Al estudiar distintas ramas de las matemáticas de manera formal es inevitable
notar que existen ciertos patrones que se repiten. Todas empiezan con los
axiomas que caracterizan los objetos de estudio, como pueden ser los grupos,
espacios vectoriales, espacios topológicos, variedades, etc., y pese a que estos
se definen de forma muy diferente, en la mayoría se pueden definir de manera
natural conceptos como subobjetos, objetos producto u objetos cociente, entre
otros. Además, estos objetos no se suelen estudiar de forma aislada, sino que se
estudian funciones entre los objetos que cumplen ciertas propiedades, como
pueden ser las aplicaciones lineales en el álgebra lineal, las aplicaciones
continuas en la topología, las derivables en análisis y los homomorfismos del
álgebra abstracta.

Estos patrones no son una coincidencia, pues las propiedades generales que
exhiben son las mismas en todos los casos. Por ejemplo, la clase de funciones
<<destacables>> entre objetos es cerrada para la composición, y el producto de
subobjetos de dos objetos es un subobjeto del producto de los objetos
originales. Esto motiva el estudio de dichos patrones como otra área de las
matemáticas, con el fin de obtener propiedades aplicables a muchas de las áreas
de las matemáticas existentes o, incluso, a áreas desarrolladas posteriormente,
como veremos que ocurre con la teoría de la computación. Así, en este área de
las matemáticas los objetos de estudio son representaciones de los conceptos
fundamentales de otras áreas, que podemos representar como la clase de los
objetos de estudio junto con la clase de funciones destacables entre ellos,
llamadas \emph{morfismos}, lo que da lugar al concepto de \emph{categoría}.
Este capítulo introduce las categorías y estudia sus propiedades de manera
general, y se basa principalmente en \cite[caps. 3, 4 y 7]{joyofcats}.

\begin{definition}
  Una \conc{categoría} es una tupla $\cC$ formada por los siguientes elementos:
  \begin{enumerate}
  \item Una clase $\Ob{\cC}$ de \conc{objetos}.
  \item Una clase $\Mor{\cC}$ de \conc{morfismos}.
  \item Dos funciones $\dom,\cod:\Mor{\cC}\to\Ob{\cC}$, llamadas
    respectivamente \conc{dominio} y \conc{codominio}.

    Para $f\in\Mor{\cC}$, escribimos $f:a\to b$ si $\dom{f}=a$ y $\cod{f}=b$, y
    llamamos $\hom_{\cC}(a, b)$ o simplemente $\hom(a, b)$ a la clase de
    morfismos $f:a\to b$, que generalmente requeriremos que sea un conjunto.
  \item Una función
    $\circ:\bigcup_{a,b,c}(\hom(b,c)\times\hom(a,b))\to\Mor{\cC}$ que a cada
    $f:a\to b$ y $g:b\to c$ le asigna su \conc{composición} $g\circ f:a\to c$, y
    que debe ser asociativa, es decir, para $f:a\to b$, $g:b\to c$ y $h:c\to d$,
    $h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f$.
  \item Una función $1:\Ob{\cC}\to\Mor{\cC}$ que a cada objeto $a$ le asigna la
    \conc{identidad} $1_a:a\to a$, que cumple que, para $f:a\to b$,
    $f=1_b\circ f=f\circ 1_a$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

Es común en teoría de categorías representar situaciones con diagramas, como los
usados en buena parte del álgebra, donde los vértices representan objetos y las
flechas representan morfismos, y una flecha aparece punteada si su existencia se
debe a la existencia de las otras flechas del diagrama. No se suelen representar
las flechas identidad ni la composición de flechas que ya aparecen en el
diagrama.

Un diagrama \conc{conmuta} si, dados dos caminos cualesquiera del diagrama con
el mismo objeto de origen y de destino, la composición de los morfismos en cada
camino coincide. Así, por ejemplo, los axiomas de la composición e identidad de
categorías se pueden expresar como en la figura \ref{fig:cat-axiom}.

\begin{figure}
  \centering
  \begin{subfigure}{.45\textwidth}
    \centering
    \selectlanguage{english}
    \begin{tikzpicture}
      \draw[->] (0,2) node(A) {$a$} (2,2) node(B) {$b$}
            (0,0) node(C) {$c$} (2,0) node(D) {$d$}
            (A) -- node[above]{$f$} (B) -- node[right]{$h\circ g$} (D)
            (A) -- node[left]{$g\circ f$} (C) -- node[below]{$h$} (D);
    \end{tikzpicture}
    \caption{Asociatividad}
  \end{subfigure}
  \hfill
  \begin{subfigure}{.45\textwidth}
    \centering
    \selectlanguage{english}
    \begin{tikzpicture}
      \draw[->] (0,2) node(A){$a$} (2,2) node(AP){$a$}
                (0,0) node(B){$b$} (2,0) node(BP){$b$}
                (A) -- node[above]{$1_a$} (AP) -- node[right]{$f$} (BP)
                (A) -- node[left]{$f$} (B) -- node[below]{$1_b$} (BP)
                (A) -- node[above]{$f$} (BP);
    \end{tikzpicture}
    \caption{Elemento neutro}
  \end{subfigure}
  \caption{Axiomas de categoría}
  \label{fig:cat-axiom}
\end{figure}

\begin{samepage}
  \begin{example}
    Ciertos conceptos fundacionales se pueden ver como categorías:
    \begin{enumerate}
    \item La categoría $\bSet$ tiene como objetos todos los conjuntos y como
      morfismos todas las funciones, cualificadas por su dominio y codominio, con
      la composición e identidad obvias.
    \item Un \conc{preorden} es una relación reflexiva y transitiva, que se puede
      ver intuitivamente como un orden parcial entre clases de equivalencia. Un
      \conc{conjunto preordenado} es un conjunto con un preorden asociado, y
      llamamos $\bPrord$ a la categoría de los conjuntos preordenados cuyos
      morfismos son funciones que conservan el preorden, es decir, funciones
      $f:(a,\preceq)\to(b,\preccurlyeq)$ tales que para $x,y\in a$,
      $x\preceq y\implies f(x)\preccurlyeq f(y)$.
    \item \label{enu:mot-subcat} La categoría $\bOrd$ tiene como objetos los
      conjuntos parcialmente ordenados y como morfismos las funciones que
      conservan en orden. $\bLat$ es similar pero los objetos son retículos y los
      morfismos deben además preservar supremos e ínfimos de pares de elementos.
    \item La categoría $\bGrph$ tiene como objetos los grafos dirigidos y como
      morfismos las funciones entre los vértices de dos grafos que llevan ejes del
      primer grafo a ejes del segundo.
    \end{enumerate}
  \end{example}
\end{samepage}

El apartado \ref{enu:mot-subcat} de la lista anterior lleva naturalmente al
concepto de subcategoría.

\begin{definition}
  Una categoría $\cB$ es una \conc{subcategoría} de una $\cC$ si
  $\Ob{\cB}\subseteq\Ob{\cC}$, $\Mor{\cB}\subseteq\Mor{\cC}$ y las
  funciones dominio, codominio, composición e identidad son restricciones de
  las correspondientes funciones de $\cC$, y es una \conc{subcategoría completa}
  si además, para $a,b\in\Ob{\cB}$, $\hom_\cB(a,b)=\hom_\cC(a,b)$.
\end{definition}

Así, $\bLat$ es una subcategoría no completa de $\bOrd$, mientras que $\bOrd$ es
una subcategoría completa de $\bPrord$, y esta a su vez es una subcategoría
completa de $\bGrph$ si consideramos las relaciones como grafos dirigidos y
permitimos ejes reflexivos.

\section{Categorías algebraicas}

\begin{example}\label{ex:variety}
  En álgebra, muchas categorías se definen de manera similar:
  \begin{enumerate}
  \item $\bSmgrp$, la categoría de los semigrupos con las funciones que
    conservan su operación.
  \item $\bMon$, la subcategoría no completa de $\bSmgrp$ de los monoides con
    las funciones que conservan su operación y elemento identidad.
  \item $\bGrp$, la subcategoría completa de $\bMon$ formada por los grupos y
    sus homomorfismos.
  \item $\bAb$, la subcategoría de $\bGrp$ de grupos abelianos.
  \item $\bRing$, la categoría de anillos y sus homomorfismos.
  \end{enumerate}
\end{example}

En todos estos casos los objetos son conjuntos con una serie de operaciones, y
los morfismos son funciones que conmutan con estas. La lista de operaciones se
puede modelar como sigue.\cite[p. 120]{maclane}

\begin{definition}
  Un \conc{conjunto graduado} es un conjunto $I$ de \conc{operadores} junto con
  una función $a:I\to\sNat$ llamada \conc{aridad}.  Una \conc{acción} de $I$ en
  un conjunto $S$ es una familia $\{\mu_i : S^{a(i)} \to S\}_{i\in I}$ de
  operaciones en $S$ asociadas a los operadores de $I$.
\end{definition}

Así, por ejemplo, los operadores en $\bAb$ serían $+$ de aridad 2, $-$
de aridad 1 y $0$ de aridad 0. Queda definir las propiedades de los
operadores.
    
\begin{definition} Sea $(I, a)$ un conjunto graduado:
  \begin{enumerate}
  \item El conjunto de \conc{operadores derivados} de $I$ es el conjunto
    graduado $\Lambda$ formado por las siguientes expresiones:
    \begin{enumerate}
    \item El \conc{operador identidad}, $id$, de aridad 1.
    \item Todos los operadores de $I$ con su aridad en $I$.
    \item Para $\omega\in\Lambda$ de aridad $n$ e $i_1,\dots,i_n\in\Lambda$ de
      aridades $a_1,\dots,a_n$, $\omega(i_1,\dots,i_n)$ de aridad
      $a_1+\dots+a_n$.
    \item Para $\lambda\in \Lambda$ de aridad $n$ y
      $f:\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,m\}$, $\lambda_f$ de aridad $m$.
    \end{enumerate}
  \item Si $\mu$ es una acción sobre $I$, la extensión de $\mu$ a $\Lambda$ es
    la acción $\nu$ sobre $\Lambda$ dada por $\nu_i=\mu_i$ para $i\in I$,
    $nmu_{id}(x)\coloneqq x$,
    $\nu_{\omega(i_1,\dots,i_n)}(x_{11},\dots,x_{1a_1},\dots,x_{n1},\dots,x_{na_n})\coloneqq\nu_\omega(\nu_{i_1}(x_{11},\dots,x_{1a_1}),\dots,\nu_{i_n}(x_{n1},\dots,x_{na_n}))$
    y
    $\nu_{\lambda_f}(x_1,\dots,x_m)\coloneqq\nu_\lambda(x_{f(1)},\dots,x_{f(n)})$.
  \item Una \conc{identidad} sobre $I$ es un par $(\lambda,\sigma)$ de
    operadores $\Lambda$ de igual aridad.
  \item Una acción $\mu$ sobre $I$ \conc{satisface} una identidad
    $(\lambda, \sigma)$ sobre $I$ si $\nu_\lambda=\nu_\sigma$, donde $\nu$ es la
    extensión de $\mu$ a $\Lambda$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

Normalmente las identidades $(\lambda, \sigma)$ se representan como igualdades
$\lambda=\sigma$, y $\lambda$ y $\sigma$ se representan de forma obvia como
expresiones que dependen de los operadores base y una serie de parámetros de
entrada, de modo que las propiedades de $\bAb$ son $(x+y)+z=x+(y+z)$, $0+x=x$,
$x+(-x)=0$ y $x+y=y+x$.

\begin{definition}
  Sean $\Omega$ un conjunto graduado finito y $E$ un conjunto finito de identidades
  sobre $\Omega$:
  \begin{enumerate}
  \item Una $(\Omega,E)$-álgebra es un par $(S,\mu)$ formado por un conjunto $S$ y
    una acción $\mu$ de $\Omega$ sobre $S$ que satisface las identidades en $E$.
  \item Una \conc{variedad algebraica} es una categoría $(\Omega,E)\dash\bAlg$
    cuyos objetos son las $(\Omega,E)$-álgebras y cuyos morfismos
    $(A,\mu)\to (B,\nu)$ son las funciones $f:A\to B$ tales que, para
    $\omega\in\Omega$ de aridad $n$ y $x_1,\dots,x_n\in A$,
    $f(\mu_\omega(x_1,\dots,x_n))=\nu_\omega(f(x_1),\dots,f(x_n))$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

Claramente todas las categorías del ejemplo \ref{ex:variety} son variedades
algebraicas, y de hecho podemos ver $\bSet$ como
$(\emptyset,\emptyset)\dash\bAlg$, pero sin embargo $\bField$, la subcategoría
completa de $\bRing$ de los cuerpos, no es una variedad algebraica, ya que
requiere una propiedad de la inversa del producto, que no está definida en el 0.

Otra categoría interesante es $R\dash\bMod$, la clase de módulos de un anillo
conmutativo $R$ y homomorfismos de $R$-módulos. $\sInt\dash\bMod$ es
esencialmente $\bAb$ y, para un cuerpo $K$, $K\dash\bMod$ es la categoría de
$K$-espacios vectoriales, por lo que la escribimos como $K\dash\bVec$ o
simplemente $\bVec$ si $K=\sReal$.

\section{Categorías abstractas}

Hasta ahora, en todas las categorías que hemos visto, los objetos son conjuntos
con estructura y los morfismos son funciones entre ellos. Las categorías de esta
forma se llaman \emph{constructos}, concepto que formalizaremos más adelante, y
aunque son muy comunes, también hay muchas categorías relevantes que no son
constructos.

\begin{example}
  Para un anillo $R$, la categoría $R\dash\bMat$ tiene como objetos los números
  naturales, como morfismos de $n$ a $m$ las matrices de tamaño $n\times m$,
  como composición el producto de matrices y como identidad la matriz identidad
  del tamaño correspondiente.
\end{example}

\begin{example}
  Algunas estructuras matemáticas se pueden ver como categorías.
  \begin{enumerate}
  \item Una categoría es \conc{discreta} si sólo tiene los morfismos
    identidad. Un conjunto, o en general una clase, se puede ver como una
    categoría discreta cuyos objetos son los elementos del conjunto.
  \item Una categoría es \conc{fina} si sus \conc{conjuntos hom} (conjuntos de
    la forma $hom(a,b)$) tienen como máximo un elemento. Un conjunto preordenado
    $(X,\preceq)$ se puede ver como una categoría fina cuyos objetos son los
    elementos del conjunto y tal que, para $x,y\in X$, $\hom(x,y)$ está habitado
    si y sólo si $x\preceq y$.
  \item Un monoide se puede ver como una categoría con un solo objeto, cuyos
    morfismos son los elementos del monoide, la identidad es su elemento neutro
    y la composición es el producto.
  \end{enumerate}
\end{example}

\begin{example}
  Las siguientes categorías se usan principalmente en el estudio de categorías
  más complicadas:
  \begin{enumerate}
  \item La categoría vacía, $\bZero$, sin objetos.
  \item La categoría discreta unipuntual, $\bOne$.
  \item La categoría discreta de dos objetos, $\bTwo$.
  \item La categoría $\bDown$, con dos objetos y una sola flecha de uno a otro ($\bullet\to\bullet$).
  \end{enumerate}
\end{example}


\section{Categorías topológicas y analíticas}

La principal categoría topológica es $\bTop$, formada por los espacios
topológicos y las funciones continuas entre ellos.

\begin{example}
  Algunos constructos usados en topología tienen los mismos objetos pero
  distintas clases de morfismos, permitiendo estudiar los objetos desde
  distintas perspectivas. Por ejemplo, las siguientes tres categorías tienen
  como objetos los espacios métricos:
  \begin{enumerate}
  \item $\bMetc$, con las funciones continuas.
  \item $\bMetu$, con las funciones uniformemente continuas.
  \item $\bMet$, con las contracciones, funciones que \emph{acercan} los puntos.
  \end{enumerate}
  Asimismo tenemos la categoría $\bBanb$ de los espacios de Banach con las formas
  lineales acotadas y $\bBan$ con las contracciones lineales.
\end{example}


\begin{example}
  Sea $X$ un espacio topológico.  Recordemos que, para $x,y\in X$, un camino de
  $x$ a $y$ es una función continua $f:[0,1]\to X$ con $f(0)=x$ y $f(1)=y$, y
  que dos caminos $f$ y $g$ de $x$ a $y$ son homotópicamente equivalentes si
  existe $F:[0,1]\times[0,1]\to X$ tal que, para $s,t\in[0,1]$, $F(t,0)=f(t)$,
  $F(t,1)=g(t)$, $F(0,s)=x$ y $F(1,s)=y$. Entonces el \conc{grupoide
  fundamental}\cite[p. 20]{maclane} de $X$ es una categoría $\pi(X)$ cuyos
  objetos son los puntos de $X$ y tal que $\hom(x,y)$ es el conjunto cociente de
  caminos de $x$ a $y$ por equivalencia homotópica.

  % TODO Relevancia
\end{example}

%% TODO Cambiar esto a una sección sobre categorías algebraicas para así separar la
%% definición en varias y poder hacer comentarios en medio y con suerte que la definición
%% de las acciones derivadas quepa, y poder poner ejemplos detrás. Quedaría como sigue:
% - Ejemplos Set, Prord, Ord
% - Subcategorías
% 1.1 Categorías algebraicas
% - Ejemplos de variedades
% - Definiciones con comentarios
% - Aplicación de la definición
% - Categorías algebraicas que no son variedades
% 1.2 Categorías topológicas
% 1.3 Categorías puramente abstractas
% 1.4 Objetos iniciales y finales
% 1.5 Monomorfismos y epimorfismos (y secciones y retractos)
% 1.6 Isomorfismos (y bimorfismos)
% 1.7 Dualidad

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End: