Al estudiar distintas ramas de las matemáticas de manera formal es
inevitable notar que existen ciertos patrones que se repiten. Todas
empiezan con los axiomas que caracterizan los objetos de estudio, como
pueden ser los grupos, espacios vectoriales, espacios topológicos,
variedades, etc., y pese a que estos se definen de forma muy
diferente, en la mayoría se pueden definir de manera natural conceptos
como subobjetos, objetos producto u objetos cociente, entre
otros. Además, estos objetos no se suelen estudiar de forma aislada,
sino que se estudian funciones entre los objetos que cumplen ciertas
propiedades, como pueden ser las aplicaciones lineales en el álgebra
lineal, las aplicaciones continuas en la topología y los homomorfismos
del álgebra abstracta.

Estos patrones no son una coincidencia, pues las propiedades generales que
exhiben son las mismas en todos los casos. Por ejemplo, la clase de funciones
<<destacables>> entre objetos es cerrada para la composición, y el producto de
subobjetos de dos objetos es un subobjeto del producto de los objetos
originales. Esto motiva el estudio de dichos patrones como otra área de las
matemáticas, con el fin de obtener propiedades aplicables a muchas de las áreas
de las matemáticas existentes o, incluso, a áreas desarrolladas posteriormente,
como veremos que ocurre con la teoría de la computación. Así, en este área de
las matemáticas los objetos de estudio son representaciones de los conceptos
fundamentales de otras áreas, que podemos representar como la clase de los
objetos de estudio junto con la clase de funciones destacables entre ellos,
llamadas \emph{morfismos}, lo que da lugar al concepto de \emph{categoría}.
Este capítulo introduce las categorías y estudia sus propiedades de manera
general, y se basa principalmente en \cite[caps. 3, 4 y 7]{joyofcats}.

\begin{definition}
  Una \conc{categoría} es una tupla $\cC$ formada por los siguientes elementos:
  \begin{enumerate}
  \item Una clase $\Ob{\cC}$ de \conc{objetos}.
  \item Una clase $\Mor{\cC}$ de \conc{morfismos}.
  \item Dos funciones $\dom,\cod:\Mor{\cC}\to\Ob{\cC}$, llamadas
    respectivamente \conc{dominio} y \conc{codominio}.

    Para $f\in\Mor{\cC}$, escribimos $f:a\to b$ si $\dom{f}=a$ y $\cod{f}=b$, y
    llamamos $\hom_{\cC}(a, b)$ o simplemente $\hom(a, b)$ a la clase de
    morfismos $f:a\to b$, que generalmente requeriremos que sea un conjunto.
  \item Una función
    $\circ:\bigcup_{a,b,c}(\hom(b,c)\times\hom(a,b))\to\Mor{\cC}$ que a cada
    $f:a\to b$ y $g:b\to c$ le asigna su \conc{composición} $g\circ f:a\to c$, y
    que debe ser asociativa, es decir, para $f:a\to b$, $g:b\to c$ y $h:c\to d$,
    $h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f$.
  \item Una función $1:\Ob{\cC}\to\Mor{\cC}$ que a cada objeto $a$ le asigna la
    \conc{identidad} $1_a:a\to a$, que cumple que, para $f:a\to b$,
    $f=1_b\circ f=f\circ 1_a$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

Es común en teoría de categorías representar situaciones con diagramas, como los
usados en buena parte del álgebra, donde los vértices representan objetos y las
flechas representan morfismos, y una flecha aparece punteada si su existencia se
debe a la existencia de las otras flechas del diagrama. No se suelen representar
las flechas identidad ni la composición de flechas que ya aparecen en el
diagrama.

Un diagrama \conc{conmuta} si, dados dos caminos cualesquiera del diagrama con
el mismo objeto de origen y de destino, la composición de los morfismos en cada
camino coincide. Así, por ejemplo, los axiomas de la composición e identidad de
categorías se pueden expresar como en la figura \ref{fig:cat-axiom}.

\begin{figure}
  \centering
  \begin{subfigure}{.45\textwidth}
    \centering
    \selectlanguage{english}
    \begin{tikzpicture}
      \draw[->] (0,2) node(A) {$a$} (2,2) node(B) {$b$}
            (0,0) node(C) {$c$} (2,0) node(D) {$d$}
            (A) -- node[above]{$f$} (B) -- node[right]{$h\circ g$} (D)
            (A) -- node[left]{$g\circ f$} (C) -- node[below]{$h$} (D);
    \end{tikzpicture}
    \caption{Asociatividad}
  \end{subfigure}
  \hfill
  \begin{subfigure}{.45\textwidth}
    \centering
    \selectlanguage{english}
    \begin{tikzpicture}
      \draw[->] (0,2) node(A){$a$} (2,2) node(AP){$a$}
                (0,0) node(B){$b$} (2,0) node(BP){$b$}
                (A) -- node[above]{$1_a$} (AP) -- node[right]{$f$} (BP)
                (A) -- node[left]{$f$} (B) -- node[below]{$1_b$} (BP)
                (A) -- node[above]{$f$} (BP);
    \end{tikzpicture}
    \caption{Elemento neutro}
  \end{subfigure}
  \caption{Axiomas de categoría}
  \label{fig:cat-axiom}
\end{figure}

\begin{samepage}
  \begin{example}
    Ciertos conceptos fundacionales se pueden ver como categorías:
    \begin{enumerate}
    \item La categoría $\bSet$ tiene como objetos todos los conjuntos y como
      morfismos todas las funciones, cualificadas por su dominio y codominio, con
      la composición e identidad obvias.
    \item Un \conc{preorden} es una relación reflexiva y transitiva, que se puede
      ver intuitivamente como un orden parcial entre clases de equivalencia. Un
      \conc{conjunto preordenado} es un conjunto con un preorden asociado, y
      llamamos $\bPrord$ a la categoría de los conjuntos preordenados cuyos
      morfismos son funciones que conservan el preorden, es decir, funciones
      $f:(a,\preceq)\to(b,\preccurlyeq)$ tales que para $x,y\in a$,
      $x\preceq y\implies f(x)\preccurlyeq f(y)$.
    \item \label{enu:mot-subcat} La categoría $\bOrd$ tiene como objetos los
      conjuntos parcialmente ordenados y como morfismos las funciones que
      conservan el orden. $\bLat$ es similar pero los objetos son retículos y los
      morfismos deben además preservar supremos e ínfimos de pares de elementos.
    \item La categoría $\bGrph$ tiene como objetos los grafos dirigidos y como
      morfismos las funciones entre los vértices de dos grafos que llevan ejes del
      primer grafo a ejes del segundo.
    \end{enumerate}
  \end{example}
\end{samepage}

El apartado \ref{enu:mot-subcat} de la lista anterior lleva naturalmente al
concepto de subcategoría.

\begin{definition}
  Una categoría $\cB$ es una \conc{subcategoría} de una $\cC$ si
  $\Ob{\cB}\subseteq\Ob{\cC}$, $\Mor{\cB}\subseteq\Mor{\cC}$ y las funciones
  dominio, codominio, composición e identidad son restricciones de las
  correspondientes funciones de $\cC$, y es una \conc{subcategoría completa} si
  además, para $a,b\in\Ob{\cB}$, $\hom_\cB(a,b)=\hom_\cC(a,b)$.
\end{definition}

Así, $\bLat$ es una subcategoría no completa de $\bOrd$, mientras que $\bOrd$ es
una subcategoría completa de $\bPrord$, y esta a su vez es una subcategoría
completa de $\bGrph$ si consideramos las relaciones como grafos dirigidos y
permitimos ejes reflexivos.

\section{Categorías algebraicas}

\begin{example}\label{ex:variety}
  En álgebra, muchas categorías se definen de manera similar:
  \begin{enumerate}
  \item $\bSmgrp$, la categoría de los semigrupos con las funciones que
    conservan su operación.
  \item $\bMon$, la subcategoría no completa de $\bSmgrp$ de los monoides con
    las funciones que conservan su operación y elemento identidad.
  \item $\bGrp$, la subcategoría completa de $\bMon$ formada por los grupos y
    sus homomorfismos.
  \item $\bAb$, la subcategoría de $\bGrp$ de grupos abelianos.
  \item $\bRing$, la categoría de anillos unitarios y sus homomorfismos.
    Incluímos aquí el anillo trivial en el que $1=0$.
  \item $\bCRng$, la subcategoría completa de $\bRing$ de los anillos unitarios
    conmutativos.
  \end{enumerate}
\end{example}

En todos estos casos los objetos son conjuntos con una serie de
operaciones, y los morfismos son funciones que respetan esas
operaciones en el sentido evidente. La lista de operaciones se puede
modelar como sigue.\cite[p. 120]{maclane}

\begin{definition}
  Un \conc{conjunto graduado} es un conjunto $I$ de \conc{operadores} junto con
  una función $a:I\to\sNat$ llamada \conc{aridad}.  Una \conc{acción} de $I$ en
  un conjunto $S$ es una familia $\{\mu_i : S^{a(i)} \to S\}_{i\in I}$ de
  operaciones en $S$ asociadas a los operadores de $I$.
\end{definition}

Así, por ejemplo, los operadores en $\bAb$ serían $+$ de aridad 2, $-$
de aridad 1 y $0$ de aridad 0. Queda definir las propiedades de los
operadores.
    
\begin{definition} Sea $(I, a)$ un conjunto graduado:
  \begin{enumerate}
  \item El conjunto de \conc{operadores derivados} de $I$ es el conjunto
    graduado $\Lambda$ formado por las siguientes expresiones:
    \begin{enumerate}
    \item El \conc{operador identidad}, $id$, de aridad 1.
    \item Todos los operadores de $I$ con su aridad en $I$.
    \item Para $\omega\in\Lambda$ de aridad $n$ e $i_1,\dots,i_n\in\Lambda$ de
      aridades $a_1,\dots,a_n$, $\omega(i_1,\dots,i_n)$ de aridad
      $a_1+\dots+a_n$.
    \item Para $\lambda\in \Lambda$ de aridad $n$ y
      $f:\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,m\}$, $\lambda_f$ de aridad $m$.
    \end{enumerate}
  \item Si $\mu$ es una acción sobre $I$, la extensión de $\mu$ a $\Lambda$ es
    la acción $\nu$ sobre $\Lambda$ dada por $\nu_i=\mu_i$ para $i\in I$,
    $nmu_{id}(x)\coloneqq x$,
    $\nu_{\omega(i_1,\dots,i_n)}(x_{11},\dots,x_{1a_1},\dots,x_{n1},\dots,x_{na_n})\coloneqq\nu_\omega(\nu_{i_1}(x_{11},\dots,x_{1a_1}),\dots,\nu_{i_n}(x_{n1},\dots,x_{na_n}))$
    y
    $\nu_{\lambda_f}(x_1,\dots,x_m)\coloneqq\nu_\lambda(x_{f(1)},\dots,x_{f(n)})$.
  \item Una \conc{identidad} sobre $I$ es un par $(\lambda,\sigma)$ de
    operadores $\Lambda$ de igual aridad.
  \item Una acción $\mu$ sobre $I$ \conc{satisface} una identidad
    $(\lambda, \sigma)$ sobre $I$ si $\nu_\lambda=\nu_\sigma$, donde $\nu$ es la
    extensión de $\mu$ a $\Lambda$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

Normalmente las identidades $(\lambda, \sigma)$ se representan como igualdades
$\lambda=\sigma$, y $\lambda$ y $\sigma$ se representan de forma obvia como
expresiones que dependen de los operadores base y una serie de parámetros de
entrada, de modo que las propiedades de $\bAb$ son $(x+y)+z=x+(y+z)$, $0+x=x$,
$x+(-x)=0$ y $x+y=y+x$.

\begin{definition}
  Sean $\Omega$ un conjunto graduado finito y $E$ un conjunto finito de
  identidades sobre $\Omega$:
  \begin{enumerate}
  \item Una $(\Omega,E)$-álgebra es un par $(S,\mu)$ formado por un conjunto $S$
    y una acción $\mu$ de $\Omega$ sobre $S$ que satisface las identidades en
    $E$.
  \item Una \conc{variedad algebraica} es una categoría $(\Omega,E)\dash\bAlg$
    cuyos objetos son las $(\Omega,E)$-álgebras y cuyos morfismos
    $(A,\mu)\to (B,\nu)$ son las funciones $f:A\to B$ tales que, para
    $\omega\in\Omega$ de aridad $n$ y $x_1,\dots,x_n\in A$,
    $f(\mu_\omega(x_1,\dots,x_n))=\nu_\omega(f(x_1),\dots,f(x_n))$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

Claramente todas las categorías del ejemplo \ref{ex:variety} son variedades
algebraicas, y de hecho podemos ver $\bSet$ como
$(\emptyset,\emptyset)\dash\bAlg$, pero sin embargo $\bField$, la subcategoría
completa de $\bRing$ de los cuerpos (incluyendo el cuerpo trivial), no es una
variedad algebraica, ya que requiere una propiedad de la inversa del producto,
que no está definida en el 0.

Otra categoría interesante es $R\dash\bMod$, la clase de módulos de un anillo
conmutativo $R$ y homomorfismos de $R$-módulos. $\sInt\dash\bMod$ es
esencialmente $\bAb$ y, para un cuerpo $K$, $K\dash\bMod$ es la categoría de
$K$-espacios vectoriales, por lo que la escribimos como $K\dash\bVec$ o
simplemente $\bVec$ si $K=\sReal$.

\section{Categorías abstractas}

Hasta ahora, en todas las categorías que hemos visto, los objetos son conjuntos
con estructura y los morfismos son funciones entre ellos. Las categorías de esta
forma se llaman \emph{constructos}\footnote{Veremos una definición más abstracta
  de constructo cuando veamos los funtores.}, y aunque son muy comunes, también
hay muchas categorías relevantes que no son constructos.

\begin{example}
  Para un anillo $R$, la categoría $R\dash\bMat$ tiene como objetos los números
  naturales, como morfismos de $n$ a $m$ las matrices de tamaño $n\times m$,
  como composición el producto de matrices y como identidad la matriz identidad
  del tamaño correspondiente.
\end{example}

\begin{example}
  Algunas estructuras matemáticas se pueden ver como categorías.
  \begin{enumerate}
  \item Una categoría es \conc{discreta} si sólo tiene los morfismos
    identidad. Un conjunto, o en general una clase, se puede ver como una
    categoría discreta cuyos objetos son los elementos del conjunto.
  \item Una categoría es \conc{fina} si sus \conc{conjuntos hom} (conjuntos de
    la forma $hom(a,b)$) tienen como máximo un elemento. Un conjunto preordenado
    $(X,\preceq)$ se puede ver como una categoría fina cuyos objetos son los
    elementos del conjunto y tal que, para $x,y\in X$, $\hom(x,y)$ está habitado
    si y sólo si $x\preceq y$.
  \item Un monoide se puede ver como una categoría con un solo objeto, cuyos
    morfismos son los elementos del monoide, la identidad es su elemento neutro
    y la composición es el producto.
  \end{enumerate}
\end{example}

\begin{example}
  Las siguientes categorías se usan principalmente en el estudio de categorías
  más complicadas:
  \begin{enumerate}
  \item La categoría vacía, $\bZero$, sin objetos.
  \item La categoría discreta unipuntual, $\bOne$.
  \item La categoría discreta de dos objetos, $\bTwo$.
  \item La categoría $\bDown$, con dos objetos y una sola flecha de uno a otro
    ($\bullet\to\bullet$).
  \end{enumerate}
\end{example}


\section{Categorías topológicas y analíticas}

La principal categoría topológica es $\bTop$, formada por los espacios
topológicos y las funciones continuas entre ellos.

\begin{example}
  Algunos constructos usados en topología tienen los mismos objetos pero
  distintas clases de morfismos, permitiendo estudiar los objetos desde
  distintas perspectivas. Por ejemplo, las siguientes tres categorías tienen
  como objetos los espacios métricos:
  \begin{enumerate}
  \item $\bMetc$, con las funciones continuas.
  \item $\bMetu$, con las funciones uniformemente continuas.
  \item $\bMet$, con las contracciones, funciones continuas que
    \emph{acercan} los puntos.
  \end{enumerate}
  Asimismo tenemos la categoría $\bBanb$ de los espacios de Banach con las formas
  lineales acotadas y $\bBan$ con las contracciones lineales.
\end{example}


\begin{example}
  Sea $X$ un espacio topológico.  Recordemos que, para $x,y\in X$, un camino de
  $x$ a $y$ es una función continua $f:[0,1]\to X$ con $f(0)=x$ y $f(1)=y$, y
  que dos caminos $f$ y $g$ de $x$ a $y$ son homotópicamente equivalentes si
  existe $F:[0,1]\times[0,1]\to X$ tal que, para $s,t\in[0,1]$, $F(t,0)=f(t)$,
  $F(t,1)=g(t)$, $F(0,s)=x$ y $F(1,s)=y$. Entonces el \conc{grupoide
    fundamental}\cite[p. 20]{maclane} de $X$ es una categoría $\pi(X)$ cuyos
  objetos son los puntos de $X$ y tal que $\hom(x,y)$ es el conjunto cociente de
  caminos de $x$ a $y$ por equivalencia homotópica, tomando la concatenación de
  (clases de) caminos como composición y la clase del camino constante como
  morfismo identidad.

  Para $x\in X$, $\hom(x,x)$ es un grupo con la composición, y si existe un
  camino $f:x\to y$, $\hom(x,x)$ y $\hom(y,y)$ son isomorfos por el isomorfismo
  $g\mapsto fgf^{-1}$, definiendo $f^{-1}$ de la forma obvia, con lo que si $X$
  es conexo por arcos, $\hom(x,x)$ es el mismo para todo $x$ salvo
  isomorfismo, y se llama \conc{grupo fundamental} de $X$. Esto permite tratar
  espacios topológicos de manera algebraica.
\end{example}

\section{Isomorfismos}

Ya hemos visto las categorías más importantes de distintas áreas, por lo que
pasamos a ver algunas propiedades de sus objetos y morfismos. Un primer ejemplo
es el de isomorfismo, que se suele definir como un homomorfismo biyectivo cuya
inversa también es un homomorfismo. En topología tenemos también el concepto
de homeomorfismo, que viene a ser lo mismo salvo por el cambio de terminología.

\begin{definition}
  Un morfismo $f:a\to b$ es un \conc{isomorfismo}, si existe otro morfismo
  $g:b\to a$ tal que $g\circ f=1_a$ y $f\circ g=1_b$, en cuyo caso escribimos
  $f:a\cong b$ y decimos que $a$ y $b$ son \conc{isomorfos}, $a\cong b$.
\end{definition}

Claramente el inverso de un isomorfismo es único, pues si $f:a\to b$ tiene
inversos $g,h:b\to a$, entonces $g=g\circ 1_b=g\circ f\circ h=1_a\circ h=h$.
Llamamos entonces $f^{-1}$ a la inversa de $f$.

\begin{example}
  Algunos isomorfismos:
  \begin{enumerate}
  \item En $\bSmgrp$, $\bMon$, $\bGrp$, $\bAb$, $\bRing$ y $R\dash\bMod$, el
    concepto de isomorfismo categórico se corresponde con el concepto usual de
    isomorfismo.
  \item En $\bTop$ y $\bMetc$, los isomorfismos son los homeomorfismos.
  \item En $\bBanb$, los isomorfismos son los isomorfismos topológicos, es
    decir, los isomorfismos vectoriales que son homeomorfismos.
  \item En $\bMet$ los isomorfismos son las isometrías, mientras que en $\bBan$
    son los isomorfismos isométricos.
  \item En $\bSet$, los isomorfismos son las funciones biyectivas.
  \item Un \conc{grupoide} es una categoría en la que todos los morfismos son
    isomorfismos. Esto ocurre, por ejemplo, en el grupoide fundamental.
  \item En un conjunto preordenado visto como categoría, dos objetos $a$ y $b$
    son isomorfos si y sólo si $a\preceq b\preceq a$, por lo que en particular
    un conjunto (parcialmente) ordenado visto como categoría no tiene
    isomorfismos salvo las identidades.
  \item En un monoide visto como categoría, los isomorfismos son los elementos
    invertibles.
  \item En $R\dash\bMat$, los isomorfismos son las matrices invertibles.
  \end{enumerate}
\end{example}

\section{Objetos iniciales y finales}

En álgebra, muchas categorías tienen un objeto trivial, como el cuerpo trivial,
el grupo trivial o el espacio vectorial trivial. Sin embargo, a la hora de
intentar definir la topología trivial nos encontramos que hay dos candidatos
posibles, la topología vacía y la unipuntual, y ninguna es enteramente
satisfactoria.  Esto se debe a que, al hablar de un objeto trivial estamos
juntando dos propiedades: por un lado, el objeto trivial está contenido en todos
los demás, y por otro, siempre es posible pasar de un objeto al objeto trivial
por un morfismo.

\begin{definition}
  Un objeto $a$ es \conc{inicial} si para cualquier otro objeto $x$ existe un
  único morfismo $f_x:a\to x$, es \conc{final} si para cualquier otro objeto $x$
  existe un único morfismo $g_x:x\to a$, y es \conc{cero} si es inicial y final.
\end{definition}

\begin{example}
  Veamos los objetos iniciales y finales de algunas categorías típicas.
  \begin{enumerate}
  \item En $\bMon$, $\bGrp$ y $\bAb$, el grupo trivial es un objeto cero; en
    $\bRing$ y $\bField$ lo es el cuerpo trivial, y en $R\dash\bMod$ lo es el
    módulo trivial.
  \item En $\bSet$, el conjunto vacío $\emptyset$ es inicial, mientras que los
    conjuntos unipuntuales $\{*\}$ son finales. Lo mismo ocurre en $\bTop$ y en
    $\bOrd$ dotando a $\emptyset$ y $\{*\}$ de la única estructura posible en
    cada caso.
  \item En un conjunto ordenado visto como categoría, un objeto inicial es un
    mínimo y un objeto final es un máximo. En particular el único conjunto
    ordenado con un cero es el unipuntual.
  \item En $R\dash\bMat$, el 0 es un cero, pues para cada $m$ hay una única
    matriz de tamaño $0\times m$ y una de tamaño $m\times 0$.
  \end{enumerate}
\end{example}

Podríamos preguntarnos si categorías como $\bSet$ o $\bTop$ tienen un cero.
La respuesta es que no, como se deduce de las siguientes proposiciones.

\begin{proposition}
  Los objetos iniciales son únicos salvo isomorfismo:
  \begin{enumerate}
  \item Si $a$ y $b$ son objetos iniciales (de la misma categoría), entonces son
    isomorfos.
    \begin{proof}
      Por hipótesis existen $f:a\to b$ y $g:b\to a$, pero como sólo hay un morfismo
      $a\to a$, este debe ser $1_a$ y por tanto $g\circ f=1_a$, y análogamente
      $f\circ g=1_b$, con lo que $f$ es un isomorfismo.
    \end{proof}
  \item Si $a\cong b$ y $a$ es inicial, entonces $b$ es inicial.
    \begin{proof}
      Sea $f:b\to a$ un isomorfismo y $x$ un objeto cualquiera, existe un único
      $h:a\to x$ y por tanto $h\circ f$ es un morfismo de $b$ a $x$, que es
      único ya que, para $k:b\to x$, $k\circ f^{-1}:a\to x$ y así
      $k\circ f^{-1}=h$, con lo que $k=h\circ f$.
    \end{proof}
  \end{enumerate}
\end{proposition}

La siguiente proposición se prueba de forma análoga.

\begin{proposition}
  Los objetos finales son únicos salvo isomorfismo:
  \begin{enumerate}
  \item Si $a$ y $b$ son objetos finales, entonces son isomorfos.
  \item Si $a\cong b$ y $a$ es final, entonces $b$ es final.
  \end{enumerate}
\end{proposition}

Así, como $\emptyset$ y $\{*\}$ no son isomorfos en $\bSet$, $\bTop$ ni $\bOrd$
(ni en ningún otro constructo), estas categorías no tienen objetos cero.  En
general diremos que un objeto con una cierta propiedad es \conc{único salvo
  isomorfismo} si los objetos que tienen esa propiedad son precisamente los que
son isomorfos a dicho objeto.

\begin{corollary}
  En los grupoides no vacíos, las siguientes condiciones son equivalentes:
  \begin{enumerate}
  \item \label{enu:goid-initial} Existe un objeto inicial.
  \item \label{enu:goid-final} Existe un objeto final.
  \item \label{enu:goid-zero} Existe un objeto cero.
  \item \label{enu:goid-all} Todos los objetos son cero.
  \end{enumerate}
  En particular, en el grupoide fundamental $\pi(X)$ (con $X$ no vacío), esto
  ocurre si y sólo si $X$ es simplemente conexo.
\end{corollary}
\begin{proof}
  La equivalencia (\ref{enu:goid-initial}$\iff$\ref{enu:goid-final}) se debe a
  que, por unicidad del isomorfismo inverso, $\hom(a,b)=\hom(b,a)$ para
  cualesquiera $a$ y $b$, y esto prueba la equivalencia con
  (\ref{enu:goid-zero}). Ahora bien, si $a$ es cero y $x$ es otro objeto, el
  único morfismo $a\to x$ es un isomorfismo, por lo que $x$ es cero y queda
  probado (\ref{enu:goid-zero}$\iff$\ref{enu:goid-all}).  La última
  observación es por definición.
\end{proof}

\section{Monomorfismos y epimorfismos}

En muchas ramas del álgebra llamamos monomorfismos a los morfismos inyectivos y
epimorfismos a los morfismos suprayectivos. Esta definición depende de que los
morfismos sean funciones, por lo que no nos sirve para categorías generales.

Para los monomorfismos podemos basarnos en que, en $\bSet$, los elementos de un
conjunto $S$ se identifican con los morfismos $\{*\}\to S$, con lo que la
propiedad de que $f(x)=f(y)\implies x=y$ se puede traducir como sigue.

\begin{definition}
  Un morfismo $f:a\to b$ es un \conc{monomorfismo} (escrito $f:a\monicTo b$) si
  es cancelable por la izquierda, es decir, si para cualesquiera $h,k:c\to a$
  con $f\circ h=f\circ k$ se tiene $h=k$.
\end{definition}

\begin{example}[Monomorfismos en constructos]\;
  % En el caso de $\bSet$, tomando $c=\{*\}$ se tiene por construcción que todo
  % monomorfismo es inyectivo, y recíprocamente, si $f:X\to Y$ es una función
  % inyectiva y $h,k:S\to X$ con $f\circ h=f\circ k$, entonces para $x\in S$ es
  % $f(h(x))=f(k(x))$ y por tanto $h(x)=k(x)$, por lo que $h=k$ y $f$ es un
  % monomorfismo. Veamos lo que ocurre en otros constructos.
  \begin{enumerate}
  \item En $\bSet$, por construcción, todo monomorfismo es inyectivo sin más que
    tomar $c=\{*\}$ en la definición anterior. Lo mismo ocurre en $\bTop$,
    $\bMet$, $\bOrd$ y otros constructos en que los elementos de un conjunto se
    identifiquen con los morfismos $\{*\}\to S$.
  \item En todos los constructos, los morfismos inyectivos son monomorfismos,
    pues si $f:X\to Y$ es un morfismo inyectivo y $h,k:S\to X$ con
    $f\circ h=f\circ k$, entonces para $x\in S$, $f(h(x))=f(k(x))$ y por tanto
    $h(x)=k(x)$, de modo que $h=k$.
  \item En $R\dash\bMod$, si $f:M\to N$ es un monomorfismo y $x,y\in M$ cumplen
    $f(x)=f(y)$, los morfismos $R\to M$ dados por $a\mapsto ax$ y $a\mapsto ay$
    quedan iguales al componerlos con $f$ y por tanto son iguales, por lo que
    $x=1x=1y=y$ y los monomorfismos son inyectivos.
  \item Aunque en la mayoría de constructos relevantes los monomorfismos son
    precisamente los morfismos inyectivos, esto no es siempre así, como muestra
    el constructo con objetos $\{*\}$, $\{\$\}$ y $\{x,y\}$ y como morfismos las
    identidades, las funciones con codominio $\{\$\}$ y el morfismo
    $*\mapsto x$, en el cual el morfismo $\{x,y\}\to\{\$\}$ es un monomorfismo
    pero no es inyectivo.
  \end{enumerate}
\end{example}

Hasta ahora para probar que los monomorfismos de un constructo son inyectivos
hemos tomado un objeto $D$ y un objeto $*\in D$ tal que, para cualquier otro
objeto $A$ y $a\in A$, podemos definir un morfismo $f:D\to A$ tal que $f(*)=a$.
Para las variedades algebraicas, sin embargo, no es inmediato ver cuál es este
objeto.

\begin{definition}
  Dados un conjunto graduado $\Omega=\{s_1,\dots,s_k\}$ donde cada $s_i$ tiene
  aridad $n_i$ y un conjunto finito $E$ de identidades en $\Omega$, el
  \conc{objeto libre} de $(\Omega,E)\dash\bAlg$ sobre el conjunto $X$ es el
  objeto construido tomando el conjunto de los árboles con raíz cuyos nodos se
  etiquetan con un $s_i$ y tienen $n_i$ hijos, o con un $x\in X$ y tienen 0
  hijos, haciendo el conjunto cociente por reescritura según las identidades en
  $E$, y definiendo las operaciones por construcción de árboles.
\end{definition}

\begin{example}[Objetos libres en variedades algebraicas comunes]\;
  \begin{enumerate}
  \item El monoide libre sobre $X$ está formado por las cadenas de elementos de
    $X$ junto a la concatenación, mientras que el semigrupo libre es similar
    pero excluyendo la cadena vacía.
  \item El grupo libre sobre $X$ está formado por cadenas de símbolos de la
    forma $x$ o $\overline x$ para $x\in X$, con la condición de que no aparecen
    subsecuencias $x\overline x$ u $\overline xx$, y la operación es la
    concatenación eliminando sucesivamente las subcadenas de esta forma.
  \item El grupo abeliano libre sobre $X$ es $\mathbb{Z}^X$.
  \item El anillo conmutativo libre sobre $\{x_1,\dots,x_n\}$ es el anillo de
    polinomios $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]$.
  \end{enumerate}
\end{example}

\begin{proposition}
  En las variedades algebraicas, los monomorfismos son precisamente los
  morfismos inyectivos.
\end{proposition}
\begin{proof}
  Sean $f:A\to B$ un monomorfismo en $(\Omega,E)\dash\bAlg$ y $x,y\in A$ con
  $f(x)=f(y)$. Si $F$ es la $(\Omega,E)$-álgebra libre sobre $\{*\}$, $h$ es el
  único morfismo $F\to A$ con $h(*)=x$ y $k:F\to A$ es el único con $h(*)=y$,
  para $c\in F$, $f(h(c))$ y $f(k(c))$ vienen dados por $f(h(*))$ y $f(k(*))$
  siguiendo la estructura de $c$, por lo que $f\circ h=f\circ k$, $h=k$ y,
  finalmente, $x=y$.
\end{proof}

\begin{proposition}\label{prop:mono-comp}\;
  \begin{enumerate}
  \item La composición de monomorfismos es un monomorfismo.
    \begin{proof}
      Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$ monomorfismos y $h,k:D\to A$ con
      $g\circ f\circ h=g\circ f\circ k$, entonces $f\circ h=f\circ k$ y por
      tanto $h=k$.
    \end{proof}
  \item Si $g\circ f$ es un monomorfismo, $f$ también lo es.
    \begin{proof}
      Si $g\circ f$ es un monomorfismo y $f\circ h=f\circ k$, entonces
      $g\circ f\circ h=g\circ f\circ k$ y por tanto $h=k$.
    \end{proof}
  \end{enumerate}
\end{proposition}

Para caracterizar los epimorfismos vemos que, en $\bSet$, si $f:A\to B$ no
es suprayectiva, sea $y\in B\setminus\Img{f}$, es posible crear dos funciones
$g,h:B\to\{0,1\}$ con $g\circ f=h\circ f$ pero $g(y)=0$ y $h(y)=1$, mientras
que fuera suprayectiva, $g\circ f=h\circ f$ implica claramente $g=h$.

\begin{definition}
  Un morfismo $f:a\to b$ es un \conc{epimorfismo}, $f:a\epicTo b$, si es
  cancelable por la derecha, es decir, si para $g,h:b\to c$ con
  $g\circ f=h\circ f$ se tiene $g=h$.
\end{definition}

La siguiente proposición se demuestra de forma similar que la
correspondiente para epimorfismos.

\begin{proposition}\label{prop:epi-comp}\;
  \begin{enumerate}
  \item La composición de epimorfismos es un epimorfismo.
  \item Si $g\circ f$ es un epimorfismo, $g$ también lo es.
  \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item En los constructos, las funciones suprayectivas son epimorfismos, por el
    mismo argumento que en $\bSet$.
  \item En $\bSet$ los epimorfismos son precisamente las funciones
    suprayectivas, pues para $f:A\to B$ no suprayectiva es fácil encontrar
    $g,h:B\to\{0,1\}$ distintas con $g\circ f=h\circ f$. Lo mismo ocurre en
    $\bTop$ dotando a $\{0,1\}$ de la topología indiscreta y en $\bGrph$ usando
    el grafo completo de dos elementos.
  \item En $R\dash\bMod$, si $f:M\to N$ es un epimorfismo, sean
    $p,z:N\to\frac{N}{\Img{f}}$ la proyección canónica y la función constante en
    0, respectivamente, entonces $p\circ f=z\circ f$, luego $p=z$,
    $\frac{N}{\Img{f}}\cong0$ y así $\Img{f}=N$, con lo que los epimorfismos son
    suprayectivos.
  \item No en todas las variedades algebraicas los epimorfismos son son
    suprayectivos. Por ejemplo, en $\bRing$, la inclusión $u:\sInt\to\sRat$ es
    suprayectiva, pues si $f,g:\sRat\to R$ cumplen que
    $f\circ u=g\circ u:\sInt\to R$, entonces $f=g$ ya que para $x,y\in\sInt$,
    $f(\frac xy)=\frac{f(x)}{f(y)}=\frac{(f\circ u)(x)}{(f\circ u)(y)}$, y lo
    mismo ocurre con $g$.
  \item En $\bMet$ y $\bMetc$, los epimorfismos son precisamente las funciones
    con imagen densa.
    \begin{proof}
      Si $f:X\to Y$ es un morfismo con imagen densa y $g,h:Y\to Z$ son morfismos
      con $g\circ f=h\circ f$, para $y\in Y$ existe una sucesión
      $\{x_n\}_n\subseteq X$ con $y=\lim_nf(x_n)$, y por unicidad del límite y
      continuidad, $g(y)=\lim_ng(f(x_n))=\lim_nh(f(x_n))=h(y)$.  Recíprocamente,
      si $f:X\to Y$ no tiene imagen densa, existen $y_0\in Y$ y $r>0$ con
      $B(y_0,r)\cap\Img{f}=\emptyset$, por lo que $g,h:Y\mapsto\sReal$ dadas por
      $g(y)\coloneqq r$ y $h(y)\coloneqq\min\{d(y_0,y),r\}$ son retracciones
      continuas distintas con $g\circ f=h\circ f$.
    \end{proof}
  \end{enumerate}
\end{example}

Los dos últimos ejemplos muestran que, al contrario de lo que ocurre en muchos
campos del álgebra, no siempre los morfismos que son a la vez monomorfismos y
epimorfismos son isomorfismos.

\begin{definition}
  Un \conc{bimorfismo} es un morfismo que es a la vez un monomorfismo y un
  epimorfismo. Una categoría es \conc{equilibrada} si todo bimorfismo es un
  isomorfismo.
\end{definition}

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item En una categoría fina, todos los morfismos son bimorfismos, pero en
    general no son isomorfismos.
  \item En un monoide visto como categoría, los bimorfismos son los elementos
    cancelables por ambos lados.
  \item Las identidades son bimorfismos, y en particular los isomorfismos son
    bimorfismos sin más que aplicar las proposiciones \ref{prop:mono-comp} y
    \ref{prop:epi-comp} a la composición de un isomorfismo con su inverso por
    ambos lados.
  \end{enumerate}
\end{example}

\section{Secciones y retracciones}

Hemos estudiado los morfismos cancelables por uno de los lados, por lo que cabe
preguntarse qué ocurre con los morfismos invertibles por uno de los
lados. Claramente este es un concepto más fuerte, y de hecho es estrictamente
más fuerte.

\begin{definition}
  Una \conc{sección} es un morfismo con inverso por la izquierda, y una
  \conc{retracción} es un morfismo con inverso por la derecha.  Es decir, si
  $f:a\to b$ y $g:b\to a$ son tales que $g\circ f=1_a$, entonces $f$ es una
  sección y $g$ es una retracción.
\end{definition}

Claramente las secciones son monomorfismos y las retracciones son
epimorfismos. Veamos algunos ejemplos.

\begin{example}\;
  \begin{enumerate}
  \item En $\bSet$, las secciones son las funciones inyectivas salvo las que van
    de un conjunto vacío a uno no vacío, y las retracciones son las funciones
    suprayectivas. Es fácil ver que esto último es equivalente al axioma de
    elección.
  \item En $R\dash\bMod$, las secciones son los monomorfismos cuya imagen es un
    sumando directo del codominio, y las retracciones son los epimorfismos cuyo
    núcleo es un sumando directo del dominio.
    \begin{proof}
      Si $f:M\to N$ es un monomorfismo cuya imagen es un sumando directo de $N$,
      por ejemplo $N=\Img{f}\oplus P$, un $g:N\to M$ que lleva los elementos de
      $\Img{f}$ a su única preimagen por $f$ y los $p\in P$ a 0 es inverso de
      $f$ por la derecha. Si es un epimorfismo cuyo núcleo es un sumando directo
      de $M$, por ejemplo $M=\ker{f}\oplus L$, sean $p:M\to\frac{M}{\ker{f}}$ la
      proyección canónica, $h:\frac{M}{\ker{f}}\cong L$ el isomorfismo <<obvio>>
      y $u:L\inTo M$ la inclusión, entonces $p\circ u\circ h=1$, pero el teorema
      del factor nos da un único isomorfismo
      $\overline{f}:\frac{M}{\ker{f}}\cong N$ con $\overline{f}\circ p=f$, por
      lo que $\overline{f}=f\circ u\circ h$ y
      $f\circ(u\circ h\circ\overline{f}^{-1})=1$.
      
      Para el recíproco, sean $f:M\monicTo N$ y $g:N\epicTo M$ con
      $g\circ f=1_M$, basta ver que $N=\Img{f}\oplus\ker{g}$. En efecto, todo
      $n\in N$ se descompone como suma de $n_1\coloneqq f(g(n))\in\Img{f}$ y
      $n_2\coloneqq n-f(g(n))\in\ker{g}$, y si $p_1\in\Img{f}$ y $p_2\in\ker{g}$
      cumplen $n=p_1+p_2$, sea $m_1\in M$ la preimagen de $p_1$ por $f$,
      entonces $g(n)=g(p_1+p_2)=g(f(m_1))+g(p_2)=m_1+0$ y
      $n_1=f(g(n))=g(m_1)=p_1$, con lo que $n_2=p_2$.
    \end{proof}
  \item En $K\dash\bVec$, como caso especial del apartando anterior, todos los
    monomorfismos son secciones y todos los epimorfismos son retracciones.
  \end{enumerate}
\end{example}

Las secciones y retracciones se conservan por composición del mismo modo que
lo hacen los monomorfismos y epimorfismos:

\begin{proposition}\;
  \begin{enumerate}
  \item La composición de secciones es una sección.
    \begin{proof}
      Si $f$ y $g$ son secciones con inversas por la izquierda respectivas
      $\overline f$ y $\overline g$, entonces
      $(\overline f\circ\overline g)\circ g\circ f=\overline f\circ f=1$.
    \end{proof}
  \item Si $g\circ f$ es una sección, $f$ es una sección.
    \begin{proof}
      Si $g\circ f$ es una sección con inversa por la izquierda $h$, entonces
      $h\circ g\circ f=1$, y $h\circ g$ es inversa por la izquierda de $f$.
    \end{proof}
  \end{enumerate}
\end{proposition}

De forma análoga se prueba la siguiente proposición.

\begin{proposition}\;
  \begin{enumerate}
  \item La composición de retracciones es una retracción.
  \item Si $g\circ f$ es una retracción, $g$ es una retracción.
  \end{enumerate}
\end{proposition}

Cabe preguntarse si un morfismo que es a la vez sección y retracción es
invertible. La respuesta es que sí, y además esta condición se puede relajar.

\begin{proposition}
  Para un morfismo $f$, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
  \begin{enumerate}
  \item \label{enu:sr-iso} $f$ es un isomorfismo.
  \item \label{enu:sr-both} $f$ es una sección y una retracción.
  \item \label{enu:sr-relax-left} $f$ es un monomorfismo y una retracción.
  \item \label{enu:sr-relax-right} $f$ es una sección y un epimorfismo.
  \end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
  Las implicaciones
  (\ref{enu:sr-iso})$\implies$(\ref{enu:sr-both})$\implies$(\ref{enu:sr-relax-left}),
  (\ref{enu:sr-relax-right}) son obvias.

  Para (\ref{enu:sr-both})$\implies$(\ref{enu:sr-iso}), si $f:a\to b$ y
  $g,h:b\to a$ son tales que $g\circ f=1_a$ y $f\circ h=1_b$, entonces
  $g=g\circ 1_b=g\circ f\circ h=1_a\circ h=h$, y $g=h$ es la inversa de $f$.

  Para (\ref{enu:sr-relax-left})$\implies$(\ref{enu:sr-iso}), sea $g$ un
  morfismo con $f\circ g=1$, entonces $f\circ g\circ f=1\circ f=f\circ 1$, y
  como $f$ es un monomorfismo, cancelando, $g\circ f=1$ y $f$ es un
  isomorfismo.

  De forma análoga (\ref{enu:sr-relax-right})$\implies$(\ref{enu:sr-iso}).
\end{proof}

\section{Dualidad}

La mayoría de las propiedades que hemos visto hasta ahora vienen en pares con
definiciones muy parecidas, y de hecho, cada vez que demostrábamos algo sobre
una de los propiedades, la misma idea servía para demostrar algo similar sobre
la otra. Esto ocurre mucho en teoría de categorías, y para sacar ventaja de esto
definimos el concepto de dualidad.

\begin{definition}
  Dada una categoría $\cC$, su \conc{categoría dual} es una categoría
  $\dual{\cC}$ con los mismos objetos y morfismos que $\cC$ y la misma función
  identidad pero tal que, para todo morfismo $f$,
  $\dom_{\dual{\cC}}{f}=\cod_{\cC}{f}$ y $\cod_{\dual{\cC}}{f}=\dom_{\cC}{f}$, y
  la composición se define como $f\circ_{\dual{\cC}}g\coloneqq g\circ_{\cC}f$.
\end{definition}

\begin{example}
  \begin{enumerate}
  \item Si $(X,\preceq)$ es un conjunto preordenado, su dual visto como
    categoría es $(X,\succeq)$.
  \item El dual de una categoría discreta es ella misma.
  \end{enumerate}
\end{example}

La principal utilidad de la categoría dual está en definir el dual de un
concepto o propiedad.

\begin{definition}
  Si $P$ es un predicado aplicable a una o más categorías $\cC_1,\dots,\cC_n$,
  su \conc{dual} es
  $\dual{P}(\cC_1,\dots,\cC_n)\equiv P(\dual{\cC_1},\dots,\dual{\cC_n})$, y
  decimos que $P$ es \conc{auto-dual} si $P\equiv\dual{P}$.
\end{definition}

En esencia, tomar la categoría dual consiste en invertir el sentido de las
flechas en la categoría, y tomar el predicado dual consiste en invertir el
sentido de los morfismos que se mencionan. En general al tratar un concepto
categórico es conveniente fijarse en el dual del concepto, ya que suele ser un
concepto relevante y, además, las propiedades de dicho concepto se derivan
directamente de las del concepto original, sin necesidad de demostración aparte.

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%%% End: