    \item Para $\lambda\in \Lambda$ de aridad $n$ y $f:\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,m\}$,
      $\lambda_f$ de aridad $m$.
    \end{enumerate}
  \item Una \emph{acción} de $I$ en un conjunto $S$ es una familia
    $\{\mu_i : S^{a(i)} \to S\}_{i\in I}$ de operaciones en $S$ asociadas a los
    operadores de $I$, y se puede extender a una acción de $\Lambda$ definiendo
    $\mu_1(x)\coloneqq x$,
    $\mu_{\omega(i_1,\dots,i_n)}(x_{11},\dots,x_{1a_1},\dots,x_{n1},\dots,x_{na_n})\coloneqq\mu_\omega(\mu_{i_1}(x_{11},\dots,x_{1a_1}),\dots,\mu_{i_n}(x_{n1},\dots,x_{na_n}))$
    y
    $\mu_{\lambda_f}(x_1,\dots,x_m)\coloneqq\mu_\lambda(x_{f(1)},\dots,x_{f(n)})$.
  \item Una \emph{identidad} sobre $I$ es un par $(\lambda,\sigma)$ de
    operadores derivados de los de $I$ con la misma aridad, y decimos que una
    acción $\mu$ sobre $I$ \emph{satisface} la identidad $(\lambda, \sigma)$ si
    $\mu_\lambda=\mu_\sigma$.
  \item Dados un conjunto graduado finito $\Omega$ y un conjunto finito de igualdades
    $E$, una \emph{variedad algebraica} es una categoría $(\Omega,E)\dash\bAlg$ cuyos
    objetos son \emph{$(\Omega,E)$-álgebras}, o pares $(S,\mu)$ formados por un conjunto
    $S$ y una acción $\mu$ de $\Omega$ sobre $S$ que satisface las igualdades en $E$, y cuyos morfismos
    $(S,\mu)\to(S',\mu')$ son funciones $f:S\to S'$ tales que, para $\omega\in\Omega$ de
    aridad $n$ y $x_1,\dots,x_n\in S$, $f(\mu_\omega(x_1,\dots,x_n))=\mu'_\omega(f(x_1),\dots,f(x_n))$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

%% TODO Cambiar esto a una sección sobre categorías algebraicas para así separar la
%% definición en varias y poder hacer comentarios en medio y con suerte que la definición
%% de las acciones derivadas quepa, y poder poner ejemplos detrás. Quedaría como sigue:
% - Ejemplos Set, Prord, Ord
% - Subcategorías
% 1.1 Categorías algebraicas
% - Ejemplos de variedades
% - Definiciones con comentarios
% - Aplicación de la definición
% - Categorías algebraicas que no son variedades
% 1.2 Categorías topológicas
% 1.3 Categorías puramente abstractas
% 1.4 Objetos iniciales y finales
% 1.5 Monomorfismos y epimorfismos (y secciones y retractos)
% 1.6 Isomorfismos (y bimorfismos)
% 1.7 Dualidad

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End: